暑假作业06 导数的切线方程（12题型）-【暑假分层作业】2025年高二数学暑假培优练（人教A版2019）

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业06 导数的切线方程 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一：求曲线切线的斜率 】 1．（2025·海南儋州·模拟预测）若直线是函数的图象的一条切线，则实数k的值为（   ） A．1 B． C．e D． 2．（24-25高二下·北京·期中）如图是函数的导函数的图象，则正确命题的序号是（    ） ①是函数的极值点； ②是函数的极值点； ③在区间上单调递增． ④在处切线的斜率小于零； A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 3．（24-25高二下·湖北武汉·期中）已知函数，则在处的切线斜率为（   ） A． B． C．1 D．2 4．（24-25高二下·河南南阳·期中）已知双曲正弦函数，双曲余弦函数．若点在曲线上，为曲线在点处切线的倾斜角，则的范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知向量，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 6．（24-25高三上·山东菏泽·阶段练习）函数（自然对数的底数）的部分图象大致是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·重庆·阶段练习）若曲线在处的切线的倾斜角为，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·全国·阶段练习）某游乐场一段滑水道的示意图如下所示，A点、B点分别为这段滑道的起点和终点，它们在竖直方向的高度差为40．两点之间为滑水弯道，相应的曲线可近似看作某三次函数图像的一部分（该三次函数在A，B两点处取得极值），考虑安全性与趣味性，在滑道最陡处，滑板与水平面成的夹角，则A，B两点在水平方向的距离约为（    ）    A． B． C． D． 9．（24-25高三上·陕西咸阳·期中）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时，直线与函数的图象相切 C．若函数在区间上单调递增，则 D．若在区间上恒成立，则的最大值为 10．（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．函数有2个极值点 B．函数有3个零点 C．函数的图象有条切线方程为 D．点是曲线的对称中心 11．（2025·全国·模拟预测）若函数和的图象分别分布在某直线的两侧（函数图象与直线没有公共点），则称该直线为函数和的“隔离直线”.已知，，若和在公共定义域上存在“隔离直线”，则该“隔离直线”的斜率取值范围为 . 12．（2025·浙江温州·二模）已知是抛物线在第一象限上的点，是抛物线的焦点，（为坐标原点）则抛物线在处切线的斜率是 ． 【题型二： 曲线斜率和倾斜角的关系 】 1．（24-25高二下·湖北·期中）点P是曲线上任意一点，则点P处切线倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（2025高三下·全国·专题练习）已知P是曲线上的一动点，曲线C在P点处的切线的倾斜角为，若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·广东中山·期末）若点在曲线上移动，经过点的切线的倾斜角为，则角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型三：求在曲线上一点处的切线方程 】 1．（24-25高二下·贵州黔西·阶段练习）若两曲线与存在公切线，则正实数a的取值可能是（    ） A． B．4 C． D． 2．（2025·福建福州·三模）曲线与的一条公切线的方程为 .（只需写出其中一条公切线的方程） 3．（24-25高二下·广东·期中）若曲线与曲线有三条公切线，则的取值范围是 . 4（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）已知函数，其中，若曲线和曲线的公切线有两条，则的取值范围为 . 5．（24-25高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 6．（24-25高二下·江苏镇江·阶段练习）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·湖北武汉·模拟预测）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·天津红桥·阶段练习）已知函数 则 在处的切线方程为 （    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二下·河南·阶段练习）函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高二下·广东茂名·阶段练习）已知函数在点处的切线斜率为，则曲线在点处的切线方程为 ． 11．（24-25高三上·湖南永州·阶段练习）已知函数，若，则的取值范围是 ． 12．（24-25高二上·河北沧州·阶段练习）函数的图象在点处的切线方程为 ． 13．（四川省巴中市普高中2024-2025学年高三下学期“三诊”数学试题）已知函数，若函数在点处的切线方程为 . 14．（22-23高二下·北京·阶段练习）曲线在点处的切线方程为 . 15．（24-25高二下·上海浦东新·期中）如图所示，已知直线l是曲线在点处的切线，则 . 16．（2025·四川绵阳·模拟预测）曲线在点处的切线方程为 . 17．（24-25高三下·重庆·阶段练习）在处的切线方程为 ． 18．（24-25高二下·辽宁抚顺·期中）已知是函数的导函数，且． (1)求； (2)求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积． 19．（24-25高二下·福建·期中）设函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求在区间上的最大值和最小值. 20．（24-25高二下·四川广元·阶段练习）．已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)求函数在区间上的极值． 21．（24-25高二下·广东·阶段练习）已知函数，其中． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性． 22．（辽宁省重点高中沈阳市郊联体2024-2025学年高二下学期期中联考数学试题）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当有极大值，且极大值小于时，求的取值范围. 23．（2025·重庆·三模）已知函数 (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)若函数在区间内有且仅有一个极值点，求实数的取值范围. 24．（2025·湖南长沙·三模）已知函数． (1)若曲线在点处的切线经过原点，求； (2)若，求的最大值． 【题型四：求过一点的切线方程 】 1．（24-25高二下·重庆·期中）若曲线（其中e为自然对数的底数）有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 2．