【第五章 一元一次方程 02讲 解一元一次方程】暑假小升初衔接训练2025-2026学年七年级上册数学人教版

第五章 一元一次方程 02讲 解一元一次方程 目录 【知识点1. 解一元一次方程】…………………………………………………… 1 【题型1. 解一元一次方程】……………………………………………………… 2 【题型2. 一元一次方程的解求参问题】………………………………………… 3 【题型3. 一元一次方程相同解问题】…………………………………………… 4 【题型4. 一元一次方程整数解问题】…………………………………………… 4 【题型5. 一元一次方程解的其他关系问题】…………………………………… 5 【题型6. 一元一次方程新定义问题】…………………………………………… 6 【题型7. 绝对值与一元一次方程】……………………………………………… 6 知识清单 1、解一元一次方程 1）移项：方程中的某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项． 移项的依据：移项实际上就是对方程两边进行同时加减，根据是等式的性质1； 系数化为1的依据：系数化为1实际上就是对方程两边同时乘除，根据是等式的性质2． 注意：移项时要跨越“=”号，移过的项一定要变号． 2）解一元一次方程的一般步骤： 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1； 这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a形式转化． 解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号． 解：去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 巩固基础 1．解一元一次方程 解：移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 解：移项得， 系数化为1解得． 解：移项得，， 合并同类项得，． 解：去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得. 解：去括号，得， 移项、合并同类项， 将系数化为1，得． 解：去括号得：， 移项并合并同类项得：， 系数化为1得： 解：去括号得到，， 移项得，， 合并同类项得到，， 系数化为1得， 解：去括号得， 合并同类项得， 系数化为1解得 解：去括号，得 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得 解：去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1，得． 解：去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得： 解：去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 方程两边都除以3，得： 解：移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得 解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得 解：括号得：，             移项得：，            合并同类项得  ，      系数化为1得： 解：移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得 解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得： 解：去分母得：， 去括号得：， 整理得：， 解得： 解：去分母：，    移项：， 合并同类项：，    解得： 解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． 解：去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得： 解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得： 解；分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 解：去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得 直击考点 题型1：解一元一次方程 1. 解下列方程 解：移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得： 解：移项：， 合并同类项：， 解得： 解：去括号得：， 移项合并得： 解：去分母得：， 去括号得：， 移项并合并同类项得：， 系数化为1得： 解：去分母得： 去括号得： 移项，得： 合并同类项，得： 系数化为1得： 解：去括号得： 移项，得： 合并同类项，得： 系数化为1得： 解：去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得 解：去分母，得 去括号，得 移项及合并，得 系数化为1，得 解：去分母得到， 去括号得到，， 移项得，， 合并同类项得到，， 系数化为1得， 解：去分母，得． 去括号，得． 移项，得 合并同类项，得． 系数化为1，得 解：去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得， 解：去分母得， 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为1解得 解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得 解：去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为1解得 题型2：一元一次方程的解求参问题 例1．已知关于x的方程，则下列说法不正确的是（   ） A．时方程无解 B．无论b的值为多少，方程的解不可能是 C．时，方程解为 D．时 【分析】本题考查一元一次参数方程解的情况，正确理解一元一次参数方程解的情况是解题的关键． 根据题意逐项求解判断即可． 【详解】A．当时，，不符合题意，故方程无解，选项正确； B．当时，，不符合题意，故无论b的值为多少，方程的解不可能是，选项正确； C．当时， 去括号得， 移项得， 系数化为1得，，故选项正确； D．当时，，不符合题意，故方程无解，选项错误． 故选：D． 例2．已知方程的解满足关于x的方程，则m的值是 ． 【分析】根据，得，把代入解答即可． 本题考查了解一元一次方程，解题的关键是将一元一次方程的解代入方程，得到关于参数的方程，进而通过解方程求出参数的值． 【详解】解：由，得， 把代入， 得， 解得：． 故答案为：． 变式1．若关于的一元一次方程的解为，则代数式的值为（   ） A． B． C． D．2 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，代数式求值，将代入一元一次方程，再求出代数式的值即可． 【详解】解：因为一元一次方程的解是， 所以， 整理，得， 即， 所以． 故选：C． 变式2．小马同学在解关于x的方程时，在去分母过程中等号右边漏乘“6”，解得，则k的值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 【分析】本题考查一元一次方程错解复原问题，将错就错，去分母后，将代入，求解即可． 【详解】解：按照小马同学去分母的过程得：， 把代入，得：， 解得：； 故选B． 变式3．若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 【分析】本题主要考查解一元一次方程，理解方程的解的定义是解题关键．将变形为，即可求得答案． 【详解】解：， ， ， 根据题意可得， 解得． 故答案为：． 题型3：一元一次方程相同解问题 例1．如果方程和方程的解相同，那么的值为（   ） A．1 B．2 C．