专题02 二次函数的综合问题（3重难点题型）考试满分全攻略同步备考系列讲义-2025-2026学年九年级数学上册（浙教版）

专题02 二次函数的综合问题 题型梳理 题型方法 题型一 根据性质求范围问题 题型二 存在性问题 题型三 新定义问题 题型方法 【题型一】根据性质求范围问题 【例1】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）若二次函数的图象经过点和．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【举一反三】【变式1】（24-25九年级下·浙江宁波·阶段练习）已知抛物线（，是常数且，）经过点，点，在抛物线上，且，则的取值范围为 ． 【变式2】（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)抛物线的对称轴为______；抛物线与轴的交点坐标为______； (2)若抛物线的顶点恰好在直线上，写出抛物线的顶点坐标，并求它的解析式； (3)若，，为抛物线上三点，且总有，求的取值范围． 【变式3】（24-25九年级上·浙江丽水·期末）已知二次函数（m为常数）． (1)若函数图象经过点，求二次函数的表达式； (2)当时，y有最大值为，求m的值； (3)若点，都在该函数的图象上，当时，求m的取值范围． 【题型二】存在性问题 【例2】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知抛物线与直线交于且对称轴为直线． (1)求的解析式． (2)若抛物线与直线的另一个交点为且坐标原点为，在抛物线上是否存在一点（点不与点重合），使得．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【举一反三】【变式1】（21-22九年级上·浙江杭州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为，O为坐标原点，连接OA，二次函数图像从点O沿OA方向平移，顶点始终在线段OA上（包括端点O和A），平移后的抛物线与直线x＝6交于点P，顶点为M． (1)若OM＝5，求此时二次函数的解析式，并求不等式的解集． (2)二次函数图像平移过程中，设点M的横坐标为m，直线AP交x轴于点B，线段PB是否存在最小值？若存在，求出此时m的值；若不存在，说明理由． 【变式2】（2024九年级上·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，点A在原点的左侧，点B的坐标为，点P是抛物线上一个动点，且在直线的上方． (1)求这个二次函数的解析式； (2)当点P运动到什么位置时，的面积最大？请求出点P的坐标和面积的最大值． (3)连接，，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3】（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图①，在平面直角坐标系中．抛物线与x轴交于A，B两点（点B在点A右侧），，与y轴交于点C．直线经过点B，C．    (1)求抛物线的解析式； (2)若存在点P为上方抛物线上一点，问点P的坐标为何值时，的面积最大，并求出面积最大值； (3)如图②，在（2）的条件下，过点P作轴交直线于点E，作轴交直线于点F，若点S是x轴上的动点，点Q为平面内一点，是否存在点S，Q，使得以S，Q，E，F为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型三】新定义问题 【例3】．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）定义：把二次函数与（，、是常数）称作互为“旋转函数”，如果二次函数与（、是常数）互为“旋转函数”，则下列选项中正确的是（    ） A．； B．； C．当时，； D．不论取何值， 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）新定义：为二次函数（，，，为实数）的“图象数”，如：的“图象数”为，若“图象数”是的二次函数的图象与轴只有一个交点，则的值为 ． 【变式2】（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”．例如，，都是“纵三倍点”． (1)判断下列函数图象上是否存在“纵三倍点”，若存在，请求出满足条件的“纵三倍点”；若不存在，请说明理由． ①； ②； (2)已知抛物线（m，n均为常数）与直线只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”，求抛物线的解析式； 【变式3】（24-25九年级上·浙江湖州·期末）定义：对于关于的函数，函数在范围内有最大值和最小值，则称为极差值，记作．如函数，在范围内，该函数的最大值是，最小值为，即． 请根据以上信息，完成下列问题： (1)已知二次函数的图象经过点． ①求该函数的表达式； ②求该函数的的值． (2)已知函数，函数的图象经过点，且两个函数的相等，求的值． 好题必刷 一、单选题 1．（21-22九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）若抛物线经过第一，二，三，四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）已知二次函数中自变量和函数的部分对应值如下表： 则方程 的一个解 的取值范围下列可能的是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）定义：在平面直角坐标系中，若点满足横、纵坐标都为整数，则把点叫做整点．