重庆市2024--2025学年人教版八年级数学下册材料阅读练习

材料阅读 1. （2023-2024酉阳八下期末）若一个三位正整数（各个数位上的数字均不为0），若满足，则称这个三位正整数为“合九数”．对于一个“合九数”m，将它的十位数字和个位数字交换以后得到新数n；记，则______，对于一个“合九数”m，若能被8整除，则满足条件的“合九数”m的最大值是______． 【答案】 ①. ②. 171 【解析】 【分析】按照的定义计算即可；设,则,由题可得，由能被8整除，即是8的整数倍，得到，即b最大时，“合九数”m最大，得到结果． 【详解】解：， 设，则， ∴， 又∵， ∴， 即 ， ∵能被8整除， ∴是的整数倍， 又的整数， ∴， 即：， ∵b最大时，“合九数”m最大， 所以当时，m最大为． 故答案为：，． 2. （2023-2024忠县八下期末）把由各数位数字都不为0两位数m和三位数n组成的数对称“有效数对”．将m中的任意一数位数字作为新两位数的十位数字，将n中的任意一数位数字作为新两位数的个位数字，按照这种方式生成的所有新两位数之和记为，例：，则______；设“有效数对”满足两位数，三位数（其中，，且x，y均为整数），交换m的十位数字和个位数字得到另一两位数s，交换n的百位数字和个位数字得到另一三位数t，如果能被7整除，那么所有符合条件的“有效数对”的之和为______． 【答案】 ①. 172 ②. 600 【解析】 【分析】本题考查了新定义，整式加减运算的应用，根据题干提供的信息，求出即可；先求出，，然后求出，根据，能被7整除，得出能被7整除，求出，，，然后再之和即可． 【详解】解：； ∵， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∵能被7整除， ∴能被7整除， ∵， ∴当Xx=y时，能被7整除， ∵，， ∴，，，， ∵当时，，，不符合题意舍去， ∴“有效数对”为：，，， ∴， ， ， ∴符合条件的“有效数对”的之和为： ． 故答案为：172；600． 3.（2023-2024育才八下期末）如果一个四位自然数的各数位上的数字均不为0，满足，那么称这个四位数为“天天向上数”．例如：四位数2129，，是“天天向上数”：又如3465，∵，不是“天天向上数”．若一个“天天向上数”为，则此时_____________；若一个“天天向上数”的前三个数字组成的三位数与后三位数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的数的最大值与最小值的差为_____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算、整式的加减的应用，根据“天天向上数”定义计算即可得出的值，根据“天天向上数”的定义得出，由题意得出，结合、、、的取值得出或或，再分别求解即可得出答案，理解“天天向上数”定义是解此题的关键． 【详解】解：∵一个“天天向上数”为， ∴， ∴， 解得：； ∵如果一个四位自然数的各数位上的数字均不为0，满足，那么称这个四位数为“天天向上数”， ∴， ∴， ∵一个“天天向上数”的前三个数字组成的三位数与后三位数字组成的三位数的和能被9整除， ∴ ， ∴（为正整数）， 由题意得：，，，， ∴， ∵的和为偶数， ∴或或， 当时，解得或或或， ∵， ∴当时，此时、无符合题意的取值，不符合题意； 当时，此时，，即这个“天天向上数”为3358， 当时，此时，，即这个“天天向上数”为， 当时，此时，，即这个“天天向上数”为； 当时，解得或或或， ∵， ∴当时，此时，，即这个“天天向上数”为， 当时，此时、无符合题意的取值，不符合题意； 当时，此时、无符合题意的取值，不符合题意； 当时，此时、无符合题意的取值，不符合题意； 当时，解得， ∵， ∴当时，此时、无符合题意的取值，不符合题意； 综上所述，符合题意的“天天向上数”为3358，，，， ∵， ∴， 故答案为：，． 4.（2023-2024秀山八下期末）任意一个个位数字不为0的四位自然数，都可以看作由前面三位数与最后一位数组成，交换这个数的前面三位数和最后一位数位置，将得到一个新的四位数，记，若四位数，则，则______；若四位数，满足，，则______． 【答案】 ①. 142 ②. 2567 【解析】 【分析】本题考查定义新运算，实数的计算等．根据题意利用题干信息即可得到的值，再根据题意列式求出的值即可得到本题答案． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， 由题意得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 5.（2023-2024西大附中八下期末）若一个四位数m的千位数字与百位数字和的两倍等于其十位数字与个位数字的和，则称这个四位数m为“有缘数”．将“有缘数”m的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到新的四位数，并记．