（24-25高二下·广东·阶段练习）过点作曲线的切线，若切线有3条，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·全国·一模）函数过原点的切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2025·河南周口·二模）将曲线绕原点逆时针旋转角后第一次与y轴相切，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·北京通州·期中）过点作曲线的切线，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·福建厦门·期中）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·山东·阶段练习）过点的曲线的切线有条，则的值可能是 （    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·江苏苏州·阶段练习）已知函数，则（   ） A．函数关于点对称 B．过点作函数的切线切线方程为 C．函数有2个极值点 D．存在无数多个a值，使得方程有两个不同的解 9．（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知函数，若曲线过点的切线有两条，则实数的值不可能为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高二下·北京顺义·期中）已知函数． (1)当时，求过点的切线方程． (2)求的单调区间． (3)若，使成立，求a的取值范围． 11．（2025·福建莆田·模拟预测）已知函数. (1)当时，函数是否存在过原点的切线，若存在，求出切线方程，若不存在，说明理由； (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 12．（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）已知函数，，． (1)求曲线过点的切线方程； (2)求函数的最大值； (3)若存在，使得对任意，都有成立，求实数的取值范围． 13．（2025·重庆·二模）已知函数在时取得极值. (1)求函数的单调性； (2)已知点，求过点且与曲线相切的切线条数. 【题型五：已知切线斜率求参数】 1．（河南省部分学校2024-2025学年高三下学期5月模拟数学试题）已知曲线的一条切线的方程为，则实数（    ） A．0 B．1 C．-1 D． 2．（24-25高二下·河北保定·期中）已知直线是曲线与曲线的公切线，则等于（   ） A． B． C．或0 D．0 3．（2025·河北唐山·三模）下列函数中，在区间上单调递增且其图象与直线相切的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数，曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为（    ） A． B． C． D．1 5．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，曲线在点处的切线方程为，则该切线与的图象的另一个交点的横坐标为（    ） A． B．2 C． D．0 6．（2025·陕西咸阳·三模）若曲线与曲线相切，则的值是（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 7．（24-25高二下·安徽池州·期中）点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）已知，过点作的切线，若切线斜率为1，则 . 9．（2025·山东德州·三模）已知曲线与和分别交于两点，设曲线在处的切线斜率为在处的切线斜率为，若，则 ． 10．（2025·河南郑州·三模）若直线为曲线的一条切线，则的最小值为 ． 11．（2025·广东揭阳·三模）已知函数在处的切线方程为，则的最小值为 . 12．（2025·河北保定·二模）已知直线是圆与曲线的公切线，则 ． 13．（24-25高二下·上海浦东新·期中）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 ． 14．（24-25高二下·四川绵阳·期中）已知直线既是函数的切线也是二次函数的切线，则 . 【题型六：公切线问题 】 1．（2025·湖南·三模）若直线（k为常数）是曲线和曲线的公切线，则实数a的值为（    ） A． B． C．1 D．e 2.（24-25高二下·四川遂宁·期中）已知，若点为曲线与曲线的交点，且两条曲线在点处的切线重合，则实数的最大值是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·湖北·阶段练习）已知曲线与恰好存在两条公切线，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 4．（2025·云南昆明·模拟预测）若直线同时与曲线和曲线相切，则直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·江西南昌·期中）曲线与曲线的公切线的斜率为（   ） A．或 B．e或 C．1或e D．1或 6．（24-25高二下·上海徐汇·期中）若曲线在与处的切线互相垂直，且两条切线的交点在直线上，则的值可能是（    ）． A． B． C． D． 7．（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数（    ） A． B． C． D． 8．（2024·江苏徐州·模拟预测）若曲线与，恰有2条公切线，则（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为 . 10．（2025·辽宁·模拟预测）曲线与曲线的公切线方程为 . 11.（24-25高三上·河北邢台·期中）曲线与曲线的公切线方程为 ． 【题型七： 已知某点的导数值求参数或自变量 】 1．（24-25高三上·上海闵行·期中）已知，，则的最小值为 ． 2．（22-23高二下·江苏盐城·开学考试）已知函数，若，且的最大值为5，则实数的值为 ． 3．（23-24高二下·贵州六盘水·期中）已知函数在上仅有两个零点，则实数的取值范围是 . 【题型八：利用导数公切线求参数的取值范围 】 1．（2025·宁夏石嘴山·三模）已知函数，若曲线与有两条公切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·云南临沧·阶段练习）已知函数，，若存在两条不同的直线与函数和图像均相切，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·天津·阶段练习）若曲线上存在两条切线相互垂直，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·山东聊城·阶段练习）一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为 ． 5．（2024·广东江门·二模）若曲线与曲线存在公切线，则a的最大值 ． 6.（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知函数，若存在两条不同的直线与曲线和均相切，则实数的取值范围为 . 7．（24-25高三上·湖北·阶段练习）已知函数 其中，当两函数图象对应曲线存在2条公切线时则的取值范围是 ． 8．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知曲线与有公共切线，则实数a的最大值为 ． 【题型九：切线方程和函数零点的关系 】 1．