专题01 圆（湖北专用）-【好题汇编】2025年中考数学二模试题分类汇编

专题01 圆 题型概览 题型01圆求角度 题型02圆求线段和面积 题型03圆综合解答题 ( 题型0 1 )圆求角度 1．(2025·湖北省黄石市·二模)如图，圆内接四边形中，，连接，，，，．则的度数是（    ）    A． B． C． D． 2．（黄石市黄石港区四校2025年中考第二次模拟）如图，是的弦，分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于圆外一点，连接，交于点，连接．若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 3．（黄石市阳新县北部联盟2025年中考第二次模拟）如图，是的直径，E是的中点，，的度数是（    ）    A． B． C． D． 4．（2025年湖北省恩施州中考二模）如图，A，B，C三点在上，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．(2025·湖北省襄阳市宜城市·二模)如图所示，是的直径，为的中点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．(2025·湖北省十堰市·二模)如图，内接于，AD是的直径，若，则的度数是（    ） A．60° B．65° C．70° D．75° ( 题型0 2 )圆求线段和面积 7．（黄石市阳新县东部联盟2025年中考第二次模拟）如图，点A，B，C，D在上，，则的长为（    ） A． B．8 C． D．4 8．(2025·湖北省十堰市·二模)如图，是的直径，是的切线，切点为与的延长线交于点C，若，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 9．(2025九·湖北省黄冈市·二模)如图，在中，点是的中点，垂直平分半径，，则该圆的半径为（    ） A． B． C． D． 10．（湖北省荆楚联盟2025年二模）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为（    ） A． B． C． D． 11．（北省襄阳市襄州区2025年九年级中考第二次模拟）如图，为的直径，为的弦，，则的长是（   ） A．6 B．8 C． D． 12．(2025九·湖北省十堰市·二模)如图，在平面直角坐标系中，已知经过原点O，与x轴，y轴交于点A，B两点，点B坐标为，与交于点C，，则图中阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 13．(2025·湖北省随州市·二模)如图， 内接于⊙ ， 是⊙ 的直径， ， 平分 交⊙ 于 ，交 于点 ，连接 ，则 的值等于（ ）． A． B． C． D． ( 题型0 3 )圆综合解答题 14．(2025·湖北省黄石市·二模)如图，在中，，与相交于点，与相交于点，连接，已知． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 15．（黄石市黄石港区四校2025年中考第二次模拟）如图，在中，是一条不过圆心O的弦，C，D是的三等分点，直径交于点F，连接交于点G，连接，过点C的切线交的延长线于点H． (1)求：； (2)若的半径为6，，求的长． 16．（黄石市阳新县北部联盟2025年中考第二次模拟）在中，，以为直径的交于点D，点E在上，的延长线相交于点F．    (1)如图1，求证：是的切线； (2)如图2，连接并延长，交于点G，若点B是弧的中点，，求图中阴影部分的面积． 17．（黄石市阳新县东部联盟2025年中考第二次模拟）已知为的直径，与相切于点A，弦于点M，． (1)求证：为的切线； (2)若，，求图中阴影部分面积． 18．（2025年湖北省恩施州中考二模）如图，在中，，O为上的一点，以O为圆心，为半径的交于点E，交于点D．已知． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 19．(2025·湖北省襄阳市宜城市·二模)已知为的直径，与相切于点，弦于点，． (1)求证：为的切线； (2)若，，求图中阴影部分图形的周长． 20．(2025·湖北省孝感市·二模)如图，已知为的直径，平分，交于点C，交于点F，．延长至点E，连接，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积（结果保留π）． 21．(2025·湖北省十堰市·二模)如图，在中，，以为直径的分别交边，于点，，过点作于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 22．(2025·湖北省随州市·二模)如图，在中，，是的角平分线，以为弦，圆心O在边上作交于E． (1)判断与的位置关系并说明理由； (2)若，，求的长． 23．（湖北省荆楚联盟2025年二模）如图，是的外接圆，为直径，点为上一点，且，过点作直线，直线交延长线于点． (1)求证：直线是的切线； (2)若垂直平分，垂足为点，，求阴影部分的面积． 24．(2025九·湖北省黄冈市·二模)如图，是的直径，C是的中点，过点C作的垂线，垂足为点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求阴影部分的面积． 25．(2025·湖北省咸宁市·二模)如图，为的直径，A为上一点，连接，．D为的中点，连接并延长至点E，使，连接，，交于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 26．(2025·湖北省十堰市·二模)如图，已知等腰中，，以为直径的与底边交于点，过点作，垂足为，连接． (1)求证：为的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积． 27．(2025九·湖北省十堰市·二模)如图，是的直径，C、D是上两点，平分，过点D作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求线段的长． 28．（襄阳市襄州区2025年九年级中考第二次模拟）如图，内接于⊙，过点作平行于交的延长线于点，． (1)求证：是⊙的切线； (2)若，求的长． 29．（2025年湖北省楚天名校协作体九年级中考数学二模）如图，已知为的直径，平分，交于点，交于点，．