专题06 几何压轴题（湖北专用）-【好题汇编】2025年中考数学二模试题分类汇编

专题06 几何压轴题 题型概览 题型01最值问题 题型02折叠问题 题型03几何解答压轴题 ( 题型0 1 )最值问题 1．(2025·湖北省黄石市·二模)如图，在等边三角形中，，在，上分别取点M，N，且，，在上有一动点，则的最小值为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 2．(2025·湖北省孝感市·二模)如图，E，F是正方形的边的三等分点，P是对角线上的动点，当取最小值时， ， ． ( 题型0 2 )折叠问题 3．(2025·湖北省黄石市·二模)如图，已知正方形的边长为4，点E、F分别在边、上，将正方形沿着翻折，点B恰好落在边上的点处，若四边形的面积为6，则线段的长为 ． 4．(湖北省黄石市阳新县北部联盟2025年中考第二次模拟)如图，将矩形纸片折叠，折痕为，折叠后，点D的对应点落在延长线上的点F处，点C的对应点为点G，延长交于点H．若，，则四边形的面积为 ． 5．(2025年湖北省恩施州中考二模)如图，在正方形中，点M在上，，，沿折叠，设点A的对应点为N，延长交的延长线于点P．则的长为 ． 6．(2025·湖北省十堰市·二模)如图，在中，，是边上的中点，连接，把沿直线翻折，得到，与交于点，连接，若，则： （1）则 ； （2）的面积为 ． 7．(2025·湖北省咸宁市·二模)如图，矩形，为的中点，为上一点，沿折叠四边形得到同一平面内的四边形，点，的对应点分别为，．若，，三点共线，，，则长为 ． 8．(2025九·湖北省十堰市·二模)如图，在菱形中，，，点M为边上一点，，点N为边上的一动点，沿将翻折，点A落在点P处，当点P在菱形的对角线上时，的长度为 ． ( 题型0 3 )几何解答压轴题 9．(2025·湖北省黄石市·二模)（1）【问题探究】 如图1，于点B，于点C，交于点D，求证： （2）【知识迁移】 如图2，在矩形中，E是上的一点，作交于点F，，若，，求的值． （3）【拓展应用】 如图3，菱形的边长为5，，E为上的一点，过D作E交于点F，交于点G，且，求的长． 10．(湖北省黄石市黄石港区四校2025年中考第二次模拟)在长方形中，，，P，Q分别是边，上的点，将四边形沿翻折，A，B两点的对应点分别为F，E． (1)如图1，当点E落在上，求证：； (2)如图2，若，点E与点D重合，求线段的长； (3)如图3，若，点E恰好落在中点，求线段的长． 11．(黄石市阳新县北部联盟2025年中考第二次模拟)（1）如图1，四边形是正方形，是等腰直角三角形，． ①求证：；②线段与的数量关系是______； （2）将图1中的绕点B顺时针旋转，当旋转到点F在的延长线上时，与相交于点G， ①如图2，当点G是的中点时，若，求线段的长； ②如图3，当点G不是的中点时，设的中点为H，连接，判断线段的关系，并说明理由．    12．(2025年湖北省恩施州中考二模)（1）如图1，在中，，，过点A作于点O，点M为的中点，则与的数量关系是______； （2）如图2，在中，，，过点A作于点O，将绕点C顺时针旋转到，点M为的中点，连接，，． ①求证：； ②试判断与的数量关系，并说明理由． 13．(2025·湖北省襄阳市宜城市·二模)若点在四边形内部，且点到四边形的一条边的两个端点距离相等时，称点为该边的“等距点”．例如：如图1，点在四边形内部，且，则称点为边的“等距点”． (1)如图1，四边形中，于点P，，求证：点是边的“等距点”． (2)当四边形满足_______时，该四边形的四条边的“等距点”交于一点． (3)如图2，点是矩形边的“等距点”， ．当时，请求出的值． 14．(2025·湖北省孝感市·二模)综合与实践 【问题情境】在中，，，．直角三角板中，将三角板的直角顶点D放在斜边的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边，分别与边，交于点M，N． 【猜想证明】（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边的中点时，试判断四边形的形状，并说明理由； 【问题解决】 （2）如图②，在三角板旋转过程中，当时，求线段的长； （3）如图③，在三角板旋转过程中，当时，直接写出线段的长． 15．(2025·湖北省十堰市·二模)综合与实践 问题提出：在一次综合与实践活动中，某数学兴趣小组将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形的中心处，并绕点旋转，探究直角三角板与正方形重叠部分的面积变化情况． 操作发现：将直角三角板的直角顶点放在点处，在旋转过程中： （1）若正方形边长为4，当一条直角边与对角线重合时，重叠部分的面积为______；当一条直角边与正方形的一边垂直时，重叠部分的面积为______． （2）若正方形的面积为，重叠部分的面积为，在旋转过程中与的关系为______． 类比探究：如图1，若等腰直角三角板的直角顶点与点重合，在旋转过程中，两条直角边分别角交正方形两边于，两点，小宇经过多次实验得到结论，请你帮他进行证明． 拓展延伸：如图2，若正方形边长为4，将另一个直角三角板中角的顶点与点重合，在旋转过程中，当三角板的直角边交于点，斜边交于点，且时，请求出重叠部分的面积． （参考数据：，，） 16．