重庆市2024-2025学年人教版八年级数学下册期末复习 四边形的有关计算

四边形的有关计算——选择 1.（2023-2024忠县八下期末）如图，点为大小是角的顶点，的两边分别与正方形的另两边交于点．对于下面说法： ①； ②、分别是、的角平分线； ③当时，的面积最小 其中正确说法的个数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 2.（2023-2024育才八下期末）如图，四边形为正方形，为上一点，连接，过点作，垂足为，连接，设，若，则可表示为（ ） A. B. C. D. 3. （2023-2024渝北八下期末）如图，点E是正方形对角线上一点，点F 在上，且，连接、，若，，则（ ） A. B. C. D. 4.（2023-2024西大附中八下期末）如图，在正方形中，点E是边上一点，点F是边延长线上一点，且，连接，H为上一点，连接交于点G，且，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5.（2023-2024巫山八下期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC⊥BC，M在∠CAD的平分线上，且AM⊥DM，点N为CD的中点，连接MN，若AD＝12，MN＝2．则AB的长为（　　） A. 12 B. 20 C. 24 D. 30 6. （2023-2024万州八下期末）如图，在正方形中，点E，F分别在边，上，且，连接，，平分交于点G，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. （2023-2024铜梁八下期末）如图，在矩形中，点是的中点，交于点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. （2023-2024沙坪坝八中八下期末）如图，在等边ABC中，D为边AC上一点，连接BD，将BCD绕点B逆时针旋转60°，得到BAE，连接ED，若BC＝20，BD＝18，则AED的周长是（ ） A. 38 B. 36 C. 32 D. 不确定 9.（2023-2024沙坪坝八中八下期末）如图，在正方形中，点，分别在，上，连接，，，．若，则一定等于（ ） A. B. C. D. 10连接，过点作，交于点，若，则长为（ ） A. 1 B. 1.5 C. D. 11.（2023-2024两江新区八下期末）如图，在正方形中，点是对角线上一点，连接，点是线段的中点．若，，那么的长为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 12.（2023-2024开州八下期末）如图，在正方形中，为对角线，点、分别为边和上的点且，连接，过点作交于点，点为边上的点，连接且，若，则的度数（ ） A. B. C. D. 13.（2023-2024重庆实验外国语学校八下期末）已知四边形和都是正方形，点F在线段上，连接交于点H．若，则（ ） A. B. C. D. 14.（2023-2024江津八下期末）如图，在正方形中，点、分别为边、上的点，连接、，平分，若．当时，则的度数为（ ） A. B. C. D. 15.（2023-2024丰都八下期末）如图，四边形是平行四边形，线段垂直平分边于点，点是边上一点，连接，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 16. （2023-2024垫江八下期末）如图，点O是矩形的对角线的中点，交于点M，若，，则的长为（ ） A. B. 10 C. 5 D. 17. 如图，点、分别在正方形的边、上，，已知，，则（ ） A 6 B. 15 C. 12 D. 30 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 四边形的有关计算——选择 1.（2023-2024忠县八下期末）如图，点为大小是角的顶点，的两边分别与正方形的另两边交于点．对于下面说法： ①； ②、分别是、的角平分线； ③当时，的面积最小 其中正确说法的个数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】将绕点逆时针旋转得到，证明得出，，，即可判断①；由三角形内角和定理结合三角形外角的定义及性质即可判断②；根据得出当的值最小时，的面积最小，设，，则，当且仅当时，等号成立，此时最小，即最小，推出当时，的面积最小，证明，即判断③． 【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转得到， ， ∵四边形为正方形， ∴，， 由旋转的性质可得：，，，，，， ∴， ∴点、、在同一直线上， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴、分别是、的角平分线，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 由得：， ∴，故①正确； 由可得：， ∵的长固定不变，为正方形的边长， ∴当的值最小时，的面积最小， 设，，则，当且仅当时，等号成立，此时最小，即最小， ∴当时，的面积最小， ∵，， ∴， ∴， ， ∴， ∴当时，的面积最小，故③正确； 综上所述，正确的有①②③，共个， 故选：A． 2.（2023-2024育才八下期末）如图，四边形为正方形，为上一点，连接，过点作，垂足为，连接，设，若，则可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正方形，三角形的知识，解题的关键是掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，取的中点为点，连接，根据，，则三角形是等腰直角三角形，即，根据正方形的性质，全等三角形的判定和性质，则，，根据，则，求出，即可． 【详解】取的中点为点，连接， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 3. （2023-2024渝北八下期末）如图，点E是正方形对角线上一点，点F 在上，且，连接、，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，找出角度之间的数量关系是解题关键．根据正方形的性质，证明，得出，，再根据等腰三角形的性质，得到，，由三角形内角和定理，推出，即可得到答案． 【详解】解：四边形是正方形， ，，， ， ， ，， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 故选：B 4.（2023-2024西大附中八下期末）如图，在正方形中，点E是边上一点，点F是边延长线上一点，且，连接，H为上一点，连接交于点G，且，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的性质可证明，则，再证明，连接，由直角三角形的性质可得，则，进而可得，则． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 5.（2023-2024巫山八下期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC⊥BC，M在∠CAD的平分线上，且AM⊥DM，点N为CD的中点，连接MN，若AD＝12，MN＝2．则AB的长为（　　） A. 12 B. 20 C. 24 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】延长DM交AC于E，利用ASA证明△ADM≌△AEM可得AE=AD=12，DM=EM，即可证明MN是△CDE的中位线，可求解CE的长，进而可求解AC的长，再结合平行四边形的性质利用勾股定理可求解． 【详解】解：延长DM交AC于E， ∵AM平分∠CAD，AM⊥DM， ∠DAM=∠EAM，∠AMD=∠AME=90°， 在△ADM和△AEM中， ， ∴△ADM≌△AEM（ASA）， ∴DM=EM，AE=AD=12， ∴M点是DE的中点， ∵N是CD的中点， ∴MN是△CDE的中位线， ∵MN=2， ∴CE=2MN=4， ∴AC=AE+CE=12+4=16， 在平行四边形ABCD中，AB=CD，AD∥BC，AC⊥BC， ∴AC⊥AD， ∴∠CAD=90°， ． 