1.3 全等三角形的判定-【暑假大串联】2024-2025学年新教材七年级数学暑假作业教材衔接（苏科版2024）

1.3 全等三角形的判定 1. SSS:三边分别相等的两个三角形全等,简写成“边边边”或“SSS”. 2. ASA:两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等,简写成“角边角”或“ASA”. 3. AAS:两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等,简写成“角角边”或“AAS”. 4. SAS:两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等,简写成“边角边”或“SAS”. 5. HL:斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等,简写成“斜边、直角边”或“HL”. 6. 证三角形全等时,常见的隐含等角有: (1) 公共角.(2) 对顶角相等.(3) 等角加(或减)等角仍得等角.(4) 角平分线得两等角.(5) 同 角(或等角)的余角或补角相等.(6) 平行线得同位角、内错角相等.(7) 垂直定义得两角相等. (8) 一些自然规律:“太阳光线可以看作是平行线”等也是常见的隐含条件. 例1 如图,AC,BD 相交于点E,DE=EC,∠D=∠C.求证:△ABD≌△BAC. 解析:∵AC,BD 相 交 于 点 E,∴ ∠AED = ∠BEC,在 △AED 和 △BEC 中, ∠AED=∠BEC DE=CE ∠D=∠C 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ,∴△AED≌△BEC(ASA),∴AE=BE,∴∠CAB=∠DBA,AC=BD,在 △ABD 和△BAC 中, AB=BA ∠DBA=∠CAB BD=AC 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ,∴△ABD≌△BAC(SAS). 例2 如图,点D,E 分别在线段AB,AC 上,AB=AC,BE,CD 相交于点O,要使△ABE≌ △ACD,需添加一个条件是 .(只要写一个条件) 解析:添加条件:∠B=∠C.在△ABE 和△ACD 中, ∠A=∠A AB=AC ∠B=∠C, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ∴△ABE≌△ACD(ASA). 07 故答案为:∠B=∠C(答案不唯一). 例3 如图,在 Rt△ABC 与 Rt△DCB 中,已知∠A=∠D=90°,添加一个条件,不能使 Rt△ABC≌Rt△DCB 的是 ( ) A. AB=DC B. AC=DB C. ∠ABC=∠DCB D. ∠ABD=∠DCA 解析:AB. 由HL判定Rt△ABC≌Rt△DCB,故AB不符合题意;C. 由AAS判定Rt△ABC≌ Rt△DCB,故C不符合题意;D. ∠ABD 和∠DCA 不是Rt△ABC 和Rt△DCB 的角,∠ABD= ∠DCA 不能判定Rt△ABC≌Rt△DCB,故D符合题意.故选:D. 例4 如图,小明与小敏玩跷跷板游戏,支点O 是跷跷板的中点,两人分别坐在跷跷板两端(即 OF=OG),如果点O 至地面的距离是50 cm,当小敏从水平位置CD 下降40 cm,这时小明离地 面的高度是 . 解析:由题意可知,OF=OG,∠FOC=∠DOG,∠FCO=∠GDO=90°, ∴△FCO≌△GDO(AAS),∴FC=GD, ∵小敏从水平位置CD 下降40 cm,即DG=40 cm,∴CF=40 cm, 又∵点O 至地面的距离是50 cm,∴这时小明离地面的高度是50+40=90(cm).故答案为: 90 cm. 1. 根据下列条件,能作出唯一的△ABC 的是 ( ) A. AB=3,AC=4,∠B=30° B. AB=3,BC=4,AC=8 C. ∠A=50°,∠B=60°,AB=4 D. ∠C=90°,AB=5 2. 如图,已知AM=CN,∠MAB=∠NCD,下列条件不能判定是△ABM≌ △CDN 的是 ( ) A. ∠M=∠N B. BM∥DN C. AB=CD D. MB=ND (第2题) (第3题) (第4题) (第5题) 17 3. 如图,要测量河两岸相对的两点A,B 的距离,先在河岸BF 上取两点C,D,使CD=BC,再作 DE⊥BF,垂足为D,使A,C,E 三点在一条直线上,测得ED=20米,因此AB 的长是 ( ) A. 10米 B. 20米 C. 30米 D. 40米 4. 如图,在△ABC 和△BDE 中,点C 在边BD 上,边AC 交边BE 于点F.若AC=BD,AB= ED,BC=BE,则∠ACB 等于 ( ) A. ∠EDB B. ∠BED C. 1 2∠AFB D. 2∠ABF 5. 如图,△ABC的面积为S,AD平分∠BAC,AD⊥BD于D,连接CD,则△ACD的面积为 ( ) A. 2S 3 B. S 3 C. S 2 D. S 6. 如图为6个边长相等的正方形的组合图形,则∠1+∠2+∠3= ( ) A. 90° B. 100° C. 120° D. 135° (第6题) (第7题) (第8题) 7. 