如：，都是整点．已知抛物线与轴交于，两点，若该抛物线在，之间的部分与线段所围的区域（包括边界）恰有个整点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25九年级上·浙江金华·期末）在平面直角坐标系中，已知二次函数（，，是常数，且）的图象上有点，点，设图象的对称轴为直线． （1）若，则的值为 ； （2）若，则的取值范围为 ． 5．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）定义，，则的最小值为 ． 6．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）对于实数，，定义运算“”：；，关于的方程恰好有两个不相等的实数根，则的值是 ． 三、解答题 7．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线． (1)当时，求抛物线与轴交点坐标； (2)求抛物线的对称轴，以及顶点纵坐标的最大值； (3)抛物线上两点和，当，时，若存在，直接写出的取值范围． 8．（24-25九年级下·浙江金华·阶段练习）已知抛物线的对称轴为直线． (1)求b的值； (2)当时，函数值y的最大值与最小值的和为6，求c的值； (3)当时，抛物线与x轴有且只有一个交点，求c的取值范围． 9．（2024九年级下·浙江·专题练习）已知抛物线 (1)直接写出抛物线的顶点坐标（用含a的式子表示）； (2)抛物线是否过定点？若过，请求出定点坐标，若不过，请说明理由； (3)若，，都在抛物线上，是否存在实数m，使得恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 10．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)当时，求函数的取值范围； 11．（24-25九年级下·浙江金华·阶段练习）已知二次函数的图象经过点 (1)求二次函数的图象的对称轴． (2)若的最大值为，将该函数的图象向右平移个单位长度，得到新的二次函数的图象．当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和． (3)设的图象与轴的交点分别为，，且若，求a的取值范围． 12．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数，对于任意的函数值，都满足，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数是有上界函数，其上确界是1． (1)函数是否为有上界函数？若是，请求出它的上确界； (2)如果以10为上确界的有上界函数，求的值； (3)如果函数是以为上确界的有上界函数，求实数的值． 13．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期中）定义：二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与轴交点也相同的两个二次函数互为友好同轴二次函数．例如：的友好同轴二次函数为． (1)函数的对称轴为___________，其友好同轴二次函数为___________，两个函数表达式的二次项系数的关系是___________． (2)已知二次函数(其中且且)，其友好同轴二次函数记为． ①若函数的图象与函数的图象交于两点(点的横坐标小于点的横坐标)，求线段的长； ②当时，函数的最大值与最小值的差为8，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 二次函数的综合问题 题型梳理 题型方法 题型一 根据性质求范围问题 题型二 存在性问题 题型三 新定义问题 题型方法 【题型一】根据性质求范围问题 【例1】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）若二次函数的图象经过点和．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征．先判断函数的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的对称性和增减性，则可求得的取值范围． 【详解】解：∵二次函数， ∴图象的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， ∴点关于对称轴的对称点为， ∵二次函数的图象经过点和，且， ∴若点在对称轴的左侧，则，若点在对称轴的右侧，则， ∴或， 故选：D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级下·浙江宁波·阶段练习）已知抛物线（，是常数且，）经过点，点，在抛物线上，且，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据题意，求得该函数的对称轴，进而根据二次函数性质，离对称轴距离越近其值越大，建立不等式，求解即可； 【详解】解：由题可知，抛物线（，是常数且，）经过点， 则对称轴为， 则， 则， ， ， 该抛物线开口向下， 根据二次函数性质可知，离对称轴距离越近其值越大， 则， 即， 两边平方可得：， 解得：； 故答案为： 【变式2】（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)抛物线的对称轴为______；抛物线与轴的交点坐标为______； (2)若抛物线的顶点恰好在直线上，写出抛物线的顶点坐标，并求它的解析式； (3)若，，为抛物线上三点，且总有，求的取值范围． 