0 D． 【分析】本题考查解一元一次方程，涉及同解方程，根据题意，先解出方程得到，再由同解方程定义：解相同的两个方程，将代入方程求参数即可得到答案，熟练掌握一元一次方程的解法是解决问题的关键． 【详解】解：解方程得， 方程和方程的解相同， 也是方程的解，则， 解得， 故选：B． 例2．如果关于的方程的解与方程的解相同，求字母的值． 【分析】本题考查的知识点是解一元一次方程、已知一元一次方程的解，求参数，解题关键是熟练掌握一元一次方程的解法． 先按步骤解方程，得到该一元一次方程的解后代入方程，即可求得字母的值． 【详解】解：解方程， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 把代入方程， 得：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 故字母的值为． 变式1．已知与关于x的方程的解相同，则的值为（     ） A．18 B．20 C．26 D． 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，求出第一个方程的解是，根据解相同得出第二个方程的解是，把代入第二个方程求得k的值，最后代入求解即可；得到关于k的一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：解方程可得， ∵方程的解与方程的解相同， ∴方程的解为， 把代入可得：， 解得：， ∴． 故选：C． 变式2．若关于的方程和方程同解，则为（   ）． A．1 B． C．2 D． 【分析】本题考查了方程的解与解方程，先解方程可得：，然后根据题意可得：把代入方程中得：，从而进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， 方程和方程同解， 把代入方程中得：， ， ， ， ， 故选：B． 变式3．若方程的解与关于x的方程的解相同，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查方程的解及解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程方法是解题的关键． 先解方程，然后代入求关于方程中即可． 【详解】解：解方程， 解得：， 把代入方程得：， 解得：； 故选：B 变式4．已知关于x的方程与方程的解相同； (1)求m的值； (2)求代数式的值． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意，灵活求含参数的一元一次方程的解是解题的关键． （1）求出两个方程的解，根据解相同可得关于m的一元一次方程，即可求出m值； （2）将m的值代入求解即可． 【详解】（1）解：解第一个方程，得， 解第二个方程，得， ∵两个方程的解相同， ∴， 解得：； （2）解：当时， ． 题型4：一元一次方程整数解问题 例1．关于的一元一次方程的解为正整数，其中为整数，则的值有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【分析】本题考查了一元一次方程的解以及一元一次方程的解法，解题关键是先解方程得到，再根据方程的解和都为正整数，确定参数的值． 【详解】解：解一元一次方程， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 方程的解为正整数， 为正整数， 的值为、、、、， 的值有个． 故选：B ． 例2．已知关于的方程的解是正整数，求符合条件的所有整数的和． 【分析】本题考查了一元一次方程的解．先根据等式的性质求出方程的解，根据方程的解为非整数得出m的值，进而得出答案． 【详解】解：      因为方程的解是正整数   则的值为1，2，5，10 所以的值为 所以， 所以符合条件的所有整数的和为． 变式1．已知关于的方程有负整数解，则所有满足条件的整数的值之和为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查一元一次方程的特殊解问题，先解方程，再根据负整数解求解即可得到答案； 【详解】解：解方程得， ， ∵方程有负整数解， ∴等于或或或， 解得：或或或， ∵a是整数， ∴满足条件的整数a的值之和为：， 故选：A． 变式2．若关于的一元一次方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的值（   ） A．1 B．1或 C．0或 D．0或1或 【分析】本题考查根据方程的解，求参数的值，先求出方程的解，再根据方程有非负整数解，列出方程求出的值即可． 【详解】∵， ∴， ∴， 当时，方程无解， 当时，， ∵方程有非负整数解， ∴， ∴； 故选D． 变式3．已知关于x的方程的解是非正整数，则符合条件的所有整数a的和是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了一元一次方程的求解以及整数解的讨论，解题的关键是先求出方程的解，再根据解是非正整数确定的取值． 先对原方程去分母，去括号，移项，合并同类项，将方程化为用表示的形式，再根据是非正整数求出的取值，最后计算这些值的和． 【详解】 去分母，方程两边同时乘以6得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 解得， 因为方程的解是非正整数，即且为整数，而，所以，且是5的负因数， 5的负因数为和， 当时，解得， 当时，解得， 则符合条件的所有整数的和为， 故选：C． 变式4．已知关于的方程，其中． (1)当时，求该方程的解； (2)写出的一个正整数值，使得该方程的解也为正整数，并求此时方程的解． 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）将代入原方程得，求解即可； （2）先求得原方程的解为：，再利用要使为正整数，且该方程的解也为正整数，得出或，求得，再取值求解即可． 【详解】（1）解：当时， 原方程为：， 解得：， 所以该方程的解为； （2）解：方程， 解得：， 要使为正整数，且该方程的解也为正整数， 则或， 则或， 当时，方程的解为，符合题意； 当时，方程的解为，符合题意； 综上所述，当时，方程的解为（或当时，方程的解为）． 题型5：一元一次方程解的其他关系问题 例1．一位同学在解方程时，把“”处的数字看错了，解得，这位同学把“”处的数字看成了（   ） A．5 B． C．-10 D．10 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程．熟练掌握解一元一次方程是解题的关键．设括号处未知数为y，则，将代入得，，计算求解即可． 【详解】解：设括号处未知数为y，则， 将代入得，， 解得，．故选：D． 例2．小明在做家庭作业时发现练习册上的一道解方程的题目中的一个数被墨水污染了：，“”表示被污染的数，正确答案是，那么被污染的数是（   ） A． B． C． D． 【分析】此题考查了解一元一次方程，方程的解，设，将代入方程即可求解，正确理解方程的解及解一元一次方程的解法是解题的关键． 【详解】解：设， ∴， 把代入方程得：， 整理得：， ∴， ， 解得：， ∴被污染的数是， 故选：． 例3．如果关于x的方程的解与关于x的方程的解互为倒数，求a的值． 【分析】本题考查了一元一次方程的解，根据倒数的性质得到新的方程是解题的关键． 分别求出每个方程的解，然后根据倒数的性质得到关于a的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：解方程，得， 解方程，得， 因为两个方程的解互为倒数，所以， 解得． 变式1．小强在解方程“”时，将“”中的“”抄漏了，得出，则原方程正确的解是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解的应用，能求出k的值是解此题的关键．把代入方程求出k的值，确定出正确的方程，求出解即可． 【详解】解：根据题意，是方程的解， ∴， 解得：， 则原方程为：， 解得：， 故选：A 变式2．