例如：，∵，∴是“有缘数”，则．若四位数m为“有缘数”，且能被7整除，则满足条件的m的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，设四位数m的千位数字，百位数字，十位数字，个位数字分别为a、b、c、d，则，，，进而可得，由能被7整除，为整数，得到能被7整除，再由要满足m最大，则a要最大，据此讨论a的取值，进而讨论b的取值从而确定c、d的值，看是否满足题意即可． 【详解】解：设四位数m的千位数字，百位数字，十位数字，个位数字分别为a、b、c、d， ∴， ∵是“有缘数”， ∴，， ∴ =10a+b-10c-d ， ∵能被7整除，为整数， ∴能被7整除， ∵要满足m最大， ∴a要最大， ∵， ∴当时，， 当时，则b+2c=23， ∵， ∴a+b≤9， ∴当时，，不符合题意； 当时，则， ∴当时，， ∴，即，此时不符合题意； 当时，则， ∴当时，，此时不符合题意； 当时， 当时，则， ∵， ∴a+b≤9， ∴当时，，不符合题意； 当时， c=11，不符合题意； 当时，则， ∴当时，， ∴，即，此时不符合题意； ∴当时，，此时不符合题意； 当时， 当时，则， ∵， ∴a+b≤9， ∴当b=2时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，则， ∴当b=2时，， ∴，即，此时不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，， ∴，即，此时符合题意； 综上所述，m的最大值为． 故答案为：． 6.（2023-2024巫山八下期末）一个四位自然数M，记作，若，则称M为“双11数”．例如：四位数4279，∵，∴4279是“双11数”．若一个“双11数”为且能被5整除，则这个数是__________；若M是一个“双11数”，设，且是整数，则满足条件的M的最小值是__________ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了用字母表示四位数的自然数，整式的化简．关键是整式的化简． 双11数”为且能被5整除，根据定义可求这个数．表示出．，的最小值为2，能被7整除，求出的最小值即可． 【详解】解：， ， ， 能被5整除， 或5， ∵b+d=11， ，， ． ． 设M=1000a+100b+10(11-a)+（11-b） ∴M=990a+99b+121 =11(90a+9b+11)． ∴f(m)=90a+9b+11， 有题意可知，的最小值是2，当取最小值2时， f（m）=191+9b， ， ． 当，即时，，不合题意，舍去． 当，即不合题意，舍去． 当，即不合题意，舍去． 当，即不合题意，舍去． 当，即不合题意，舍去． 当，即不合题意，舍去． 当，即不合题意，舍去． 当，即不合题意，舍去． 当，即不合题意，舍去． 当，即时，，能被7整除． ，，，，符合题意， ∴M的最小值为． 故答案为：，． 7.（2023-2024万州八下期末）对于一个四位自然数，它的各个数位上的数字互不相等且均不为0，若满足千位数字与十位数字之和等于百位数字与个位数字之和，这样的四位数称为“均衡数”．例如：四位数2563，，则2563是“均衡数”．若四位数是“均衡数”，则符合条件的所有“均衡数”的和是______；已知四位自然数为“均衡数”，规定：，，并令，当能被3整除时，则满足条件的A的最大值和最小值的差是_____． 【答案】 ①. 2585 ②. 8602 【解析】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，整式加减的应用，本题属于新定义型，正确理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键． 利用“均衡数”定义可得，则，进而求得，的值即可求解；由题意可知，由能被3整除，得能被3整除，进而根据各个数位上数字的大小求得最大值和最小值即可求解． 【详解】解：∵四位数是“均衡数”， ∴，则， ∵各个数位上的数字互不相等且均不为0， ∴或，即该“均衡数”为1243或1342， 则符合条件的所有“均衡数”的和为； 四位自然数为“均衡数”， 则a+c=b+d，，， ∴， ∵能被3整除， ∴能被3整除， 要使得取最大，则最大为9，则或， 当时，最大为8，此时，则； 当时，最大为8，此时，则； 即：的最大值为9856， 要使得取最小，则最小为1，则或， 当时，最小为2，此时，则； 当时，最小为2，此时，则； 即：的最小值为1254， 满足条件的的最大值和最小值的差， 故答案为：2585，8602． 8.（2023-2024铜梁八下期末）已知一个三位数M，如果满足百位上的数字与个位上的数字和是十位上的数字的四倍，则称M为“四喜数”，最小的“四喜数”为______，若“四喜数”M的前两位数字组成的两位数与M的个位上的数字的和记为；交换M的百位数字和十位数字，将这两位数字组成的新两位数与M的个位数字的和记为．