(2025·湖北省随州市·二模)【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题，如图1，是等边三角形，是外部一点，连接、、，且，求证： ①如图2，小亮同学从线段出发，给出如下解题思路：将线段绕点顺时针旋转60°到，连接、，将线段、、转化到中证明结论． ②如图3，小明同学从线段出发，给出如下解题思路，将线段逆时针旋转到，连接、，构造全等三角形和直角三角形，从而证明结论． 请你选择一名同学的思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）李老师发现前面的两名同学都利用“旋转”这一图形变换，将三条分散的线段转化到同一个三角形中，为了帮助学生更好地体会“旋转”变换的妙用，李老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答． 如图4，△ABC是等腰直角三角形，，，点、是斜边所在的直线上的两点，连接、，满足，求证： 【学以致用】 （3）如图5，在中，，将线段绕点顺时针旋转到，连接、，若， ，求线段的长． 17．(2025九·湖北省黄冈市·二模)（1）【观察发现】如图1，在中，点D在边上，若，则，请证明； （2）【灵活运用】如图2，在平行四边形中，E为上的一点，F为延长线上一点，且．若，，求的长； （3）【拓展延伸】如图3，在菱形中，，点E，F分别在边，上，，延长，相交于点G，若，，求的长． 18．(2025·湖北省咸宁市·二模)在和中，，，，． (1)如图，求证：； (2)当点落在线段上时． 如图，若平分时，，求线段的长； 如图，是的中点，过点作交于点，当时，判断线段与的数量关系，并证明． 19．(2025·湖北省十堰市·二模)如图，在矩形中，，，点E是线段上一点，连接，过点E作，交于点F． 【一般化感知】 （1）如图，求证：； 【特殊化探究】 （2）如图，连接交于点G．若，求的长； 【拓展性延伸】 （3）如图，连接，过点C作，交的延长线于点H．若点E是的中点，求的长． 20．(2025九·湖北省十堰市·二模)在矩形中，，点E，F分别在线段上，且， (1)如图1，当时，试判断与是否等长，为什么？ (2)若，沿射线方向平移线段，得到线段． ①如图2，点G在的延长线上，点H在线段上，时，试求的长． ②如图3，点G，H分别在线段上，沿将四边形折叠，点A落在线段上的点F处，点B落在点M处，若，试求的值． 21．（湖北省襄阳市襄州区2025年九年级中考第二次模拟）（）如图①，已知．点在边上，沿折叠，使点的对应点落在边上，交于点．求证：． （）如图②，已知中，，点在边上，沿折叠，点的对应点落在边的下方，且于点，交于点，交于点． ①探究和的数量关系； ②若，求的长． 22．（2025年湖北省楚天名校协作体九年级中考数学二模）（1）【操作发现】如图1，将边长为的正方形纸片沿过点的直线折叠，使点落在正方形内部的点处，折痕为，再将纸片沿过点的直线折叠，使与重合，折痕为． ①的度数为______；②若点是边的中点，则的值为______； （2）【拓展探究】如图2，在（1）的条件下，连接分别交折痕、于， ①线段、和有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明； ②如图3，若点为边的三等分点，连接，求线段的长． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 几何压轴题 题型概览 题型01最值问题 题型02折叠问题 题型03几何解答压轴题 ( 题型0 1 )最值问题 1．(2025·湖北省黄石市·二模)如图，在等边三角形中，，在，上分别取点M，N，且，，在上有一动点，则的最小值为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【来源】2025年湖北省黄石市铁山区四校中考第二次模拟考试数学试卷 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识．作点N关于的对称点，连接交于P，连接，，此时的值最小，最小值，求出结果即可． 【详解】解：如图，∵是等边三角形， ∴，， ∵为的平分线， ∴，， 作点N关于的对称点，连接交于P，连接， 根据轴对称可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， 即的最小值为， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 故选：C． 2．(2025·湖北省孝感市·二模)如图，E，F是正方形的边的三等分点，P是对角线上的动点，当取最小值时， ， ． 【答案】 【来源】2025年湖北省孝感市孝南区中考二模数学试题 【分析】作点F关于的对称点，连接交于点，此时取得最小值，根据正切的定义，求出，过点作的垂线段，交于点K，根据题意可知点落在上，设正方形的边长为，求得的边长，证明，可得，即可解答． 【详解】解：作点F关于的对称点，连接交于点，过点作的垂线段，交于点K，连接，则    由题意得：此时落在上，且根据对称的性质，当P点与重合时取得最小值，， 设正方形的边长为a，则，， 四边形是正方形， ，，，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ，   ， 当取得最小值时，的值是为， 故答案为：，． ( 题型0 2 )折叠问题 3．