【答案】(1)1， (2)， (3) 【分析】本题考查了二次函数的综合，解题关键是根据待定系数法求出二次函数解析式，利用抛物线顶点坐标公式求解； （1）直接利用抛物线对称轴公式求解即可，把代入即可求出抛物线与轴的交点坐标； （2）求出抛物线顶点坐标，代入即可求解； （3）根据三个点到对称轴的距离列出不等式，解不等式组即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴是直线， 把代入得，，抛物线与轴的交点坐标为， 故答案为：1，． （2）解：抛物线的顶点恰好在直线上，抛物线对称轴是直线， 所以抛物线的顶点坐标为，代入得，， 解得， 抛物线解析式为． （3）解：因为，，为抛物线上三点，且， 当时，，不符合题意； 当时，，要满足， 则，，解得，； 当时，，要满足， 则，解得； 当时，，不符合题意； 所以，的取值范围是． 【变式3】（24-25九年级上·浙江丽水·期末）已知二次函数（m为常数）． (1)若函数图象经过点，求二次函数的表达式； (2)当时，y有最大值为，求m的值； (3)若点，都在该函数的图象上，当时，求m的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质． （1）把代入函数解析式求出，即可得到答案； （2）根据的取值分，，三种情况讨论求解即可； （3）根据题意得到，，由得到，即可求出m的取值范围． 【详解】（1）解：∵该函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴函数的表达式为， （2） ∴函数的对称轴为直线，开口向上， ∵当时，y有最大值为， ∴当时，或时取得最大值，， 当时，即， ∴当时，函数取得最大值，即，解得，，不合题意，舍去； 当时，即 ∴当时，函数取得最大值，即，解得，，符合题意； 综上所述，的值为； （3）∵点，都在该函数的图象上， ∴， ∵， ∴，即 解得 【题型二】存在性问题 【例2】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知抛物线与直线交于且对称轴为直线． (1)求的解析式． (2)若抛物线与直线的另一个交点为且坐标原点为，在抛物线上是否存在一点（点不与点重合），使得．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)点的坐标为∶或． 【分析】（1）将点坐标代入一次函数解析式可求出的解析式，结合抛物线的对称轴及点的坐标可求出的解析式． （2）先求出点的坐标，再根据两个三角形的面积关系即可解决问题． 【详解】（1）解：将点坐标代入得，， 所以． 因为抛物线的对称轴是直线， 所以， 解得． 将点坐标代入得，， 所以． （2）解：将二次函数和一次函数解析式联立方程组得， ， 解得或 ∴点的坐标为，． ∴，， ∵， ∴ ∵，， ∴． 将代入得，， 解得． 所以点或． 将代入得，， 此方程无解． 综上所述，点的坐标为∶或． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数图象的交点问题，能根据所给条件求出二次函数和一次函数的解析式是解题的关键． 【举一反三】【变式1】（21-22九年级上·浙江杭州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为，O为坐标原点，连接OA，二次函数图像从点O沿OA方向平移，顶点始终在线段OA上（包括端点O和A），平移后的抛物线与直线x＝6交于点P，顶点为M． (1)若OM＝5，求此时二次函数的解析式，并求不等式的解集． (2)二次函数图像平移过程中，设点M的横坐标为m，直线AP交x轴于点B，线段PB是否存在最小值？若存在，求出此时m的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，或 (2)存在， 【分析】（1）先由点坐标求出所在直线解析式，求出点坐标，由坐标代求出二次函数解析，然后联立两函数方程求解； （2）用含代数式表示抛物线解析式，将代入可得的长，进而求解． 【详解】（1）解：设直线解析式为， 把代入得， 解得， ， 设点，则， ，即， 抛物线解析式为， 令，解得或， 的解集为或； （2）存在，理由如下： ， 二次函数解析式为， 把代入得， ， ， 当时，最小值为． 【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，涉及到待定系数法确定函数关系式、根据图像解不等式、两点之间的距离公式、二次函数最值等知识，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系． 【变式2】（2024九年级上·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，点A在原点的左侧，点B的坐标为，点P是抛物线上一个动点，且在直线的上方． (1)求这个二次函数的解析式； (2)当点P运动到什么位置时，的面积最大？请求出点P的坐标和面积的最大值． (3)连接，，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点P的坐标为，的面积的最大值为 (3)存在，P 【分析】（1）利用待定系数法可直接求出二次函数的解析式； （2）先设出点的坐标，然后作平行轴交与点，将三角形和三角形的面积表示出来，再求出最大值的条件和最大值； （3）先设出点的坐标，再求出的坐标，利用菱形的对角线互相垂直且邻边相等即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：把点，点的坐标代入解析式， 得：， 解得：， 二次函数得表达式为； （2）过点作轴的平行线与交于点，    设， 设直线的函数关系式为，则 ，解得： 得直线的解析式为， 则， ， 当时，的面积最大， 此时，点的坐标为，的面积的最大值为． （3）存在点，使四边形为菱形，如图，    设，交于点， 若四边形是菱形，则， 连接，则，， ， 解得，（不合题意，舍去）， 点的坐标为． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，关键是要会用待定系数法求抛物线的解析式，还要牢记菱形的性质：菱形的对角线互相垂直，菱形的四条边都相等，对于求三角形面积最大值的问题，一般是将三角形分割成两个三角形，即作轴的平行线或轴的平行线，然后再利用面积公式得出一个二次函数，求出顶点的纵坐标即是最大值． 【变式3】（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图①，在平面直角坐标系中．抛物线与x轴交于A，B两点（点B在点A右侧），，与y轴交于点C．直线经过点B，C．    (1)求抛物线的解析式； (2)若存在点P为上方抛物线上一点，问点P的坐标为何值时，的面积最大，并求出面积最大值； (3)如图②，在（2）的条件下，过点P作轴交直线于点E，作轴交直线于点F，若点S是x轴上的动点，点Q为平面内一点，是否存在点S，Q，使得以S，Q，E，F为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，面积最大，最大值为； (3)存在，点Q的坐标为或或或或． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，勾股定理，一次函数的性质，菱形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）求出点、的坐标，由可得点的坐标，利用待定系数法即可求解； （2）设点，过点P作x轴的垂线交直线于点H，，可得，根据二次函数的最值即可求解； （3）分三种情况画出图形，根据菱形的性质即可求解． 【详解】（1）解：直线，令，得， 令得，解得：， ，， ， ， 将，，代入得， ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：设点， 如图，过点P作x轴的垂线交直线于点H，   ， ， ∵点P为上方抛物线上一点， ， ， ∴当时，面积的最大值为， ∴； （3）解：存在， 由（2）知时，， ， 设， ①线段为菱形的边，四边形为菱形时，如图， ， ， ， 或， ∵四边形为菱形，点F的坐标可由点E向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到， ∴点Q可由点S向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到， 或； ②线段为菱形的边，四边形为菱形时，如图， ， ， ， 或， ∵四边形为菱形，点E的坐标可由点F向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到， ∴点Q可由点S向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到， 或； ③线段为菱形的对角线，四边形为菱形时，如图， ， ， 设， ， 解得：， ， 解得：， ， 综上所述，存在，点Q的坐标为或或或或． 【题型三】新定义问题 【例3】．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）定义：把二次函数与（，、是常数）称作互为“旋转函数”，如果二次函数与（、是常数）互为“旋转函数”，则下列选项中正确的是（    ） A．； B．； C．当时，； D．不论取何值， 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数的性质，根据“旋转函数”的定义得到，，，则，，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵二次函数与（、是常数）互为“旋转函数”， ∴， 解得，故选项A、B错误， ∴， ∴，， 当时，，故选项C正确； ∵， ∴只有当时，， 故选项D错误，故选：C 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）新定义：为二次函数（，，，为实数）的“图象数”，如：的“图象数”为，若“图象数”是的二次函数的图象与轴只有一个交点，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，根据新定义得出二次函数的解析式为，然后根据判别式的意义得出，计算即可得解． 【详解】解：由题意得：二次函数的解析式为， ∵二次函数的图象与轴只有一个交点， ∴， 整理得：， 解得：，， 故答案为：或． 【变式2】（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”．例如，，都是“纵三倍点”． (1)判断下列函数图象上是否存在“纵三倍点”，若存在，请求出满足条件的“纵三倍点”；若不存在，请说明理由． ①； ②； (2)已知抛物线（m，n均为常数）与直线只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”，求抛物线的解析式； 【答案】(1)①存在“纵三倍点”，其“纵三倍点”坐标为；②存在“纵三倍点”，其“纵三倍点”坐标为和； (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，反比例函数的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系： （1）①令，解方程即可得到结论；②令，解方程即可得到答案； （2）令，解得，则，则是抛物线的“纵三倍点”，则，再联立两函数解析式，根据两函数只有一个交点得到，求出m的值，进而求出n的值即可得到答案． 