（2025·陕西·二模）已知函数，则的零点个数可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高二下·河南开封·期中）已知是函数的极值点，则（   ） A．有3个零点 B．当时， C．曲线关于点对称 D．过点与曲线相切的直线有2条 【题型十： 由切线条数求参数的取值范围 】 1．（河南省部分学校2024-2025学年高三下学期5月模拟数学试题）已知对于，过点可作曲线的3条不同的切线，则实数的取值范围为 . 2．（2025·甘肃定西·模拟预测）若过点只有一条直线与函数的图象相切，则的取值范围为 . 3．（24-25高二下·吉林长春·期中）若过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围是 ． 4．（24-25高二下·辽宁抚顺·期中）过点可作曲线的切线的条数最多为 . 5．（24-25高二下·黑龙江·期中）已知过点与曲线相切的直线有两条，则实数的取值范围是 6．（24-25高一下·上海·期中）若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围为 ． 7．（24-25高二下·湖南·期中）已知函数.若当时，存在过坐标原点的直线与曲线相切，则实数的取值范围为 . 【题型十一：导数切线在几何中的应用 】 1．（24-25高三上·上海黄浦·阶段练习）设，，为曲线上两点，为曲线上两点，且四边形为矩形，则实数的取值范围为 . 【题型十二： 导数新定义问题 】 1．（24-25高三上·河南·阶段练习）若函数的图象上存在两点使得在处的切线与在处的切线的夹角为，则实数的取值范围是 . 2．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，对于曲线G所在平面内的点O，若存在以O为顶点的角α，使得对于曲线G上的任意两个不同的点A，B，恒有成立，则称角α为曲线G的相对于点O的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线G的相对于点O的“确界角”.已知曲线C：（其中是自然对数的底数），O为坐标原点，曲线C的相对于点O的“确界角”为，则 ． 3．（24-25高二下·上海松江·阶段练习）设定义在上的函数在点处的切线方程为，当时，若在内恒成立，则称点为函数的“类对称中心点”，则函数的“类对称中心点”的坐标是 ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业06 导数的切线方程 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一：求曲线切线的斜率 】 1．（2025·海南儋州·模拟预测）若直线是函数的图象的一条切线，则实数k的值为（   ） A．1 B． C．e D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】可设切点坐标，切点坐标满足函数方程，且有．解方程组可得k的值； 【详解】，， 设切点坐标为，则， 消去k，得，所以. 故选：A 2．（24-25高二下·北京·期中）如图是函数的导函数的图象，则正确命题的序号是（    ） ①是函数的极值点； ②是函数的极值点； ③在区间上单调递增． ④在处切线的斜率小于零； A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角）、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数极值点的辨析 【分析】利用导数的图象分析函数的单调性，结合极值点的定义可判断①②③；利用导数的几何意义可判断④. 【详解】对于①，由导函数的图象可知， 当时，，即函数在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增， 所以，为函数的极小值点，①对； 对于②③，当时，；当时，. 所以，函数在上单调递增，不是函数的极值点，②错③对； 对于④，由图象可知，所以函数在处切线的斜率大于零，④错. 故选：A. 3．（24-25高二下·湖北武汉·期中）已知函数，则在处的切线斜率为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角）、导数的运算法则 【分析】对函数进行求导，将代入结合导数的几何意义即可得结果. 【详解】由得， 所以，即， 所以在处的切线斜率为， 故选：B. 4．（24-25高二下·河南南阳·期中）已知双曲正弦函数，双曲余弦函数．若点在曲线上，为曲线在点处切线的倾斜角，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】求导可得，结合基本不等式可得，即可得到倾斜角的取值范围. 【详解】设，则， 当且仅当时，即时，等号成立， 即，所以； 故选：C 5．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知向量，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、向量与几何最值、导数的运算法则、求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】由向量的几何意义作出直线与函数的图象，利用与直线平行的函数的切线间距离最短求解. 【详解】设， 点在直线上运动，点在函数的图象上运动. 作出直线与函数的图象， 函数，令，显然当，即时， ，此时. 故选：B. 6．（24-25高三上·山东菏泽·阶段练习）函数（自然对数的底数）的部分图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角）、函数图像的识别 【分析】从函数的变化趋势排除错误的选项．一是从时，的变化趋势排除两个选项，再由导数确定时，的变化率的变化趋势排除一个，从而得正确选项． 【详解】时，，从而，排除AB， ，时，，因此时，的图象的变化率越来越大，即切线的倾斜角越来越大，因此排除C， 故选：D． 7．（24-25高三上·重庆·阶段练习）若曲线在处的切线的倾斜角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角）、导数的运算法则、正、余弦齐次式的计算、二倍角的正弦公式 【分析】根据导数的几何意义先求出函数在处的导数值，即可得到在处切线的斜率，进而得到倾斜角的正切值，再根据求出题中式子的值. 【详解】由题意得，，所以， 于是在处切线的斜率为，即. 又 ， 将原式分子分母同时除以得， ， 代入可得最终答案为. 故选：A. 8．（24-25高三上·全国·阶段练习）某游乐场一段滑水道的示意图如下所示，A点、B点分别为这段滑道的起点和终点，它们在竖直方向的高度差为40．两点之间为滑水弯道，相应的曲线可近似看作某三次函数图像的一部分（该三次函数在A，B两点处取得极值），考虑安全性与趣味性，在滑道最陡处，滑板与水平面成的夹角，则A，B两点在水平方向的距离约为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据极值点求参数、求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】设三次函数，求得，设，求得，得到，再令，得到为函数极值点，代入求得，进而化简得到，即可求解. 【详解】设三次函数为，可得， 设，可得， 因为为极值点，所以， 令，可得为函数极值点， 将代入，可得，所以， 则， 即， 即，即， 可得，解得. 故选：C 9．（24-25高三上·陕西咸阳·期中）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时，直线与函数的图象相切 C．