(2025·湖北省黄石市·二模)如图，已知正方形的边长为4，点E、F分别在边、上，将正方形沿着翻折，点B恰好落在边上的点处，若四边形的面积为6，则线段的长为 ． 【答案】 【来源】2025年湖北省黄石市铁山区四校中考第二次模拟考试数学试卷 【分析】本题考查了正方形的性质，图形翻折的特征，矩形的判定和性质，三角形全等判定和性质，勾股定理，作出合理的辅助线是解决问题的关键．连接交于，过点作于．根据四边形的面积为6，得到，设，利用翻折特征，得到，证明，依次得到，，在利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：连接交于，过点作于，如图所示， 四边形为正方形， 四边形是梯形， 四边形的面积为，又， ， 设，则，， ，，， 四边形为矩形， ， , 四边形为矩形， , 点是点沿着的翻折点， ， ， ，又，， ， ， 在中，根据翻折特征，，利用勾股定理得， ，即， 解得， ， 故答案为：． 4．(湖北省黄石市阳新县北部联盟2025年中考第二次模拟)如图，将矩形纸片折叠，折痕为，折叠后，点D的对应点落在延长线上的点F处，点C的对应点为点G，延长交于点H．若，，则四边形的面积为 ． 【答案】10.5 【来源】湖北省黄石市阳新县北部联盟2025年中考第二次模拟考试数学试题卷 【分析】本题主要考查了勾股定理，解直角三角形，矩形的折叠问题，矩形的性质等知识点，连接，延长交于点O，交于点M，连接，证明，进而证明，在中，勾股定理求得，进而根据，得出，根据，求得，进而根据折叠的性质可得，即可求解，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 【详解】如图所示，连接，延长交于点O，交于点M，连接， 设， ∵， ∴， 由折叠知：，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则， 由折叠知：， 故答案为：10.5． 5．(2025年湖北省恩施州中考二模)如图，在正方形中，点M在上，，，沿折叠，设点A的对应点为N，延长交的延长线于点P．则的长为 ． 【答案】/ 【来源】2025年湖北省恩施州中考二模九年级数学试卷 【分析】本题考查了正方形与折叠问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理．先证明，推出，设，则，，在中，由勾股定理列式计算求得，再证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：记与相交于点，连接， ∵正方形， ∴，， 由折叠的性质知，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设， ∴，， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ∴，， ∵正方形， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 故答案为：． 6．(2025·湖北省十堰市·二模)如图，在中，，是边上的中点，连接，把沿直线翻折，得到，与交于点，连接，若，则： （1）则 ； （2）的面积为 ． 【答案】 / 【来源】2025年湖北省十堰市名校联盟中考二模数学试题 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质等． （1）由翻折知，，证为等边三角形，即可求解； （2）在中，求得，，证明，得到，求得，即，进一步计算即可求解． 【详解】解：（1），D是边上的中点， ， 由翻折知，， ，， ， 为等边三角形， ； 故答案为：； （2）∵， ∴， 在中，，， ，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 7．(2025·湖北省咸宁市·二模)如图，矩形，为的中点，为上一点，沿折叠四边形得到同一平面内的四边形，点，的对应点分别为，．若，，三点共线，，，则长为 ． 【答案】 【来源】2025年湖北省咸宁市中考二模数学试题 【分析】本题考查了矩形与折叠，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 过作于点，过作于点，则，证明四边形是矩形，则有，，由折叠性质可知，，则，又为的中点，则，所以，从而有，故，设，则，求出，则，设，则，根据勾股定理得，解得，则，同理设，则，所以，，由勾股定理得出，求出的值即可． 【详解】解：如图，过作于点，过作于点，则， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， 由折叠性质可知，， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， ∵， ∴，解得：（负值已舍去）， ∴，则， 设，则， ∵， ∴，解得：， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴，， 由勾股定理得：， ∴，解得：（舍去），， ∴， 故答案为：． 8．