如果关于x的方程有唯一解，那么实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【分析】此题考查了一元一次方程的解，根据方程有解确定出a的范围即可． 【详解】解：∵关于的方程有解， ∴， ∴； 故选：D． 变式3．已知关于的方程与方程的解互为相反数，求的值 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，先求出两个方程的解，然后根据两个方程的解互为相反数得到，进而求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 解得：， 根据题意得， 解得：． 变式4．已知关于的两个一元一次方程①，②，若方程②的解比方程①的解大．求的值． 【分析】本题考查一元一次方程的解，解一元一次方程，先求出两个方程的解，再根据“方程②的解比方程①的解大”得到关于的方程，求解即可．熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题关键． 【详解】解：解方程①得：， 解方程②得：， ∵方程②的解比方程①的解大， ∴， 解得：， ∴的值为． 变式5．已知：关于x的方程∶ （其中a、b、k为常数）． (1)如果该方程无解，则k的值一定为多少？ (2)如果该方程有解，且不论k为何值时，它的解总是1，试求a，b的值． 【分析】本题考查解一元一次方程与一元一次方程的解，正确理解方程无解与有解是解题的关键． （1）将方程整理后由方程无解可求出k的值． （2）根据方程的解的定义，把代入方程，由k可以取得任意值可得到关于a和b式子，求得a和b的值． 【详解】（1）解：整理方程，得 ， ∵该方程无解， ∴， 解得：； （2）解：把代入方程，得， 化简，得， ∵k可以取任意值， ∴， 解得． 题型6：一元一次方程新定义问题 例1．我们规定：若关于的一元一次方程的解为，则该方程为“和解方程”． 例如：的解为，且，则方程是“和解方程”． (1)判断方程是否是“和解方程”，并说明理由． (2)若关于的一元一次方程是“和解方程”，求的值． 【分析】本题考查了一元一次方程的解的应用，能理解和解方程的意义是解此题的关键． （1）求出方程的解，再根据和解方程的意义得出即可； （2）由，得，解得，先解根据和解方程得出关于的方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：是，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴是和解方程； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵关于的一元一次方程是和解方程， ∴， 解得：． 变式1．我们规定：如果两个一元一次方程的解的积为，我们就称这两个方程为“互反方程”．例如：方程与方程为“互反方程”． (1)判断方程与是否为“互反方程”？并说明理由； (2)若关于的两个方程与为“互反方程”，求的值； (3)已知为整数，若关于的方程的解是整数，且其与方程互为“互反方程”，试求所有可能的的和． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程， 对于（1），先求出两个方程的解，再根据“互反方程”定义解答即可； 对于（2），先分别求出两个方程的解，再根据“互反方程”定义得出两个根的乘积等于1列出方程，然后求出解即可； 对于（3），先求出第一个方程的解，再根据整数解讨论m的值，然后根据结果得出另一个方程的解，进而根据“互反方程”定义判断即可． 【详解】（1）解：方程的解为， 方程的解为， ， 方程与为“互反方程”； （2）解：方程的解为， 方程的解为， 这两方程为“互反方程”， ，解得； （3）解：方程的解为， 为整数，且也为整数， ，，，1， 当时，原方程的解为，方程的解为，不满足题意； 当时，原方程的解为，方程的解为，满足题意； 当时，原方程的解为，方程的解为，不满足题意； 当时，原方程的解为，方程的解为，满足题意， 综上可得，或1，故所有可能的的和为． 变式2．我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“有趣方程”．例如，的解为，而，则该方程就是“有趣方程”．请根据上述规定解答下列问题： (1)若关于的一元一次方程是“有趣方程”，则______． (2)若关于的一元一次方程是“有趣方程”，且它的解为，求、的值． 【分析】（）先解方程，再根据“有趣方程”的定义解答即可求解； （）先解方程，再根据“有趣方程”的定义及方程的解为列式解答即可求解； 本题考查了解一元一次方程，方程的解，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：解方程，得， ∵方程是“有趣方程”， ∴， 解得， 故答案为：； （2）解：解方程，得， ∵方程是“有趣方程”， ∴，， 解得，． 变式3．如果两个一元一次方程有唯一解，并且解的积为，我们称这两个一元一次方程互为“倒数解方程”，例如和互为“倒数解方程”． (1)若关于的方程与方程互为“倒数解方程”，则 ______． (2)若关于的一元一次方程与其互为“倒数解方程”的解均为整数，求整数的值． (3)已知关于的一元一次方程的解与方程互为“倒数解方程”，求关于的一元一次方程的解 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解， 理解一元一次方程的解，熟练掌握解一元一次方程的方法是解决问题的关键． （1）解方程得到和根据“倒数解方程”的定义求出的值； （2）解方程求出，则与方程 互为“倒数解方程”的解为 ，再根据与均为整数得或，由此可得出整数的值； （3）解方程，则方程的解为代入得 ，求出，再将 代入方程得，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：解方程， 得： ， 解方程， 得： ， 根据“倒数解方程”的定义得：， 解得： ， 故答案为：； （2）解：解方程， 得：， 的倒数为， ∴与方程互为“倒数解方程”的解为：， 与均为整数， ∴或， 由， 解得： ， 由， 解得： ， 综上所述：整数的值为或； （3）解：解方程， 得： ， 根据“倒数解方程”的定义得：方程的解为：， 将代入，得：， ∴， ∵， ， ∴， 解得：， ∴， 将代入方程，得： ∴， ∴， 整理得：：， ， ． 题型7：绝对值与一元一次方程 例1．若，则“”表示的数可能是（  ） A．0 B．1 C．2 D．4 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的加减运算；根据题意可得的绝对值为，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴“”表示的数可能是或 故选：B． 例2．解绝对值方程：． 【分析】本题主要考查了绝对值方程，根据绝对值的意义分三种情况进行讨论：当时，当时，当时，先化简绝对值，然后分别求出结果即可． 【详解】解：当时，原方程化为，解得：（舍去）； 当时，原方程化为，解得：（舍去）； 当时，原方程化为，解得：（舍去）； ∴原方程无解． 变式1．已知，且，则的值为（   ） A．或或6 B．或6 C．或6 D．或或6 【分析】本题考查了求代数式的值，绝对值方程，绝对值的性质等；由绝对值及数的平方得或，，由绝对值的性质得，判断取值，代值计算，即可求解；能熟练利用绝对值的性质进行求解是解题的关键． 【详解】解：， ， 解得：或， ， ， ， ， ， 当或时，，， 当时，，， 或或， 故选：A． 变式2．已知与互为相反数． (1)求，的值． (2)已知，求的值． 【分析】本题主要考查了绝对值、相反数，任何数的绝对值都是非负数，互为相反数的两数之和为． 根据两数的绝对值互为相反数，可知这两数均为，从而求出、的值； 把，代入，可得，分情况求出值即可． 【详解】（1）解：与互为相反数， ，， 解得：，； （2）解：，，， ， ， 当时， 解得：， 当时， 解得：， 或． 变式3．阅读下列信息，方程的解法如下： （I）当时，，解得：． （II）当时，，解得：． 请你解决下列问题： (1)，则______； (2)求方程的解． 