【详解】（1）解：①当时，解得， ∴， ∴函数的图象上存在“纵三倍点”，其“纵三倍点”坐标为； ②当时，解得， ∴函数的图象上存在“纵三倍点”，其“纵三倍点”坐标为和； （2）解：令，解得，则， ∴是抛物线的“纵三倍点”， ∴， ∴， 联立得， ∵抛物线（m，n均为常数）与直线只有一个交点， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴抛物线解析式为． 【变式3】（24-25九年级上·浙江湖州·期末）定义：对于关于的函数，函数在范围内有最大值和最小值，则称为极差值，记作．如函数，在范围内，该函数的最大值是，最小值为，即． 请根据以上信息，完成下列问题： (1)已知二次函数的图象经过点． ①求该函数的表达式； ②求该函数的的值． (2)已知函数，函数的图象经过点，且两个函数的相等，求的值． 【答案】(1)①二次函数解析式为；②； (2)的值为或 【分析】（1）①把点代入，运用待定系数法即可求解；②根据材料提示的方法结合二次函数图象的性质，求出最大值，最小值即可求解； （2）根据题意，可得到函数的极差值为：，把点代入函数，得到，分类讨论：当时，根据一次函数解析式，极差值的计算方法可解；当时，根据一次函数的极差值讨论二次函数极差值的计算，得到二次函数的最大值的点坐标为，代入一次函数计算即可；由此即可求解． 【详解】（1）解：①∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得，， ∴二次函数解析式为； ②∵二次函数解析式为， ∴二次函数图象开口向上，对称轴直线为，顶点坐标为， 即当时，二次函数有最小值， 当时，随的增大而减小， ∴在中，有最大值，最大值为， ∴； （2）解：∵函数的图象经过点， ∴函数的图象经过第一、三象限，随的增大而增大， ∴在中，时有最小值，最小为，时有最大值，最大值为 ∴函数的极差值为：， ∵函数的图象经过点， ∴， 解得，， 当时，， ∴函数的图象经过第二、四象限，随的增大而减小， ∴在中，时有最大值，最大为，时有最小值，最小值为 ∴， ∵两个函数的相等， ∴， 解得，； 当时，， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴直线为，顶点坐标为， ∴当时，二次函数有最大值，最大值为，当时，随的增大而增大， 在中，函数的最小值为， ∵函数的极差值，两个函数的相等， ∴当的最大值为时，， 解得，，， ∵，不符合题意， ∴， ∴把代入函数中得，， 解得，， 综上所述，的值为或． 【点睛】本题主要考查新定义，待定系数法求解析式，一次函数与二次函数的综合，二次函数最值的计算方法，理解新定义的计算方法，掌握一次函数，二次函数图象的性质是解题的关键． 好题必刷 一、单选题 1．（21-22九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）若抛物线经过第一，二，三，四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查抛物线与坐标轴的交点、二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据抛物线经过四个象限，说明抛物线与x轴的两个交点分别在原点的两侧，列出不等式即可求解． 【详解】解：令，则， 解得：， ∴抛物线与x轴交于和， ∵抛物线经过第一，二，三，四象限，且， ∴ ， ∴． 故选：B． 2．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）已知二次函数中自变量和函数的部分对应值如下表： 则方程 的一个解 的取值范围下列可能的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，先根据表格数值可得二次函数的对称轴为直线，又由表可知，当时，随的增大而增大，据此即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵或时，， ∴二次函数的对称轴为直线， 又由表可知，当时，随的增大而增大， ∴当时，其中一个解， 故选：． 3．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）定义：在平面直角坐标系中，若点满足横、纵坐标都为整数，则把点叫做整点．如：，都是整点．已知抛物线与轴交于，两点，若该抛物线在，之间的部分与线段所围的区域（包括边界）恰有个整点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出图象，找到该抛物线在、之间的部分与线段所围的区域（包括边界）恰有个整点的边界，利用与交点位置可得的取值范围． 【详解】解：抛物线化为顶点式为：， ∴函数的对称轴：， ∴和两点关于对称， 根据题意，抛物线在、之间的部分与线段所围的区域（包括边界）恰有个整点，这些整点是，，，，， 如图所示：      ∵当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴的取值范围是， 故选：． 【点睛】此题考查了抛物线与轴的交点、配方法确定顶点坐标、及数形结合等知识，利用函数图象确定与轴交点位置是解题的关键． 