(2025九·湖北省十堰市·二模)如图，在菱形中，，，点M为边上一点，，点N为边上的一动点，沿将翻折，点A落在点P处，当点P在菱形的对角线上时，的长度为 ． 【答案】2或 【来源】2025年湖北省十堰市九年级数学中考二模试题 【分析】本题主要考查菱形的性质及相似三角形的判定及性质，折叠的性质，分情况讨论是解题的关键．（1）当点P在菱形对角线上时，由折叠的性质得，证出，得出 （2）当点P在菱形对角线上时，设，由折叠的性质得，求出，从而证明，再由相似三角形的性质可得出，则可求． 【详解】解：分两种情况：（1）当点P在菱形对角线上时，如图 由折叠的性质得 ∵四边形是菱形， （2）当点P在菱形对角线上时，如图 设 由折叠的性质得 ，， ∵四边形是菱形， ， 即 解得或（不符合题意，舍去） ∴ 综上所述，AN的长为2或 故答案为2或． ( 题型0 3 )几何解答压轴题 9．(2025·湖北省黄石市·二模)（1）【问题探究】 如图1，于点B，于点C，交于点D，求证： （2）【知识迁移】 如图2，在矩形中，E是上的一点，作交于点F，，若，，求的值． （3）【拓展应用】 如图3，菱形的边长为5，，E为上的一点，过D作E交于点F，交于点G，且，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【来源】2025年湖北省黄石市铁山区四校中考第二次模拟考试数学试卷 【分析】（1）证明即可得出结论； （2）先证明，得，再设，则，，即，解之即可求出值，再把值代入比例式中即可求解； （3）连接交于，交于，根据菱形性质和解直角，求得，，再证明，得，从而得，继而求得，进而得到，然后证明，得到，则 【详解】解：（1）， ， ， ，， ， 又， ， ， ， ； （2）四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， 解得：，（不符合题意，舍去）， ； （3）连接交于，交于，   四边形是菱形， ， ， ， 设，，由勾股定理，得，解得：或（舍去）， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ∴， 四边形是菱形， ， ， ， ∴。 【点睛】本题考查矩形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，属四边形综合题目，难度较大，为中考压轴题目． 10．(湖北省黄石市黄石港区四校2025年中考第二次模拟)在长方形中，，，P，Q分别是边，上的点，将四边形沿翻折，A，B两点的对应点分别为F，E． (1)如图1，当点E落在上，求证：； (2)如图2，若，点E与点D重合，求线段的长； (3)如图3，若，点E恰好落在中点，求线段的长． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【来源】湖北省黄石市黄石港区四校2025年中考第二次模拟考试数学试题卷 【分析】（1）由长方形的性质及折叠的性质证出，在根据等角对等边即可得出结论． （2）设，则，由（1）的结论以及翻转的性质可得出，，由勾股定理可得出答案． （3）方法1：连接，设，，，由折叠得，，， 由勾股定理解，，可得，由勾股定理解，可得，联立，通过加减消元解出，即可求解； 方法2：延长交的延长线于点M，证明，得出，，设，，由折叠知，，，由勾股定理得出，进而求出y，进而可求出． 【详解】（1）证明∶∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∵将四边形沿翻折， ∴， ∴， ∴． （2）解：设，则， ∴， ∴， 在中， ， 即， 解得： ∴． （3）解：方法1：如图，连接， 设，，， 则，， 由折叠得，，， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 由得：， 由得：， 得：， ∵， ∴， 即． 方法2：延长交的延长线于点M， ∵， ∴， ， ∵E为的中点， ∴， ∴ ∴，， 设，， 由折叠知， ∴， ∴， 由(1)知， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， 即， 解得：（负值舍去）， ∴． 11．(黄石市阳新县北部联盟2025年中考第二次模拟)（1）如图1，四边形是正方形，是等腰直角三角形，． ①求证：；②线段与的数量关系是______； （2）将图1中的绕点B顺时针旋转，当旋转到点F在的延长线上时，与相交于点G， ①如图2，当点G是的中点时，若，求线段的长； ②如图3，当点G不是的中点时，设的中点为H，连接，判断线段的关系，并说明理由．    【答案】（1）①证明见解析；②；（2）①；②，理由见解析 【来源】湖北省黄石市阳新县北部联盟2025年中考第二次模拟考试数学试题卷 【分析】（1）①根据正方形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质得到，据此可证明，，则可证明；②根据相似三角形的性质求解即可； （2）①由正方形的性质得到，，则，由勾股定理得；证明，求出，则由勾股定理得，进而求出，则；②如图所示，连接，证明四点共圆，得到，，则垂直平分，据此可证明，再由点H为的中点，可证明是等腰直角三角形，则． 