专题02 函数（湖北专用）-【好题汇编】2025年中考数学二模试题分类汇编

专题02 函数 题型概览 题型01一次函数和反比例函数基础 题型02二次函数综合 题型03一次函数和反比例函数综合解答 题型04二次函数压轴题 ( 题型0 1 )一次函数和反比例函数基础 1．（湖北省黄石市黄石港区四校2025年中考第二次模拟）某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流．与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（　　） A．当时， B．I与R的函数关系式是 C．当时， D．当时，I的取值范围是 【答案】D 【来源】湖北省黄石市黄石港区四校2025年中考第二次模拟考试数学试题卷 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键，根据题意设I与R的函数关系式是，将代入关系式，求出反比例函数关系式再根据各选项的条件求出结论，即可判断是否正确，进而得到答案． 【详解】解：设I与R的函数关系式是， ∵该图象经过点， ∴， ∴， ∴I与R的函数关系式是，故B不符合题意， 当时，， ∵， ∴I随R增大而减小， ∴当时，， 当时，， 当时，的取值范围是， 故A、C不符合题意，D符合题意． 故选：D． 2．（2025年湖北省恩施州中考二模）在物理实验室实验中，为了研究杠杆的平衡条件，设计了如下实验，如图，铁架台左侧钩码的个数与位置都不变，在保证杠杆水平平衡的条件下，右侧采取变动钩码数量即改变力F，或调整钩码位置即改变力臂L，确保杠杆水平平衡，则力F与力臂L满足的函数关系是（    ） A．正比例函数关系 B．反比例函数关系 C．一次函数关系 D．二次函数关系 【答案】B 【来源】2025年湖北省恩施州中考二模九年级数学试卷 【分析】根据杠杆平衡条件：F1L1=F2L2，并结合题意可得左侧F1L1是定值，从而进行判断． 【详解】解：由杠杆平衡条件：F1L1=F2L2， ∵铁架台左侧钩码的个数与位置都不变，在保证杠杆水平平衡的条件下，右侧采取变动钩码数量即改变力F，或调整钩码位置即改变力臂L，确保杠杆水平平衡， ∴力F与力臂L的乘积是定值，即力F与力臂L满足反比例函数关系 故选：B． 【点睛】此题属于跨学科综合题目，考查杠杆平衡条件及反比例函数xy=k（k≠0），理解相关概念是解题关键． 3．(2025·湖北省十堰市·二模)如图，在平面直角坐标系中，已知点，，如果将线段绕点逆时针旋转至，那么点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】2025年湖北省十堰市名校联盟中考二模数学试题 【分析】本题考查旋转的性质，含度角的直角三角形的性质以及解直角三角形．正确的作出辅助线是解题的关键．根据已知得出，，根据旋转的性质得出是等边三角形，进而可得，则，即可求解． 【详解】解：连接， ∵，， ∴ ∴， ∴ ∵将线段绕点逆时针旋转至， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴即， ∴ 故选：B． 4．(2025九·湖北省黄冈市·二模)如图，直线与轴，轴分别交于，两点，以为边在第一象限内作矩形，且，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】2025年 湖北省黄冈市红安二中教联体九年级中考数学模拟试卷（二） 【分析】本题考查了一次函数的性质、矩形的性质、相似三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．作轴于点，利用一次函数的性质求出点，的坐标，利用矩形的性质得到，通过证明得到，代入数据即可求解． 【详解】解：如图，作轴于点， 令，则， 令，则，解得， ，， ，， 矩形， ， ， 轴， ， ， ， 又， ， ， ，， ， 点的坐标为． 故选：A． 5．（湖北省襄阳市襄州区2025年九年级中考第二次模拟）已知蓄电池两端电压为定值，电流与成反比例函数关系．当时，，则当时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】湖北省襄阳市襄州区2025年九年级中考第二次模拟训练数学试题 【分析】利用待定系数法求出的值，由此即可得． 【详解】解：由题意得：， ∵当时，， ， 解得， ， 则当时，， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数，熟练掌握待定系数法是解题关键． 6.（黄石市黄石港区四校2025年中考第二次模拟）直线与轴交于点，与轴交于点，则关于的方程的解为 ． 【答案】2024 【来源】湖北省黄石市黄石港区四校2025年中考第二次模拟考试数学试题卷 【分析】本题考查了根据一次函数与坐标轴的交点求一元一次方程的解，根据直线与轴交于点即可得出答案． 【详解】解：直线与轴交于点， 关于的方程的解为， 故答案为：2024． 7．（黄石市阳新县北部联盟2025年中考第二次模拟）直线与直线在平面直角坐标系中的位置如图所示，它们y轴的交点为分别为A、B，以为边向左作正方形，则正方形的面积为______． 【答案】 【来源】湖北省黄石市阳新县北部联盟2025年中考第二次模拟考试数学试题卷 【分析】针对于，令，则，故点，同理点，故，即可求解． 【详解】解：，令，则，那么 ，令，则，那么，故， 则正方形的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数图像与坐标轴的交点问题，关键是求出点A、B的坐标． 8．(2025·湖北省随州市·二模)若点在函数的图象上，且，则 （填“”或“”）． 【答案】 【来源】2025年湖北省随州市曾都区万店镇一中中考模拟数学试题（二） 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，根据反比例函数解析式得到该函数图象位于第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，再由，可得． 【详解】解：∵反比例函数中的， ∴该函数图象位于第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小． ∵， ∴． 故答案为：． 9．(2025九·湖北省黄冈市·二模)根据物理学知识，在电压不变时，通过导体的电流（单位：）是这段导体的电阻（单位：）的反比例函数，其函数图象如图所示．当时，通过该导体的电流的值为 ． 【答案】/ 【来源】2025年 湖北省黄冈市红安二中教联体九年级中考数学模拟试卷（二） 【分析】本题考查了反比例函数的应用，从实际问题中整理出反比例函数模型是解决此类问题的关键．用图象上的坐标求出反比例函数的解析式，再把电阻代入求出电流． 【详解】解：设， 把代入， ∴， ∴， ∴． 当时，电流A， 故答案为：． 10．（湖北省荆楚联盟2025年二模）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，其限制电流不能超过，那么用电器可变电阻应控制的范围是 ． 【答案】 【来源】湖北省荆楚联盟2025年初中学业水平考试数学模拟试卷（二） 【分析】本题是反比例函数的应用，会利用待定系数法求反比例函数的关系式，并正确认识图象，运用数形结合的思想，与不等式或等式相结合，解决实际问题． 根据图象中的点的坐标先求反比例函数关系式，求解即可 ． 【详解】解：设反比例函数关系式为：， 把代入得：， 反比例函数关系式为：， 当时，则， 根据函数图象可得：当时，， 故答案为：． 11．(2025·湖北省咸宁市·二模)一个弹簧不挂重物时长，挂上重物后伸长的长度与所挂重的质量成正比。如果挂上的质量后弹簧伸长，则弹簧的总长（单位：）关于所挂重物（单位：）的函数解析式是 ． 【答案】 【来源】2025年湖北省咸宁市中考二模数学试题 【分析】弹簧总长弹簧原来的长度挂上重物质量时弹簧伸长的长度，把相关数值代入即可． 【详解】解：挂上的物体后，弹簧伸长， 挂上的物体后，弹簧伸长， 弹簧总长． 故答案为：． ( 题型0 2 )二次函数综合 12．(2025·湖北省黄石市·二模)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点位于，两点之间．下列结论：①；  ②；③；  ④若，为方程的两个根，则．其中正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【来源】2025年湖北省黄石市铁山区四校中考第二次模拟考试数学试卷 【分析】由图象得 ，，由对称轴得，，；抛物线与x轴的一个交点位于，两点之间，由对称性知另一个交点在，之间，得 ，于是，进一步推知，由根与系数关系知； 【详解】解：开口向下，得 ，与y轴交于正半轴，， 对称轴，，，故①错误； 故②错误； 抛物线与x轴的一个交点位于，两点之间，对称轴为，故知另一个交点在，之间，故时， ∴，得，故③正确； 由，，知， ∵，为方程的两个根， ∴ ∴，故④正确； 故选：B 13．（湖北省黄石市黄石港区四校2025年中考第二次模拟）已知抛物线的图象上有三点，，，其中，则下列说法错误的是（   ） A．抛物线的顶点坐标为 B． C．关于x的一元二次方程（）的两解为，，则 D．方程有3个根，则 【答案】D 【来源】湖北省黄石市黄石港区四校2025年中考第二次模拟考试数学试题卷 【详解】∵抛物线过点， ∴，解得， ∴抛物线为，即， ∴抛物线的顶点坐标为．故A选项正确； 把代入函数中，得， 解得或， ∴抛物线与x轴的交点为，， ∵抛物线的开口向上， 且抛物线上的两点，中， ∴．故B选项正确； 将抛物线向下平移m个单位长度，得到， 该抛物线与x轴的一个交点在点的左侧，另一交点在店的右侧， ∴关于x的一元二次方程（）的两解为，，满足，故C选项正确． ∵方程有3个根， ∴函数的图象与直线有3个交点， ∵函数的图象与x轴的交点为，， 如图，当直线经过点时，直线与函数的图象有3个交点，即 此时把点代入函数中，得到， 解得， 当时， 如图，当直线与函数只有一个交点时，直线与函数的图象有3个交点 ∴对于方程可化为，即， ∴， 解得， 综上所述，或．故D选项错误． 故选：D 14．（黄石市阳新县北部联盟2025年中考第二次模拟）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，与x轴交于，两点，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．（m为任意实数） 【答案】D 【来源】湖北省黄石市阳新县北部联盟2025年中考第二次模拟考试数学试题卷 【详解】解：A．∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴， 原题结论错误，故此选项不符合题意； B．当时，，抛物线与轴有两个交点，与x轴交于，两点， ∴有两个不相等的实数根分别为， ∴ 原题结论错误，故此选项不符合题意； C．