如图,在△ABC 中,AD⊥BC 于点D,CE⊥AB 于点E,AD 和CE 交于点F,已知EF=EB= 6,AE=8,则CF= ( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 如图,AD 为△ABC 的中线,AB=10,AC=4,则AD 的长度可能为 ( ) A. 2.9 B. 5.4 C. 7.3 D. 8.8 9. 如图,已知AD 与BC 交于O 点,OA=OB,要使△AOC≌△BOD,添加一个你认为合适的条 件: . (第9题) (第10题) (第11题) 10. 如图,要测量河岸相对两点A,B 的距离,先在AB 的垂线BF 上取两点C,D,使CD=BC, 再作出BF 的垂线DE,使A,C,E 在同一直线上,可以证明△EDC≌△ABC 得ED=AB, 因此测得DE 的长就是AB 的长,判断△EDC≌△ABC 的理由是 . 11. 如图,AD=DE,AB=BE,∠CED=100°,则∠A= °. 27 12. 如图,点 A,D,B,E 在同一直线上,AC=EF,AD=BE,∠A=∠E.求证:△ABC ≌△EDF. 13. 如图,∠D=∠B,DF⊥AC 于点F,BE⊥AC 于点E. (1) 求证:AD∥BC. (2) 若AE=CF,求证:△AFD≌△CEB. 14. 如图,在四边形ABCD 中,∠A=∠B=90°,E 是AB 上的一点,且AE=BC,连接DE,EC, DE=EC.求证:Rt△ADE≌Rt△BEC. 37 11. (1)∵BE⊥AD,∴∠EBD=90°,∵△ACF≌ △DBE,∴∠FCA=∠EBD=90°,∴∠A=90° -∠F=28°. (2)∵△ACF≌△DBE,∴CA=BD,∴CA- CB=BD-BC,即AB=CD,∵AD=9 cm,BC =5 cm,∴AB+CD=9-5=4 cm,∴AB= 2 cm. 1.3 全等三角形的判定 1. C 2. D 3. B 4. C 5. C 6. D 7. C 8. B 9. OC=OD(答案不唯一) 10. ASA(或角边角) 11. 80 12. ∵AD=BE,∴AD+BD=BE+BD,∴AB= ED,在 △ABC 和 △EDF 中, AB=ED ∠A=∠E AC=EF 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 , ∴△ABC≌△EDF(SAS). 13. (1)∵DF⊥AC 于点F,BE⊥AC 于点E, ∴∠AFD=∠CEB=90°,∴∠A+∠D=90°, ∠B+∠C=90°,∵∠D=∠B,∴∠A=∠C, ∴AD∥BC. (2)∵AE=CF,∴AE-EF=CF-EF,即 AF=CE,在△AFD 和△CEB 中, ∠A=∠C ∠D=∠B AF=CE 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 , ∴△AFD≌△CEB(AAS). 14. ∵∠A=∠B=90°,∴△ADE 和△BEC 均为直 角三 角 形,在 Rt△ADE 和 Rt△BEC 中, ∵ DE=EC AE=BC ,∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL). 1.4 线段垂直平分线与角平分线 1. C 2. D 3. B 4. C 5. B 6. B 7. 1 8. 7 9. 40° 10. ∵AC=12,∴AD+CD=12,∵DE 是AB 的垂 直平分线,∴AD=BD,∴BD+CD=12,∵BC =7,∴△BCD 的周长=BC+BD+CD=19. 11. ∵AD 垂直平分BC,∴BD=DC,AB=AC. 又 ∵AB+BD=DE,∴AC+DC=DE. 又∵DE =DC+CE,∴AC=CE. ∴点C 在线段AE 的 垂直平分线上. 12. (1)∵∠B=50°,∠C=70°,∴∠BAC=180°- ∠B-∠C=180°-50°-70°=60°,∵AD 是 △ABC 的角平分线,∴∠BAD=12∠BAC= 1 2 ×60°=30°,∵DE⊥AB,∴∠DEA=90°,∴ ∠EDA=180°-∠BAD-∠DEA=180°-30° -90°=60°. (2)如图,过 D 作DF⊥AC 于F,∵AD 是 △ABC 的角平分线,DE⊥AB,∴DF=DE= 3,又∵AB=10,AC=8,∴S△ABC= 1 2×AB× DE+12×AC×DF= 1 2×10×3+ 1 2×8×3 =27. 1.5 等腰三角形 1. C 2. B 3. D 4. D 5. C 6. D 7. 15 cm 8. 40° 9. 45° 10. 120° 11. 20 12. ∵BD=BC,∠DBC=24°,∴∠BDC=∠C= 180°-24° 2 =78° ,∵AD=BD,∴∠A=∠ABD, ∵∠BDC=∠A+∠ABD,∴∠A=12∠BDC =39°. 13. 在 △ABC 和 △BAD 中, AB=BA AC=BD BC=AD 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 31