当能被4整除时，符合条件的M的最大值为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的运算、列代数式、有理数的整除特性等知识点，准确理解题干中的定义和公式并熟练运用是解题的关键． 设这个三位数，根据“四喜数”的定义即可确定最小的“四喜数”； 设“四喜数”的百位为a，十位为b，个位为c，即；进而得到、，代入可得，然后取得a、b、c的值即可解答. 【详解】解：设这个三位数， ∵三位数M的百数字与个位上的数字和是十位上的数字的四倍， ∴， ∴当时，，M有最小值， 设“四喜数”的百位为a，十位为b，个位为c ∴， ∴，， ∴， ∴当时，， ∴当 能被4整除时，符合条件的M的最大值为． 故答案为：，． 9.（2023-2024沙坪坝八中八下期末）如果一个三位数m满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个三位数为“互异数”．将“互异数”m的个位数字去掉，得到一个两位数，将其与m的个位数字的差记为，将m的十位数字与个位数字的差记为．已知一个三位正整数（其中x、y都是整数，且）是“互异数”，为整数且能被13整除，则满足条件的“互异数”m的最大值___________． 【答案】932 【解析】 【分析】由题意可得，然后分和两种情况分别求出，再进行列举求得x、y的值，进而求得m的值即可． 【详解】解： ①当时，则 ∴m的十位数为，个位为 ∴ ∴， ∴ ∵为整数 ∴也为整数 ∵m是“互异数” ∴ 当，时， ∴，而能被13整除，符合题意； ∴； 当，时， ∴，而能被13整除，符合题意； ∴，不是“互异数”，不符题意； 当y=9，时， ∴，而能被13整除，符合题意； ∴，是“互异数”，符合题意； ②当时，则 ∴m的十位数为2，个位为2y ∴ ∴， ∴ ∵为整数 ∴也为整数 ∵m是“互异数” ∴ 当，时， ∴，而能被13整除，符合题意； ∴； 综上，满足条件的“互异数”m的最大值是932． 故答案为932． 10.（2023-2024沙坪坝八下期末）若一个四位正整数的十位数字是千位数字的2倍，个位数字是百位数字的2倍，则称为双飞数．交换的千位与百位数字，同时交换十位与个位数字，得到的新四位数称为的共轭双飞数．例如：，因为，，所以是双飞数，其共轭双飞数．若一个双飞数的千位数字为1，个位数字为4，则这个双飞数___；若一个双飞数的各数位上的数字之和能被5整除，则满足条件的所有共轭双飞数的最大值为___． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查新定义下的运算，整式的加减，列代数式，理解“双飞数”的概念是解题关键．根据“双飞数”的概念进行求解即可． 根据双飞数的概念得到百位数字和十位数字，进而可求出这个双飞数； 设这个双飞数的千位数字为a，百位数字为b，则十位数字为，个位数字为，首先得到，，然后根据一个双飞数的各数位上的数字之和能被5整除，得到，表示出，然后由n为正整数得到a+b=5，然后分情况讨论即可求解． 【详解】∵一个双飞数的千位数字为1，个位数字为4， ∴百位数字为2，十位数字为2， ∴这个双飞数； 设这个双飞数的千位数字为a，百位数字为b，则十位数字为，个位数字为 ∴，, ∴，， ∵一个双飞数的各数位上的数字之和能被5整除， ∴（n为正整数） ∴ ∴ ∵n为正整数， ∴a+b=5 ∴当，时，这个双飞数，共轭双飞数； ∴当，时，这个双飞数，共轭双飞数； ∴当， b=2时，这个双飞数，共轭双飞数； ∴当，时，这个双飞数，共轭双飞数； ∴满足条件的所有共轭双飞数的最大值为． 故答案为：，． 11.（2023-2024荣昌八下期末）如果一个四位自然数的各位数字均不为0，其千位数字比百位数字大2，十位数字比个位数字大4，我们称这样的四位数为“二四数”，记．比如6451，其各位数字均不为0，千位数字6比百位数字4大2，十位数字5比个位数字1大4，所以6451是“二四数”，则____________；若一个“二四数”满足是7的倍数，则的最大值是____________． 【答案】 ①. 594 ②. 9794 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义“二四数”，正确理解“二四数”的定义是解题关键．根据F(m)=计算的值；对于自然数，根据“二四数”的定义，可知，，易得，进而可得，结合满足F(m)+13是7的倍数，且，，分多种情况取b,d的值并进行验证，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，； 对于自然数，根据“二四数”的定义，可知，， ∴F(m)= ， ∴， ∵满足F(m)+13是7的倍数，且，， ∴当，时，，而，故不符合题意， 依次减小的值， 当时，，而，故不符合题意， 当时，，而，故不符合题意， 当时，，而，故不符合题意， 当时，，而，故不符合题意， 当时，，而，符合题意， 所以，的最大值是9794． 