【详解】解：（1）①∵四边形是正方形， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴，， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）①∵四边形是正方形， ∴，， ∵点G是的中点， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴； ②，理由如下： 如图所示，连接， ∵， ∴ ∴四点共圆， ∴，， ∴平分， ∵是等腰直角三角形， ∴垂直平分， ∴， 由正方形的性质可得， ∴， ∵点H为的中点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴．    12．(2025年湖北省恩施州中考二模)（1）如图1，在中，，，过点A作于点O，点M为的中点，则与的数量关系是______； （2）如图2，在中，，，过点A作于点O，将绕点C顺时针旋转到，点M为的中点，连接，，． ①求证：； ②试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）①证明见解析；②，理由见解析 【来源】2025年湖北省恩施州中考二模九年级数学试卷 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理，旋转的性质等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）先求出，再证明是等腰直角三角形，得到，再证明，解直角三角形即可得到结论； （2）①由三线合一定理得到点O为的中点，则为的中位线，可得，则有，由旋转的性质可得，可证明，，则可证明； ②由旋转知，，．解直角三角形可得，，由三角形中位线定理可得，则可证明，进而证明，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵点M为的中点， ∴， ∴； （2）①∵，， ∴点O为的中点，， ∵点M为的中点， ∴为的中位线， ∴ ， 由旋转的性质可得， ， ， ， ； ②，理由如下： 由旋转知，，． ，， ∴点O为的中点，． ，， ∵为的中位线， ∴     ， ， ∵ ， ， 即． 13．(2025·湖北省襄阳市宜城市·二模)若点在四边形内部，且点到四边形的一条边的两个端点距离相等时，称点为该边的“等距点”．例如：如图1，点在四边形内部，且，则称点为边的“等距点”． (1)如图1，四边形中，于点P，，求证：点是边的“等距点”． (2)当四边形满足_______时，该四边形的四条边的“等距点”交于一点． (3)如图2，点是矩形边的“等距点”， ．当时，请求出的值． 【答案】(1)见解析 (2)对角互补 (3)或 【来源】2025年湖北省襄阳市宜城市第二次中考模拟数学试题 【分析】（1）由于点P，，可得，即得点P是边的“等距点”； （2）根据“等距点”定义知点P到点A、B、C、D四点距离相等，得四边形是的内接四边形，得四边形的对角互补，即满足条件； （3）根据矩形性质得，，，根据“等距点”定义知，根据等腰三角形性质得，过点P作于点E，作于点F，则四边形是矩形，得，根据证明，得，得，得，解得或，即得或． 【详解】（1）证明：∵于点P， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点P是边的“等距点”； （2）解：∵该四边形的四条边的“等距点”交于一点， ∴“等距点”点P到点A、B、C、D四点距离相等， ∴四边形是的内接四边形， ∴四边形的对角互补， 故当四边形满足对角互补时， 该四边形的四条边的“等距点”交于一点， 故答案为：对角互补； （3）解：过点P作于点E，作于点F， 则， ∵矩形中，，， ∴，四边形是矩形， ∵点是矩形边的“等距点”， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，或， 当时， ， 当时， ． 故的值为或． 14．(2025·湖北省孝感市·二模)综合与实践 【问题情境】在中，，，．直角三角板中，将三角板的直角顶点D放在斜边的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边，分别与边，交于点M，N． 【猜想证明】（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边的中点时，试判断四边形的形状，并说明理由； 【问题解决】 （2）如图②，在三角板旋转过程中，当时，求线段的长； （3）如图③，在三角板旋转过程中，当时，直接写出线段的长． 【答案】（1）四边形为矩形，理由见解析；（2）；（3） 【来源】2025年湖北省孝感市孝南区中考二模数学试题 【分析】（1）根据三角形中位线的性质得，可得，再根据“有三个角是直角的四边形是矩形”得出答案； （2）先根据勾股定理求出，即可得，再结合已知得，接下来根据等腰三角形的性质得，然后证明，最后根据相似三角形的对应边成比例得出答案； （3）延长至H，使，连接，，，先根据“边角边”证明，可得，，接下来说明，再设，可表示，，，在中，根据勾股定理可得，求出解，即可得出答案． 【详解】解：（1）四边形为矩形． 理由如下：点M为中点，点D为中点， 是的中位线， ， . ， ． ， ， ∴四边形为矩形； （2）在中，，，， ． 点D是的中点， ． ， ． ，， ． ． 过点N作于点G． ，． ，， ∴． ， 即， ； （3）． 