1.1 三角形中的线段和角-【暑假大串联】2024-2025学年新教材七年级数学暑假作业教材衔接（苏科版2024）

1.1 三角形中的线段和角 1. 三角形的三边关系 (1) 三角形任意两边之和大于第三边. (2) 三角形任意两边之差小于第三边. (3) 三边关系的理论依据:两点之间线段最短. (4) 三边关系的应用:判断三条线段能否组成三角形,若两条较短的线段长之和大于最长线段 的长,则这三条线段可以组成三角形;反之,则不能组成三角形. 当已知三角形两边长,可 求第三边长的取值范围. (5)利用三边关系证明线段之间的不等关系. 2. 三角形的边角关系 在同一个三角形中,较大的边所对的角也比较大. 3. 三角形的中线、角平分线、高 三角形的中线、角平分线、高是三角形中三条重要的线段,它们提供了重要的线段或角的关 系,为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用,因此我们需要从不同的角 度弄清这三条线段,列表如下. 线段 名称 中线 角平分线 高 文字 语言 三角形中,连接一个顶点和 它对边中点的线段. 三角形一个内角的平分线与 它的对边相交,这个角的顶 点与交点之间的线段. 从三角形的一个顶点向它的 对边所在的直线作垂线,顶点 和垂足之间的线段. 图形 语言 作图 语言 取 BC 边 的 中 点 D,连 接AD. 作∠BAC 的平分线AD,交 BC 于点D. 过点A 作AD⊥BC 于点D. 标示 图形 36 续表 线段 名称 中线 角平分线 高 符号 语言 ①AD 是△ABC 的中线. ②AD 是△ABC 中BC 边 上的中线. ③BD=DC=12BC ④点D 是BC 边的中点. ①AD 是 △ABC 的 角 平 分线. ②AD 平分∠BAC,交BC 于点D. ③∠1=∠2=12∠BAC. ①AD 是△ABC 的高. ②AD 是△ABC 中BC 边上 的高. ③AD⊥BC 于点D. ④∠ADC=90°,∠ADB = 90°. (或 ∠ADC = ∠ADB =90°) 推理 语言 因为AD 是△ABC 的中线, 所以BD=DC=12BC. 因为AD 平分∠BAC,所以 ∠1=∠2=12∠BAC. 因为AD 是△ABC 的高,所 以 AD⊥BC.(或∠ADB= ∠ADC=90°) 用途 举例 ①线段相等. ②面积相等. 角度相等. ①线段垂直. ②角度相等. 注意 事项 — 与角的平分线不同. ①与边的垂线不同. ②不一定在三角形内. 重要 特征 一个三角形有三条中线,它 们交于三角形内一点. 一个三角形有三条角平分 线,它们交于三角形内一点. 三角形的三条高(或它们的延 长线)交于一点. 例1 把一根长12厘米的铁丝按下面所标长度剪开,剪成的三段首尾顺次相接可以围成三角形 的是 ( ) A. B. C. D. 解析:A. 2+4=6,两边之和没有大于第三边,所以不能围成三角形;B. 3+3=6,两边之和没有 大于第三边,所以不能围成三角形;C. 2+3<7,两边之和没有大于第三边,所以不能围成三角 形;D. 2+5>5,5+5>2,任意两边之和大于第三边,所以能围成三角形.故选:D. 例2 如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AD,AE,BF 分别是△ABC 的高线、中线和角平分线. 下列结论错误的是 ( ) A. ∠ABF=∠CBF B. ∠ABC=∠CAD C. S△ABE=S△ACE D. AF=CF 解析:∵BF 是△ABC 的角平分线,∴∠ABF=∠CBF,故选项A结论正确,不符合题意;∵AD 46 是△ABC 的高线,∴AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∵∠ABC+∠BAD+∠ADB=180°,∴∠ABC +∠BAD=90°,∵∠BAC=90°,∴∠BAD+∠CAD=90°,∴∠ABC=∠CAD,故选项B结论 正确,不符合题意;∵AE 是△ABC 的中线,∴BE=CE,∴12BE ·AD=12CE ·AD,即S△ABE =S△ACE,故选项C结论正确,不符合题意;∵BF 是△ABC 的角平分线,无法判定BF 是△ABC 的中线,∴选项D结论错误,符合题意.故选:D. 例3 如果一个三角形的两边长为3和6,那么第三边的长有可能是 ( ) A. 7 B. 2 C. 9 D. 不确定 解析:设第三边的长为x,根据三角形的三边关系可得:6-3<x<6+3,即3<x<9,∴第三边的 长有可能是7,综上所述选项A正确,符合题意.故选:A. 1. 下列长度的三条线段,能组成三角形的是 ( ) A. 1,3,4 B. 2,2,7 C. 4,5,7 D. 4,4,8 2. 在下列长度的四条线段中,能与长6 cm,8 cm的两条线段围成一个三角形的是 ( ) A. 1 cm B. 2 cm C. 13 cm D. 14 cm 3. 如图, CM 是△ABC 的中线,AB=10 cm,则BM 的长为 ( ) A. 7 cm B. 6 cm C. 5 cm D. 4 cm 4. 数学课上,同学们在作△ABC 中AC 边上的高时,共画出下列四种图形,其中正确的是( ) A. B. C. D. 5. 如图,△ABC 中,AB=10,AC=8,AD 是BC 边上的中线,若△ACD 的周长为20,则△ABD 的周长是 ( ) A. 16 B.18 C. 20 D. 22 (第5题) (第6题) 6. 