延长至点，使，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积（结果保留） / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 圆 题型概览 题型01圆求角度 题型02圆求线段和面积 题型03圆综合解答题 ( 题型0 1 )圆求角度 1．(2025·湖北省黄石市·二模)如图，圆内接四边形中，，连接，，，，．则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【来源】2025年湖北省黄石市铁山区四校中考第二次模拟考试数学试卷 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆心角、弧、弦之间的关系和圆周角定理等知识点，根据圆内接四边形的性质得出，求出，根据圆周角定理得出，根据求出，根据圆周角定理得出即可． 【详解】解：四边形是的内接四边形， ， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 2．（黄石市黄石港区四校2025年中考第二次模拟）如图，是的弦，分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于圆外一点，连接，交于点，连接．若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】湖北省黄石市黄石港区四校2025年中考第二次模拟考试数学试题卷 【分析】本题考查了线段垂直平分线的画法，垂径定理，圆周角定理，由作图可知垂直平分，即得，即可得，进而由圆周角定理即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：由作图可知，垂直平分， ∴， ∴， ∴， 故选：． 3．（黄石市阳新县北部联盟2025年中考第二次模拟）如图，是的直径，E是的中点，，的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【来源】湖北省黄石市阳新县北部联盟2025年中考第二次模拟考试数学试题卷 【分析】本题主要考查了圆周角定理，三线合一定理，弧与圆心角之间的关系，先由三线合一定理得到，再证明得到，则由圆周角定理可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4．（2025年湖北省恩施州中考二模）如图，A，B，C三点在上，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】2025年湖北省恩施州中考二模九年级数学试卷 【分析】本题考查了圆的基本性质，等边对等角，平行线的性质．利用半径相等结合等边对等角求得，，再根据平行线的性质列式计算即可求解． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故选：C． 5．(2025·湖北省襄阳市宜城市·二模)如图所示，是的直径，为的中点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】2025年湖北省襄阳市宜城市第二次中考模拟数学试题 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形，连接，由为的中点，则，所以，由圆周角定理得，求出，最后通过圆内接四边形性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， 故选：． 6．(2025·湖北省十堰市·二模)如图，内接于，AD是的直径，若，则的度数是（    ） A．60° B．65° C．70° D．75° 【答案】C 【来源】2025年湖北省十堰市竹溪县中考二模数学试题 【分析】首先连接CD，由AD是的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得，又由圆周角定理，可得，再用三角形内角和定理求得答案． 【详解】解：连接CD， ∵AD是的直径， ∴． ∵， ∴． 故选：C． ( 题型0 2 )圆求线段和面积 7．（黄石市阳新县东部联盟2025年中考第二次模拟）如图，点A，B，C，D在上，，则的长为（    ） A． B．8 C． D．4 【答案】A 【来源】湖北省黄石市阳新县东部联盟2025年中考第二次模拟考试数学试题卷 【分析】连接，根据可得为的直径，又根据得到，故在直角三角形中，利用特殊角的三角函数即可求出． 【详解】解：连接， ， ， 为的直径， ， ， 在中, ， ．. 故选：A． 【点睛】本题主要考查圆周角定理，解三角形，解题的关键是掌握公式、定理。 8．(2025·湖北省十堰市·二模)如图，是的直径，是的切线，切点为与的延长线交于点C，若，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】2025年湖北省十堰市名校联盟中考二模数学试题 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，含角直角三角形的三边关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 连接，先根据圆周角定理得到，再利用含角的直角三角形的三边关系得出，，再证明，再根据切线的性质得出，再求出的长，最后计算． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选： D． 9．(2025九·湖北省黄冈市·二模)如图，在中，点是的中点，垂直平分半径，，则该圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】2025年 湖北省黄冈市红安二中教联体九年级中考数学模拟试卷（二） 【分析】本题考查了弧弦圆心角的关系，等边三角形的判定和性质，勾股定理等，连接，由线段垂直平分线的性质和弧弦圆心角的关系可得，即得和是等边三角形，可得，再利用等边三角形的性质和勾股定理解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵垂直平分半径， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴和是等边三角形， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴，， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴，即圆的半径为， 故选：． 