10.3 实际问题与二元一次方程组 第1课时 教案 2024--2025学年人教版七年级数学下册

10.3　实际问题与二元一次方程组（第1课时） 教学目标 　　1．能找出实际问题中的已知量和未知量，分析它们之间的数量关系，列方程组求解． 　　2．会用二元一次方程组解决实际问题，掌握列方程组解决实际问题的一般步骤． 　　3．经历探索用二元一次方程组解决实际问题的过程，进一步提高分析问题、解决问题的能力，体会数学建模思想． 教学重点 　　探究用二元一次方程组解决实际问题的过程． 教学难点 　　能寻找相等关系并列出方程组，能用方程组的解解释实际问题． 教学过程 知识回顾 　　1．解二元一次方程组的基本思想是 消元 ． 　　2．解二元一次方程组的基本方法有 代入消元法 和 加减消元法 ． 　　3．列一元一次方程解决实际问题的一般步骤： 　　（1）审：弄清题意，分清已知量和未知量，并找出相等关系． 　　（2）设：设未知数，并用含有未知数的式子表示出其他相关量． 　　（3）列：根据相等关系列出方程． 　　（4）解：通过解方程，求出未知数的值． 　　（5）验：检验所得的未知数的值是不是所列方程的解，是否符合题意． 　　（6）答：根据题意写出答案． 　　【师生活动】教师出示题目，学生独立作答． 　　【设计意图】复习学过的解二元一次方程组和列一元一次方程解决实际问题的相关知识，巩固基础，引出本节课的学习内容“用二元一次方程组解决实际问题”． 新知探究 一、探究学习 　　【问题】养牛场原有30头大牛和15头小牛，1天约用饲料675 kg；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时1天约用饲料940 kg．饲养员李大叔估计每头大牛1天需饲料18～20 kg，每头小牛1天需饲料7～8 kg．你能通过计算检验他的估计吗？ 　　【思考】如何理解“通过计算检验他的估计”这句话？ 　　【师生活动】学生自由发言，教师提示学生：对于估算的结果要通过精确求值来检验．学生根据提示补充回答：要想检验估计是否准确，需要分别计算出1头大牛和1头小牛1天约用的饲料量． 　　【思考】题目中有哪些未知量？ 　　【师生活动】师生一起分析题目，找出题目中的未知量：1头大牛1天约用的饲料量和1头小牛1天约用的饲料量． 　　【思考】题目中有哪些相等关系？ 　　【师生活动】教师引导学生找出题目中的关键信息，学生独立思考，得到答案： 　　30头大牛1天约用的饲料量＋15头小牛1天约用的饲料量＝675 kg； 　　(30＋12)头大牛1天约用的饲料量＋(15＋5)头小牛1天约用的饲料量＝940 kg． 　　【思考】如何用二元一次方程组表示上面的两个相等关系？ 　　【师生活动】教师给出分析，学生小组讨论，完成填空． 　　【分析】设每头大牛1天约用饲料x kg，每头小牛1天约用饲料y kg，那么30头大牛和15头小牛1天约用饲料 (30x＋15y) kg，(30＋12)头大牛和(15＋5)头小牛1天约用饲料 (42x＋20y) kg． 　　用二元一次方程组表示： 　　【设计意图】通过问题串的形式，引导学生学会分析问题，找出两个相等关系，并能根据两个相等关系列出二元一次方程组，让学生体会方程组在解决实际问题中的工具作用，渗透数学模型的思想． 　　【思考】饲养员李大叔的估计正确吗？ 　　【师生活动】学生独立解出方程组，教师引导学生对比计算结果和李大叔的估计，得到结论． 　　【答案】解：设每头大牛和每头小牛1天各约用饲料x kg和y kg． 　　由题意，得方程组 　　化简，得解得 　　这就是说，每头大牛1天约需饲料20 kg，每头小牛1天约需饲料5 kg． 　　因此，饲养员李大叔对大牛的食量估计较准确，对小牛的食量估计偏高． 　　【设计意图】引导学生用方程组的解分析、解释实际问题． 　　【追问】列一元一次方程能解决这个问题吗？ 　　【师生活动】学生独立思考，完成作答． 　　【答案】解：设每头大牛1天约用饲料x kg，则每头小牛1天约用饲料 kg． 　　由题意，得方程(30＋12)x＋(15＋5)×＝940．解得x＝20． 　　所以＝＝5． 　　这就是说，每头大牛1天约需饲料20 kg，每头小牛1天约需饲料5 kg． 　　因此，饲养员李大叔对大牛的食量估计较准确，对小牛的食量估计偏高． 　　【设计意图】引导学生对比，发现列二元一次方程组比列一元一次方程简单，让学生体会有两个未知量时，列二元一次方程组更简单． 　　【问题】随着养牛场规模逐渐扩大，李大叔需聘请饲养员协助管理现有的42头大牛和20头小牛．现有A，B两种岗位，已知A岗位的饲养员每人负责8头大牛和4头小牛，B岗位的饲养员每人负责5头大牛和2头小牛，请问李大叔应聘请A，B两种岗位的饲养员各多少人？ 　　【师生活动】学生小组讨论，完成作答． 　　【答案】解：设李大叔应聘请A岗位的饲养员x人，B岗位的饲养员y人． 　　由题意，得方程组解得 　　答：李大叔应聘请A岗位的饲养员4人，B岗位的饲养员2人． 　　【思考】列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是什么？ 　　【师生活动】教师引导学生回顾如何分析数量关系，发现相等关系，选择适当的未知数，并列出方程组，学生总结列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤，教师用框图补充说明． 　　【新知】列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： 　　（1）审：弄清题中的已知量、未知量，找出题中的相等关系． 　　（2）设：恰当地设未知数． 　　（3）列：根据（1）中的相等关系列方程组． 　　（4）解：正确地解方程组． 　　（5）验：检验解是不是原方程组的解且符合题意． 　　（6）答：答案要完整且单位统一． 　　【设计意图】让学生经历列方程组解决实际问题的完整过程，总结运用方程组建立数学模型、解决实际问题的一般步骤． 二、典例分析 　　【例1】《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，则木长多少尺？ 　　【师生活动】学生独立思考，并小组讨论，尝试进行解答，教师给予帮助． 　　【答案】解：设木长x尺，绳子长y尺． 　　由题意，得解得 　　答：木长6.5尺． 　　【归纳】对于二元一次方程组问题，应设两个未知数，找出两个相等关系，列两个方程，组成二元一次方程组计算． 　　【设计意图】通过例题，让学生学会用二元一次方程组解决古代数学问题． 　　【例2】已知A，B两件服装的成本共500元，某服装店老板分别以30％和20％的利润率定价后进行销售，该服装店共获利130元，问A，B两件服装的成本各是多少元？ 　　【师生活动】学生独立思考，完成作答，教师讲评． 　　【答案】解：设A服装的成本为x元，B服装的成本为y元． 　　由题意，得解得 　　答：A服装的成本为300元，B服装的成本为200元． 　　【归纳】销售问题中的利润和折扣问题的题目背景与现实生活紧密相连，分析题目时应注意：商品的售价＝商品的进价＋利润＝(1＋利润率)×进价．因此，解决此类问题时要弄清进价、售价、利润率、折扣等专业名词的含义，并按数量关系列出方程组． 　　【设计意图】通过例题，让学生学会用二元一次方程组解决销售问题． 课堂小结 课后任务 　　完成教材第101页练习第1题． 学科网（北京）股份有限公司 $$