专题02 函数的性质（讲义） -吉林省2026年高职分类考试一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：吉林省2026年高职分类考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》及吉林历年高职分类考试真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块共41个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是吉林省2026年高职分类考试一轮复习《数学知识点清单》的模块3函数的第2个专题：函数的性质。本专题涵盖函数的单调性与奇偶性等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 吉林省2026年高职分类考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题02 函数的性质（讲义） 知识点1：函数的单调性 （1）函数单调性的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D,区间 如果当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间上单调递增. 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数. 如果当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间上是单调递减.特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数. 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 （2）单调区间的定义 如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间． 【温馨提醒】 ①准确理解函数在某个区间上是单调递增（减）和该函数在定义域上是增（减）函数两之间的差异； ②函数若有多个单调区间，中间不能用“”，“或”连接，只能用“，”或“和”连接. 例如：在上单调递减，但它在定义域不是减函数，特别注意它的减区间是，不是. 知识点2．函数的最值 前提 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 知识点3：函数奇偶性定义 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 【常用结论】 （1）若奇函数在处有意义，则有； （2）偶函数必满足. 判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或， 则函数为奇函数. （3） 偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同. （4）函数是偶函数函数的图象关于轴对称； 函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称. 考点1：函数的单调性（高频考点） 【典例精讲1】下列函数中，在上是减函数的是（ ） A． B． C． D． 【易错练】下列函数中，在（0，+∞）上为减函数的是（ ） A．y=3x B．y=– C． D． 【典例精讲2】若函数的图象如图所示，则其单调递减区间是（    ） A．， B． C． D． 【易错练】函数，的图象如图所示，则的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【典例精讲3】函数的图象如图所示，则最大､最小值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【易错练】函数f(x)的部分图象如图所示,则此函数在[-2,2]上的最小值、最大值分别是（ ） A．-1,3 B．0,2 C．-1,2 D．3,2 1.下列函数中，在区间上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 2.函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 3.关于函数，下列说法正确的是（    ） A．没有最小值，有最大值 B．有最小值，没有最大值 C．有最小值，有最大值 D．没有最小值，也没有最大值 4.函数在[0,1]上的最小值是（    ） A．1 B．0 C． D．不存在 考点2：函数的奇偶性（高频考点） 【典例精讲1】下列函数是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【易错练】下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【典例精讲2】已知函数是上的增函数，那么（    ） A． B． C． D． 【易错练】若函数是偶函数，且在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【典例精讲3】已知函数是偶函数.若（ ） A．-1 B．0 C．1 D．5 【易错练】若函数是定义在R上的奇函数，当时，，则等于（    ） A． B． C．0 D．2 1. （2025年吉林高职高专院校单独招生统一考试）下列函数是奇函数的是 （ ） A. B. C. D. 2.（2024年吉林高职高专院校单独招生统一考试）已知函数为上的奇函数，若，则（ ） A 0 B. C. 5 D. 3.