10．（湖北省荆楚联盟2025年二模）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】湖北省荆楚联盟2025年初中学业水平考试数学模拟试卷（二） 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识．由垂径定理，可得出的长；设圆心为O，连接，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子的直径长． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴直线经过圆心，设圆心为，连接．   中，， 根据勾股定理得： ，即： ， 解得：； 故轮子的半径为， 故选：C． 11．（北省襄阳市襄州区2025年九年级中考第二次模拟）如图，为的直径，为的弦，，则的长是（   ） A．6 B．8 C． D． 【答案】A 【来源】湖北省襄阳市襄州区2025年九年级中考第二次模拟训练数学试题 【分析】本题考查圆周角定理，解直角三角形，中垂线的判定和性质，连接，交于点，圆周角定理，等弧对等弦，得到，，，进而推出垂直平分，勾股定理求出的长，根据，求出的长即可． 【详解】解：连接，交于点，则：， ∵为的直径，， ∴，，， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选A 12．(2025九·湖北省十堰市·二模)如图，在平面直角坐标系中，已知经过原点O，与x轴，y轴交于点A，B两点，点B坐标为，与交于点C，，则图中阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】2025年湖北省十堰市九年级数学中考二模试题 【分析】连接，根据可知是直径，再由圆周角定理求出，由锐角三角函数的定义得出及的长，根据即可得出结论． 【详解】解：连接， ∵， ∴是直径， 根据同弧对的圆周角相等得， ∵， ∴， ∴，即圆的半径为2， ∴ ． 故选C． 【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 13．(2025·湖北省随州市·二模)如图， 内接于⊙ ， 是⊙ 的直径， ， 平分 交⊙ 于 ，交 于点 ，连接 ，则 的值等于（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【来源】2025年湖北省随州市曾都区万店镇一中中考模拟数学试题（二） 【详解】∵是直径， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵ ∴，， 如图，过作于，连接，平分， ∴，， ∴，， ， 故选D． ( 题型0 3 )圆综合解答题 14．(2025·湖北省黄石市·二模)如图，在中，，与相交于点，与相交于点，连接，已知． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【来源】2025年湖北省黄石市铁山区四校中考第二次模拟考试数学试卷 【分析】（1）先根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形的外角性质可得，然后根据三角形的内角和定理可得，从而可得，最后根据圆的切线的判定即可得证； （2）过点作于点，先利用勾股定理可得，从而可得，再在中，解直角三角形可得，从而可得，然后证出，根据相似三角形的性质可得，从而可得，最后在中，利用勾股定理即可得． 【详解】证明：（1）， ， ， ， ，， ，即， ，即， 又是的半径， 为的切线； （2）如图，过点作于点， ， ， ，， 在中，，， 解得， ， ， ， ， ，即， 解得， ， 在中，． 15．（黄石市黄石港区四校2025年中考第二次模拟）如图，在中，是一条不过圆心O的弦，C，D是的三等分点，直径交于点F，连接交于点G，连接，过点C的切线交的延长线于点H． (1)求：； (2)若的半径为6，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【来源】湖北省黄石市黄石港区四校2025年中考第二次模拟考试数学试题卷 【分析】（1）由是的三等分点，可得，则，由是直径，可得，证明，进而可得； （2）如图，连接，作的延长线于，由题意得，由勾股定理得，，则，由切线的性质可知，，则，，则，即，可得，设，则，由勾股定理得，，即，可求满足要求的解为，则，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的三等分点， ， ， 是直径， ， ， ， ； （2）解：如图，连接，作的延长线于， ， ， 由题意知，， ， ， 由勾股定理得，， ， 由切线的性质可知，， ， ， ， ，即， 解得，， ， 设，则， 由勾股定理得，， 即， 解得，或(舍去)， ， 由勾股定理得，， 的长度为． 16．（黄石市阳新县北部联盟2025年中考第二次模拟）在中，，以为直径的交于点D，点E在上，的延长线相交于点F．    (1)如图1，求证：是的切线； (2)如图2，连接并延长，交于点G，若点B是弧的中点，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】湖北省黄石市阳新县北部联盟2025年中考第二次模拟考试数学试题卷 【分析】（1）连接，，利用圆周角定理得到，等腰三角形的判定与性质得到，，即可得到从而得到结论； （2）先证，结合圆周角定理以及切线性质可证明为等边三角形，从而求出，利用正切值求出圆的半径，在中，利用正切值求出的长度，最后根据求出结果即可． 【详解】（1）证明：如图，连接，，   为的直径， ， ， ， ， ， 又， ， ，即， ， 为的半径， 是的切线； （2）如图：连接，   点B是弧的中点， ， 为的切线， ， ，， ， ， ， ， 又， ， ， 为等边三角形， ，即， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ，， ． 17．