若函数在区间上单调递增，则 D．若在区间上恒成立，则的最大值为 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参）、由函数的单调区间求参数、求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】对于A，求导函数后根据单调性即可得出结果；对于B，求导后将代入求出切线斜率，继而求得切线方程；对于C，即在，上恒成立，分离参数求解即可；对于D，分为和，两种情况进行讨论，当时，恒成立；当，时，恒成立等价于恒成立，分离参数转化为最值问题求解即可． 【详解】对于A，当时，，， 当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， ，故选项A正确； 对于B，当时，，， ，所以函数在处的切线方程为，故选项B正确； 对于C，，若函数在区间，上单调递增， 则区间，上恒成立， 即在，上恒成立， 令，， 则，函数在，上单调递减， ，，故选项C错误； 对于D，当时，恒成立，此时； 当，时，恒成立等价于恒成立， 即恒成立，设，， 则在，上恒成立， 在，上单调递减， ，， 综上所述，故选项D正确． 故选：ABD 【点睛】方法点睛：对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数． 10．（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．函数有2个极值点 B．函数有3个零点 C．函数的图象有条切线方程为 D．点是曲线的对称中心 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】判断或证明函数的对称性、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点 【分析】根据函数导数得零点和函数极值点的关系，求出函数极值点的个数；再根据函数单调性和极值，判断函数的零点个数；根据函数导数的几何意义，求出函数切线方程得通式，判断是否存在给出的切线；根据函数中心对称性，证明函数是否关于点中心对称. 【详解】对于A．由，由， 且可分析得在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 则函数有2个极值点，故A正确； 对于B．有，，故函数有1个零点，故B错误； 对于C．当，解得，则所有斜率为2的切线：，，故C错误； 对于D．由，得， ，可知曲线关于点中心对称，故D正确. 故选：AD． 11．（2025·全国·模拟预测）若函数和的图象分别分布在某直线的两侧（函数图象与直线没有公共点），则称该直线为函数和的“隔离直线”.已知，，若和在公共定义域上存在“隔离直线”，则该“隔离直线”的斜率取值范围为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】导数的乘除法、求曲线切线的斜率（倾斜角）、函数图象的应用 【分析】利用导数的几何意义求得两个函数公切线的斜率，画出函数图象,结合图象可得“隔离直线”的斜率取值范围. 【详解】 由题意和的公共定义域为，结合大致图象可知， 在上，. 设直线， 直线与在上的图象切于点，与在上的图象切于点， ，，则， 则，且，解得， 所以公切线的斜率，结合图象可知，“隔离直线”的斜率的取值范围为. 故答案为：. 12．（2025·浙江温州·二模）已知是抛物线在第一象限上的点，是抛物线的焦点，（为坐标原点）则抛物线在处切线的斜率是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】抛物线的焦半径公式、简单复合函数的导数、求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】先设，再根据焦半径公式计算求得，最后结合求导即可得出切线斜率. 【详解】设，则， 所以，解得， 设抛物线在处切线的斜率是，因为，所以， 所以在函数上，所以，所以． 【题型二： 曲线斜率和倾斜角的关系 】 1．（24-25高二下·湖北·期中）点P是曲线上任意一点，则点P处切线倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】求导，确定导函数值域，结合倾斜角与斜率的变化关系进而可求解. 【详解】由， 可得：， 即， 结合倾斜角与斜率的变化关系可知取值范围为， 故选：B 2．（2025高三下·全国·专题练习）已知P是曲线上的一动点，曲线C在P点处的切线的倾斜角为，若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】已知某点处的导数值求参数或自变量、基本不等式求和的最小值、求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】对函数求导，利用导数的几何意义以及给定切线的倾斜角的范围，转化为恒成立问题，求解的范围即可. 【详解】因为，所以， 因为曲线在点处的切线的倾斜角，即切线的斜率， 所以对于任意的恒成立， 即对任意恒成立，即， 又，当且仅当，即时，等号成立， 故，所以a的取值范围是． 故选：D. 3．（23-24高二下·广东中山·期末）若点在曲线上移动，经过点的切线的倾斜角为，则角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】导数的加减法、求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】先设切点坐标，然后求导计算切点斜率，得到斜率范围，最后得到倾斜角范围即可. 【详解】设，，则 所以过点切线斜率 所以 所以得 故选：D 【题型三：求在曲线上一点处的切线方程 】 1．（24-25高二下·贵州黔西·阶段练习）若两曲线与存在公切线，则正实数a的取值可能是（    ） A． B．4 C． D． 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】设切线与曲线相切于点，与曲线相切于点，分别求出切线方程，可得，令，通过求导可得函数的最值，即可求解. 【详解】因为，所以， 设切线与曲线相切于点，则斜率为， 所以切线方程为，即， 因为，所以， 设切线与曲线相切于点，则斜率为， 所以切线方程为，即， 由，所以， 令， 则， 所以当，，单调递增， 当，，单调递减， 所以， 所以，所以正实数a的取值可能是，，. 故选：. 2．（2025·福建福州·三模）曲线与的一条公切线的方程为 .（只需写出其中一条公切线的方程） 【答案】或（写出其中一条即可） 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、基本初等函数的导数公式、导数的加减法 【分析】方法一：分别设切点，，根据导数的几何意义写出对应切线方程，再利用公切线斜率和截距相等形成方程组，解出方程组即可求出公切线方程； 方法二：利用特殊法，发现指对函数中的一条常用斜率为1的切线，再验证是他们的公切线即可. 【详解】（方法一）设，.公切线与相切于点，与相切于点，因为，，则公切线斜率，所以公切线方程为或， 整理得或， 所以，即. 所以，解得或， 所以公切线方程为或. （方法二）由曲线与直线相切知，曲线与直线相切.由曲线与直线相切知，曲线与直线相切.所以直线为曲线与的公切线. 故答案为：或.（写出其中一条即可） 3．（24-25高二下·广东·期中）若曲线与曲线有三条公切线，则的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、利用导数研究方程的根 【分析】设公切线为，、分别是与、的切点，应用导数的几何意义求切线方程，根据公切线列方程求得，问题化为直线与曲线有三个不同的交点，再应用导数研究交点求参数范围. 