（2023年吉林高职高专院校单独招生统一考试）下列函数在上为减函数的是（ ） A. B. C. D. 4.( 2022年吉林高职高专院校单独招生统一考试)下列函数中在上单调递减的是（ ） A B. C. D. 5.( 2021年吉林高职高专院校单独招生统一考试)已知函数，且则（ ） A. B. C. D. 1.偶函数的图象关于轴对称，下列图象中，可以表示偶函数的是（    ）． A． B． C． D． 2.下列函数中既是偶函数又在上为增函数的是（   ） A． B． C．+1 D． 3.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（    ） A．， B． ， C．， D． ， 4.下列函数中，是奇函数且在上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 5.函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 6.定义在上的偶函数在上是减函数，则（    ） A． B． C． D． 7.已知函数f(x)为偶函数，且当x>0时，f(x)=，则=（   ） A．－2 B．0 C．1 D．2 8.已知（a，b为常数），且，则（    ） A．1 B． C．0 D．不能确定 9.若奇函数在区间上是增函数，且最小值为5，则它在区间上是（    ） A．增函数且有最大值 B．增函数且有最小值 C．减函数且有最大值 D．减函数且有最小值 10.是偶函数，其定义域为，则等于（    ） A．1 B． C． D．0 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：吉林省2026年高职分类考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》及吉林历年高职分类考试真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块共41个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是吉林省2026年高职分类考试一轮复习《数学知识点清单》的模块3函数的第2个专题：函数的性质。本专题涵盖函数的单调性与奇偶性等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 吉林省2026年高职分类考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题02 函数的性质（讲义） 知识点1：函数的单调性 （1）函数单调性的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D,区间 如果当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间上单调递增. 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数. 如果当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间上是单调递减.特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数. 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 （2）单调区间的定义 如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间． 【温馨提醒】 ①准确理解函数在某个区间上是单调递增（减）和该函数在定义域上是增（减）函数两之间的差异； ②函数若有多个单调区间，中间不能用“”，“或”连接，只能用“，”或“和”连接. 例如：在上单调递减，但它在定义域不是减函数，特别注意它的减区间是，不是. 知识点2．函数的最值 前提 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 知识点3：函数奇偶性定义 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 【常用结论】 （1）若奇函数在处有意义，则有； （2）偶函数必满足. 判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或， 则函数为奇函数. （3） 偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同. （4）函数是偶函数函数的图象关于轴对称； 函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称. 考点1：函数的单调性（高频考点） 【典例精讲1】下列函数中，在上是减函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对简单函数的掌握，结合题目，进行逐一判断即可. 【解析】（解法一）对：函数在单调递减，在单调递增； 对：函数在上单调递减，则必然在单调递减； 对：函数在定义域上单调递增； 对：函数在上单调递增. 综上所述：函数满足题意. 故选：B. （解法二：图象法）依次作出四个函数的图象，根据图象判断:A,C,D单调递增，B单调递减， 故选：B. 【技巧总结】定义法证明函数单调性的一般步骤如下： (1) 任取，且； (2) 作差； (3) 变形(通常是因式分解和配方)； (4) 定号(即判断差的正负)； (5) 下结论(指出函数在给定的区间上的单调性) 【易错练】下列函数中，在（0，+∞）上为减函数的是（ ） A．y=3x B．y=– C． D． 