∵对称轴为直线，， ∴， ∴当时， 原题结论错误，故此选项不符合题意； D．当时，为最小值， ∴， ∴， 原题结论正确，故此选项符合题意． 故选：D． 15．（黄石市阳新县东部联盟2025年中考第二次模拟）如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于，两点．若，则下列四个结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】湖北省黄石市阳新县东部联盟2025年中考第二次模拟考试数学试题卷 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系及抛物线与x轴的交点，根据所给函数图象中抛物线的对称轴可得出a，b之间的等量关系，再结合抛物线与x轴的交点情况及点A横坐标的取值范围即可解决问题． 【详解】解：由题知， A，B两点关于直线对称， 又， 且，， 所以． 故A正确，不符合题意． 由抛物线的对称轴是直线得，， 则， 所以， 又， 所以． 故B错误，符合题意． 因为抛物线与x轴有两个交点， 所以， 又当时，函数值小于0， 即， 所以， 又， 所以， 所以， 故C正确，不符合题意． 因为当时，函数值， 故D正确，不符合题意． 故选：B 16．（2025年湖北省恩施州中考二模）已知抛物线（a，b，c是常数且）过和两点，且，下列四个结论：①；②；③若关于x的方程有实数根，则；④方程有两个实数根，，则．其中，正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【来源】2025年湖北省恩施州中考二模九年级数学试卷 【详解】解：抛物线（，，是常数）过和两点，且， ，即， 故②正确； 对称轴在轴右侧， ，， ， 故①正确； 若关于的方程有实数根， 抛物线（，，是常数且）与直线有交点， ， 抛物线开口向下， 抛物线的顶点纵坐标大于等于， ， 又， ， 故③错误； 抛物线（，，是常数且）过和两点， 方程有两个实数根为，， 不妨设，， ， ， ， ，即 故④正确， 故正确的结论有：①②④， 故答案选：C． 17．(2025·湖北省襄阳市宜城市·二模)已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论正确的是（    ） A． B．若点均在二次函数图象上，则 C．不等式的解集为 D．关于的一元二次方程有两个相等的实数根 【答案】D 【来源】2025年湖北省襄阳市宜城市第二次中考模拟数学试题 【详解】A、已知对称轴为直线，则，可得，移项得到，所以A错误； B、由对称轴为，且（二次函数图象开口向上），可知在对称轴左侧随的增大而减小，在对称轴右侧随的增大而增大． 点到对称轴的距离为；点到对 称轴的距离为． 因为，即点距离对称轴更近，所以，B错误； C、已知函数图象经过点，且对称轴为，根据二次函数的对称性，可知与点关于对称的点的横坐标为，即函数图象也过点， 由图象可知，时，或，所以C错误； D、由图象可知二次函数的图象与直线有一个交点，这意味着关于的一元二次方程有两个相等的实数根，D正确． 故选：D． 18．(2025·湖北省孝感市·二模)如图，抛物线过点，对称轴为直线，有以下结论正确的为（   ） A． B． C． D．方程两根分别为，4 【答案】D 【来源】2025年湖北省孝感市孝南区中考二模数学试题 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程，根据图象判断的符号，判断A，特殊值，判断B，对称轴判断C，对称性和图象法求出方程的根，判断D． 【详解】解：由图象可知：， ∵对称轴为直线， ∴， ∴，故C选项错误， ∴，故选项A错误； 由图象可知，当时，，故选项B错误； ∵抛物线过点，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点的坐标为， ∴方程两根分别为，4；故选项D正确； 故选D． 19．(2025·湖北省十堰市·二模)已知二次函数的与的部分对应值如表： x … 0 1 2 … y … 0 3 4 3 … 下列结论正确的是（   ） A． B．的解集是 C．对于任意的常数，必有 D．若点，，在该函数图象上，则 【答案】C 【来源】2025年湖北省十堰市名校联盟中考二模数学试题 【分析】本题主要考查了二次函数的图象性质，对称轴等知识点，解决此题的关键是能根据图表得到二次函数图象的相关性质．根据表格得到二次函数的图象，根据二次函数图象性质及对称轴，区间的增减性即可解决此题． 【详解】解：由表格数据知，二次函数图象经过点，， 图象开口向下， 二次函数图象的对称轴为直线，，， ， ， ，故选项A错误； 由表格可知当时，， 二次函数图象经过点， 由二次函数图象的对称性可知，二次函数图象与x轴的另一个交点坐标为， 的解集是， 故选项B错误； 当时，是函数的最大值，当时，是函数的一个任意值， ， ， 故选项C正确； 若点，，在该函数图象上， ，图象开口向下， ， 故选项D错误； 故选C． 20．(2025·湖北省随州市·二模)如图是二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点，有以下四个结论：①，②，③，④若顶点坐标为，当时，y有最大值为2、最小值为，此时m的取值范围是．其中正确结论的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【来源】2025年湖北省随州市曾都区万店镇一中中考模拟数学试题（二） 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式等，熟练掌握二次函数的图象和性质是本题的关键．①：根据二次函数的对称轴，，即可判断出；②：结合图象发现，当时，函数值大于0，代入即可判断；③：结合图象发现，当时，函数值小于0，代入即可判断；④：运用待定系数法求出二次函数解析式，再利用二次函数的对称性即可判断． 【详解】解：∵二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点， ∴，， ∴， ∴，故①正确； 从图中可以看出，当时，函数值大于0，因此将代入得，，即，故②错误； ∵， ∴，从图中可以看出，当时，函数值小于0， ∴， ∴，故③正确； ∵二次函数的顶点坐标为， ∴设二次函数的解析式为，将代入得，， 解得， ∴二次函数的解析式为， ∴当或时，； ∴根据二次函数的对称性，得到，故④正确； 综上所述，①③④均正确，故有3个正确结论， 故选B． 21．（湖北省荆楚联盟2025年二模）抛物线与轴相交于点，．下列结论：①②；③点，在抛物线上，当时，则有；④若方程的一个根，则另一个根．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【来源】湖北省荆楚联盟2025年初中学业水平考试数学模拟试卷（二） 【详解】解：把，代入中得， 解得， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线与x轴有两个不相同的交点， ∴，故②正确； ∵，对称轴为直线， ∴离对称轴越远函数值越大， ∵点，在抛物线上，且， ∴，故③正确； ∵方程的一个根， ∴另一个根，故④正确； 故选：D． 22．(2025·湖北省咸宁市·二模)二次函数的图象如图所示，下列结论错误的是（    ） A． B．当时， C． D． 【答案】D 【来源】2025年湖北省咸宁市中考二模数学试题 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数的最值、抛物线与x轴的交点，根据图象和二次函数的性质可以解答本题． 【详解】解：由函数图象可得，抛物线经过三点， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为， ∴，故选项A正确，不符合题意， 由图象知，当时，，故选项B正确，不符合题意， 当时，，故选项C正确，不符合题意， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线 ， 当时，有最小值为， ∴， ∴，故选项D错误，符合题意． 故选：D． 23．(2025·湖北省十堰市·二模)如图，二次函数的图象与轴的交点为，它的对称轴为直线，则下列结论：① ；②；③；④方程的其中一个根在2，3之间，正确的结论有（   ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【来源】2025年湖北省十堰市竹溪县中考二模数学试题 【分析】本题考查的是抛物线与轴的交点、二次函数图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系，掌握二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 根据抛物线与坐标轴的交点情况、二次函数与方程的关系、二次函数的性质判断即可． 【详解】解：∵二次函数的部分图象与轴的交点为， ∴， 故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 故②正确； 由图象可知，当时，， ∴， 故③错误； ∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点在，之间， ∴与轴的另一个一个交点在之间， ∴方程的其中一个根在之间， 故④正确； 故选：C． 24．(2025九·湖北省十堰市·二模)抛物线与x轴的一个交点为，，下列说法正确的是（    ） A．对称轴为直线 B．当时，y随x的增大而增大 C． D．若，为方程的两个根，则 【答案】D 【来源】2025年湖北省十堰市九年级数学中考二模试题 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程，根据对称轴公式求出对称轴，判断A，增减性判断B，特殊点判断C，二次函数与一元二次方程的关系判断D． 【详解】解：∵， ∴，对称轴为直线，故选项A错误； ∴抛物线的开口向上，当时，y随x的增大而增大，故选项B错误； ∵，对称轴为直线， ∴当时，，当时， ∴；故选项C错误； 若，为方程的两个根， ∴； ∵，， ∴；故选项D正确； 故选D． 25．（襄阳市襄州区2025年九年级中考第二次模拟）抛物线（为常数，）的对称轴是直线，且经过点，下列结论正确的是（    ） A． B．关于x的方程的两根之和为 C． D． 【答案】D 【来源】湖北省襄阳市襄州区2025年九年级中考第二次模拟训练数学试题 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练运用二次函数对称轴公式、与一元二次方程的关系以及判别式相关知识进行分析判断． 根据二次函数对称轴公式求出b与a的关系，利用根与系数的关系判断方程两根之和，结合函数图象性质分析判别式以及相关式子的大小关系． 