【分析】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，利用绝对值的性质化简方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏． （1）根据绝对值的性质化简方程，解方程可得答案； （2）根据绝对值的性质化简方程，解方程可得答案． 【详解】（1）∵ ∴（I）当时，，解得：； （II）当时，，解得：． 综上所述，或； （2）∵ ∴ ∴ ∴（I）当时，，解得：； （II）当时，，解得：． 综上所述，或． 变式4．已知方程是关于x的一元一次方程． (1)求代数式的值； (2)求关于y的方程的解． 【分析】本题考查了一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．也考查了一元一次方程的定义． （1）根据一元一次方程的定义得到且，解得，再解原方程得到，然后代入计算即可； （2）方程化为，根据绝对值的意义得到或，然后分别解两个一次方程即可． 【详解】（1）解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴且， ∴， 原一元一次方程化为：， 解得， ∴； （2）方程化为， ∴或， ∴或． 课后作业 一、单选题 1．（2025九年级下·海南·专题练习）若代数式的值为5，则等于（   ） A．2 B． C．1 D． 【分析】本题考查解一元一次方程，根据题意，列出方程，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，解得：； 故选C． 2．（24-25六年级下·山东威海·期中）小明不小心将方程中的一个常数污染成了“■”，若方程的正确解是，则被污染的常数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】本题主要考查的是一元一次方程的解的定义以及一元一次方程的解法，掌握方程的解的定义是解题的关键． 由于方程的正确解是，将代入，再解一元一次方程即可． 【详解】解：∵方程的正确解是， ∴将代入得：， 解得：， 故选：B． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列解不等式的过程中出现错误的一步是（    ） A．去分母，得 B．去括号，得 C．移项，合并同类项，得 D．两边都除以，得 【分析】该题考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的步骤求解即可． 【详解】解：， 去分母，得，故A正确，不符合题意； 去括号，得，故B正确，不符合题意； 移项，合并同类项，得，故C正确，不符合题意； 两边都除以，得，故D错误，符合题意； 故选：D． 4．（24-25七年级下·福建泉州·期中）在解方程的过程中，变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查解一元一次方程时去分母、去括号方法的正确运用．掌握一元一次方程的解法是关键．去分母的方法是方程两边同时乘各分母的最小公倍数6，在去分母的过程中注意分数线有括号的作用，以及去分母时不能漏乘没有分母的项． 【详解】解：A．，故原变形错误； B．，故原变形错误； C．，故原变形错误； D．，故原变形正确； 故选：D． 5．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）若方程的解与关于的方程的解相同，则的值为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了一元一次方程解，解一元一次方程等知识点，先求方程的解，再代入求得的值即可，熟练掌握一元一次方程解，解一元一次方程是解决此题的关键． 【详解】解：解方程，得， 把代入， 得， 解得：， 故选：C． 6．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）若代数式与的值互为相反数，则的值为（　　） A．4 B． C．-4 D．0 【分析】本题考查了相反数的性质，解一元一次方程．利用相反数的性质列出方程，求出方程的解即可得到x的值． 【详解】解：根据题意可得：， ∴， ∴， 解得：， 故选：A． 7．（24-25七年级上·陕西安康·阶段练习）下列关于的方程结论，其中错误的是（   ） A．若，则关于的方程的解为 B．若，且，则方程的解是 C．若有唯一解，则 D．若，且，则一定是方程的解 【分析】本题考查了一元一次方程的解．A根据，时，即可判断关于的方程的解为；B根据，且，即可判断方程的解是；C根据有唯一的解，则即可；D根据，且，即可判断一定是方程的解． 【详解】解：A、，时，关于的方程的解为， 所以本选项符合题意； B、当，且，方程的解是， 所以本选项不符合题意； C、当有唯一的解，则， 所以本选项不符合题意； D、当，且，一定是方程的解， 所以本选项不符合题意； 故选：A． 8．（24-25七年级上·江西鹰潭·阶段练习）四名同学用接力的方式解方程，约定：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后求出方程的解．过程如图所示： 接力中，自己负责的一步出现错误的是（   ） A．只有乙 B．甲和丁 C．乙和丁 D．乙和丙 【分析】本题考查解一元一次方程，根据解一元一次方程的步骤，进行判断即可．去分母时，要注意常数项不要漏乘最小公倍数，去括号和移项时，要注意变号． 【详解】解：， 去分母得：，故甲同学计算正确； 去括号得：，故乙同学计算错误； 因为每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算， 所以移项得，，丙同学计算正确； 系数化为1得：，丁同学计算错误． 故选：C． 9．（24-25七年级上·重庆·期中）按照下面的程序计算：当输入为32时，输出结果为155；当输入为11时，输出结果为245；若输入的的值为正整数，输出结果为95，那么满足条件的的值最多有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】本题考查了程序框图与代数式求值，解一元一次方程；分情况考虑，95是一次输出的结果；95是丙次运算输出的结果；95是三次运算输出的结果；分别利用一元一次方程求解即可． 【详解】解：若95是一次计算输出的结果，则， 解得：； 若95是经过两次计算输出的结果，由上知，第一次输出的结果为20，第二次输出的结果为95，故， 解得：； 若95是经过三次计算输出的结果，由上知，第二次输出的结果为20，第三次输出的结果为95，故， 解得：； 由于输入的的值为正整数，故满足条件的x的值最多有3个； 故选：C． 10．（24-25七年级下·重庆万州·阶段练习）若关于的方程的解是整数，则整数的取值个数是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查的是方程的解，熟练掌握解方程是解决此题的关键； 先计算方程的解，然后选取和题意符合的解，即可求解； 【详解】解： 关于的方程的解是整数； 则整数，，共个； 故选：C 11．（24-25七年级上·山西长治·阶段练习）现定义运算“*”，对于任意有理数与，满足，例如，，若有理数满足，则的值为（　　） A．4 B．5 C．21 D．5或21 【分析】本题主要考查了新定义运算，理解新定义的运算是解答本题的关键； 根据题意分为两种情况，①当时，，②当时，，再解一元一次方程，符合题意的值即为所求． 【详解】解：若有理数满足， ①当时，， 解得：，符合； ②当时，， 解得：，不符合； 故选：B； 12．（24-25七年级上·山东潍坊·期末）对于任意有理数，把称为的“邻数”，并规定：当时，；当时，．如：，．则下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，且，则 【分析】本题考查了新定义下的有理数的运算，绝对值的性质，解一元一次方程，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据“邻数”的定义逐项判断即可求解． 