【详解】设公切线为， 是与的切点，由，得， 是与的切点，由，得， 所以的方程为，因为，整理得， 同理，因为，整理得. 依题意两条直线重合，可得， 两式相除得，所以，代入①得， 由题意此方程有三个不等实根，设，， 即直线与曲线有三个不同的交点， 因为，令，则或， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以有极小值为，有极大值为， 当趋近于0时，趋近于0；当趋近于时，趋近于， 所以当，即时，直线与曲线有三个交点， 故答案为： 4（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）已知函数，其中，若曲线和曲线的公切线有两条，则的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】设切点求出两个函数的切线方程，根据这个两个方程表示同一直线，可得方程组，化简方程组，可以得到变量关于其中一个切点横坐标的函数形式，求导，求出函数的单调性，结合该函数的正负性，画出图象图形，最后利用数形结合求出的取值范围. 【详解】设曲线的切点为：，，所以过该切点的切线斜率为， 因此过该切点的切线方程为：； 设曲线的切点为：，，所以过该切点的切线斜率为， 因此过该切点的切线方程为：， 则两曲线的公切线应该满足：， 构造函数, 当时，单调递减，当时，单调递增， 所以函数有最大值为：， 当时，，当，，函数的图象大致如下图所示： 要想有若曲线和曲线的公切线有两条，则的取值范围为. 故答案为：. 5．（24-25高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 【答案】2 【难度】0.4 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、简单复合函数的导数 【分析】设出两切点和点，求导，利用导数几何意义得到，表达出上点处的切线方程，代入点坐标，得到方程，联立得到，，求出. 【详解】设上点处的切线和在点处的切线相同， ，， 故，故， 上点处的切线方程为， 显然在切线上，故， 即，即， 解得， 故. 故答案为：2 6．（24-25高二下·江苏镇江·阶段练习）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、基本初等函数的导数公式 【分析】根据函数的导数计算切线斜率，再应用点斜式写出切线方程即可. 【详解】因为，所以，所以，且， 所以在点处的切线方程为，即得. 故选：A. 7．（2025·湖北武汉·模拟预测）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的乘除法 【分析】利用商的导数来求导，再利用导数的几何意义来求切线斜率，从而可求切线方程，即可求切线与两坐标轴所围成的面积. 【详解】求导得：，则， 又因为，所以曲线在点处的切线方程为， 则与轴相交于点，与轴相交于点， 所以与两坐标轴所围成的三角形的面积为， 故选：C. 8．（24-25高二下·天津红桥·阶段练习）已知函数 则 在处的切线方程为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则 【分析】利用曲线在某一点的切线求解切线方程即可. 【详解】 令， 则，， 所以在处的切线方程为， 即. 故选：A. 9．（24-25高二下·河南·阶段练习）函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则 【分析】先求导，再由导数的几何意义求得切线斜率，进而利用点斜式可求切线方程. 【详解】因为，所以．所以， 又因为，所以所求切线方程为，即. 故选：B. 10．（24-25高二下·广东茂名·阶段练习）已知函数在点处的切线斜率为，则曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】导数的运算法则、基本初等函数的导数公式、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】根据条件，利用导数的几可意义，即可求解. 【详解】由题意可得，故，则， 又，所以， 故曲线在点处的切线方程为，化简可得， 故答案为：． 11．（24-25高三上·湖南永州·阶段练习）已知函数，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】在同一坐标系下画出函数和的图象，根据图象求出，即可求a的取值范围． 【详解】函数， 则， 画出函数的图象，如图所示； 当时，， ； 令，求得； 结合图象知，若，则的取值范围是． 故答案为：. 12．（24-25高二上·河北沧州·阶段练习）函数的图象在点处的切线方程为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】利用导数求出切线斜率，再由点斜式得解. 【详解】∵， ∴， ∴， 又， 故所求切线的方程为，即． 答案： 13．（四川省巴中市普高中2024-2025学年高三下学期“三诊”数学试题）已知函数，若函数在点处的切线方程为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、基本初等函数的导数公式、导数的加减法 【分析】应用导数的几何意义求切线方程. 【详解】求导得，则，又， 所以切线方程为，整理得. 故答案为： 14．（22-23高二下·北京·阶段练习）曲线在点处的切线方程为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则 【分析】先对函数求导，再将代入导函数求出斜率，最后由直线的点斜式方程即可求出结果. 【详解】因为，所以， 当时，所以切线方程为， 整理得. 故答案为：. 15．（24-25高二下·上海浦东新·期中）如图所示，已知直线l是曲线在点处的切线，则 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知两点求斜率 【分析】利用直线所过点求得直线的斜率，从而求得. 【详解】由图象可知直线过， 所以直线的斜率为， 所以. 故答案为： 16．（2025·四川绵阳·模拟预测）曲线在点处的切线方程为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的乘除法 【分析】根据导数的几何意义求解即可. 【详解】由，当时，, 所以点在曲线上. 求导：， 则，所以曲线在点处的切线方程为. 故答案为：. 17．（24-25高三下·重庆·阶段练习）在处的切线方程为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则、简单复合函数的导数 【分析】首先对原函数求导，然后将切点的横坐标代入求出切线的斜率，进而可求出切线方程. 【详解】对函数求导得：， 则，因为切线过点， 故切线方程为． 故答案为：. 18．（24-25高二下·辽宁抚顺·期中）已知是函数的导函数，且． (1)求； (2)求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2)2 【难度】0.85 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则 【分析】（1）求导，通过赋值即可求出，进而可求的值； （2）根据导数的几何意义求出切线方程，再求出切线与两坐标轴的交点即可求出三角形面积. 【详解】（1）由题可知， 令，则，解得． 因为，所以． （2）由（1）可知，， 则所求的切线方程为，即， 所以该切线与坐标轴的交点为和， 则所求三角形的面积为． 19．