11.5 因式分解-【暑假大串联】2024-2025学年新教材七年级数学暑假作业教材衔接（华东师大版2024）

11.5 因式分解 1. 提公因式法 把多项式ma+mb+mc分解成两个因式的乘积的形式,其中一个因式是各项的公因式m,另 一个因式是(a+b+c),即ma+mb+mc=m·(a+b+c),而(a+b+c)正好是ma+mb+ mc除以m 所得的商,这种因式分解的方法叫提公因式法. 2. 公式法———平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积,即:a2-b2=(a+b)(a-b) 3. 公式法———完全平方公式 两个数的平方和加上(减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(差)的平方. 即a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b)2. 形如a2+2ab+b2,a2-2ab+b2的式子叫做完全平方式. 4. 首项系数为1的十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式x2+bx+c,若存在 pq=c p+q=b ,则x2+bx+c=(x+p)(x+q). 5. 首项系数不为1的十字相乘法 在二次三项式ax2+bx+c(a≠0)中,如果二次项系数a可以分解成两个因数之积,即a= a1a2,常数项c可以分解成两个因数之积,即c=c1c2,把a1、a2、c1、c2排列如下: 按斜线交叉相乘,再相加,得到a1c2+a2c1,若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项 系数b,即a1c2+a2c1=b,那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积, 即ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2). 例1 如果x、y满足 x-2y=2 x+2y=3 ,那么代数式4y2-x2的值为 . 解析:∵x、y满足 x-2y=2 x+2y=3 ,∴2y-x=-22y+x=3, ∴4y2-x2=(2y+x)(2y-x)=3×(-2)=-6, 故答案为:-6. 例2 把a2b-2ab2+b3分解因式正确的是 ( ) A. b(a2-2ab+b2) B. a2b-b2 C. b(a-b)2 D. (a+b)2 38 解析:原式=b(a2-2ab+b2)=b(a-b)2.故选:C. 例3 若n为任意正整数,(n+11)2-n2的值总可以被k整除,则k等于 ( ) A. 11 B. 22 C. 11或22 D. 11的倍数 解析:∵(n+11)2-n2=(n+11+n)(n+11-n)=11(2n+11), ∴(n+11)2-n2的值总可以被11整除,即k=11,故选:A. 一、 选择题 1. 下列多项式能用公式法分解因式的是 ( ) A. x2-xy B. x2+xy C. x2+y2 D. x2-y2 2. 下列代数式中能用乘法公式因式分解的是 ( ) ①x2-4x+4;②x2+2x+4;③4x2+9y2-12xy;④x2+1;⑤4x2-x+1. A. ①③ B. ②④ C. ③④ D. ①⑤ 3. 多项式:①16x2-8x;②x(x-1)2-4(x-1)2;③(x+1)4-4x(x+1)2+4x2;④-4x2-1+ 4x分解因式后,结果中含有相同因式的是 ( ) A. ①和② B. ③和④ C. ①和④ D. ②和③ 4. 在一个边长为12.75 cm的正方形内挖去一个边长为7.25 cm的正方形,则剩下的面积为 ( ) A. 20 cm2 B. 200 cm2 C. 11 cm2 D. 110 cm2 二、 填空题 5. 分解因式:4a2-1= . 6. 若等式4a2-ka+9=(2a+3)2恒成立,则k= . 7. 把多项式3x3-6x2y+3xy2分解因式,结果是 . 8. 因式分解:a2(a-b)-4(a-b)= . 9. 若x-y=2,x2-y2=10,则x+y= . 10. 已知x-y=1,xy=3,则x3y-2x2y2+xy3的值是 . 三、 计算题 11. 分解因式: (1)25(m+n)2-9n2; (2)25x2+20xy+4y2; (3)(x2-1)2-6(x2-1)+9; (4)-x2+8xy-16y2. 48 11.3 乘法公式 一、 1. C 2. C 3. C 4. C 5. C 二、 6. 