故答案为：594；9794． 12.（2023-2024开州八下期末）如果一个三位数的十位数字比百位数字与个位数字之和大，则称这个三位数为“举子数”，我们将“举子数”的各位数字之和记为．例如：三位数，百位数字与个位数字之和为，十位数字是，，所以是“举子数”，______；若一个“举子数”是的倍数，则的最大值是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了实数的新定义运算，根据“举子数”的定义解答即可求解，理解“举子数”的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得，； 设的百位数字为，十位数字为，则个位数字为， ∴， ∵是的倍数，， ∴是的倍数， ∵，x、y是小于10的正整数， ∴或， ∴或， ∴的最大值为， 故答案为：，． 13.（2023-2024重庆实验外国语中学八下期末）一个四位自然数M，千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，且各个数位上的数字互不相等．若M是3的倍数且满足，则称M是一个“四三二一数”．例如，因为，所以是一个“四三二一数”． 最大的“四三二一数” ___．当关于x的二次函数与关于x的一次函数的图象至多有一个交点时，“四三二一数”M的最大值与最小值之和为 _____． 【答案】 ①. 9834 ②. 【解析】 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式等知识．理解题意是解题的关键． 由题意知，，则，由M是3的倍数，可知，为正整数，，当是最大的“四三二一数”时，，，则，即，是3的倍数，此时的取值为0，3，6，当时，，，此时是最大的“四三二一数”；由关于x的二次函数与关于x的一次函数y=cx-3d的图象至多有一个交点，可得，即，，可求，，当，，，d=1时，“四三二一数”M最大，为； 当是最小的“四三二一数”时，，则，即，是3的倍数，当是最小的“四三二一数”时，，的取值为4，5，6，可知当，，，时，“四三二一数”M最小，为；然后求和即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， ∵M是3的倍数， ∴，为正整数， ∴， 当是最大的“四三二一数”时，，， ∵2|a-c|=b+d， ∴，即， ∴是3的倍数，此时的取值为0，3，6， ∴当时，，当时，此时是最大的“四三二一数”，为9834， ∵关于x的二次函数与关于x的一次函数y=cx-3d的图象至多有一个交点， ∴，即， ∴， ∵2|a-c|=b+d， ∴， ∴， 解得，， ∴，即， ∴当，，， d=1时，“四三二一数”M最大，为； 当是最小的“四三二一数”时，， ∵2|a-c|=b+d， ∴，即， ∴是3的倍数， ∴是最小的“四三二一数”时，，的取值为4，5，6， ∴当，，，时，“四三二一数”M最小，为； ∵， ∴此时，“四三二一数”M最大值与最小值之和为， 故答案为：9834，． 14.（2023-2024江津八下期末）设为正整数，对于一个四位正整数，若千位与百位数字之和等于，十位与个位的数字之和等于，则称这样的数为“级放大数”．例如正整数2636中，因为，，所以2636是“8级放大数”，其中．最小的“4级放大数”是______；若一个“6级放大数”的千位数字与十位数字之积为6，且这个数能被19整除，则满足条件的数是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查新定义的应用．理解新定义的意义是解决本题的关键．结合所给两个条件判断出所求的数是解决本题的难点．因为是“4级放大数”，那么千位与百位的数字之和等于4，千位数字可选数字1，则百位数字为3；十位与个位数字的和为5，十位可选最小的数字0，则个位数字为5，那么可得最小的“4级放大数”；设“6级放大数”的千位数字为，十位数为，判断出其他数位上的数字，根据这个数千位数字与十位数字之积为6以及这个数能被19整除可得所求的数． 【详解】解：是“4级放大数”， ． 求最小的“4级放大数”， 千位数字可选数字1， 百位数字为3． 十位与个位数字的和为5， 十位可选最小的数字0， 个位数字为5． 最小的“4级放大数”为：； 设“6级放大数”的千位数字为，十位上的数字为，则百位数字为，个位上的数字为． 千位数字与十位数字之积为6， （不合题意，舍去）或或或． “6级放大数”为6016或2434或3325． 这个数能被19整除，上述3个数只有3325是19的整数倍， “6级放大数”为：3325． 故答案为：1305，3325． 15.（2023-2024奉节八下期末）若一个四位数M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，且满足：，十位数字与个位数字的平方差恰好是M去掉个位数字与十位数字后得到的两位数，则称这个四位数M为“最美巧合数”． 例如：，，∴是“最美巧合数”，又如：，，∴不是“最美巧合数”．