【详解】解：A、当，时，，故A选项错误； B、， ，故B选项正确； C、当时，，， ， ； 当时，，， ， ， 综上，当，或，故C选项正确； D、， 、同号， 当、都为正数时，， ； 当、都为负数时，， ， 综上，当，且，或，故D选项错误； 故选：C． 13．（24-25七年级上·甘肃张掖·阶段练习）将四个数排成两行、两列，两边各加一条竖直线记成，若定义，例如，则中x的值为（   ） A．10 B．5 C．6 D．8 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据题意列出方程是解题的关键． 由题意得出关于的方程，再求出解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：． 故选：B． 二、填空题 14．（24-25六年级上·上海·阶段练习）已知关于的方程有无数多个解，那么 ， ． 【分析】本题主要考查了含有一个未知数的方程有无数个解的条件，正确理解条件是解题的关键． 首先把方程进行化简，方程有无数个解即方程的一次项系数等于0，据此即可求得，的值． 【详解】解：化简得：， 即：， 根据题意得：，且 解得：， 故答案为：，． 15．（24-25七年级上·陕西渭南·期中）关于的方程的解比关于的方程（）的解大，则的值为 ． 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义．定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．通过解关于的方程、，分别求得它们的解，然后依题意列出关于的方程，求出的值即可． 【详解】解方程的解是：； 方程的解是：， 依题意，得， 解得，． 故答案为：． 16．（24-25七年级上·贵州铜仁·期末）若互为相反数，互为倒数，的绝对值等于2，则关于的方程的解为 ． 【分析】本题考查解一元一次方程，根据相反数的定义，倒数的定义，绝对值的意义，得到，整体代入方程中，解方程即可． 【详解】解：由题意，得：， ∵，即：， 解得：； 故答案为： 17．（24-25六年级上·上海·期末）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为美好方程．若关于x的方程与是“美好方程”，则关于y的方程的解是 ． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法，准确计算． 先求出两个方程的解，然后根据“美好方程”的定义将关于y的方程变形，即可求解． 【详解】解：， 解得：， ， 解得：， 方程与是“美好方程”， ， ， 可化为：， ， ，故答案为：． 18．（24-25七年级上·福建福州·期末）已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为 ． 【分析】本题考查了一元一次方程的解，发现两个方程之间的关键是解题的关键． 根据已知条件得出，再根据关于x的一元一次方程的解为，得出，求出的值即可． 【详解】解： ， ． 故答案为：． 19．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）某同学解关于x的方程，，在去分母时，漏乘方程右边的常数项，求得错误的解为， 则 ，该方程正确的解为 ． 【分析】此题考查解一元一次方程，正确掌握解法是解题的关键，先根据题意去分母，将代入求出a的值，再将a代回原方程求出方程的解． 【详解】解：∵方程，在去分母时，漏乘方程右边的常数项， ∴去分母得， 将代入，得， 解得， ∴原方程为， 解得 故答案为，． 20．（2024七年级上·全国·专题练习）关于的一元一次方程的解为整数，则整数的所有可能的取值之和为 ． 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的整数解．先求出原方程的解为，根据原方程有整数解可得或，求出m的值，再求和即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 解得， ∵关于x的方程的解为整数， ∴或，， 解得m的值为4或2或5或1， ∴整数m的所有可能的取值之和为：， 故答案为：12． 三、解答题 21. 解下列方程 解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化1得： 解：去分母，得， 去括号，得 ， 移项，合并同类项，得 解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：． 解：方程两边乘以6得：， 去括号得：， 移项得： 合并同类项得： 解：去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 方程两边都除以，得 解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 解：去分母得：去括号得：， 移项得：，    合并同类项得：，             系数化为1得： 解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得 解：移项合并得，， 解得 解：去分母得，， 去括号得，， 移项合并得，， 解得 解：去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得， 解：去括号得， 移项得， 合并同类项得， 解得： 解：去分母得， 去括号得， 移项得， 解得： 解：去括号得：， 整理得：， 解得： 解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得 解：去分母得：， 移项合并得：， 解得： 解：移项合并同类项得：， 未知数系数化为1得： 解：去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得： 解：去分母得： ， 解得： 解：移项： ， 合并同类项： ， 系数化为1： 解：方程可化为：， 去括号： ， 移项： ， 合并同类项： ， 系数化为1： 解：去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得 解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得 解：去分母得， 去括号得， 移项得， 系数化为1得， 解：去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； 解：去分母，得 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得， 解：方程整理得：， 去分母，得 去括号得， ， 移项得， ， 合并同类项得， 系数化为1得， 即方程的解为 22．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）下面是小圣同学的解题过程． 解方程：． 解：去分母，得，    第①步 去括号，得，    第②步 移项，得，    第③步 合并同类项，得，    第④步 系数化为1，得．    第⑤步 (1)小圣的解题过程从第__________步开始出现错误． (2)请你帮小圣同学写出正确的解题过程． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）去方程左边第二个式子的分母时5前面的符号没有变号，据此可得答案； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解：观察解题过程可知，小圣的解题过程从第①步开始出错的，原因是去方程左边第二个式子的分母时5前面的符号没有变号； （2）解：解方程：． 解：去分母，得，     去括号，得，     移项，得，     合并同类项，得，     系数化为1，得． 23．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）七（1）班数学老师在批改小颖的作业时，发现小颖在解方程时，把“”抄成了“”，解得，而且“”处的数字也模糊不清了． (1)请你帮小颖求出“”处的数字． (2)请你求出原方程正确的解． 