【详解】本题考查二次函数的图象与性质； A、抛物线的对称轴为直线 故本选项错误； B、抛物线与轴的交点坐标为和， ∴关于的方程的两根之和为， 故本选项错误； C、抛物线与轴有两个交点， ， 故本选项错误； D、抛物线经过点 ， ， ， ， 故本选项正确； 故本题答案为：D． 26．（2025年湖北省楚天名校协作体九年级中考数学二模）如图，已知顶点为的抛物线经过点，则下列结论：①；②；③若且，则；④关于的一元二次方程的根为；⑤若点，在抛物线上，则．其中正确的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【来源】2025年湖北省楚天名校协作体九年级中考数学二模试卷 【分析】本题主要考查了二次函数图象和性质，包括二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与轴的交点，一元二次方程的根与系数的关系．根据二次函数的图象和性质逐项判断，由抛物线的顶点坐标为，可得函数有最小值，可判断①②；由且，则，可判断③；由对称性可得一元二次方程的根为或，可判断④错误；由抛物线开口向上，对称轴为直线，，可得，可判断⑤．即可得到答案． 【详解】解：①∵抛物线的顶点坐标为 ∴对称轴为直线， ∴，即，故①正确 ②根据函数图象可得抛物线开口向上， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴时，函数有最小值， ，所以②错误； ③若且，则，故，③正确； ④抛物线的对称轴为直线，可得关于的一元二次方程的根为或，故④错误； ⑤∵抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， ∵点，在抛物线上， ， ∴，所以⑤正确． 正确选项有3个， 故选：B． ( 题型0 3 )一次函数和反比例函数综合解答 27．(2025·湖北省黄石市·二模)如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数y=(m≠0)的图象交于第二、四象限A、B两点，过点A作AD⊥x轴于D，AD=4，sin∠AOD=，且点B的坐标为(n,-2)． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）E是y轴上一点，且△AOE是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的E点坐标． 【答案】（1）；（2）当点E(0,8)或(0,5)或(0,-5)或(0,)时，△AOE是等腰三角形． 【来源】2025年湖北省黄石市铁山区四校中考第二次模拟考试数学试卷 【分析】（1）由垂直的定义及锐角三角函数定义求出AO的长，利用勾股定理求出OD的长，确定出A坐标，进而求出m的值确定出反比例解析式，把B的坐标代入反比例解析式求出n的值，确定出B坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）分类讨论：当AO为等腰三角形腰与底时，求出点E坐标即可． 【详解】（1）一次函数与反比例函数图象交于与，且轴， ， 在中，，， ，即， 根据勾股定理得：， ， 代入反比例解析式得：，即， 把坐标代入得：，即， 代入一次函数解析式得：， 解得：，即； （2）当，即，； 当时，得到，即； 当时，由，，得到直线解析式为，中点坐标为， 垂直平分线方程为， 令，得到，即， 综上，当点或或或时，是等腰三角形． 【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 28．（黄石市黄石港区四校2025年中考第二次模拟）已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与x轴交于点C，连接． (1)求k，b，n的值； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)8 【来源】湖北省黄石市黄石港区四校2025年中考第二次模拟考试数学试题卷 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解答本题的关键． （1）把代入求出k，把代入求出，再把和代入求解即可； （2）根据直线解析式求出点C的坐标得到长，依据，进而计算即可得解． 【详解】（1）解：把代入得， ， 把代入得， 点的坐标为， 把和代入得： ， 解得：， ， ． （2）解：令时，则， 解得， 点的坐标为， ． 29．（黄石市阳新县北部联盟2025年中考第二次模拟）如图，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，sin∠AOB＝，反比例函数y＝（x>0）在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F． (1)若OA＝10，求反比例函数的解析式； (2)若点F为BC的中点，且△AOF的面积S＝12，求OA的长和点C的坐标． 【答案】(1) (2)， 【来源】湖北省黄石市阳新县北部联盟2025年中考第二次模拟考试数学试题卷 【分析】（1）过点A作于H，根据已知条件得到，，求得，，于是得到结论； （2）设，过点F作轴于M，过点C作轴于点N，根据平行四边形的性质得到，根据已知条件得到，，于是得到求得，得到，根据点A，F都在的图象上，得到，列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：过点A作于H， ∵，， ∴，， ∴A点坐标为，根据题意得：， 可得：， ∴反比例函数解析式：； （2）解：设，过点F作轴于M，过点C作轴于点N， 由平行四边形性质可证得， ， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵根据点A，F都在的图象上， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴，． 30．（黄石市阳新县东部联盟2025年中考第二次模拟）如图，一次函数与反比例函数（k为常数，）的图象相交于，两点． (1)求m，n，k的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数（p为常数）的值大于函数的值，直接写出p的取值范围． 【答案】(1) (2) 【来源】湖北省黄石市阳新县东部联盟2025年中考第二次模拟考试数学试题卷 【分析】本题主要考查函数图象的交点及待定系数法求函数解析式： （1）分别把，两点坐标代入，求出的值，再把点A坐标代入，求得k的值； （2）结合函数图象解答即可． 【详解】（1）解：把，两点坐标代入，得 ，解得： ∴， 把点代入，，则； （2）解：由函数图象知：当时，对于x的每一个值，函数（p为常数）的值大于函数的值， ∴直线在直线的上方或与重合， ∴ 31．（2025年湖北省恩施州中考二模）如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线在第一象限交于点A和C，与x轴交于点B和D，点A和B的刻度分别为和，直尺的宽度为，．（注：平面直角坐标系内一个单位长度为） (1)求点A的坐标及k的值； (2)连接，若四边形的面积为时，求a的值． 【答案】(1)， (2) 【来源】2025年湖北省恩施州中考二模九年级数学试卷 【分析】（1）先根据题意求出，进而求出点A的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）由（1）知，反比例函数解析式为，结合已知得到点C的坐标为，则，根据梯形面积公式列方程求解即可． 【详解】（1）解；∵点A和B的刻度分别为和， ∴， ∵轴， ∴， 把代入得，，解得； （2）解：由（1）知，反比例函数解析式为 ∵直尺的宽度为，， ∴， ∴点C的横坐标为， 又点C在双曲线， ∴点C的坐标为，则， ∵四边形的面积为， ∴， 解得或（舍去）． 32．(2025·湖北省襄阳市宜城市·二模)如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，，与轴相交于点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2)或 【来源】2025年湖北省襄阳市宜城市第二次中考模拟数学试题 【分析】本题考查反比例函数图象与一次函数的交点问题，利用数形结合思想求解是解答的关键． （1）先根据一次函数图象上点的坐标特征求得b值，即可得到一次函数解析式，再求出，进而利用待定系数法求解反比例函数解析式即可； （2）根据图象，只需找到一次函数图象位于反比例函数图象上方部分点的横坐标的取值范围即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：将点代入， ∴， 解得：， ∴一次函数解析式为：； 将代入得：， 解得：， ∴， 将代入得， ∴反比例函数解析式为：； （2）解：∵， ∴不等式的解集为或． 33．(2025·湖北省孝感市·二模)如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴相交于点A，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点． (1)求k和m的值； (2)将直线沿y轴方向向上平移个单位后与反比例函数图象在第一象限内交于点C，若，请直接写出n的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【来源】2025年湖北省孝感市孝南区中考二模数学试题 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式以及函数图象的平移，理解是关键． （1）把的坐标代入反比例函数的解析式求得的坐标，然后把的坐标代入直线解析式，利用待定系数法求得k的值几； （2）记平移后的直线与轴的交点为，则，根据可得，然后利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ， ． 点． 把点代入，得：， ． （2）解：记平移后的直线与轴的交点为，连接，则， 由平移的性质可得． ， ∵ ∴． ． 34．(2025·湖北省十堰市·二模)如图，已知直线与双曲线交于，两点，且点的坐标为． (1)求的值； (2)点为轴上一点，其坐标设为，过点作平行于轴的直线，交直线于点，交双曲线于点，连接．若，结合函数的图像，直接写出的取值范围． 【答案】(1)4 (2)或 【来源】2025年湖北省十堰市名校联盟中考二模数学试题 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数结合，掌握一次函数与反比例函数的性质是解题的关键． （1）首先根据一次函数解析式确定值，进而可得点的坐标，然后将点的坐标代入，即可求得的值； （2）首先求得点的坐标，根据，转化为，结合函数图像，直接求解即可． 