（24-25高二下·福建·期中）设函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【难度】0.85 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）由导数的几何意义求切点处的切线方程； （2）求导，确定单调性后即可求解最值. 【详解】（1）由题意知，，即切点为， 由已知，则， 曲线在点处的切线方程为，即； （2），得或. 当时，，所以函数在区间上单调递增， 当时，，所以函数在区间上单调递减. 所以函数的极小值点为，极小值为， 因为，，故在区间上的最大值为，最小值为. 20．（24-25高二下·四川广元·阶段练习）．已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)求函数在区间上的极值． 【答案】(1) (2)极大值为，极小值为 【难度】0.85 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求已知函数的极值 【分析】（1）根据导函数算出时的导数，得到切线斜率.再结合时的函数值，用点斜式方程写出切线方程，最后整理成一般式. （2）令导函数，解出可能的极值点，接着根据导数正负判断函数在不同区间的增减性，进而确定极大值点和极小值点，把对应的值代入函数求出极大值和极小值. 【详解】（1），则，又， 则函数在处的切线方程为，即； （2）令，可得， 易知当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 又，， 则函数在区间上的极大值为，极小值为． 21．（24-25高二下·广东·阶段练习）已知函数，其中． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【难度】0.85 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）对函数求导，分类讨论当，，，四种情况，通过确定导函数的正负即可判断出函数的单调性. 【详解】（1）当时，，，则切点坐标为． 又因为，， 所以在处的切线方程为． （2）由函数求导可得 ． 定义域为， 则①当时，由得， 当或时，，当时，， 故在上单调递增，在单调递增，在上单调递减； ②当时，，在上单调递增； ③当时，由得， 当或时，， 当时，， 故在上单调递增，在单调递增，在单调递减； ④当时，由得， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减． 综上所述，当时，在递增，上递减，递增； 当时，在上递增； 当时，在递增，递减，递增； 当时，在递减，递增． 22．（辽宁省重点高中沈阳市郊联体2024-2025学年高二下学期期中联考数学试题）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当有极大值，且极大值小于时，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、用导数判断或证明已知函数的单调性、求已知函数的极值、根据极值求参数 【分析】（1）求出的导函数，利用导数的几何意义及点斜式方程即可求解切线方程； （2）求导，对分类讨论，利用导数求出极大值，由极大值小于时，即可求解的取值范围． 【详解】（1）当时，，， 则，又， 所以曲线在点处的切线方程为， 即为； （2），， 当时，，单调递增，无极值，不符合题意； 当时，时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以是极大值点， 所以的极大值为， 因为的极大值小于， 所以，即， 设，易知函数在上是增函数，而， 所以由，得，即的取值范围是． 23．（2025·重庆·三模）已知函数 (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)若函数在区间内有且仅有一个极值点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、根据极值点求参数 【分析】（1）根据导数的几何意义求解及，从而可得函数在点处的切线方程； （2）当，不满足题意，当时，单调递增，结合，，可得在区间上有唯一的零点，满足题意，进而可得结论． 【详解】（1）当时，，可得， 则， 又， 所以函数在点处的切线方程为：； （2）由于， 则， 若，当时，则，所以， 则在区间上单调递增，没有极值点，舍去； 若，设，则在区间上恒成立， 所以在区间上单调递增，即在区间上单调递增， 又，， 所以在区间上有唯一的零点， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以在区间内有唯一的极值点，符合题意． 综上，实数的取值范围是 24．（2025·湖南长沙·三模）已知函数． (1)若曲线在点处的切线经过原点，求； (2)若，求的最大值． 【答案】(1) (2)4． 【难度】0.65 【知识点】已知切线（斜率）求参数、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线方程，结合切线过原点求出参数的值； （2）在时，对求导，利用零点存在定理判断其单调性，借助于导函数的零点，即可化简转化，求得的最大值. 【详解】（1）的定义域为，则． ，则． 所以曲线在点处的切线方程为． 依题意，将点代入切线方程，解得． （2）当时，，且， 所以， 设，易知在上单调递减， 且， 故存在，使得，即，所以，即， 当时，故在上单调递增， 当时，故在上单调递减， 所以， 故的最大值为4． 【题型四：求过一点的切线方程 】 1．（24-25高二下·重庆·期中）若曲线（其中e为自然对数的底数）有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求过一点的切线方程 【分析】设切点为，求导得出斜率，利用点斜式得到切线方程，因为切线过坐标原点，可得到，有两条切线转化为有两个不等的实根，即可求出a的取值范围，进而得到正确选项. 【详解】设切点为，， 所以切线的斜率， 则此曲线在P处的切线方程为， 又此切线过坐标原点，所以， 由此推出有两个不等的实根，所以，解得或， 故选：A． 2．（24-25高二下·广东·阶段练习）过点作曲线的切线，若切线有3条，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究函数的零点、求过一点的切线方程 【分析】先求出函数的导数，得到切线斜率的表达式，进而建立关于切点横坐标的方程，再通过研究该方程对应的函数的零点情况来确定参数的取值范围. 【详解】设，则，设切点为，则切线斜率， 即，整理得， 设，由题意可知有3个零点，，显然， 由，得或， 因为三次方程有三个根的条件是导数对应的极值点处函数值异号， 所以，所以，或. 故选：A. 3．（2025·全国·一模）函数过原点的切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】二倍角的正弦公式、求过一点的切线方程 【分析】利用二倍角的正弦公式变形后设切点为，利用导数的意义得到切线方程，再对解的情况进行讨论可得. 【详解】， ， 设切点为，切线方程为， 将原点代入切线方程可得， 所以， 化简可得，解得或， 当时，，，切线方程为； 当时，解得，当为偶数时，对应的切线方程为；当为奇数时，对应的切线方程为； 所以共有3条不同的切线. 故选：C 4．（2025·河南周口·二模）将曲线绕原点逆时针旋转角后第一次与y轴相切，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】简单复合函数的导数、求过一点的切线方程 【分析】根据题意，分析可得是曲线过原点的切线，求出函数的导数，由导数的几何意义分析可得切点坐标，再将切点坐标代入，计算可得答案． 