【分析】本题考查了解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）因为小颖在解方程时，把“”抄成了“”，解得，故把代入，再根据解一元一次方程的过程进行化简计算，即可作答． （2）把代入，然后根据解一元一次方程的过程进行化简计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，把代入， 得， 整理得， 去分母得， 移项， 合并同类项得， 系数化1，得； （2）解：由（1）得，则， 去分母得， 去括号得， 移项得得， 合并同类项得， 系数化1，得． 24．（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）阅读下面材料，然后根据材料中的结论解答三个问题． 材料1：一般地，n个相同因数a相乘，记为，如，此时，3叫做以2为底的8的对数，记为，即；再如：，则． 材料2：一般地，对于数a和b，（“”不等号），但是对于某些特殊的数a和b，．我们把这些特殊的数a和b，称为“理想数对”，记作．例如当，时，有，那么就是“理想数对”． (1)计算：______； (2)填空：如果是“理想数对”，那么______； (3)若是“理想数对”，求式子的值． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，代数式求值，新定义运算，解题的关键是理解新定义，根据新定义列出方程． （1）根据题目中给出的信息进行计算即可； （2）根据“理想数对”的定义列出关于的方程，解方程即可； （3）先根据“理想数对”得出，整理得，然后代入求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， 故答案为： 2 ； （2）解：∵是“理想数对”， 解得：； 故答案为： ； （3）解：∵， ∵是＂理想数对＂， 整理得：， 把代入得： ． 25．（24-25七年级上·山东滨州·期末）解方程：． 解：①当时，解得；②当时，解得． 所以原方程的解是或． (1)解方程：； (2)解方程：； (3)探究：当b分别为何值时？方程， ①无解；    ②只有一个解；    ③有两个解． 【分析】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程：解含绝对值符号的一元一次方程要根据绝对值的性质和绝对值符号内代数式的值分情况讨论，即去掉绝对值符号得到一般形式的一元一次方程，再求解． （1）先移项得到，利用绝对值的意义得到或，然后分别解两个一次方程； （2）先利用绝对值的意义得到或，然后分别解两个一次方程； （3）利用绝对值的意义讨论：当或或时确定方程的解的个数即可． 【详解】（1）解：， ， 或， 解得或； （2）解：， 或， 解方程，得， 解方程，得， ∴原方程的解为或； （3）解：∵， ∴当时，方程无解； 当时，方程只有一个解； 当时，方程有两个解． 26．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）定义：若两个一元一次方程的解互为相反数，则称这两个方程互为和谐方程． (1)判断一元一次方程和是否互为和谐方程； (2)如果关于x的方程与互为和谐方程，求a的值． 【分析】（1）解已知条件中的两个方程，然后根据互为和谐方程的定义进行判断即可； （2）先解这两个方程，求出方程的解，然后根据互为和谐方程的定义，列出关于a的方程，解方程即可． 本题主要考查了一元一次方程的解，解题关键是熟练掌握一元一次方程解的定义和解一元一次方程的一般步骤． 【详解】（1）解：是，理由如下： ， ， ， ， ， ， ，， 与是互为相反数， 方程和是互为和谐方程； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 关于x的方程与互为和谐方程， ， ， ， 27．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）【阅读理解】使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解．如是方程的解．已知方程，若把看作一个整体，则；已知方程，若把看作一个整体，则． 【尝试运用】 （1）已知方程，则的值为 ； （2）已知方程，则的值为 ； 【拓展创新】 （3）已知关于x的一元一次方程的解为，求一元一次方程的解． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，将原方程进行正确的变形是解题的关键， （1）将方程两边同除以3即可求得答案； （2）将方程两边同除以3即可求得答案； （3）将程两边同除以2024可得，再根据题意可得，解得的值即可． 【详解】（1）解：方程 ， 故答案为：6； （2）解：方程， ， 故答案为：6； （3）解：已知关于的一元一次方程， 两边同除以2024变形得：， 关于的一元一次方程的解为， ，解得：， 关于的一元一次方程(的解为． 28．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）综合与实践 【问题背景】解方程： （1）； （2）． 小张同学通过观察这两个方程的结构，发现这两个方程的解存在关联．请你观察并解这两个方程． 【实践应用】小李同学发现当时，关于的方程①和关于的方程②的结构也有一定的关联．已知方程①的解是，求方程②的解． 【拓展延伸】若关于的方程的解是，求关于的方程的解． 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解决本题额关键是将两个方程的结构写成一致的，求出解． [问题背景]（1）（2）根据题意，两个方程的结构是一致的，解出两个未知数； [实践应用]关于的方程①和关于的方程②的结构也有一定的关联的结构，因为的解是，所以，解出y即可； [拓展延伸]将方程化简，可得，将化简得，两个方程的结构存在关联，两个方程的解存在关联，方程的解是，所以，得，求出y即可． 【详解】解：[问题背景] (1)， ， （2）令，则原方程变成， 由(1)可得出 ∴ [实践应用] ∵方程的解是， 关于的方程①和关于的方程②的结构也有一定的关联，且 ∴， 即， 解得∶； 所以方程②的解是∶ [拓展延伸] ∵， 即， ∴， 即方程的解是， 由 得： 即， ∵两个方程的结构存在关联，两个方程的解存在关联，且方程的解是， ∴， ∴． 29．（24-25七年级上·四川成都·期末）对于任意的有理数、、、，我们约定．例如：．根据我们的约定，解答下列问题： (1)计算：； (2)若，求的值； (3)试比较与的大小． 【分析】本题考查了定义新运算、一元一次方程、整式的加减，理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义计算即可； （2）根据新定义进行化简，得到，求解方程即可得出的值； （3）先根据新定义进行化简，得出，，再利用作差法比较大小即可． 【详解】（1）解：． （2）解：， ， ， 解得：， 的值为． （3）解：， ， ， ． 30．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）有一个程序指令，当任意数对放入其中，会得到一个新的数：．例如把放入其中，就会得到． (1)现将数对放入其中，得到的数为a，再将放入其中，则得到的新数是多少？ (2)当将放入其中，得到的式子中不含x项，求a的值． 【分析】本题考查了求代数式的值，熟练掌握计算方式是解题的关键． （1）根据定义，代入求出a，再把a的值代入解答即可； （2）根据定义求出，然后根据式子中不含x的项得出关于的方程，然后解方程即可． 【详解】（1）解：由题意，得， ∴新数为； （2）解：由题意，得 ， ∵式子中不含x项， ∴， ∴． 31．（24-25七年级上·河南信阳·阶段练习）在数学实践课上，某学习小组针对相关问题进行探究，拟定项目式学习表： 任务 解决解方程问题中的“看错抄错”问题 示例 解方程①时，去分母时方程左边的1没有乘10，从而求得方程的解为．求原方程的解．