（黄石市阳新县东部联盟2025年中考第二次模拟）已知为的直径，与相切于点A，弦于点M，． (1)求证：为的切线； (2)若，，求图中阴影部分面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】湖北省黄石市阳新县东部联盟2025年中考第二次模拟考试数学试题卷 【分析】（1）连接，．利用切线的性质得到，证明，利用切线的判定和全等三角形的性质即可证明为的切线； （2）利用直角三角形性质得到，进而得到，结合垂径定理得到，证明，最后根据求解，即可解题． 【详解】（1）证明：连接，． 与相切于点A， ， ，，， ． ， 为半径， 为的切线． （2）与相切于点A， ， ，， ， ， ， 在中，， ∴ 于点M， ， 在利中， ，，， ． ， ． 18．（2025年湖北省恩施州中考二模）如图，在中，，O为上的一点，以O为圆心，为半径的交于点E，交于点D．已知． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】2025年湖北省恩施州中考二模九年级数学试卷 【分析】（1）连接，根据，推出，由，得到，即可证明； （2）分别过点作，垂足分别为，证明，得到，求出，再证明，推出，利用勾股定理求出，，证明，推出，设，则，得到，求出，利用勾股定理建立方程即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径，点D在上， ∴是的切线； （2）解：分别过点作，垂足分别为， ∵为的直径， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 设，， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， 解得：（负值舍去）， ∴． 19．(2025·湖北省襄阳市宜城市·二模)已知为的直径，与相切于点，弦于点，． (1)求证：为的切线； (2)若，，求图中阴影部分图形的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【来源】2025年湖北省襄阳市宜城市第二次中考模拟数学试题 【分析】（）连接，由切线的性质得，再证明，得到，即可求证； （）由四边形内角和可得，即得，得到，，由垂径定理得，利用直角三角形的性质和勾股定理可得，，即得，由可得，再利用弧长公式可得，进而根据阴影部分图形的周长即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵与相切于点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴为的切线； （2）解：由（）知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵于点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴图中阴影部分图形的周长． 20．(2025·湖北省孝感市·二模)如图，已知为的直径，平分，交于点C，交于点F，．延长至点E，连接，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积（结果保留π）． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】2025年湖北省孝感市孝南区中考二模数学试题 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的判定，求扇形面积，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据已知得出，根据，得出，进而证明是等边三角形，根据等边对等角以及三角形的外角的性质得出，即可得证； （2）先求得，再求出，进而根据即可求解． 【详解】（1）证明：连接， 为的直径 ， 平分 ， 是等边三角形， 又， ， 又是半径， 是的切线； （2）解：在中，，， ， 是等边三角形， ， 在中，， ． 21．(2025·湖北省十堰市·二模)如图，在中，，以为直径的分别交边，于点，，过点作于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】2025年湖北省十堰市名校联盟中考二模数学试题 【分析】（）连接，由，则，通过等腰三角形的性质可得，，则，所以，由平行线的性质可得，从而求证； （2）如图，过点O作于点M，连接，证明出四边形是矩形，得到，，然后等量代换得到，设，，解直角三角形得到，然后列方程求出，半径，然后利用代数求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：如图，过点O作于点M，连接， ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴，． ∵ ∴， ∴， ∴． 设 ∴， ∵在中， ∴ ∴，半径， ∴， ∴． 22．(2025·湖北省随州市·二模)如图，在中，，是的角平分线，以为弦，圆心O在边上作交于E． (1)判断与的位置关系并说明理由； (2)若，，求的长． 【答案】(1)与相切，理由见解析 (2) 【来源】2025年湖北省随州市曾都区万店镇一中中考模拟数学试题（二） 【分析】（1）连接，则有，根据角平分线可以得到，进而得到结论； （2）连接，证明是等边三角形，再利用弧长公式计算即可． 【详解】（1）解（1）与相切，理由如下： 连接，          ∵， ∴，               又∵是的角平分线， ∴， ∴，                    ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴与相切； （2）连接， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴，           ∴的长为： 23．（湖北省荆楚联盟2025年二模）如图，是的外接圆，为直径，点为上一点，且，过点作直线，直线交延长线于点． (1)求证：直线是的切线； (2)若垂直平分，垂足为点，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】湖北省荆楚联盟2025年初中学业水平考试数学模拟试卷（二） 【分析】（1）连接，根据圆周角定理和平行线性质证明，，再根据等腰三角形的性质得，从而可得出，即可由切线的判定定理得出结论； （2）连结、，证明为等边三角形．