如图,∠1=∠2,∠3=∠4,下列结论中错误的是 ( ) A. BD 是△ABC 的角平分线 B. CE 是△BCD 的角平分线 C. ∠3=12∠ACB D. CE 是△ABC 的角平分线 56 7. 有长度分别是4 cm,5 cm,8 cm和9 cm的小棒各一根,任选其中三根首尾相接围成三角形, 可以围成不同形状的三角形的个数为 ( ) A. 0 B.1 C. 2 D. 3 8. 某中学七年级(1) 班学生杨帅和王颖从家到学校的直线距离分别是4 km和2 km,则杨帅、王 颖两家的直线距离不可能是 ( ) A. 1 km B. 3 km C. 4 km D. 6 km 9. 若一个三角形的三边长均为整数,且有两边长分别为3和5,则第三边的长可以为 (写出一个即可). 10. 若三角形的三边长分别为1,3-2a,5,则a的取值范围是 . 11. 如图,在△ABC 中,E 是中线AD 的中点.若△AEC 的面积是1,则 △ABD 的面积是 . 12. 关于x 的不等式组 x-a<0 3x-2≥7 至少有3个整数解,且长度分别为2,a,7 的线段可以组成三角形,则满足条件的a的整数值有 个. 13. 已知a 是整数,三角形三边的长分别是4 cm,9 cm 和a cm,且关于x,y 的方程组 2x+ay=18 2x-y=0 的解为正整数,则a的值为 . 14. 一个三角形的一边长为9 cm,另一边长为2 cm,若第三边长为x cm. (1) 求x的取值范围. (2) 当第三边长为奇数时,求三角形的周长. 15. 已知a,b,c是△ABC 的三边长. (1) 化简|a-b+c|+|a-b-c|. (2) 若a和b满足方程组 a+2b=12 2a-b=-1 ,且c为偶数,求△ABC 的周长. 66 据题意,可得 6x+5y=1140, 3x+7y=1110, 解得 x=90, y=120. 答: A,B 两种商品的标价分别为90元,120元. (3)设商店是打a 折出售的,则a10 (90×9+8× 120)=1062,解得,a=6,答:商店是打6折出售 商品A,B 的. 9. 男孩4人,女孩3人 10. (1)甲:x表示产品的质量,y表示原料的持质量 乙:x表示产品销售额,y 表示原料费 甲方 程组右边方框内的数分别为15000,97200,乙同 甲. (2)将x=300代入原方程组解得:y= 400,∴ 产品销售额为300×8000=2400000 (元),原料费为400×1000=400000(元).∵ 运 输费为15000+97200=112200(元),∴ 这批产 品的销售款比原料费和运输费的和多2400000 -(400000+112200)=1887800(元). 专项训练(六) 新题型 1. 3,4,9,10 5,6,7,8 2. 64 3. 2 4. -9 5. 2 6. {-3,-2,0,1,3,5,7} 7. B 8. A 9. C 10. D 11. 14 12. 最少9个,最多12个 13.解: ∵a1= 1 2 ,an= 1 1-an-1 ,∴a2= 1 1-12 =2, a3= 1 1-2=-1 ,a4= 1 1-(-1)= 1 2 ,∴每隔3 个数an 的数值开始循环,∵100=3×33+1,∴ a100= 1 2. 14. 13 (3n+1) 15. (1)52 (2)62 (3)502 16. 添括号时,如果括号前面是负号,那么括到括号 里的各项都要改变符号. 17. 解:(1)由题意可得,B 点向右平移5个单位到达 B1点,故AB1=6+5=11;B1 点再向右平移5 个单位到达B2点,所以AB2=11+5=16. (2)由(1)知AB1=6+5,AB2=6+2×5,依此 类推,AB3=6+3×5,……ABn=6+5n,∴ABn =6+5n=56,n=10. 第三部分 探究先飞 第1章 三角形 1.1 三角形中的线段和角 1. C 2. C 3. C 4. A 5. D 6. D 7. D 8. A 9. 3(或4或5或6或7,答案不唯一) 10. -32<a <-12 11. 2 12. 3 13. 8 14. (1)∵三角形的一边长为9 cm,另一边长为 2 cm,∴9-2<x<9+2,即7<x<11. (2)由(1)知7<x<11,∵第三边的长为奇数,∴ 第三边的长为9 cm,∴三角形的周长为9+2+9 =20( cm). 15. (1)∵a,b,c是△ABC 的三边长,∴a+c>b, b+c>a,∴a-b+c>0,a-b-c<0,∴|a-b +c|+|a-b-c|=(a-b+c)-(a-b-c)= a-b+c-a+b+c=2c. (2)解方程组 a+2b=12 2a-b=-1 ,得 a=2b=5 ,根据三角 形的三边关系得5-2<c<2+5,即3<c<7,∵ c为偶数,∴c的值为4或6,∴△ABC 的周长 为2+5+4=11或2+5+6=13. 1.2 全等三角形 1. A 2. D 3. B 4. C 5. A 6. C 7. 92 8. 5 9. 4 10. ∵∠A=25°,∠B=65°,∴∠BCA=180°-∠A -∠B=180°-25°-65°=90°,∵△ABC≌ △DEF,∴∠BCA=∠DFE,BC=EF,∴EC= BF=3 cm. ∴∠DFE=90°,EC=3 cm. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 21