（此处不作答） 通关三步 （1）将错纠错 依据“去分母时方程左边的1没有乘10”，可将①仅去分母为：__________②； （2）数据回代 将代入式子②，求的值；（写过程） （3）方程消参 将的值代入①解方程．（写过程） 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为． （1）按照要求去分母即可； （2）将代入式子②，得，解方程即可求出的值； （3）将代入①，得，然后按照解一元一次方程的一般步骤解方程即可． 【详解】解：（1）依据“去分母时方程左边的1没有乘10”，可将①仅去分母为：， 故答案为：； （2）将代入式子②，得：， 整理，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：； （3）将代入①，得：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 一元一次方程 02讲 解一元一次方程 目录 【知识点1. 解一元一次方程】…………………………………………………… 1 【题型1. 解一元一次方程】……………………………………………………… 2 【题型2. 一元一次方程的解求参问题】………………………………………… 3 【题型3. 一元一次方程相同解问题】…………………………………………… 4 【题型4. 一元一次方程整数解问题】…………………………………………… 4 【题型5. 一元一次方程解的其他关系问题】…………………………………… 5 【题型6. 一元一次方程新定义问题】…………………………………………… 6 【题型7. 绝对值与一元一次方程】……………………………………………… 6 知识清单 1、解一元一次方程 1）移项：方程中的某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项． 移项的依据：移项实际上就是对方程两边进行同时加减，根据是等式的性质1； 系数化为1的依据：系数化为1实际上就是对方程两边同时乘除，根据是等式的性质2． 注意：移项时要跨越“=”号，移过的项一定要变号． 2）解一元一次方程的一般步骤： 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1； 这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a形式转化． 解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号． 解：去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 巩固基础 1．解一元一次方程 直击考点 题型1：解一元一次方程 1. 解下列方程 题型2：一元一次方程的解求参问题 例1．已知关于x的方程，则下列说法不正确的是（   ） A．时方程无解 B．无论b的值为多少，方程的解不可能是 C．时，方程解为 D．时 例2．已知方程的解满足关于x的方程，则m的值是 ． 变式1．若关于的一元一次方程的解为，则代数式的值为（   ） A． B． C． D．2 变式2．小马同学在解关于x的方程时，在去分母过程中等号右边漏乘“6”，解得，则k的值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 变式3．若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 题型3：一元一次方程相同解问题 例1．如果方程和方程的解相同，那么的值为（   ） A．1 B．2 C．0 D． 例2．如果关于的方程的解与方程的解相同，求字母的值． 变式1．已知与关于x的方程的解相同，则的值为（     ） A．18 B．20 C．26 D． 变式2．若关于的方程和方程同解，则为（   ）． A．1 B． C．2 D． 变式3．若方程的解与关于x的方程的解相同，则k的值为（   ） A． B． C． D． 变式4．已知关于x的方程与方程的解相同； (1)求m的值； (2)求代数式的值． 题型4：一元一次方程整数解问题 例1．关于的一元一次方程的解为正整数，其中为整数，则的值有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 例2．已知关于的方程的解是正整数，求符合条件的所有整数的和． 变式1．已知关于的方程有负整数解，则所有满足条件的整数的值之和为（    ） A． B． C． D． 变式2．若关于的一元一次方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的值（   ） A．1 B．1或 C．0或 D．0或1或 变式3．已知关于x的方程的解是非正整数，则符合条件的所有整数a的和是（　　） A． B． C． D． 变式4．已知关于的方程，其中． (1)当时，求该方程的解； (2)写出的一个正整数值，使得该方程的解也为正整数，并求此时方程的解． 题型5：一元一次方程解的其他关系问题 例1．一位同学在解方程时，把“”处的数字看错了，解得，这位同学把“”处的数字看成了（   ） A．5 B． C．-10 D．10 例2．小明在做家庭作业时发现练习册上的一道解方程的题目中的一个数被墨水污染了：，“”表示被污染的数，正确答案是，那么被污染的数是（   ） A． B． C． D． 例3．如果关于x的方程的解与关于x的方程的解互为倒数，求a的值． 变式1．小强在解方程“”时，将“”中的“”抄漏了，得出，则原方程正确的解是（   ） A． B． C． D． 变式2．如果关于x的方程有唯一解，那么实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式3．已知关于的方程与方程的解互为相反数，求的值 变式4．已知关于的两个一元一次方程①，②，若方程②的解比方程①的解大．求的值． 变式5．已知：关于x的方程∶ （其中a、b、k为常数）． (1)如果该方程无解，则k的值一定为多少？ (2)如果该方程有解，且不论k为何值时，它的解总是1，试求a，b的值． 题型6：一元一次方程新定义问题 例1．我们规定：若关于的一元一次方程的解为，则该方程为“和解方程”． 例如：的解为，且，则方程是“和解方程”． (1)判断方程是否是“和解方程”，并说明理由． (2)若关于的一元一次方程是“和解方程”，求的值． 变式1．我们规定：如果两个一元一次方程的解的积为，我们就称这两个方程为“互反方程”．例如：方程与方程为“互反方程”． (1)判断方程与是否为“互反方程”？并说明理由； (2)若关于的两个方程与为“互反方程”，求的值； (3)已知为整数，若关于的方程的解是整数，且其与方程互为“互反方程”，试求所有可能的的和． 变式2．我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“有趣方程”．例如，的解为，而，则该方程就是“有趣方程”．请根据上述规定解答下列问题： (1)若关于的一元一次方程是“有趣方程”，则______． (2)若关于的一元一次方程是“有趣方程”，且它的解为，求、的值． 变式3．如果两个一元一次方程有唯一解，并且解的积为，我们称这两个一元一次方程互为“倒数解方程”，例如和互为“倒数解方程”． (1)若关于的方程与方程互为“倒数解方程”，则 ______． (2)若关于的一元一次方程与其互为“倒数解方程”的解均为整数，求整数的值． (3)已知关于的一元一次方程的解与方程互为“倒数解方程”，求关于的一元一次方程的解 题型7：绝对值与一元一次方程 例1．若，则“”表示的数可能是（  ） A．0 B．1 C．2 D．4 例2．解绝对值方程：． 变式1．已知，且，则的值为（   ） A．或或6 B．或6 C．或6 D．或或6 变式2．已知与互为相反数． (1)求，的值． (2)已知，求的值． 变式3．阅读下列信息，方程的解法如下： （I）当时，，解得：． （II）当时，，解得：． 请你解决下列问题： (1)，则______； (2)求方程的解． 变式4．已知方程是关于x的一元一次方程． (1)求代数式的值； (2)求关于y的方程的解． 课后作业 一、单选题 1．（2025九年级下·海南·专题练习）若代数式的值为5，则等于（   ） A．