【答案】D 【分析】利用常见函数的单调性即可作出判断. 【解析】y=3x，，和在（0，+∞）上都为增函数， ∴A，B，C都错误； 二次函数y=–x2在（0，+∞）上为减函数．故选D． 【易错点睛】本题容易错选B或C,因为在区间上单调递减,所以误认为B或C也是单调递减. 实际上因为在区间上单调递减，所以在区间上单调递增. 【典例精讲2】若函数的图象如图所示，则其单调递减区间是（    ） A．， B． C． D． 【答案】B 【分析】利用图象判断函数单调性的方法直接写出函数单调递减区间. 【解析】观察函数的图象，可知函数的单调递减区间为. 故选：B 【易错练】函数，的图象如图所示，则的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图象即可得到函数的单调增区间. 【解析】根据图像易得单调增区间为， 故选：C. 【易错点睛】本题容易错选B,对于多个单调区间，中间不能用“”，“或”连接，只能用“，”或“和”连接. 【典例精讲3】函数的图象如图所示，则最大､最小值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】根据函数图像，直接得出结果. 【解析】根据图象的最高点与最低点，可得函数的最大､最小值分别为，， 故选：C. 【易错练】函数f(x)的部分图象如图所示,则此函数在[-2,2]上的最小值、最大值分别是（ ） A．-1,3 B．0,2 C．-1,2 D．3,2 【答案】C 【分析】通过分析图像，可通过图像识别x∈[-2,2]上的最小值与最大值．最小值在f(-2)取到，最大值在取到． 【解析】当x∈[-2,2]时,由题图可知,x=-2时,f(x)的最小值为f(-2)=-1;x=1时,f(x)的最大值为2.故选C. 【易错点睛】本题答案容易错选A, 求函数最值时要注意函数定义域，最值是在函数图像上的最低点和最高点处，若最低点、最高点定义域取不到，则没有最值． 1.下列函数中，在区间上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析每个函数的单调性，选出满足题意的即可. 【解析】A：在单调递减，在单调递增，不满足题意； B：在上单调递增，不满足题意； C：在上单调递增，不满足题意； D：在和上单调递减，满足题意. 故选：D. 2.函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的开口和对称轴求解即可. 【解析】二次函数，开口向下，对称轴为， 所以单调增区间为. 故选：A 3.关于函数，下列说法正确的是（    ） A．没有最小值，有最大值 B．有最小值，没有最大值 C．有最小值，有最大值 D．没有最小值，也没有最大值 【答案】D 【分析】根据的单调性选出正确选项. 【解析】由于在上递增，所以没有最小值，也没有最大值. 故选：D 4.函数在[0,1]上的最小值是（    ） A．1 B．0 C． D．不存在 【答案】B 【分析】根据函数在上是增函数，求得函数的最小值． 【解析】因函数在上是增函数， 故当时，函数取得最小值为. 故选：B. 考点2：函数的奇偶性（高频考点） 【典例精讲1】下列函数是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接由函数的解析式判断其奇偶性即可得解. 【解析】对于A，是奇函数，故A错误； 对于B，是偶函数，故B正确； 对于C，是奇函数，故C错误； 对于D，因为的定义域不关于原点对称， 所以它是非奇非偶函数，故D错误. 故选：B. 【技巧总结】判定函数奇偶性的一般步骤 (1) 确定函数的定义域； (2) 判断定义域是否关于原点对称，若非对称，则既不是奇函数也不是偶函数； (3) 若对称，则计算,确定 与 的关系 (4) 下结论(指出函数的奇偶性 【易错练】下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】分析给定四个函数的单调性和奇偶性，可得答案． 【解析】：函数不是奇函数，不满足题意； 函数是偶函数，不满足题意； 函数是奇函数且是增函数，满足题意； 函数定义域为是奇函数，在和上单调递增，在和上单调递减，故不满足题意； 故选：C． 【易错点睛】本题易错选A,对于一次函数，若，则函数不具备奇偶性.当且仅当时为奇函数. 【典例精讲2】已知函数是上的增函数，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数在为增函数即可得答案. 【解析】因为函数是上的增函数，， 故， 故选：A 【易错练】若函数是偶函数，且在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，结合单调性得出. 【解析】因为函数是偶函数，所以 又在区间上单调递增，所以在区间上单调递减，且 所以，即 故选：A 【易错点睛】本题易错选D,误认为偶函数函数在上也是单调递增，从而有，实际上偶函数在关于原点对称区间上的单调性相反，所以在区间上单调递减，再结合单调性判断即可. 【典例精讲3】已知函数是偶函数.若（ ） A．-1 B．0 C．1 D．5 【答案】D 【分析】根据函数f（x）是偶函数，由f（-x）＝f（x）求解. 【解析】因为函数f（x）是偶函数，且f（3）＝5， 所以f（-3）＝f（3）＝5， 故选：D 【易错练】若函数是定义在R上的奇函数，当时，，则等于（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】根据奇函数的定义，结合题意计算即可求解. 【解析】因为为奇函数， 所以. 故选：A 【易错点睛】本题易直接把代入函数解得，从而选D的错误答案. 原因是函数的定义域是，故不能直接带入求解。