【详解】（1）解：将点代入直线， 可得， ∴， 将点代入双曲线， 可得，解得， 即的值为4； （2）如下图， ∵，， ∴当时，可有， 即， 联立直线与双曲线， 可得，解得或， ∴，， ∴结合图像可知，当时，或． 35．（湖北省荆楚联盟2025年二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)在轴上有点，且点坐标为，若的面积小于10，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2)且 【来源】湖北省荆楚联盟2025年初中学业水平考试数学模拟试卷（二） 【分析】（1）用待定系数法求解析式即可； （2）先求出直线与x轴的交点，再根据的面积小于10，列出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：把代入得， ， 把代入得：， 把，代入得： ， 解得， ； （2）解：把代入得：， 解得：， ∴直线与x轴的交点坐标为， ， 整理得：， 当时，， 解得：， ∴此时； 当时，， 解得：， ∴此时； 综上分析可知：且． 36．(2025·湖北省咸宁市·二模)如图，一次函数与x轴交于点，与反比例函数交于，C两点． (1)求m，n，k的值； (2)点M在y轴上，若，求点M的坐标． 【答案】(1)5，4，4 (2)或 【来源】2025年湖北省咸宁市中考二模数学试题 【分析】（1）把A代入一次函数，求出m的值，然后把B的坐标代入一次函数解析式求出n的值，最后把B的坐标代入求出反比例函数解析式即可； （2）根据，得出，再求出，即可求出点M的坐标． 【详解】（1）解：把代入一次函数得： ， 解得：， 把代入一次函数得： ， 解得：， 把代入反比例函数， ； （2）解：， ， ， 点M的坐标为或． 【点睛】本题主要考查一次函数和反比例函数的综合，求一次函数和反比例函数解析式，三角形面积计算，熟练掌握待定系数法，是解题的关键． 37．(2025·湖北省十堰市·二模)如图，在同一直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于． (1)求的值及正比例函数的解析式； (2)分别以点为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，作直线交轴于点．求线段的长． 【答案】(1)， (2) 【来源】2025年湖北省十堰市竹溪县中考二模数学试题 【分析】本题考查待定系数法求解析式，尺规作图——作垂直平分线，垂直平分线的性质． （1）把点代入反比例函数，得到m的值，把点A代入正比例函数即可求出k的值． （2）由题意可得：垂直平分，连接，根据线段垂直平分线的性质可得，设，根据两点间的距离建立方程，解方程即可求出答案． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵正比例函数的图象过点， ∴，解得， ∴正比例函数的解析式为； （2）解：由作图可知，垂直平分，连接， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴，即， 解得， ∴． 38．(2025九·湖北省十堰市·二模)如图，在平面直角坐标系中，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点． (1)求反比例函数的解析式； (2)若点在该反比例函数图象上，且它到y轴距离小于6，请根据图象直接写出n的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【来源】2025年湖北省十堰市九年级数学中考二模试题 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，正确的求出函数解析式，掌握反比例函数的性质，是解题的关键： （1）先求出点坐标，待定系数法求出反比例函数的解析式即可； （2）求出和时，反比例函数的函数值，再根据反比例函数的增减性进行求解即可． 【详解】（1）解：设反比例函数解析式为， 把代入，得：， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴在每个象限内随着的增大而减小，当时，，当时，， ∵点在该反比例函数图象上，且它到y轴距离小于6， ∴或， ∴或． 39．（湖北省襄阳市襄州区2025年九年级中考第二次模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点． (1)求反比例函数及直线的解析式； (2)点是x轴上的一个动点，若，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，直线的解析式为 (2) 【来源】湖北省襄阳市襄州区2025年九年级中考第二次模拟训练数学试题 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据，求出时的的值，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵直线与反比例函数的图象交于两点， ∴， ∴，， 设直线的解析式为， 则：，解得：， ∴； （2）∵，， ∴， 当时，则：， 解得：或， ∵， ∴． 40．（2025年湖北省楚天名校协作体九年级中考数学二模）如图，一次函数的图象与反比例函数为的图象交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)根据图象，直接写出时x的取值范围： (3)过线段上的动点，作轴的垂线，垂足为点，其交函数的图象于点，若，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【来源】2025年湖北省楚天名校协作体九年级中考数学二模试卷 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，一次函数和反比例函数的交点问题，解二元一次方程组，解一元一次方程，解一元二次方程，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题关键． （1）先把、代入得，再代入，解二元一次方程组得，，即可得一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据函数的图象即可求解； （3）设，得，，根据题意列方程，求出，即可求解． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数为的图象交于，两点， ，解得：， ，解得：， 一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为． （2）解：， ， 由（1）得， 观察图象，得：时，的取值范围为或， 时，的取值范围为或． （3）解：设， 轴， ，， ，解得：， ． ( 题型0 4 )二次函数压轴题 41．(2025·湖北省黄石市·二模)如图，直线与轴，轴分别交于点，抛物线经过点，交轴于另一点，点为线段上一动点，直线交抛物线于点． (1)填空：______，_____； (2)若，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，抛物线上有一动点，过点作轴的垂线分别交直线和直线于点，设，点的横坐标为 ①求关于的函数关系式； ②求满足为整数的点的个数． 【答案】(1)， (2) (3)①；②8个 【来源】2025年湖北省黄石市铁山区四校中考第二次模拟考试数学试卷 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的综合，待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，二次函数与几何的综合等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数图象的性质和待定系数法． （1）利用直线解析式求得直线与坐标轴的交点坐标，再利用待定系数法求得二次函数解析式； （2）利用相似三角形求得线段长度，进而求得点的坐标； （3）①先求得直线的解析式，然后再分段求关于的函数关系式；②分两段进行求的取值，然后再确定的整数值即可. 【详解】（1）解：根据直线可得： ，，将两点坐标代入可得 ，， 故答案为：，． （2） 解： 由（1）得， 当时，，解得或， 点， 过点作轴于，则， ， ， ， 点的横坐标为，把代入得， 点． （3）解：①设直线的解析式为，并把点，点代入得 ， 直线的解析式为， 当时， ， 即， 当时，， 关于的函数关系式为 ， ②（i）当时， ， 当时，取最大值为， 当时，，当时，， ，其中的整数值有2，3，4三个， 对应的点有5个， （ii）当时，， ，此时随增大而增大， 当时，，当时，， ，其中的整数值有4，5，6三个，对应的点有3个， 因此，满足为整数的点的个数为8个． 42．（黄石市黄石港区四校2025年中考第二次模拟）在平面直角坐标系中，抛物线M：的顶点为A． (1)如图1，若A点横坐标为2，点在抛物线M上，求t的值； (2)如图2，若，直线分别交x轴、y轴于点B、C，用b表示点A到直线l的距离d，并求出d取得最小值时抛物线M的解析式； (3)定义：在平面直角坐标系中，若点P满足横、纵坐标都为整数，则把点P叫做“整点”，如点，都是“整点”．若，当抛物线与其关于x轴对称抛物线所围成的封闭区域内（包括边界）共有9个整点，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，d有最小值，此时抛物线M的解析式为 (3) 【来源】湖北省黄石市黄石港区四校2025年中考第二次模拟考试数学试题卷 【详解】（1）解：抛物线的顶点为A．且A点横坐标为2， ， ， 点在抛物线M上， ， t的值为． （2）解：如图，过点A作于点D，作轴交直线l于点E， 则， 对于直线，易知，， ， ， 抛物线M：， 顶点A的坐标为， 把代入到，得， ， ， 轴， ， 又， ， ，即， ，即， 当时，d有最小值，此时抛物线M的解析式为． （3）解：， ，其对称轴为直线，图象必过点， 当时，开口向上，如下图： 当时，此时整点有，，，，，根据对称性，整点显然超过9个，不符合题意； 当时，开口向下，如下图： 要保证封闭区域内（包括边界）共有9个整点，需要同时满足： 当时，，当时，， 即， 解得， 故a的取值范围为． 43．（黄石市阳新县东部联盟2025年中考第二次模拟）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点P是直线上方抛物线上不与抛物线顶点重合的一动点，设点P的横坐标为m． (1)请直接写出a，b的值； (2)如图，若抛物线的对称轴为直线l，点D为直线l上一动点，当垂直平分时，求m的值； (3)过点P作x轴的垂线交于点M，过点P作y轴的垂线与抛物线的另一个交点为N，线段，的长度之和记为d． ①求d关于m的函数解析式； ②根据d的不同取值，试探索点P的个数情况． 