2 B． C．1 D． 2．（24-25六年级下·山东威海·期中）小明不小心将方程中的一个常数污染成了“■”，若方程的正确解是，则被污染的常数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列解不等式的过程中出现错误的一步是（    ） A．去分母，得 B．去括号，得 C．移项，合并同类项，得 D．两边都除以，得 4．（24-25七年级下·福建泉州·期中）在解方程的过程中，变形正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）若方程的解与关于的方程的解相同，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）若代数式与的值互为相反数，则的值为（　　） A．4 B． C．-4 D．0 7．（24-25七年级上·陕西安康·阶段练习）下列关于的方程结论，其中错误的是（   ） A．若，则关于的方程的解为 B．若，且，则方程的解是 C．若有唯一解，则 D．若，且，则一定是方程的解 8．（24-25七年级上·江西鹰潭·阶段练习）四名同学用接力的方式解方程，约定：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后求出方程的解．过程如图所示： 接力中，自己负责的一步出现错误的是（   ） A．只有乙 B．甲和丁 C．乙和丁 D．乙和丙 9．（24-25七年级上·重庆·期中）按照下面的程序计算：当输入为32时，输出结果为155；当输入为11时，输出结果为245；若输入的的值为正整数，输出结果为95，那么满足条件的的值最多有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（24-25七年级下·重庆万州·阶段练习）若关于的方程的解是整数，则整数的取值个数是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25七年级上·山西长治·阶段练习）现定义运算“*”，对于任意有理数与，满足，例如，，若有理数满足，则的值为（　　） A．4 B．5 C．21 D．5或21 12．（24-25七年级上·山东潍坊·期末）对于任意有理数，把称为的“邻数”，并规定：当时，；当时，．如：，．则下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，且，则 13．（24-25七年级上·甘肃张掖·阶段练习）将四个数排成两行、两列，两边各加一条竖直线记成，若定义，例如，则中x的值为（   ） A．10 B．5 C．6 D．8 二、填空题 14．（24-25六年级上·上海·阶段练习）已知关于的方程有无数多个解，那么 ， ． 15．（24-25七年级上·陕西渭南·期中）关于的方程的解比关于的方程（）的解大，则的值为 ． 16．（24-25七年级上·贵州铜仁·期末）若互为相反数，互为倒数，的绝对值等于2，则关于的方程的解为 ． 17．（24-25六年级上·上海·期末）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为美好方程．若关于x的方程与是“美好方程”，则关于y的方程的解是 ． 18．（24-25七年级上·福建福州·期末）已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为 ． 19．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）某同学解关于x的方程，，在去分母时，漏乘方程右边的常数项，求得错误的解为， 则 ，该方程正确的解为 ． 20．（2024七年级上·全国·专题练习）关于的一元一次方程的解为整数，则整数的所有可能的取值之和为 ． 三、解答题 21. 解下列方程 22．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）下面是小圣同学的解题过程． 解方程：． 解：去分母，得，    第①步 去括号，得，    第②步 移项，得，    第③步 合并同类项，得，    第④步 系数化为1，得．    第⑤步 (1)小圣的解题过程从第__________步开始出现错误． (2)请你帮小圣同学写出正确的解题过程． 23．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）七（1）班数学老师在批改小颖的作业时，发现小颖在解方程时，把“”抄成了“”，解得，而且“”处的数字也模糊不清了． (1)请你帮小颖求出“”处的数字． (2)请你求出原方程正确的解． 24．（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）阅读下面材料，然后根据材料中的结论解答三个问题． 材料1：一般地，n个相同因数a相乘，记为，如，此时，3叫做以2为底的8的对数，记为，即；再如：，则． 材料2：一般地，对于数a和b，（“”不等号），但是对于某些特殊的数a和b，．我们把这些特殊的数a和b，称为“理想数对”，记作．例如当，时，有，那么就是“理想数对”． (1)计算：______； (2)填空：如果是“理想数对”，那么______； (3)若是“理想数对”，求式子的值． 25．（24-25七年级上·山东滨州·期末）解方程：． 解：①当时，解得；②当时，解得． 所以原方程的解是或． (1)解方程：； (2)解方程：； (3)探究：当b分别为何值时？方程， ①无解；    ②只有一个解；    ③有两个解． 26．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）定义：若两个一元一次方程的解互为相反数，则称这两个方程互为和谐方程． (1)判断一元一次方程和是否互为和谐方程； (2)如果关于x的方程与互为和谐方程，求a的值． 27．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）【阅读理解】使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解．如是方程的解．已知方程，若把看作一个整体，则；已知方程，若把看作一个整体，则． 【尝试运用】 （1）已知方程，则的值为 ； （2）已知方程，则的值为 ； 【拓展创新】 （3）已知关于x的一元一次方程的解为，求一元一次方程的解． 28．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）综合与实践 【问题背景】解方程： （1）； （2）． 小张同学通过观察这两个方程的结构，发现这两个方程的解存在关联．请你观察并解这两个方程． 【实践应用】小李同学发现当时，关于的方程①和关于的方程②的结构也有一定的关联．已知方程①的解是，求方程②的解． 【拓展延伸】若关于的方程的解是，求关于的方程的解． 29．（24-25七年级上·四川成都·期末）对于任意的有理数、、、，我们约定．例如：．根据我们的约定，解答下列问题： (1)计算：； (2)若，求的值； (3)试比较与的大小． 30．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）有一个程序指令，当任意数对放入其中，会得到一个新的数：．例如把放入其中，就会得到． (1)现将数对放入其中，得到的数为a，再将放入其中，则得到的新数是多少？ (2)当将放入其中，得到的式子中不含x项，求a的值． 31．（24-25七年级上·河南信阳·阶段练习）在数学实践课上，某学习小组针对相关问题进行探究，拟定项目式学习表： 任务 解决解方程问题中的“看错抄错”问题 示例 解方程①时，去分母时方程左边的1没有乘10，从而求得方程的解为．求原方程的解．（此处不作答） 通关三步 （1）将错纠错 依据“去分母时方程左边的1没有乘10”，可将①仅去分母为：__________②； （2）数据回代 将代入式子②，求的值；（写过程） （3）方程消参 将的值代入①解方程．（写过程） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$