判断____________“最美巧合数”（填“是”或“不是”）．记，，若为整数，能被3整除，则满足条件的所有M中最小的值为____________． 【答案】 ①. 是 ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义，根据新定义即可判断8091是否是“最美巧合数”；根据且为整数，可得或；当时，则，进而得到一定能被12整除，要满足M最小，则a要最小，据此从小到大讨论a的值，从而确定b的值，进而确定c、d的值即可． 【详解】解：∵， ∴8091是“最美巧合数”； ∵且为整数， ∴或； 当时，则， ∵能被3整除， ∴一定能被12整除， ∵要满足M最小， ∴a要最小， 当时，， ∴此时，则， ∴要满足M最小，则c要最小， ∴， ∴满足题意所有M中最小的值为， 故答案为：． 16.（2023-2024丰都八下期末）若一个四位正整数的各个数位上的数字不同，且各个数位上的数字之和为完全平方数，则称这个四位数为“和方数”，那么最大的“和方数”为 _____；将一个“和方数”M的前两位数字组成的两位数记为s，后两位数字组成的两位数记为t，规定，，若都是整数，则满足条件的M的最大值为 _____． 【答案】 ①. 9871 ②. 6120 【解析】 【分析】本题考查了代数式，整式的加减，因式分解的应用，整除的意义，理解新定义和掌握知识点是解决本题的关键． 由a、b、c、d的取值范围，确定出最大的完全平方数为25，即可求解；确定都能被3整除，能被3整除，继而得到，因此得到，即可求解． 【详解】解：为最大的“和方数”，而， ∵各个数位上的数字不同，且各个数位上的数字之和为完全平方数， ∴最大的完全平方数为25， ∴最大的“和方数”，当，时，, ∴最大的“和方数”为； ，则，， ∵、都是整数， ∴设，，为正整数， 则， 两式相加得：， 两式相减得：， ∴都能被3整除， ∴能被3整除， ∵，且， ∴， ∵为完全平方数， ∴或16或25， ∵能被3整除， ∴ 又∵都能被3整除， ∴时，M最大， ∴． 故答案为：9871；6120． 17.（2023-2024垫江八下期末）表示由三个互不相等的正整数组成的一个数组，表示由它生成的第一个数组（相邻两项相乘作为左边的数，最后一个与第一个相乘作为最后一个数），表示由它生成的第二个数组，按此方式可以生成很多数组，记开始三个数之积为，第1个数组的三个数之积为，第个数组的三个数之积为（为正整数），若，，则符合条件的最小的值为__________． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查整式的乘法、数字类规律探究，理解题意是解答的关键．先根据前几个变化规律得到，则只需，根据乘方运算即可求解． 【详解】解：由题意，第一个数组为， 第二个数组为， 则第三个数组为， 第四个数组为，……， ∴， ， ， ， ， ……， 依次类推，发现， ∵若，， ∴， ∵，， ∴n值最小为11， 故答案为：11． 18.（2023-2024重庆一中八下期末）一个四位数若满足各个数位的数字均不为零，千位数字不等于十位数字，且千位数字与百位数字的和等于十位数字与个位数字的和，则称其为“有序等和数”．最小的“有序等和数”为______；已知、（，，，为整数，，，，，）为“有序等和数”，将的千位数字作为十位数字，的十位数字作为个位数字得到的两位数记为，将的百位数字作为十位数字，的个位数字作为个位数字得到的两位数记为t，记，，若被整除余，且为整数，求所有满足条件的的和为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减，二元一次方程的应用，根据新定义即可得出最小“有序等和数”；根据为“有序等和数”，得出，进而求得，，根据被整除余，得出能被整除，进而根据分类讨论得出，进而根据为整数，进行取舍，最后求得所有满足条件的的和，即可求解． 【详解】解：∵最小的四位数的千位数字为，各个数位的数字均不为零， ∴最小“有序等和数”为， ∵，1≤a≤9，，，， ∴的千位数为，百位数为，十位数为，个位数为， 又∵为“有序等和数”， ∴，即，且， ∴， ∴ ， ∵被整除余， ∴能被整除 又∵ ∴ ∵1≤a≤9，，，， 能被整除， 设，则， ∴， ∴ ∵ ①当时，能被整除，，则， ∴，， ∴，， ∵ 当时，，为整数，则 当时，，不为整数，舍去 当时，，不为整数，舍去 ②当时，能被整除，， ∴，， ∴， ∵ 当时，，不为整数，舍去 ③当时，能被整除，， ∴，， ∴， ， ， ∵ 当时，，为整数， 则 当时，，不为整数，舍去 当时，，不为整数，舍去 当时，，为整数， 则 ④当d=1时，能被整除，， ∴， ∴， ， 由，可知，，的值不符合题意，应舍去 ⑤当时，能被整除，，则， ∴，， ∴，， ∵ 当a=2,b=2c=4时，，不为整数，舍去 当时，，不为整数，舍去 当时，，不为整数，舍去 综上所述，所有满足条件的的和为 故答案为：． 19.