正确解法是利用奇函数性质，只需求即可. 1. （2025年吉林高职高专院校单独招生统一考试）下列函数是奇函数的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】A.定义域为不是关于原点对称，所以非奇非偶函数；B.函数定义域为R,且图象关于y轴对称，所以是偶函数；C.定义域为,且，为奇函数；D.，非奇非偶函数.故答案选C. 2.（2024年吉林高职高专院校单独招生统一考试）已知函数为上的奇函数，若，则（ ） A 0 B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】根据奇函数性质，则解得 故答案选D 3.（2023年吉林高职高专院校单独招生统一考试）下列函数在上为减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】(解法一：定义法).A任取，则，,所以，即，所以在上为减函数. 答案选A （解法二：图象法）作出函数图象，由图象可知，B,C,D在上单调递增，A在单调递减，故答案选A 4.( 2022年吉林高职高专院校单独招生统一考试)下列函数中在上单调递减的是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】根据指数函数图象可知在上单调递减，故答案选A 5.( 2021年吉林高职高专院校单独招生统一考试)已知函数，且则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】(解法一)因为，所以，故，故答案选D （解法二）令，易知为奇函数，因为，则，所以，即，故答案选D 1.偶函数的图象关于轴对称，下列图象中，可以表示偶函数的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图像是否关于轴对称判断. 【解析】A的图像关于轴对称，故A符合题意. BCD的图像都不关于轴对称，故BCD均不符合题意. 故选：A. 2.下列函数中既是偶函数又在上为增函数的是（   ） A． B． C．+1 D． 【答案】C 【分析】对选项中的每个函数分别从奇偶性和单调性两个方面进行分析、判断即可得到正确的结论． 【解析】对于A，函数在为增函数，但不是偶函数，所以A不合题意． 对于B，由于，所以函数为奇函数，所以B不合题意． 对于C，函数，所以为偶函数，且在上单调递增，所以C符合题意． 对于D，函数，所以函数为奇函数，故D不合题意． 故选：C． 3.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（    ） A．， B． ， C．， D． ， 【答案】D 【分析】根据基本函数的奇偶性和单调性进行判断即可求解. 【解析】对于A：是偶函数，故选项A错误； 对于B：是非奇非偶函数，故选项B错误； 对于C：是奇函数，且在定义域上为增函数， 故选项C错误； 对于D：是奇函数，且在定义域上为减函数， 故选项D正确. 故选：D. 4.下列函数中，是奇函数且在上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数奇偶性的定义和单调性的定义逐个分析判断即可 【解析】对于A，定义域为，因为，所以函数是奇函数，任取，且，则，因为，且，所以，即，所以在上为增函数，所以A正确， 对于B，因为定义域为，所以函数为非奇非偶函数，所以B错误， 对于C，因为定义域为，因为，所以为偶函数，所以C错误， 对于D，因为定义域为，因为，所以函数为非奇非偶函数，所以D错误， 故选：A 5.函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性和特殊点的函数值，结合选项即可判定，即可求解. 【解析】由题意，函数的定义域为关于原点对称， 且，所以函数为奇函数，排除B、C； 又由当时，可得，所以只有选项A适合. 故选：A. 6.定义在上的偶函数在上是减函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由偶函数的性质将自变量转化到上，再由函数在上是减函数可比较大小 【解析】：因为是定义在上的偶函数， 所以， 因为在上是减函数，且， 所以，即， 故选：B 7.已知函数f(x)为偶函数，且当x>0时，f(x)=，则=（   ） A．－2 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据偶函数定义求值． 【解析】，又是偶函数，∴． 故选：B． 8.已知（a，b为常数），且，则（    ） A．1 B． C．0 D．不能确定 【答案】B 【分析】由解析式判断是奇函数，从而可得，即可得到答案； 【解析】：∵是奇函数，∴. 故选：B 9.若奇函数在区间上是增函数，且最小值为5，则它在区间上是（    ） A．增函数且有最大值 B．增函数且有最小值 C．减函数且有最大值 D．减函数且有最小值 【答案】A 【分析】根据奇偶函数的性质直接得出结果. 【解析】因为函数在区间上是增函数，且有最小值5， 所以， 又为奇函数， 所以函数在区间上是增函数，且有最大值. 故选：A 10.是偶函数，其定义域为，则等于（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】B 【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称求得的值，再由恒成立求得的值即可求解. 【解析】因为是偶函数，其定义域为， 所以，可得，定义域为， 所以， 由可得：对于恒成立， 所以，可得，所以， 故选：B. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$