延长至H，使，连接，，， ， ， 是中点， ， 又， ， ，． ， ， ， ， 设，则，，， 在中，， ， 解得， ． 15．(2025·湖北省十堰市·二模)综合与实践 问题提出：在一次综合与实践活动中，某数学兴趣小组将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形的中心处，并绕点旋转，探究直角三角板与正方形重叠部分的面积变化情况． 操作发现：将直角三角板的直角顶点放在点处，在旋转过程中： （1）若正方形边长为4，当一条直角边与对角线重合时，重叠部分的面积为______；当一条直角边与正方形的一边垂直时，重叠部分的面积为______． （2）若正方形的面积为，重叠部分的面积为，在旋转过程中与的关系为______． 类比探究：如图1，若等腰直角三角板的直角顶点与点重合，在旋转过程中，两条直角边分别角交正方形两边于，两点，小宇经过多次实验得到结论，请你帮他进行证明． 拓展延伸：如图2，若正方形边长为4，将另一个直角三角板中角的顶点与点重合，在旋转过程中，当三角板的直角边交于点，斜边交于点，且时，请求出重叠部分的面积． （参考数据：，，） 【答案】（1）4；4；（2）；类比探究：见解析；拓展延伸： 【来源】2025年湖北省十堰市名校联盟中考二模数学试题 【分析】本题考查了正方形的性质，图形旋转的性质，三角形的全等的判定及性质，三角函数的概念等知识点，正确作辅助线证明三角形全等是解题的关键． 操作发现：（1）根据图形即可判断重叠部分即为（对角线分成的四个三角形中的一个）求出面积即可；当一条直角边与正方形的一边垂直时，如图，证明四边形是正方形，求解面积即可； （2）如图，过点作于点，于点．证明，从而证明，即可求得结论； 类比探究： 先证明，从而证明，即可证明结论； 拓展延伸：过点作于点，于点．先证明，即可证明，，从而证明，根据，即可求得，由重叠部分的面积，即可求得结果． 【详解】解：操作发现：（1）四边形是正方形， ， 当一条直角边与对角线重合时，重叠部分的面积为； 当一条直角边与正方形的一边垂直时，如图， ， 四边形是矩形， 四边形是正方形， ，， ， ， 四边形是正方形， ， 四边形的面积是4， 故答案为：4，4； （2）如图，过点作于点，于点． 是正方形的中心， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：； 类比探究： 证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 拓展延伸： 过点作于点，于点． 同（2）可知四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 由（1）可知，， ， ， ， 重叠部分的面积 ． 16．(2025·湖北省随州市·二模)【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题，如图1，是等边三角形，是外部一点，连接、、，且，求证： ①如图2，小亮同学从线段出发，给出如下解题思路：将线段绕点顺时针旋转60°到，连接、，将线段、、转化到中证明结论． ②如图3，小明同学从线段出发，给出如下解题思路，将线段逆时针旋转到，连接、，构造全等三角形和直角三角形，从而证明结论． 请你选择一名同学的思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）李老师发现前面的两名同学都利用“旋转”这一图形变换，将三条分散的线段转化到同一个三角形中，为了帮助学生更好地体会“旋转”变换的妙用，李老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答． 如图4，△ABC是等腰直角三角形，，，点、是斜边所在的直线上的两点，连接、，满足，求证： 【学以致用】 （3）如图5，在中，，将线段绕点顺时针旋转到，连接、，若， ，求线段的长． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）见解析；（3） 【来源】2025年湖北省随州市曾都区万店镇一中中考模拟数学试题（二） 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，解题关键是利用旋转构造全等三角形，把分散的线段集中到同一个三角形中． （1）①根据旋转的性质可知，，在利用手拉手模型证明，从而可得，进而可得，②同①方法，证明即可得出结论； （2）模仿（1）的方法，将线段绕点A逆时针旋转到，连接，，证明，可得， ，再利用，证明，从而可得，由勾股定理可得，结合线段等量关系代换即可得出结论； （3）模仿（2）的方法，过点作，截取，连接，，先求出．由（2）同理可证．再过点E作，交的延长线于点，求出，进而求出，由即可得出结论． 【详解】（1）证明：①根据题意，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∴ ∴． ∵，， ∴， ∴ ， ∴                                                                ②根据题意，，，   ∴是等边三角形， ∴．   ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，                                                                              ∴，． ∵且   ∴ ， ∵ ， ∴ ∴， ∴， ∴．                                                                              （2）证明：如图1，将线段绕点A逆时针旋转到，连接，． ∵是等腰直角三角形， ，， ∴ ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴ ，                                            ∵，且，， ∴ ∴．   ∵，，   ∴， ∴， ∴在中，， ∴ （3）解：如图2，过点作，截取，连接，， ∴是等腰直角三角形． ∵， ∴，． 由（2）同理可证．， 过点E作，交的延长线于点， ∴ ∵，   ∴，   ∴． 在中，根据勾股定理得 ， ∵ ，   ∴．        在中，根据勾股定理得， ∴． 17．(2025九·湖北省黄冈市·二模)（1）【观察发现】如图1，在中，点D在边上，若，则，请证明； （2）【灵活运用】如图2，在平行四边形中，E为上的一点，F为延长线上一点，且．若，，求的长； （3）【拓展延伸】如图3，在菱形中，，点E，F分别在边，上，，延长，相交于点G，若，，求的长． 【答案】（1）见详解；（2）；（3）． 【来源】2025年 湖北省黄冈市红安二中教联体九年级中考数学模拟试卷（二） 【分析】（1）证明，得到，得出； （2）由平行四边形的性质得出，证明，得出，求出，进而求出； （3）连接，证明，得出，即，即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵， ， ， ； （2）解：∵四边形是平行四边形， ， 又 ∵， ， 又 ∵， ， ， ， ； （3）解：连接， ∵四边形为菱形， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：，负值舍去， ， ， ， ∴为直角三角形，， ， ∴在中根据勾股定理得：， ， ， ， ， 即， 解得：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法． 18．(2025·湖北省咸宁市·二模)在和中，，，，． (1)如图，求证：； (2)当点落在线段上时． 如图，若平分时，，求线段的长； 如图，是的中点，过点作交于点，当时，判断线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析； (2)；． 【来源】2025年湖北省咸宁市中考二模数学试题 【分析】（）证明，然后根据全等三角形的性质即可求证； （）作于点，求出，再通过等腰直角三角形性质可得，又平分，则，再得出，则有，最后通过线段和差即可求解； 延长交于点，连接交于点，证明，则有，再证明，所以，设，则，在中，由勾股定理得，再代入求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴； （2）解：如图，作于点， ∵，，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴ ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，延长交于点，连接交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，是的中点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的判定与性质，角平分线定义等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 19．(2025·湖北省十堰市·二模)如图，在矩形中，，，点E是线段上一点，连接，过点E作，交于点F． 【一般化感知】 （1）如图，求证：； 【特殊化探究】 （2）如图，连接交于点G．若，求的长； 【拓展性延伸】 （3）如图，连接，过点C作，交的延长线于点H．若点E是的中点，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【来源】2025年湖北省十堰市竹溪县中考二模数学试题 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意得到，再根据矩形的性质，即可得到结论； （2）由（1）可得，求出，得到，过点作，得到，求出，由得到； （3）过点作，交的延长线于点，由得到，设，则，，可证明，得到，求出． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）可得， ， ∴， ∴， ， 如图，过点作， ∵四边形是矩形， ∴， ， ∴， ， ， ， ．即， ； （3）解：如图，过点作，交的延长线于点． ， ， ∵， ， ， ∵， ， ，即， ， 设，则， ∴由勾股定理可得：， 点是的中点， ， 同理可证， ，即， 解得， ． 20．