（2023-2024大渡口八下期末）如果一个四位自然数的各数位上的数字不全相等，满足，那么称这个四位数为“跳跃数”．例如：四位数1323，，1323是“跳跃数”；又如：四位数5324，，5324不是“跳跃数”．若一个“跳跃数”为，则这个数为______；若一个“跳跃数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的差能被7整除，则满足条件的“跳跃数”的最大值是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题因式分解的应用，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解“跳跃数”的概念． 根据“跳跃数”的概念列出关于m的方程解答即可，设满足条件的“跳跃数”的最大值是，根据“跳跃数”的概念得出，再根据前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的差能被7整除，即可得出答案． 【详解】解：是“跳跃数”， ， 解得：， 这个数为； 设满足条件的“跳跃数”的最大值是， ， ， b，c，d是中的整数， ，， 满足条件的“跳跃数”的最大值是， 前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的差能被7整除，且， 是7的倍数， ， 是7的倍数， c最大为6， ， 满足条件的“跳跃数”的最大值是． 故答案为：，． 20（2023-2024南开八下期末）一个各数位上的数字均不为0的四位自然数，若百位数字与十位数字的乘积等于千位数字与个位数字组成的两位数，即，则称这个数为“功能数”例如：四位数1342，∵，∴1342是“功能数”．若是一个“功能数”，则这个数为_____；对于一个“功能数”P，将P的千位数字和十位数字交换位置，百位数字和个位数字交换位置得到的新数记为，若除以13的余数为P的十位数字的2倍，则满足条件的P的值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了新定义下的有理数的混合运算，解题的关键是正确理解题意，明白题中所给新定义的运算顺序和运算法则，熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． （）根据题目所给新运算的运算顺序和运算法则进行计算即可； （）根据题意对于“功能数”， 得到，从而得到，能被整除，要使除以13的余数为P的十位数字的2倍，则能被整除，即可求解． 【详解】解：∵是一个“功能数”， ∴， ∴， ∴这个“功能数”为， 故答案为：； 对于“功能数”，将P的千位数字和十位数字交换位置，百位数字和个位数字交换位置得到的新数记为， ∴， ∴ ， ∵能被整除， ∴要使除以13的余数为P的十位数字的2倍，则能被整除， ∵一个各数位上的数字均不为0的四位自然数，若百位数字与十位数字的乘积等于于位数字与个位数字组成的两位数，即， ∴，，， ∴当，时，，则，，不能被13整除； 当，时，，则，∴，不能被13整除； 当，时，，则，∴，不能被13整除； 当，时，，则，∴，不能被13整除； 当b=4，时，，则，∴，不能被13整除； 当b=4，时，，则，∴，不能被13整除； 当b=4，时，，不合题意； 当b=4，时，，则，∴，不能被13整除； 当，时，，则，∴，不能被13整除； 当，时，，不合题意； 当，时，，则，∴，不能被13整除； 当，时，，不合题意； 当，时，，则，∴，不能被13整除； 当，时，，则，∴，不能被13整除； 当，时，，则，∴，不能被13整除； 当，时，，不合题意； 当，时，，则，∴，不能被13整除； 当，时，，则，∴，不能被13整除； 当，时，，则，∴，不能被13整除； 当，时，，则，∴，不能被13整除； 当，时，，则，∴，不能被13整除； 当，时，，则，∴，不能被13整除； 当，时，，则，∴，不能被13整除； 当，时，，则，∴，不能被13整除； 当，时，，则，∴，不能被13整除； 当，时，，不合题意； 当，时，，则，∴，不能被13整除； 当，时，，则，∴，不能被13整除； 当，时，，则，∴，不能被13整除； 当，时，，则，∴，不能被13整除； 当，时，，则，∴，不能被13整除； 当，时，，则，∴，能被13整除； ∴符合题意， 故答案为：． 21.（2023-2024八中八下期末）自然数各数位上的数字都不为0，将其各数位上的数字任意排列，用排列后的最大的数减去最小的数，记．例如：若，则，，．已知（，为整数）． （1）若为整数，则________； （2）在（1）的条件下，若（，且，均为整数），且，则________． 【答案】 ①. 2 ②. 8262 【解析】 【分析】本题考查新定义的应用；能够通过题意，利用代数式将进行正确的表示是解题的关键； （1）根据可得，再由为整数，即可求解； （2）根据可得，再由，可得，即可求解． 