【答案】(1) (2) (3)① ②当时，P点有2个，当时，P点只有1个 【来源】湖北省黄石市阳新县东部联盟2025年中考第二次模拟考试数学试题卷 【分析】（1）把，，两点坐标代入，求出a，b的值即可； （2）过点P作轴交于点Q，连接，证明轴，得出直线的解析式为，设，根据，建立方程，解方程，即可求解； （3）①设，且，则，根据对称性可得，则，进而分类讨论得出； ②分别求得两段二次函数的最值，进而画出图象，结合函数图象即可求解． 【详解】（1）解：把，两点坐标代入，得： ， 解得，； （2）如图1所示，过点P作轴交于点Q，连接， 由（1）可得抛物线解析式为， 对称轴为直线， 当时，，则， ∵，则， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴轴， 设直线的解析式为，将，代入得： ， 解得：， 所以直线BC的解析式为， 设， ∵点P是直线上方抛物线上不与抛物线顶点重合的一动点，则且，则， ∴，， ∵， ∴， 解得：或(舍去)； （3）如图2所示， 设，且，则， 过点P作y轴的垂线与抛物线的另一个交点为N， 则N点与P点关于对称， ∴， ∴，， ∴； 当时，， 当时，， ∴； ②∵， 当时，， ∵当时，， 对称轴为直线，开口向下，当时，d随m的增大而增大，上限为6(取不到)， 当时，， 当时，， 对称轴为直线，开口向下，当时，d随m的增大而减小， 当时，(取不到)， 函数图象如图所示， ∴当时，P点有2个，当时，P点只有1个． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的综合问题，难度较大，运用数形结合思想解题是解题的关键． 44．（2025年湖北省恩施州中考二模）如图1，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，顶点为F，对称轴交x轴于点． (1)求b的值； (2)连接，P为二次函数图象上的一点，若，求点P的坐标； (3)如图2，连接，过点A作的垂线交二次函数图象于点M，连接，设直线的函数表达式为． ①直接写出k的值； ②如图2，点P，Q均为二次函数图象上的一点（点P在第一象限的图象上），若，直线是否平行于？请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)①1；②，理由见解析 【来源】2025年湖北省恩施州中考二模九年级数学试卷 【详解】（1）解：∵对称轴交x轴于点， ∴对称轴为直线， ∴， ∴； （2）解：如图所示，连接， ∵二次函数的图象与y轴交于点， ∴， ∴二次函数解析式为， 在中，当时，解得或， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为； 在中，当时，， ∴； 如图所示，当点P在对称轴右侧时，设交y轴于H， ∵，， ∴， ∴， ∴可设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立，解得或， ∴此时点P的坐标为； 由对称性可知，当点P在对称轴左侧时，此时点P与点关于对称轴对称， ∴此时点P的坐标为，即， 综上所述，点P的坐标为或； （3）解：①设交y轴于T， 由（2）可得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； ②，理由如下： 如图所示，设直线分别与x轴交于R、S， ∵， ∴， ∴， 设直线解析式为，直线解析式为，， ∴，， ∴，， ∴直线解析式为，直线解析式为； 联立得， ∴， ∴， ∴； 同理可得； 由（3）①得直线解析式为， 联立，解得或， ∴， 同理可得直线解析式为； 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴直线解析式为， ∴． 45．(2025·湖北省襄阳市宜城市·二模）如图1，抛物线与轴交于，，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图2，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图3．点是直线上一动点，过点作线段（点在直线下方），若，若线段与抛物线有交点，请求出点的橫坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)最大值是， (3)或 【来源】2025年湖北省襄阳市宜城市第二次中考模拟数学试题 【详解】（1）解：把A、B、C三点坐标代入到中， 得，解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴ ∴直线的解析式为， 过点作轴于E，交于点，设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， ∵， ∴当时，的最大值为，此时最大，为， 当时，， ∴； （3）解：设，则，即 ∵线段与抛物线有交点， ∴在中，当时，， 解得或 ∴点M的横坐标的取值范围是或． 46．(2025·湖北省孝感市·二模)如图，已知二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点，连接．点P为抛物线上一动点（点P不与点C重合），设点P的横坐标为t． (1)求该二次函数的解析式； (2)若点P是抛物线第二象限内一点，连接交于Q，若，求点P的坐标； (3)若点P为x轴上方抛物线上一点，连接、、，设以A，O，C，P为顶点的四边形的面积为S． ①求S关于t的函数解析式； ②根据S的不同取值，直接写出点P的个数情况． 【答案】(1) (2)或 (3)S关于t函数解析式为；当时，存在3个符合条件的点P；当时，存在2个符合条件的点P；当时，存在1个符合条件的点P 【来源】2025年湖北省孝感市孝南区中考二模数学试题 【详解】（1）解：把，代入得， ， 解得：， 该二次函数解析式为． （2）由题，，， 设直线为：，代入得： ， 解得：， ， 过P作，交于点M， ∴ 由，，，， ， 解得：， 或． （3）解：①令，则， 解得：，， ， ． 当点P在第二象限内，即时： 过点P作于点D，连接，如图， 则，， ， ． 当点P在第一象限内，时， 过点P作于点E，如图， 则， ， ． 综上，S关于t函数解析式为； ②当时，存在3个符合条件的点P； 当时，存在2个符合条件的点P； 当时，存在1个符合条件的点P． 根据题意，画出函数的大致图象如图： 由图象可知： 当时，存在3个符合条件的点P； 当时，存在2个符合条件的点P； 当时，存在1个符合条件的点P． 47．(2025·湖北省十堰市·二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求，两点的坐标； (2)当时，动直线与抛物线交于点，与直线交于点．设线段的长为，连接，构成，求出当面积最大时，的值及点坐标； (3)我们规定：横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点，之间的部分与线段所围成的区域内（不含边界）恰有个整点，试结合函数图象直接写出的取值范围． 【答案】(1)，； (2)，； (3)或． 【来源】2025年湖北省十堰市名校联盟中考二模数学试题 【详解】（1）解：∵， 令，则， ∵， ∴或， ∴，； （2）解：当时，， 令，则， ∴， 设直线的解析式为， 将点、的坐标代入，得 ， 解得， ∴直线的解析式为， ∵动直线与抛物线交于点，与直线交于点， 设，， ∵线段的长为， ∴， 即关于的函数解析式为； 由题意可知，， ∴， ∵，且， ∴当时，有最大，最大值为， ∴当时，， 此时，， ∴当面积最大时，，； （3）解：若， ∴，顶点应满足且， 得； 若， ∴，顶点应满足且，得； ∴的取值范围是或． 48．(2025·湖北省随州市·二模)在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+4ax+4a﹣6（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D． （1）当a＝6时，直接写出点A，B，C，D的坐标： A　　，B　　，C　　，D　　； （2）如图1，直线DC交x轴于点E，若tan∠AED＝，求a的值和CE的长； （3）如图2，在（2）的条件下，若点N为OC的中点，动点P在第三象限的抛物线上，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，交AN于点F；过点F作FH⊥DE，垂足为H．设点P的横坐标为t，记f＝FP+FH． ①用含t的代数式表示f； ②设﹣5＜t≤m（m＜0），求f的最大值． 【答案】（1）（﹣3，0）、（﹣1，0）、（0，18）、（﹣2，﹣6）；（2）；（3）①f＝＝﹣t2﹣4t+；②当﹣5＜m＜﹣3时，fmax＝﹣m2﹣4m+；当﹣3≤m＜0时，fmax＝ 【来源】2025年湖北省随州市曾都区万店镇一中中考模拟数学试题（二） 【详解】解：（1）当a＝6时，抛物线的表达式为：y＝6x2+24x+18， 令y＝0，则x＝﹣1或﹣3；当x＝0时，y＝18，函数的对称轴为x＝﹣2， 故点A、B、C、D的坐标分别为（﹣3，0）、（﹣1，0）、（0，18）、（﹣2，﹣6）； 答案：（﹣3，0）、（﹣1，0）、（0，18）、（﹣2，﹣6）； （2）y＝ax2+4ax+4a﹣6， 令x＝0，则y＝4a﹣6，则点C（0，4a﹣6）， 函数的对称轴为x＝﹣2， 故点D的坐标为（﹣2，﹣6）， 由点C、D的坐标得，直线CD的表达式为：y＝2ax+4a﹣6， 令y＝0，则x＝﹣2， 故点E（﹣2，0），则OE＝﹣2， tan∠AED＝＝＝，解得：a＝，或 经检验：它们都是原方程的根，但不符合题意，取 故点C、E的坐标分别为（0，﹣）、（，0）， 则CE＝＝； （3）①如图，作PF与ED的延长线交于点J， 由（2）知，抛物线的表达式为：y＝x2+x﹣， 故点A、C的坐标分别为（﹣5，0）、（0，﹣），则点N（0，﹣）， 由点A、N的坐标得，直线AN的表达式为：y＝﹣x﹣； 设点P（t，t2+t﹣），则点F（t，﹣t﹣）； 则PF＝﹣t2﹣3t+， 由点E（，0）、C的坐标得，直线CE的表达式为：y＝x﹣， 则点J（t，t﹣），故FJ＝﹣t+， ∵FH⊥DE，JF∥y轴， 故∠FHJ＝∠EOC＝90°，∠FJH＝∠ECO， ∴△FJH∽△ECO，故， 则FH＝， f＝PF+FH＝﹣t2﹣3t++（﹣t+1）＝﹣t2﹣4t+； ②f＝﹣t2﹣4t+＝﹣（t+3）2+（﹣5＜t≤m且m＜0）； ∴当﹣5＜m＜﹣3时，fmax＝﹣m2﹣4m+； 当﹣3≤m＜0时，fmax＝． 49．(2025九·湖北省黄冈市·二模)如图，已知矩形的三个顶点的坐标为点，．