14 7. ±10 8. 0 9. 12 10. a+b或a+ 2b 三、 11. (1)解:原式=a2-(b-c)2=a2-(b2- 2bc+c2)=a2-b2+2bc-c2. (2)解:原式=[a-(2b-3c)][a+(2b-3c)]= a2-(2b-3c)2=a2-4b2+12bc-9c2. 12. 解:原式=3(a2-1)-(3a2-a)=3a2-3- 3a2+a=-3+a, 当a=-3时,原式=-3+(-3)=-6. 13. (1)解:由题意得(x,kx)※(y,-y)=x2+ (-y)2-kx·y=x2-kxy+y2, ∵(x,kx)※(y,-y)是一个完全平方式, ∴-kxy=±2xy,解得k=±2; (2)由题意得(3x+y,2x2+3y2)※(3,x-3y) =(3x+y)2+(x-3y)2-3(2x2+3y2)= (9x2+6xy+y2)+(x2-6xy+9y2)-(6x2+ 9y2)=4x2+y2=84, ∵2x+y=10,∴(2x+y)2=4x2+4xy+y2= 100,∴4xy=100-84=16,∴xy=4. 14. (1)解:图中阴影部分的面积可以看作两个正方 形的面积差,即a2-b2,也可以拼成a+b,高为 a-b的平行四边形,因此面积为(a+b)(a- b),所以有a2-b2=(a+b)(a-b), 故答案为:a2-b2=(a+b)(a-b); (2)原式=20242-(2024+2)(2024-2)=20242- (20242-4)=20242-20242+4=4; (3)原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+ 1)…(232+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+ 1)…(232+1)=(24-1)(24+1)(28+1)… (232+1)=(28-1)(28+1)…(232+1)=(216- 1)(216+1)(232+1)=(232-1)(232+1)=264-1. 15. 解:(1)由拼图可知,阴影部分是边长为(m-n) 的正方形,故答案为:m-n; (2)方法一:直接利用正方形的面积公式得正方 形的面积为(m-n)2; 方法二:从边长为(m+n)的大正方形减去四个 长为m,宽为n的矩形面积即为阴影部分的面 积,即(m+n)2-4mn. (3)(m-n)2=(m+n)2-4mn; (4)(x-y)2=(x+y)2-4xy,∵x+y=-8, xy=3.75,∴(x-y)2=64-15=49,∴x-y= ±7,故答案为:±7. 11.4 整式的除法 一、 1. D 2. A 3. B 4. C 二、 5. 2a 6. 2b2-4 7. 8 8. 2x3+x2-4x-2 9. -2 三、 10. 解:(-36x4y3-24x3y2+6xy)÷6xy= -36x4y3÷6xy-24x3y2÷6xy+6xy÷6xy= -6x3y2-4x2y+1. 11. (1)解:原式=4a4b4·(6ab)÷(-3b2)= -8a5b3; (2)解:原式=5-2+1+2-1=3+2. 11.5 因式分解 一、 1. D 2. A 3. C 4. D 二、 5. (2a+1)(2a-1) 6. -12 7. 3x(x-y)2 8. (a-b)(a-2)(a+2) 9. 5 10. 3 三、 11. 解:(1)原式=[5(m+n)]2-(3n)2=(5m+ 5n+3n)(5m+5n-3n)=(5m+8n)(5m+2n). (2)原式=(5x)2+2·5x·2y+(2y)2=(5x+ 2y)2. (3)原式=(x2-1-3)2=(x2-4)2=(x-2)2(x+ 2)2. (4)原式=-(x2-8xy+16y2)=-[x2-2· x·4y+(4y)2]=-(x-4y)2. 第四部分 新知测效 暑期学情测评(一) 一、 1. D 2. A 3. C 4. D 5. C 6. C 7. C 8. D 9. C 解析:设每个小长方形的长为x cm、宽为 y cm,由题意得 2x+2y=24, 3x+2y=33, 解得 x=9 , y=3, 则每 个小长方形的面积为9×3=27(cm2). 10. A 二、 11. a<1 12. 5 13. 1 14. 6x+3=8x-5 15. 79° 16. 48 5 三、 17. 解:去分母,得2(x-3)-3(4x+1)=6, 去括号,得2x-6-12x-3=6, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 31