得出，从而求得，再利用平行线的性质与直角三角形的性质求得，则，用勾股定理求出，即可由求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴直线是的切线． （2）解：连结、， 垂直平分， ， ， 为等边三角形． ， ， ， ， ． ， ． ， ， ， ， ， 垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ， ． 24．(2025九·湖北省黄冈市·二模)如图，是的直径，C是的中点，过点C作的垂线，垂足为点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【来源】2025年 湖北省黄冈市红安二中教联体九年级中考数学模拟试卷（二） 【分析】（1）连接，证明，可得，再进一步可得结论； （2）连接、，证明四边形是矩形，可得，再证明，可得，可得，利用可得答案． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：连接、，交于点， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 25．(2025·湖北省咸宁市·二模)如图，为的直径，A为上一点，连接，．D为的中点，连接并延长至点E，使，连接，，交于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】2025年湖北省咸宁市中考二模数学试题 【分析】（1）连接，，由，得到，从而，继而得到，即可得证； （2）设的半径为r，在中根据勾股定理构造方程，求解得到，从而求出，，从而．连接，在中，即可解答． 【详解】（1）证明：连接，， 点D是的中点， ， 又， 四边形是平行四边形， ∴， ， ， ∴ ， ， ， 是的切线； （2）解：设的半径为r， ∴， ，， 在中，， ，解得． ∴在中，， ∵， ， ∴ 连接， ∵是直径， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的判定及性质，勾股定理，解直角三角形，直径所对的圆周角为，综合运用相关知识是解题的关键． 26．(2025·湖北省十堰市·二模)如图，已知等腰中，，以为直径的与底边交于点，过点作，垂足为，连接． (1)求证：为的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【来源】2025年湖北省十堰市竹溪县中考二模数学试题 【详解】（1）证明：如图，连接，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵是的半径， ∴为的切线． （2）解：∵是的直径， ∴，即， ∴，（等腰三角形的三线合一） ∵在中，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴图中阴影部分的面积为． 27．(2025九·湖北省十堰市·二模)如图，是的直径，C、D是上两点，平分，过点D作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】2025年湖北省十堰市九年级数学中考二模试题 【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）连接，圆周角定理得到，角平分线得到，再根据圆周角定理结合平行线的性质，求出，即可得证； （2）三角函数结合勾股定理求出的长，进而得到的长，作，结合平行线的性质，得到，，解，即可． 【详解】（1）解：连接， ∵为直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 作， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 28．（襄阳市襄州区2025年九年级中考第二次模拟）如图，内接于⊙，过点作平行于交的延长线于点，． (1)求证：是⊙的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【来源】湖北省襄阳市襄州区2025年九年级中考第二次模拟训练数学试题 【分析】本题是一道圆的综合题，考查了圆的有关知识，即切线的判定、圆周角定理、弧长公式等，同时涉及等腰三角形的性质，平行线的性质等，熟练掌握以上知识点，明确弧长计算公式是解题的关键． （1）连接，通过圆周角定理，得，由，得，在中，易得，，根据，得，即可证明； （2）连接，由（1）得，根据，得，通过圆周角定理，得，在中，，由弧长计算公式，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， 内接于⊙， ， ， ， ， ， 又， ，， ， ， 是⊙的半径， 是⊙的切线． （2）解：如图，连接， ，， ， ， ， ， 在中，， 的长为． 29．（2025年湖北省楚天名校协作体九年级中考数学二模）如图，已知为的直径，平分，交于点，交于点，．延长至点，使，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积（结果保留） 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】2025年湖北省楚天名校协作体九年级中考数学二模试卷 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的判定，求扇形面积，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据已知得出，根据，得出，进而证明是等边三角形，根据等边对等角以及三角形的外角的性质得出，进而得出，即可得证； （2）先求得，由（1）可得是等边三角形，进而根据即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵为的直径， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴ ∴，即 又∵是半径， ∴是的切线； （2）解：∵中，， ∴，则， 由（1）可得是等边三角形， ∴ 过点作于点， ∴， ∴ ∴ / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$