经过B，D两点的抛物线与线段交于点E（不与A，D两点重合），连接． (1)填空： ；直接写出点D的坐标（用含m，n的代数式表示）； (2)当时，，求a的值和抛物线顶点P的坐标； (3)当时，n的最大值是9，求此时的值． 【答案】(1)8； (2)， (3) 【来源】2025年 湖北省黄冈市红安二中教联体九年级中考数学模拟试卷（二） 【详解】（1），理由如下： 已知矩形的三个顶点的坐标为点， ∴轴，， ∴， ∴点D与点A纵坐标一致， ∴， 故答案为：8； （2）∵ ∴，对称轴为直线， ∵，由图象可知，关于直线对称， ∴，， ∵点E在线段上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，代入并整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， ∴， ∵把代入得： ， 解得：， ∴； （3）把，代入，得： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴随着的增大而减小， ∵，n的最大值是9， ∴当时，， ∴， ∵ ∴， 此时． 50．（湖北省荆楚联盟2025年二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点A，与轴交于点，抛物线经过A，B两点，点在第一象限的抛物线上． (1)求这条抛物线所对应的函数表达式； (2)如图1，过点作轴于点，交于点．是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，点坐标为，交于点． ①当与的面积比为时，求点的坐标； ②在①的条件下，若点为抛物线上位于对称轴右侧的点，，求直线的解析式． 【答案】(1) (2) (3)①或；②或 【来源】湖北省荆楚联盟2025年初中学业水平考试数学模拟试卷（二） 【详解】（1）解：中， 令， 则， 解得， 令， 则， ∴，， 把，代入， 得， 解得， ∴抛物线所对应的函数表达式为； （2）解：过B作于点H， 设点， 则， ∴，，， ∵轴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得（舍去）或， ∴， ∴． （3）①∵与的面积比为，且点B到的高相同， ∴， ∴， 设，， ∴，， ∴，， 又， ∴。 解得或， ∴或， ∴或 ②过点D作，交射线于点G，过点G作轴，过点D作于点H，交y轴于点J，过点F作于点I， 则，轴，轴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴, ∴， 当时，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设解析式为， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上，或． 51．(2025·湖北省咸宁市·二模)在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，是抛物线上不与，重合的一动点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图，当点在第一象限时，若，求的值； (3)点在抛物线上且不与点重合，点的横坐标为．分别过，两点作轴的平行线，与直线分别交于，两点，将四边形的周长记为． 直接写出关于的函数解析式； 当随的增大而增大时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)； 或或． 【来源】2025年湖北省咸宁市中考二模数学试题 【详解】（1）解：把点，的坐标代入， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：如下图所示，过点作轴，过点作轴交轴于点， 设点的坐标为， 当时，可得：， 点的坐标是， ， ， ， ，， ， 轴， ， ， 点的坐标是，点的坐标是， ，， ， 点的坐标为， ，， ， 整理得：， 解得：； （3）解：设直线的解析式为， 把点点的坐标代入解析式， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 此时点的坐标是，点的坐标是， 则点的纵坐标为， 则点的坐标为， 点的纵坐标为， 点的坐标为， ， ， ， ， 四边形的周长为， 整理得：， 当点在点右侧时， 如下图所示， 则有， 解得：， 当时， 则有，， ； 当点在点的左侧，点的右侧时， 如下图所示， 则有， 解得：， 则有， ； 当点在点左侧时，，即， 如下图所示， 则有， ， 综上所述，； 当时，， 二次函数的图象开口向下，对称轴是， ， 当时，随的增大而增大； 当时，， 二次函数的图象开口向下，对称轴是， ， 时，随的增大而增大； 当时，， 二次函数图象开口向上，对称轴为， 当时，随的增大而增大． 综上所述，当随的增大而增大时，的取值范围是或或． 52．(2025·湖北省十堰市·二模)抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C． (1)若点，求m的值； (2)如图，在（1）的条件下，点是抛物线上一点，点M为直线下方抛物线上一动点，求四边形的面积为S最大值及此时点M的坐标； (3)若点P是抛物线对称轴上一点，且点P的纵坐标为，作直线，将直线向下平移个单位长度得到直线，若直线与抛物线有且仅有一个交点． ①直接写出n关于m的函数关系式； ②直接写出当时m的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3)①，②或 【来源】2025年湖北省十堰市竹溪县中考二模数学试题 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴， ∴． （2）解：由（1）得，， ∴抛物线解析式为， 令，则， ∴， 令，则， ∴， 令，则， 解得：，， ∴， 设直线的解析式为， 代入和，得， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴， ∴， 过点作轴交直线于点， ∵，， ∴同理可得，直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴当时，S有最大值为，此时． （3）解：①的对称轴为直线， ∴， 设直线的解析式为， 代入和得， 解得， ∴直线的解析式为， ∴平移后的直线的解析式为， 联立，整理得， ∵直线与抛物线有且仅有一个交点， ∴， ∴； ②令，则， 解得：，； 令，则， 解得：，； ∴当时，m的取值范围为或． 53．(2025九·湖北省十堰市·二模)抛物线经过点和，与y轴交于点C． (1)如图①，当时． ①求抛物线的解析式； ②作直线，P是第一象限内抛物线上一动点，过点P作轴交于点E，连接，当时，求点P的坐标； (2)如图②，设抛物线与x轴交于点，，此时抛物线也可以表示为交点式．若，F为x轴上方抛物线上一点，轴，G为垂足，直线交x轴于点N，，当点A，N，F三点中有两点关于另一点对称时，求c的值． 【答案】(1)①；② (2)或 【来源】2025年湖北省十堰市九年级数学中考二模试题 【详解】（1）解：①由题意得， 解得：， 抛物线的解析式为． ②如图： 当， ∴， 设直线表达式为：， 代入，得：， 解得：， ∴直线表达式为， 设， 则， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； （2）解：由题意可知，该抛物线关于直线对称． ， ∴， ∴抛物线的解析式为， 设点F的坐标为， 则点， ． ， ∴， ∴点关于直线对称． ， ∴点． 当时，， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得： ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， 点， 分情况讨论： ①如图a， 当点，关于点对称，则时，， 解得； ②如图b， 当点，关于点对称，则时，， 解得． 综上：或． 54．（湖北省襄阳市襄州区2025年九年级中考第二次模拟）抛物线经过点和，与y轴交于点C． (1)如图①，当时． ①求抛物线的解析式； ②P是抛物线在第一象限上一点，若，求点P的坐标． (2)如图②，设抛物线与x轴交于点，此时抛物线也可以表示为交点式．若为x轴上方抛物线上一点，轴，G为垂足，直线交x轴于点，当点三点中有两点关于另一点对称时，求c的值． 【答案】(1)；点P的坐标为 (2)或 【来源】湖北省襄阳市襄州区2025年九年级中考第二次模拟训练数学试题 【详解】（1）解：①由题意得， 解得：， 抛物线的解析式为． ②如图，过点B作交的延长线于点E，过点E作轴于点F． 当，， ∴． ， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 又， ∴， 又轴， 为等腰直角三角形． ， ∴， 设直线的解析式为， 由题意得 解得， ∴直线的解析式为， 联立 得， 解得（不符合题意） 点P的坐标为． （2）解：由题意可知，该抛物线关于直线对称． ， ∴， ∴抛物线的解析式为， 如图，设点F的坐标为， 则点， ． ， ∴， ∴点关于直线对称． ， ∴点． 当时，， ∴， ∴同理可得：直线的解析式为， 点， 分情况讨论： ①如图a，当点，关于点对称，则时，， 解得； ②如图b，当点，关于点对称，则时，， 解得． 综上或； ． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质，二次函数的对称性的应用，锐角三角函数的应用，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 55．（2025年湖北省楚天名校协作体九年级中考数学二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴交于、两点，交轴于，顶点为．