【详解】根据题意，曲线绕原点逆时针旋转角后第一次与轴相切， 则是曲线过原点的切线． 设切点坐标为， 又由，即切点处切线的斜率． 即把切点坐标代入，得，解得， 故，所以，故. 故选：D． 5．（24-25高二下·北京通州·期中）过点作曲线的切线，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求过一点的切线方程、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】设出切点坐标并对函数求导，求得在切点处的切线方程并代入点坐标解方程即可. 【详解】易知函数的定义域为， 设切点坐标为，则可得， 此时切线斜率为，因此切线方程为， 代入点可得，即， 解得，即切点坐标为. 故选：C 6．（24-25高二下·福建厦门·期中）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】导数的乘除法、求过一点的切线方程、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】设出切点坐标，根据导数的几何意义，得出切线的斜率，代入点斜式方程，得出切线的方程，将原点坐标代入，整理得出.由题意可知，，求解即可得出答案. 【详解】设切点为， 由已知可得. 根据导数的几何意义可知， 切线的斜率为. 代入切线方程为， 整理可得. 又切线经过原点， 所以有， 整理可得. 因为曲线有两条过坐标原点的切线， 所以方程有两个不相等的实数解， 即有，解得或. 故选：B. 7．（24-25高二下·山东·阶段练习）过点的曲线的切线有条，则的值可能是 （    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】求过一点的切线方程、导数的乘除法 【分析】设切点为，利用导数求出函数在处的切线方程，再将点的坐标代入切线方程，可得，根据题意得出，求出实数的取值范围，即可得出合适的选项. 【详解】设切点为，对函数求导，得，则切线的斜率， 即切线方程为. 因为切线过点，所以，化简得， 因为切线有条，所以，解得或. 故选：AD. 8．（24-25高二下·江苏苏州·阶段练习）已知函数，则（   ） A．函数关于点对称 B．过点作函数的切线切线方程为 C．函数有2个极值点 D．存在无数多个a值，使得方程有两个不同的解 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】求过一点的切线方程、利用导数研究函数的零点、利用导数研究函数图象及性质、求已知函数的极值点 【分析】根据函数的对称中心所满足条件检验即可判断A，由过点切线的求法，求出切线判断B，利用导数判断函数的单调性即可得出极值点个数判断C，转化为有两个零点后，利用导数分析函数的图象大致变化规律，确定的取值个数，判断D. 【详解】因为 ， 所以函数关于点对称，故A正确； 设切点为，由，切线斜率为， 所以切线方程为，代入点， 可得，又，化简可得， 解得或，所以切线方程为，，故B错误； 由可知，当或时，，当时，，所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以函数有极值点，故C正确； 令，原问题转化为存在无数多个a值，使有两个不同根，，当时，恒成立，函数单调递增，故至多一解，当时，设的两根为，则或时，， 当时，，所以在和上单调递增，在上单调递减，所以在处取极大值，在处取极小值，所以有两个解时，极大值或极小值为0，即或， 因为，所以，当时，解得，此时； 同理若，解得， 综上，存在使得方程有两个不同的解，不存在无数个，方程有两个解，故D错误. 故选：AC 9．（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知函数，若曲线过点的切线有两条，则实数的值不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】求过一点的切线方程、导数的加减法 【分析】设切点为，利用导数求出切线方程，将点的坐标代入切线方程，可得出关于的方程，可得出，求出的取值范围，即可得出合适的选项. 【详解】设切点为，因为，则， 则切线的斜率为，故切线方程为， 将点的坐标代入切线方程得，整理得， 因为曲线过点的切线有两条，则关于的方程有两个不等的实根， 所以，解得或， 故选：BC. 10．（24-25高二下·北京顺义·期中）已知函数． (1)当时，求过点的切线方程． (2)求的单调区间． (3)若，使成立，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增. (3)或. 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参）、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）需要先求出函数在切点处的导数，即切线斜率，再结合切点坐标得到切线方程；（2）通过对函数求导，分类讨论，根据导数的正负来判断；（3）需要分情况讨论函数在给定区间上的最值情况. 【详解】（1）当时，，对求导得. 设切点为，则切线斜率. 根据点斜式方程可得切线方程为. 因为切线过点，所以将代入切线方程得： ，即 因为恒成立，所以，解得. 则切线斜率，切线方程为. （2）对求导得. 当时，，所以在上单调递减. 当时，令，即，，，解得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）在有解，即当时，， 当时，由（2）知函数在上的最大值在端点处取得. 此时，， 所以或，得或 （与矛盾舍去）. 当时，函数在上单调递减，那么最大值在处取得. 此时， 所以，得. 综合两种情况，可得的取值范围为或. 11．（2025·福建莆田·模拟预测）已知函数. (1)当时，函数是否存在过原点的切线，若存在，求出切线方程，若不存在，说明理由； (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)不存在，理由见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）当时，得到函数的解析式，假设存在过原点的切线，并设出切点坐标，根据斜率相等列出方程，通过方程无解，说明假设不成立，即可得解. （2）设，将对任意，恒成立，转化成在上恒成立，借助导数，求出在上的最大值即可求出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，函数，， 假设存在过原点的切线，设切点为， 则，整理可得，方程无解， 故假设不成立，所以函数不存在过原点的切线； （2）对任意，恒成立， 恒成立. ，在上恒成立. 设， 则. 令，得或（舍去）. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 当时，取得极大值，也是最大值，且， 若在上恒成立，则， 故实数的取值范围是： 12．（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）已知函数，，． (1)求曲线过点的切线方程； (2)求函数的最大值； (3)若存在，使得对任意，都有成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1） 先设切点求出导函数得出切线斜率，再点斜式写出切线方程列方程组计算求解； （2） 根据导函数正负得出函数单调性，进而得出最值； （3）先把恒成立问题转化为，再分，，，分别讨论单调性解不等式即可求解. 【详解】（1）设：切点坐标为，，对函数求导得：， 所以切线斜率为：．又因为切线过点， 所以．