(2025九·湖北省十堰市·二模)在矩形中，，点E，F分别在线段上，且， (1)如图1，当时，试判断与是否等长，为什么？ (2)若，沿射线方向平移线段，得到线段． ①如图2，点G在的延长线上，点H在线段上，时，试求的长． ②如图3，点G，H分别在线段上，沿将四边形折叠，点A落在线段上的点F处，点B落在点M处，若，试求的值． 【答案】(1)等长，理由见解析 (2)①4② 【来源】2025年湖北省十堰市九年级数学中考二模试题 【分析】（1）证明，即可得出结果； （2）①平移得到，证明，列出比例式进行求解即可； ②证明四边形为平行四边形，得到，设设，则：，进而得到，相似三角形的性质，得到的长，勾股定理求出的长，进而求出的长，比例关系求出的长，进而得到的长，求出的长，进而求出的值即可． 【详解】（1）解：等长，理由如下： ∵， ∴， ∵矩形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）①∵平移， ∴， 由（1）知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵平移， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴设，则：， ∴， 由①知：， ∴， ∴， ∵翻折， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平移的性质，平行四边形的性质，矩形与折叠，勾股定理，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 21．（湖北省襄阳市襄州区2025年九年级中考第二次模拟）（）如图①，已知．点在边上，沿折叠，使点的对应点落在边上，交于点．求证：． （）如图②，已知中，，点在边上，沿折叠，点的对应点落在边的下方，且于点，交于点，交于点． ①探究和的数量关系； ②若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）； 【来源】湖北省襄阳市襄州区2025年九年级中考第二次模拟训练数学试题 【分析】（）根据折叠的性质和余角性质可得，进而即可求证； （）同理（）证明即可求解；②利用勾股定理得，即得，设，则，可得， 即得，进而由得，代入计算求出即可求解． 【详解】（）证明：由折叠得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （）解：①，理由如下： 由折叠的性质可知， ， ∴， ∴， ∴， ， 又∵， ∴， ∴， 即； ②在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， 设，则， 由①知， ∴， ∴， 由折叠得，，， ， 在中，， ， 即， 解得， ∴， ∴， 在中， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数，余角性质，掌握以上知识点是解题的关键． 22．（2025年湖北省楚天名校协作体九年级中考数学二模）（1）【操作发现】如图1，将边长为的正方形纸片沿过点的直线折叠，使点落在正方形内部的点处，折痕为，再将纸片沿过点的直线折叠，使与重合，折痕为． ①的度数为______；②若点是边的中点，则的值为______； （2）【拓展探究】如图2，在（1）的条件下，连接分别交折痕、于， ①线段、和有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明； ②如图3，若点为边的三等分点，连接，求线段的长． 【答案】 （1）①；② （2）①；②点为边的三等分点，线段的长为或 【来源】2025年湖北省楚天名校协作体九年级中考数学二模试卷 【分析】（1）①根据正方形，折叠的性质得到，即可求解； ②根据题意得到，设，则，，在中运用勾股定理得到，代入计算即可求解； （2）①如图所示，将绕点顺时针旋转，则点重合，线段与重合，点的对应点为，，在中，，再证明，，即可求解； ②根据题意可得四点共圆，是等腰直角三角形，分类讨论：时；时；由勾股定理得到的值，由此得到，由此即可求解． 【详解】解：（1）①∵四边形是正方形， ∴，， ∵折叠， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ②∵点是边的中点， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴， 解得，， ∴， ∵， ∴； 故答案为：①；②； （2）①如图所示，将绕点顺时针旋转，则点重合，线段与重合，点的对应点为，， ∴，，， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∴， 在中，， 由（1）可得，， ∴，且， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴四点共圆，如图所示， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，则， ∵点为边的三等分点， ∴第一种情况，， 在中，， 在中，， ∴； 第二种情况，如图所示，， 同理，， ∴； 综上所述，点为边的三等分点，线段的长为或． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$