点在此抛物线上，其横坐标分别为，，连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)当点都在第一象限时，，求的值； (3)设此抛物线点与点之间的部分（包括点）的最高点与最低点的纵坐标的差为， ①求关于的函数解析式； ②当随增大而增大时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①；②或 【来源】2025年湖北省楚天名校协作体九年级中考数学二模试卷 【详解】（1）解：∵抛物线交轴交于、两点，交轴于， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：过作于，过作于，则， ∵点都在第一象限，在此抛物线上，其横坐标分别为， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的值为； （3）解：①∵， ∴顶点为， ∵点在此抛物线上，其横坐标分别为， ∴，， 如图，当点都在顶点左侧时，，为最低点，为最高点， 则； 如图，当点在点左侧，在顶点右侧时，，为最低点，为最高点， 则； 如图，当点在点左侧，在顶点右侧时，，为最低点，为最高点， 则； 如图，当点都在顶点右侧时，，为最低点，为最高点， 则； ∴； ②当时，抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴当时，随增大而增大， 又∵， ∴； 当时，抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴当时，随增大而增大， ∵， ∴此种情况不存在； 当时，抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴当时，随增大而增大， ∵， ∴； 当时，抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴当，随增大而增大， ∵， ∴； 综上，当随增大而增大时，的取值范围为或． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 函数 题型概览 题型01一次函数和反比例函数基础 题型02二次函数综合 题型03一次函数和反比例函数综合解答 题型04二次函数压轴题 ( 题型0 1 )一次函数和反比例函数基础 1．（湖北省黄石市黄石港区四校2025年中考第二次模拟）某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流．与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（　　） A．当时， B．I与R的函数关系式是 C．当时， D．当时，I的取值范围是 2．（2025年湖北省恩施州中考二模）在物理实验室实验中，为了研究杠杆的平衡条件，设计了如下实验，如图，铁架台左侧钩码的个数与位置都不变，在保证杠杆水平平衡的条件下，右侧采取变动钩码数量即改变力F，或调整钩码位置即改变力臂L，确保杠杆水平平衡，则力F与力臂L满足的函数关系是（    ） A．正比例函数关系 B．反比例函数关系 C．一次函数关系 D．二次函数关系 3．(2025·湖北省十堰市·二模)如图，在平面直角坐标系中，已知点，，如果将线段绕点逆时针旋转至，那么点的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．(2025九·湖北省黄冈市·二模)如图，直线与轴，轴分别交于，两点，以为边在第一象限内作矩形，且，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．（湖北省襄阳市襄州区2025年九年级中考第二次模拟）已知蓄电池两端电压为定值，电流与成反比例函数关系．当时，，则当时，的值为（    ） A． B． C． D． 6.（黄石市黄石港区四校2025年中考第二次模拟）直线与轴交于点，与轴交于点，则关于的方程的解为 ． 7．（黄石市阳新县北部联盟2025年中考第二次模拟）直线与直线在平面直角坐标系中的位置如图所示，它们y轴的交点为分别为A、B，以为边向左作正方形，则正方形的面积为______． 8．(2025·湖北省随州市·二模)若点在函数的图象上，且，则 （填“”或“”）． 9．(2025九·湖北省黄冈市·二模)根据物理学知识，在电压不变时，通过导体的电流（单位：）是这段导体的电阻（单位：）的反比例函数，其函数图象如图所示．当时，通过该导体的电流的值为 ． 10．（湖北省荆楚联盟2025年二模）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，其限制电流不能超过，那么用电器可变电阻应控制的范围是 ． 11．(2025·湖北省咸宁市·二模)一个弹簧不挂重物时长，挂上重物后伸长的长度与所挂重的质量成正比。如果挂上的质量后弹簧伸长，则弹簧的总长（单位：）关于所挂重物（单位：）的函数解析式是 ． ( 题型0 2 )二次函数综合 12．(2025·湖北省黄石市·二模)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点位于，两点之间．下列结论：①；  ②；③；  ④若，为方程的两个根，则．其中正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 13．（湖北省黄石市黄石港区四校2025年中考第二次模拟）已知抛物线的图象上有三点，，，其中，则下列说法错误的是（   ） A．抛物线的顶点坐标为 B． C．关于x的一元二次方程（）的两解为，，则 D．方程有3个根，则 14．（黄石市阳新县北部联盟2025年中考第二次模拟）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，与x轴交于，两点，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．（m为任意实数） 15．（黄石市阳新县东部联盟2025年中考第二次模拟）如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于，两点．若，则下列四个结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 16．（2025年湖北省恩施州中考二模）已知抛物线（a，b，c是常数且）过和两点，且，下列四个结论：①；②；③若关于x的方程有实数根，则；④方程有两个实数根，，则．其中，正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 17．(2025·湖北省襄阳市宜城市·二模)已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论正确的是（    ） A． B．若点均在二次函数图象上，则 C．不等式的解集为 D．关于的一元二次方程有两个相等的实数根 18．(2025·湖北省孝感市·二模)如图，抛物线过点，对称轴为直线，有以下结论正确的为（   ） A． B． C． D．方程两根分别为，4 19．(2025·湖北省十堰市·二模)已知二次函数的与的部分对应值如表： x … 0 1 2 … y … 0 3 4 3 … 下列结论正确的是（   ） A． B．的解集是 C．对于任意的常数，必有 D．若点，，在该函数图象上，则 20．(2025·湖北省随州市·二模)如图是二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点，有以下四个结论：①，②，③，④若顶点坐标为，当时，y有最大值为2、最小值为，此时m的取值范围是．其中正确结论的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 21．（湖北省荆楚联盟2025年二模）抛物线与轴相交于点，．下列结论：①②；③点，在抛物线上，当时，则有；④若方程的一个根，则另一个根．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 22．(2025·湖北省咸宁市·二模)二次函数的图象如图所示，下列结论错误的是（    ） A． B．当时， C． D． 23．(2025·湖北省十堰市·二模)如图，二次函数的图象与轴的交点为，它的对称轴为直线，则下列结论：① ；②；③；④方程的其中一个根在2，3之间，正确的结论有（   ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 24．(2025九·湖北省十堰市·二模)抛物线与x轴的一个交点为，，下列说法正确的是（    ） A．对称轴为直线 B．当时，y随x的增大而增大 C． D．若，为方程的两个根，则 25．（襄阳市襄州区2025年九年级中考第二次模拟）抛物线（为常数，）的对称轴是直线，且经过点，下列结论正确的是（    ） A． B．关于x的方程的两根之和为 C． D． 26．（2025年湖北省楚天名校协作体九年级中考数学二模）如图，已知顶点为的抛物线经过点，则下列结论：①；②；③若且，则；④关于的一元二次方程的根为；⑤若点，在抛物线上，则．其中正确的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ( 题型0 3 )一次函数和反比例函数综合解答 27．(2025·湖北省黄石市·二模)如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数y=(m≠0)的图象交于第二、四象限A、B两点，过点A作AD⊥x轴于D，AD=4，sin∠AOD=，且点B的坐标为(n,-2)． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）E是y轴上一点，且△AOE是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的E点坐标． 28．（黄石市黄石港区四校2025年中考第二次模拟）已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与x轴交于点C，连接． (1)求k，b，n的值； (2)求的面积． 29．（黄石市阳新县北部联盟2025年中考第二次模拟）如图，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，sin∠AOB＝，反比例函数y＝（x>0）在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F． (1)若OA＝10，求反比例函数的解析式； (2)若点F为BC的中点，且△AOF的面积S＝12，求OA的长和点C的坐标． 30．（黄石市阳新县东部联盟2025年中考第二次模拟）如图，一次函数与反比例函数（k为常数，）的图象相交于，两点． (1)求m，n，k的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数（p为常数）的值大于函数的值，直接写出p的取值范围． 31．（2025年湖北省恩施州中考二模）如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线在第一象限交于点A和C，与x轴交于点B和D，点A和B的刻度分别为和，直尺的宽度为，．（注：平面直角坐标系内一个单位长度为） (1)求点A的坐标及k的值； (2)连接，若四边形的面积为时，求a的值． 32．(2025·湖北省襄阳市宜城市·二模)如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，，与轴相交于点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出不等式的解集． 