二、填空题 4．（24-25九年级上·浙江金华·期末）在平面直角坐标系中，已知二次函数（，，是常数，且）的图象上有点，点，设图象的对称轴为直线． （1）若，则的值为 ； （2）若，则的取值范围为 ． 【答案】 4 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，解题的关键是采用数形结合的思想，借助图象和性质来求解． （1）根据对称点，即可求解对称轴； （2）根据，可知函数图象开口向上，与轴的交点坐标为，图象有点，点，根据函数的性质即可判断出答案． 【详解】解：（1）若，则点关于直线对称， ∴， 故答案为：4； （2）， 图象开口向上，与轴的交点坐标为， 图象有点，点，且， ∴ ∴， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）定义，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键，根据函数的单调性以及二次函数的性质求解即可． 【详解】解：构造，又，且在上单调递增 ∴ ∴当时， 最小值即为 故答案为： 6．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）对于实数，，定义运算“”：；，关于的方程恰好有两个不相等的实数根，则的值是 ． 【答案】0或 【分析】本题考查定义新运算，二次函数的图象和性质，令，分和两种情况讨论，得到，将程恰好有两个不相等的实数根，转化为与直线恰有两个交点，利用数形结合的思想进行求解即可． 【详解】解：当，即时， ； 当，即时， ， ， ， 令， 则：， 画出函数图象如图： ∵关于的方程恰好有两个不相等的实数根， ∴与直线有两个交点 由图象可知，当时，满足题意， 当的顶点坐标在直线上时，满足题意， ∵， ∴顶点坐标为， ∴当时，满足题意， 综上：当或时，关于的方程恰好有两个不相等的实数根， 故答案为：0或． 三、解答题 7．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线． (1)当时，求抛物线与轴交点坐标； (2)求抛物线的对称轴，以及顶点纵坐标的最大值； (3)抛物线上两点和，当，时，若存在，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质： （1）将代入抛物线，可得到抛物线； （2）抛物线经过点，，可得到抛物线的对称轴为直线，将代入，即可求得答案； （3）时，点与点关于对称轴对称，点在对称轴左侧，点在对称轴右侧，可得，，进而可得到． 【详解】（1）当时，， 将代入，得 ， 解得． 所以，抛物线与轴的交点坐标为． （2）∵抛物线经过点，， ∴抛物线的对称轴为直线， 将代入，得 ， ∴抛物线顶点纵坐标为，其最大值为． （3）时，点与点关于对称轴对称，点在对称轴左侧，点在对称轴右侧，可得 ， 解得 ． 因为点关于对称轴的对称点坐标为，则 ． ∵， ∴． ∵， ∴． 解得 ． 综上所述，． 8．（24-25九年级下·浙江金华·阶段练习）已知抛物线的对称轴为直线． (1)求b的值； (2)当时，函数值y的最大值与最小值的和为6，求c的值； (3)当时，抛物线与x轴有且只有一个交点，求c的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）根据坐标轴的公式进行计算即可； （2）根据题意求出当时，函数取得最小值，当时，函数取得最大值，即可得到答案； （3）抛物线与x轴有且只有一个交点，根据根的判别式进行计算即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线， ， ； （2）解：， 抛物线的开口方向向上， 当时，函数取得最小值， 当时，函数取得最大值， 当时，函数值y的最大值与最小值的和为6， ， 解得：； （3）由（1）得抛物线为， 抛物线与x轴有且只有一个交点， ①， 解得：， ②当时，抛物线与x轴有且只有一个交点， ， c的取值范围为或． 9．（2024九年级下·浙江·专题练习）已知抛物线 (1)直接写出抛物线的顶点坐标（用含a的式子表示）； (2)抛物线是否过定点？若过，请求出定点坐标，若不过，请说明理由； (3)若，，都在抛物线上，是否存在实数m，使得恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)抛物线是过定点， (3)存在， 【分析】本题主要考查了二次函数的图象的性质： （1）由，可得抛物线的顶点坐标为； （2）令，则，解得，或，则抛物线是过定点，； （3）由，可知二次函数图象开口向下，当时，随着的增大而增大；当时，随着的增大而减小；由，可知当，且时，即，此时；当，且时，无解； 然后作答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线解析式， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：令，则，解得，或， ∴二次函数图象与轴的两个交点为，， ∴抛物线是过定点，； （3）解：由（1）可知，抛物线顶点坐标为， ∵， ∴二次函数图象开口向下， 当时，随着的增大而增大；当时，随着的增大而减小， ∵， ∴当，且时，即，此时； 当，且时，无解； 综上，时，． 10．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)当时，求函数的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式和二次函数的性质是解题关键． （1）把，分别代入，解方程组求出、的值即可得答案； （2）先分别求出当时和当时，的值，再求出二次函数的对称轴和最大值，根据二次函数的增减性求解即可得． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为：． （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，最大值为， ∵， ∴时，随的增大而增大，时，随的增大而减小， 当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围为． 11．（24-25九年级下·浙江金华·阶段练习）已知二次函数的图象经过点 (1)求二次函数的图象的对称轴． (2)若的最大值为，将该函数的图象向右平移个单位长度，得到新的二次函数的图象．当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和． (3)设的图象与轴的交点分别为，，且若，求a的取值范围． 【答案】(1)直线； (2)； (3) 【分析】本题为二次函数综合运用，涉及到函数的最值、一元二次方程根和系数关系得运用等，熟悉函数的图象和性质是解题的关键． （1）将点的坐标代入抛物线表达式得，则，即可求解； （2）求出抛物线的表达式为：，得到新抛物线的表达式，即可得到答案； （3）根据题意得到，求出，求得． 【详解】（1）解：将点的坐标代入抛物线表达式得 则， 抛物线的对称轴为直线，即； （2）解：由（1）知，抛物线的表达式为：， 该函数的顶点坐标为， 函数的最大值为 ， ， 故抛物线的表达式为：， 则新抛物线的表达式为：， ， 当时，新的二次函数的最大值最大值为 当时，函数的值最小，最小值为 新的二次函数的最大值与最小值的和； （3）解：的图象与轴的交点分别为，， 由（1）知， 令，则， ， ， 解得：． 12．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数，对于任意的函数值，都满足，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数是有上界函数，其上确界是1． (1)函数是否为有上界函数？若是，请求出它的上确界； (2)如果以10为上确界的有上界函数，求的值； (3)如果函数是以为上确界的有上界函数，求实数的值． 【答案】(1)有上确界，上确界为0 (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，二次函数与一元二次方程，根据所给范围分类讨论求二次函数的最大值是解题的关键． （1）根据上确界的定义，结合二次函数的性质即可求解； （2）根据上确界的定义，结合一次函数的性质即可求解； （3）分当时，则，当时，则，当时，则，三种情况，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线开口向下，顶点坐标， 有上确界，上确界为0； （2）解：∵， ∴随值的增大而增大， ∵以10为上确界的有上界函数， ∴， ∴； （3）解：的对称轴为直线，开口向下， 当时，则， 的最大值为， 为上确界， ， 解得：或（舍去）； 当时，则， 的最大值为， ∵为上确界， ， 解得：或（舍去）； 当时，则， 的最大值为， 为上确界， ∴， ∴， ∴无解． 综上所述：的值为或． 13．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期中）定义：二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与轴交点也相同的两个二次函数互为友好同轴二次函数．例如：的友好同轴二次函数为． (1)函数的对称轴为___________，其友好同轴二次函数为___________，两个函数表达式的二次项系数的关系是___________． (2)已知二次函数(其中且且)，其友好同轴二次函数记为． ①若函数的图象与函数的图象交于两点(点的横坐标小于点的横坐标)，求线段的长； ②当时，函数的最大值与最小值的差为8，求的值． 【答案】(1)直线；；和为1 (2)①4；②或3 【分析】（1）将函数画出顶点式即可得函数的对称轴，再根据友好同轴二次函数的定义求解即可得； （2）①根据友好同轴二次函数的定义求出函数，联立函数，，解方程可求出点的坐标，由此即可得； ②分且且、两种情况，利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：函数的对称轴为：直线， 因为， 所以设函数的友好同轴二次函数为， 因为与y轴的公共交点是， 所以，解得， 所以函数的友好同轴二次函数为， 由定义可知：两个函数表达式的二次项系数的关系是和为1． 故答案为：直线；；和为1． （2）解：①二次函数， 则设， 所以，解得， 所以， 联立得：， 解得或， 当时，；当时，， 所以， 所以； ②函数的对称轴为直线， (Ⅰ)当且且时，抛物线的开口向上， 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， 则当时，取得最小值，最小值为， 当时，取得最大值，最大值为4， 所以， 解得，符合题设； (Ⅱ)当时，抛物线开口向下， 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， 则当时，取得最大值，最大值为， 当时，取得最小值，最小值为4， 所以， 解得，符合题设； 综上，的值为或3． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，掌握理解友好同轴二次函数的定义是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$