【详解】解：（1）根据题意得：， ∵为整数， ∴为整数， ∵，为整数 ∴， ∴； 故答案为：2 （2）由（1）得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，，此时，不合题意； 当时，，此时，符合题意； 当时，，此时，不合题意； 当时，，此时，不合题意； 当时，，此时，不合题意； 当时，，此时，不合题意； ∴． 故答案为：8262 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 材料阅读 1. （2023-2024酉阳八下期末）若一个三位正整数（各个数位上的数字均不为0），若满足，则称这个三位正整数为“合九数”．对于一个“合九数”m，将它的十位数字和个位数字交换以后得到新数n；记，则______，对于一个“合九数”m，若能被8整除，则满足条件的“合九数”m的最大值是______． 2. （2023-2024忠县八下期末）把由各数位数字都不为0两位数m和三位数n组成的数对称“有效数对”．将m中的任意一数位数字作为新两位数的十位数字，将n中的任意一数位数字作为新两位数的个位数字，按照这种方式生成的所有新两位数之和记为，例：，则______；设“有效数对”满足两位数，三位数（其中，，且x，y均为整数），交换m的十位数字和个位数字得到另一两位数s，交换n的百位数字和个位数字得到另一三位数t，如果能被7整除，那么所有符合条件的“有效数对”的之和为______． 3.（2023-2024育才八下期末）如果一个四位自然数的各数位上的数字均不为0，满足，那么称这个四位数为“天天向上数”．例如：四位数2129，，是“天天向上数”：又如3465，∵，不是“天天向上数”．若一个“天天向上数”为，则此时_____________；若一个“天天向上数”的前三个数字组成的三位数与后三位数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的数的最大值与最小值的差为_____________． 4.（2023-2024秀山八下期末）任意一个个位数字不为0的四位自然数，都可以看作由前面三位数与最后一位数组成，交换这个数的前面三位数和最后一位数位置，将得到一个新的四位数，记，若四位数，则，则______；若四位数，满足，，则______． 5.（2023-2024西大附中八下期末）若一个四位数m的千位数字与百位数字和的两倍等于其十位数字与个位数字的和，则称这个四位数m为“有缘数”．将“有缘数”m的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到新的四位数，并记．例如：，∵，∴是“有缘数”，则．若四位数m为“有缘数”，且能被7整除，则满足条件的m的最大值为______． 6.（2023-2024巫山八下期末）一个四位自然数M，记作，若，则称M为“双11数”．例如：四位数4279，∵，∴4279是“双11数”．若一个“双11数”为且能被5整除，则这个数是__________；若M是一个“双11数”，设，且是整数，则满足条件的M的最小值是__________ 7.（2023-2024万州八下期末）对于一个四位自然数，它的各个数位上的数字互不相等且均不为0，若满足千位数字与十位数字之和等于百位数字与个位数字之和，这样的四位数称为“均衡数”．例如：四位数2563，，则2563是“均衡数”．若四位数是“均衡数”，则符合条件的所有“均衡数”的和是______；已知四位自然数为“均衡数”，规定：，，并令，当能被3整除时，则满足条件的A的最大值和最小值的差是_____． 8.（2023-2024铜梁八下期末）已知一个三位数M，如果满足百位上的数字与个位上的数字和是十位上的数字的四倍，则称M为“四喜数”，最小的“四喜数”为______，若“四喜数”M的前两位数字组成的两位数与M的个位上的数字的和记为；交换M的百位数字和十位数字，将这两位数字组成的新两位数与M的个位数字的和记为．当能被4整除时，符合条件的M的最大值为______. 9.（2023-2024沙坪坝八中八下期末）如果一个三位数m满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个三位数为“互异数”．将“互异数”m的个位数字去掉，得到一个两位数，将其与m的个位数字的差记为，将m的十位数字与个位数字的差记为．已知一个三位正整数（其中x、y都是整数，且）是“互异数”，为整数且能被13整除，则满足条件的“互异数”m的最大值___________． 10.（2023-2024沙坪坝八下期末）若一个四位正整数的十位数字是千位数字的2倍，个位数字是百位数字的2倍，则称为双飞数．交换的千位与百位数字，同时交换十位与个位数字，得到的新四位数称为的共轭双飞数．例如：，因为，，所以是双飞数，其共轭双飞数．若一个双飞数的千位数字为1，个位数字为4，则这个双飞数___；若一个双飞数的各数位上的数字之和能被5整除，则满足条件的所有共轭双飞数的最大值为___． 11.（2023-2024荣昌八下期末）如果一个四位自然数的各位数字均不为0，其千位数字比百位数字大2，十位数字比个位数字大4，我们称这样的四位数为“二四数”，记．