33．(2025·湖北省孝感市·二模)如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴相交于点A，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点． (1)求k和m的值； (2)将直线沿y轴方向向上平移个单位后与反比例函数图象在第一象限内交于点C，若，请直接写出n的取值范围． 34．(2025·湖北省十堰市·二模)如图，已知直线与双曲线交于，两点，且点的坐标为． (1)求的值； (2)点为轴上一点，其坐标设为，过点作平行于轴的直线，交直线于点，交双曲线于点，连接．若，结合函数的图像，直接写出的取值范围． 35．（湖北省荆楚联盟2025年二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)在轴上有点，且点坐标为，若的面积小于10，求的取值范围． 36．(2025·湖北省咸宁市·二模)如图，一次函数与x轴交于点，与反比例函数交于，C两点． (1)求m，n，k的值； (2)点M在y轴上，若，求点M的坐标． 37．(2025·湖北省十堰市·二模)如图，在同一直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于． (1)求的值及正比例函数的解析式； (2)分别以点为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，作直线交轴于点．求线段的长． 38．(2025九·湖北省十堰市·二模)如图，在平面直角坐标系中，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点． (1)求反比例函数的解析式； (2)若点在该反比例函数图象上，且它到y轴距离小于6，请根据图象直接写出n的取值范围． 39．（湖北省襄阳市襄州区2025年九年级中考第二次模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点． (1)求反比例函数及直线的解析式； (2)点是x轴上的一个动点，若，直接写出n的取值范围． 40．（2025年湖北省楚天名校协作体九年级中考数学二模）如图，一次函数的图象与反比例函数为的图象交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)根据图象，直接写出时x的取值范围： (3)过线段上的动点，作轴的垂线，垂足为点，其交函数的图象于点，若，求点的坐标． ( 题型0 4 )二次函数压轴题 41．(2025·湖北省黄石市·二模)如图，直线与轴，轴分别交于点，抛物线经过点，交轴于另一点，点为线段上一动点，直线交抛物线于点． (1)填空：______，_____； (2)若，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，抛物线上有一动点，过点作轴的垂线分别交直线和直线于点，设，点的横坐标为 ①求关于的函数关系式； ②求满足为整数的点的个数． 42．（黄石市黄石港区四校2025年中考第二次模拟）在平面直角坐标系中，抛物线M：的顶点为A． (1)如图1，若A点横坐标为2，点在抛物线M上，求t的值； (2)如图2，若，直线分别交x轴、y轴于点B、C，用b表示点A到直线l的距离d，并求出d取得最小值时抛物线M的解析式； (3)定义：在平面直角坐标系中，若点P满足横、纵坐标都为整数，则把点P叫做“整点”，如点，都是“整点”．若，当抛物线与其关于x轴对称抛物线所围成的封闭区域内（包括边界）共有9个整点，求a的取值范围． 43．（黄石市阳新县东部联盟2025年中考第二次模拟）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点P是直线上方抛物线上不与抛物线顶点重合的一动点，设点P的横坐标为m． (1)请直接写出a，b的值； (2)如图，若抛物线的对称轴为直线l，点D为直线l上一动点，当垂直平分时，求m的值； (3)过点P作x轴的垂线交于点M，过点P作y轴的垂线与抛物线的另一个交点为N，线段，的长度之和记为d． ①求d关于m的函数解析式； ②根据d的不同取值，试探索点P的个数情况． 44．（2025年湖北省恩施州中考二模）如图1，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，顶点为F，对称轴交x轴于点． (1)求b的值； (2)连接，P为二次函数图象上的一点，若，求点P的坐标； (3)如图2，连接，过点A作的垂线交二次函数图象于点M，连接，设直线的函数表达式为． ①直接写出k的值； ②如图2，点P，Q均为二次函数图象上的一点（点P在第一象限的图象上），若，直线是否平行于？请说明理由． 45．(2025·湖北省襄阳市宜城市·二模）如图1，抛物线与轴交于，，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图2，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图3．点是直线上一动点，过点作线段（点在直线下方），若，若线段与抛物线有交点，请求出点的橫坐标的取值范围． 46．(2025·湖北省孝感市·二模)如图，已知二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点，连接．点P为抛物线上一动点（点P不与点C重合），设点P的横坐标为t． (1)求该二次函数的解析式； (2)若点P是抛物线第二象限内一点，连接交于Q，若，求点P的坐标； (3)若点P为x轴上方抛物线上一点，连接、、，设以A，O，C，P为顶点的四边形的面积为S． ①求S关于t的函数解析式； ②根据S的不同取值，直接写出点P的个数情况． 47．(2025·湖北省十堰市·二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求，两点的坐标； (2)当时，动直线与抛物线交于点，与直线交于点．设线段的长为，连接，构成，求出当面积最大时，的值及点坐标； (3)我们规定：横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点，之间的部分与线段所围成的区域内（不含边界）恰有个整点，试结合函数图象直接写出的取值范围． 48．(2025·湖北省随州市·二模)在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+4ax+4a﹣6（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D． （1）当a＝6时，直接写出点A，B，C，D的坐标： A　　，B　　，C　　，D　　； （2）如图1，直线DC交x轴于点E，若tan∠AED＝，求a的值和CE的长； （3）如图2，在（2）的条件下，若点N为OC的中点，动点P在第三象限的抛物线上，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，交AN于点F；过点F作FH⊥DE，垂足为H．设点P的横坐标为t，记f＝FP+FH． ①用含t的代数式表示f； ②设﹣5＜t≤m（m＜0），求f的最大值． 49．(2025九·湖北省黄冈市·二模)如图，已知矩形的三个顶点的坐标为点，．经过B，D两点的抛物线与线段交于点E（不与A，D两点重合），连接． (1)填空： ；直接写出点D的坐标（用含m，n的代数式表示）； (2)当时，，求a的值和抛物线顶点P的坐标； (3)当时，n的最大值是9，求此时的值． 50．（湖北省荆楚联盟2025年二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点A，与轴交于点，抛物线经过A，B两点，点在第一象限的抛物线上． (1)求这条抛物线所对应的函数表达式； (2)如图1，过点作轴于点，交于点．是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，点坐标为，交于点． ①当与的面积比为时，求点的坐标； ②在①的条件下，若点为抛物线上位于对称轴右侧的点，，求直线的解析式． 51．(2025·湖北省咸宁市·二模)在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，是抛物线上不与，重合的一动点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图，当点在第一象限时，若，求的值； (3)点在抛物线上且不与点重合，点的横坐标为．分别过，两点作轴的平行线，与直线分别交于，两点，将四边形的周长记为． 直接写出关于的函数解析式； 当随的增大而增大时，直接写出的取值范围． 52．(2025·湖北省十堰市·二模)抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C． (1)若点，求m的值； (2)如图，在（1）的条件下，点是抛物线上一点，点M为直线下方抛物线上一动点，求四边形的面积为S最大值及此时点M的坐标； (3)若点P是抛物线对称轴上一点，且点P的纵坐标为，作直线，将直线向下平移个单位长度得到直线，若直线与抛物线有且仅有一个交点． ①直接写出n关于m的函数关系式； ②直接写出当时m的取值范围． 53．(2025九·湖北省十堰市·二模)抛物线经过点和，与y轴交于点C． (1)如图①，当时． ①求抛物线的解析式； ②作直线，P是第一象限内抛物线上一动点，过点P作轴交于点E，连接，当时，求点P的坐标； (2)如图②，设抛物线与x轴交于点，，此时抛物线也可以表示为交点式．若，F为x轴上方抛物线上一点，轴，G为垂足，直线交x轴于点N，，当点A，N，F三点中有两点关于另一点对称时，求c的值． 54．（湖北省襄阳市襄州区2025年九年级中考第二次模拟）抛物线经过点和，与y轴交于点C． (1)如图①，当时． ①求抛物线的解析式； ②P是抛物线在第一象限上一点，若，求点P的坐标． (2)如图②，设抛物线与x轴交于点，此时抛物线也可以表示为交点式．若为x轴上方抛物线上一点，轴，G为垂足，直线交x轴于点，当点三点中有两点关于另一点对称时，求c的值． 55．（2025年湖北省楚天名校协作体九年级中考数学二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴交于、两点，交轴于，顶点为．点在此抛物线上，其横坐标分别为，，连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)当点都在第一象限时，，求的值； (3)设此抛物线点与点之间的部分（包括点）的最高点与最低点的纵坐标的差为， ①求关于的函数解析式； ②当随增大而增大时，直接写出的取值范围． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$