故选B． 6. （2023-2024万州八下期末）如图，在正方形中，点E，F分别在边，上，且，连接，，平分交于点G，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据正方形的性质及全等三角形的判定可得，再根据全等三角形的性质及平行线的性质得到，最后根据角平分线的定义即可解答． 【详解】解：∵在正方形中， ∴，， ∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：． 7. （2023-2024铜梁八下期末）如图，在矩形中，点是的中点，交于点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，延长，交的延长线于点，根据矩形的性质可得，，可证，根据全等三角形的性质可得，可知垂直平分，根据线段垂直平分线的性质可得，进一步可得，根据，可得，可求出的度数，进一步可得的度数， 再根据，可得的度数，熟练掌握知识点的应用及添加合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【详解】如图，延长，交的延长线于点， ∵四边形是矩形的性质， ∴，， ∴， ∵为边中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 8. （2023-2024沙坪坝八中八下期末）如图，在等边ABC中，D为边AC上一点，连接BD，将BCD绕点B逆时针旋转60°，得到BAE，连接ED，若BC＝20，BD＝18，则AED的周长是（ ） A. 38 B. 36 C. 32 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】由旋转的性质可得△BCD≌△BAE，可得BD＝BE，CD＝AE，根据旋转角∠DBE＝60°，可证△DBE是等边三角形，可得BD＝DE＝18，即可求解． 【详解】解：∵△ABC等边三角形， ∴AC=BC=20， ∵将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE， ∴△BCD≌△BAE， ∴BD＝BE，CD＝AE， ∵∠DBE＝60° ∴△DBE是等边三角形， ∴BD＝DE＝18， ∴△AED的周长＝AE+AD+DE＝CD+AD+DE＝AC+BD＝20+18=38， 故选：A． 9.（2023-2024沙坪坝八中八下期末）如图，在正方形中，点，分别在，上，连接，，，．若，则一定等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角形逆时针旋转后，再证明三角形全等，最后根据性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】将绕点逆时针旋转至， ∵四边形是正方形， ∴，， 由旋转性质可知：，，， ∴， ∴点三点共线， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 10. （2023-2024黔江八下期末）如图，正方形中，，点是对角线上一点，连接，过点作，交于点，若，则长为（ ） A. 1 B. 1.5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作于点，延长交于点，首先证明四边形为矩形，易得，；设，则，证明为等腰直角三角形，进而可得，再结合含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理可得，解得，可知；证明，由全等三角形的性质可得，然后由求解即可． 【详解】解：如下图，过点作于点，延长交于点， ∵四边形为正方形，， ∴，，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 设，则， ∵为正方形的对角线，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 11.（2023-2024两江新区八下期末）如图，在正方形中，点是对角线上一点，连接，点是线段的中点．若，，那么的长为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点E作于点G，利用正方形的性质，勾股定理解答即可． 本题考查了正方形的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】如图，过点E作于点G， ∵正方形中，点是线段的中点．，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选C． 12.（2023-2024开州八下期末）如图，在正方形中，为对角线，点、分别为边和上的点且，连接，过点作交于点，点为边上的点，连接且，若，则的度数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，延长交于点，证明四边形是矩形，可得，证明四边形是正方形，得到，证明，得到，最后根据三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：连接，延长交于点， 四边形是正方形，为对角线， ，，， ， ， ， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形 矩形， ，， ， ， 四边形是正方形， ， 在和中， ， ， ， ， 故选：B． 13.（2023-2024重庆实验外国语学校八下期末）已知四边形和都是正方形，点F在线段上，连接交于点H．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点E作于点M，作延长线的垂线，垂足为点N，可证明，则，可得平分，故，则，根据三角形的内角和定理及平角可表示，而，故． 【详解】解：过点E作于点M，作延长线的垂线，垂足为点N，则， ∵四边形和都是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 故选：D． 14.（2023-2024江津八下期末）如图，在正方形中，点、分别为边、上的点，连接、，平分，若．当时，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，由正方形的性质可得，，，进而由可得，，再由角平分线的定义得，又证明可得，最后利用角的和差关系即可求解，掌握正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故选：． 15.（2023-2024丰都八下期末）如图，四边形是平行四边形，线段垂直平分边于点，点是边上一点，连接，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据线段垂直平分边可得，再由平行的性质可得，最后由得到，即可根据三角形外角性质得到． 【详解】连接，如图， ∵线段垂直平分边， ∴， ∴平分 ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 16. （2023-2024垫江八下期末）如图，点O是矩形的对角线的中点，交于点M，若，，则的长为（ ） A. B. 10 C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、平行线分线段成比例，熟练掌握平行分线段成比例解答本题的关键． 【详解】四边形是矩形， ，， 点O是的中点， 在中， ， ，， ，， ， ， 中， 根据勾股定理得： ， 故选：A． 17. 如图，点、分别在正方形的边、上，，已知，，则（ ） A 6 B. 15 C. 12 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】作交的延长线于点，证、即可求解． 【详解】解：作交的延长线于点，如图： 设，则 ∵ 解得： ∴ 故选：B 2 学科网（北京）股份有限公司 $$