比如6451，其各位数字均不为0，千位数字6比百位数字4大2，十位数字5比个位数字1大4，所以6451是“二四数”，则____________；若一个“二四数”满足是7的倍数，则的最大值是____________． 12.（2023-2024开州八下期末）如果一个三位数的十位数字比百位数字与个位数字之和大，则称这个三位数为“举子数”，我们将“举子数”的各位数字之和记为．例如：三位数，百位数字与个位数字之和为，十位数字是，，所以是“举子数”，______；若一个“举子数”是的倍数，则的最大值是______． 13.（2023-2024重庆实验外国语中学八下期末）一个四位自然数M，千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，且各个数位上的数字互不相等．若M是3的倍数且满足，则称M是一个“四三二一数”．例如，因为，所以是一个“四三二一数”． 最大的“四三二一数” ___．当关于x的二次函数与关于x的一次函数的图象至多有一个交点时，“四三二一数”M的最大值与最小值之和为 _____． 14.（2023-2024江津八下期末）设为正整数，对于一个四位正整数，若千位与百位数字之和等于，十位与个位的数字之和等于，则称这样的数为“级放大数”．例如正整数2636中，因为，，所以2636是“8级放大数”，其中．最小的“4级放大数”是______；若一个“6级放大数”的千位数字与十位数字之积为6，且这个数能被19整除，则满足条件的数是______． 15.（2023-2024奉节八下期末）若一个四位数M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，且满足：，十位数字与个位数字的平方差恰好是M去掉个位数字与十位数字后得到的两位数，则称这个四位数M为“最美巧合数”． 例如：，，∴是“最美巧合数”，又如：，，∴不是“最美巧合数”．判断____________“最美巧合数”（填“是”或“不是”）．记，，若为整数，能被3整除，则满足条件的所有M中最小的值为____________． 16.（2023-2024丰都八下期末）若一个四位正整数的各个数位上的数字不同，且各个数位上的数字之和为完全平方数，则称这个四位数为“和方数”，那么最大的“和方数”为 _____；将一个“和方数”M的前两位数字组成的两位数记为s，后两位数字组成的两位数记为t，规定，，若都是整数，则满足条件的M的最大值为 _____． 17.（2023-2024垫江八下期末）表示由三个互不相等的正整数组成的一个数组，表示由它生成的第一个数组（相邻两项相乘作为左边的数，最后一个与第一个相乘作为最后一个数），表示由它生成的第二个数组，按此方式可以生成很多数组，记开始三个数之积为，第1个数组的三个数之积为，第个数组的三个数之积为（为正整数），若，，则符合条件的最小的值为__________． 18.（2023-2024重庆一中八下期末）一个四位数若满足各个数位的数字均不为零，千位数字不等于十位数字，且千位数字与百位数字的和等于十位数字与个位数字的和，则称其为“有序等和数”．最小的“有序等和数”为______；已知、（，，，为整数，，，，，）为“有序等和数”，将的千位数字作为十位数字，的十位数字作为个位数字得到的两位数记为，将的百位数字作为十位数字，的个位数字作为个位数字得到的两位数记为t，记，，若被整除余，且为整数，求所有满足条件的的和为______． 19.（2023-2024大渡口八下期末）如果一个四位自然数的各数位上的数字不全相等，满足，那么称这个四位数为“跳跃数”．例如：四位数1323，，1323是“跳跃数”；又如：四位数5324，，5324不是“跳跃数”．若一个“跳跃数”为，则这个数为______；若一个“跳跃数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的差能被7整除，则满足条件的“跳跃数”的最大值是______． 20（2023-2024南开八下期末）一个各数位上的数字均不为0的四位自然数，若百位数字与十位数字的乘积等于千位数字与个位数字组成的两位数，即，则称这个数为“功能数”例如：四位数1342，∵，∴1342是“功能数”．若是一个“功能数”，则这个数为_____；对于一个“功能数”P，将P的千位数字和十位数字交换位置，百位数字和个位数字交换位置得到的新数记为，若除以13的余数为P的十位数字的2倍，则满足条件的P的值为______． 21.（2023-2024八中八下期末）自然数各数位上的数字都不为0，将其各数位上的数字任意排列，用排列后的最大的数减去最小的数，记．例如：若，则，，．已知（，为整数）． （1）若为整数，则________； （2）在（1）的条件下，若（，且，均为整数），且，则________． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$