解得， 所以切线方程为：． （2）令， 对函数求导得：， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以函数在处取得最大值，最大值为. （3）由题设得：存在，使得对任意， 都有成立，等价于， 对函数求导得：， ①当时，令,则， 所以函数在区间上单调递增，在单调递减， 所以函数在处取得最大值，最大值为， 所以，符合题意．           ②时，令，即，解得：， 当，即时，函数在上单调递增，此时函数无最大值，不符合题意；   ③当，即时，函数在上单调递增， 在上单调递减，此时函数无最大值，不符合题意；         ④当，即时，函数在上单调递增． 在上单调递减．此时函数无最大值，不符合题意；     ⑤当，即时．函数在上单调递增，在上单调递减，此时函数在处取得最大值，最大值为， 所以，即．        综上所述，实数的取值范围是：． 13．（2025·重庆·二模）已知函数在时取得极值. (1)求函数的单调性； (2)已知点，求过点且与曲线相切的切线条数. 【答案】(1)函数在上单调递增，在上单调递减； (2)2 【难度】0.65 【知识点】求过一点的切线方程、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）求出函数的导数，由给定的极值点求出，进而求出函数的单调性. （2）设出切点坐标，求出切线方程，由经过的点确定解的个数即可. 【详解】（1）函数，求导得，由在时取得极值， 得，解得，， 当或时，；当时，，则为的极值点， 所以函数在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）知，，设切点为， 则切线方程，而切线过点， 由，整理得，解得或， 所以过点且与曲线相切的切线有2条. 【题型五：已知切线斜率求参数】 1．（河南省部分学校2024-2025学年高三下学期5月模拟数学试题）已知曲线的一条切线的方程为，则实数（    ） A．0 B．1 C．-1 D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】已知切线（斜率）求参数、简单复合函数的导数 【分析】首先对函数求导，根据切线斜率1和切点坐标即可求出的值. 【详解】与的图象相切，设切点为， 则，故， 由，即，将代入上式，得，故. 故选：B. 2．（24-25高二下·河北保定·期中）已知直线是曲线与曲线的公切线，则等于（   ） A． B． C．或0 D．0 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】已知切线（斜率）求参数、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】设出切点，求导，利用导数几何意义得到切线方程，得到，，联立求出或，从而得到切线方程，求得答案. 【详解】设与相切于点， ，故切线斜率， 在点处的切线方程为， 即，故， 设与相切于点， ，则，所以，解得， 在处的切线方程为， 即，故， 所以， 将代入上式得， 整理得，解得或， 当时，切线方程为，此时，所以； 当时，切线方程为，故，，所以； 综上所述：或0. 故选：C. 3．（2025·河北唐山·三模）下列函数中，在区间上单调递增且其图象与直线相切的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参）、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据给定条件，利用函数单调性判断AC；利用导数求出切线方程判断BD. 【详解】对于A，在区间上单调递减，A不是； 对于B，在区间上单调递增，设切点为， 求导得，令，解得，此时， 则的斜率为2的切线方程为与直线不重合，B不是； 对于C，当时，，而，函数在不单调，C不是； 对于D，当时，，函数在上单调递增， 设切点为，由，得，取， 则，因此曲线与直线相切，D是. 故选：D 4．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数，曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】已知切线（斜率）求参数、导数的运算法则 【分析】求导可得，结合导数的几何意义代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得， 则， 因为曲线在点处的切线与直线平行， 且直线的斜率为，即，解得. 故选：A 5．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，曲线在点处的切线方程为，则该切线与的图象的另一个交点的横坐标为（    ） A． B．2 C． D．0 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】已知切线（斜率）求参数、导数的运算法则 【分析】根据函数在点处的切线方程可得的值，从而得函数解析式，联立函数与直线解方程可得该切线与的图象的另一个交点的横坐标. 【详解】由题意得， 因为曲线在点处的切线方程为， 所以，，解得，， 所以. 联立方程，消去得，化简得， 即，即，所以或， 所以该切线与的图象的另一个交点的横坐标为. 故选：A. 6．（2025·陕西咸阳·三模）若曲线与曲线相切，则的值是（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数、简单复合函数的导数 【分析】根据绝对值的性质对进行分段讨论，再结合导数的几何意义求出切点，进而求出的值. 【详解】当时，； 当时，. 因为的定义域为， 所以两曲线的切点在上. 对求导得. 因为两曲线相切，所以在切点处它们的斜率相等，即. 解方程，解得. 把代入得，所以切点坐标为. 把切点代入得，即. 因为，所以. 故选：B. 7．（24-25高二下·安徽池州·期中）点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】已知切线（斜率）求参数、求点到直线的距离 【分析】由题意可知，把直线平移到与曲线首次相切时，切点到直线的距离最小，据此求解即可. 【详解】由题意可知，把直线平移到与曲线首次相切时，切点到直线的距离最小， 求导得，令，解得或（舍去）， 当时，，即， 由点到直线的距离公式可求得点到直线的距离为. 故选：C. 8．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）已知，过点作的切线，若切线斜率为1，则 . 【答案】10 【难度】0.65 【知识点】已知切线（斜率）求参数、导数的乘除法 【分析】设切点为，有即可解得，得切线方程，由在切线上即可求解. 【详解】设切点为，则，所以， 所以， 若，，矛盾， 设，，则， 所以函数在上单调递增，又， 所以当时，，当时，， 所以的解为，所以， 所以切线方程为，又在切线上， 所以，即， 故答案为：10. 9．（2025·山东德州·三模）已知曲线与和分别交于两点，设曲线在处的切线斜率为在处的切线斜率为，若，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】函数图象的应用、已知切线（斜率）求参数 【分析】根据题意结合对称性可设，结合导数的几何义求得，即可得结果． 【详解】因为和互为反函数，其图象关于直线对称， 且反比例函数的图象也关于直线对称， 可知点关于直线对称， 设，则， 设，则， 由题意可得：，解得或(舍去)， 可得，代入可得，所以． 故答案为：． 10．（2025·河南郑州·三模）若直线为曲线的一条切线，则的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知切线（斜率）求参数、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】设切点为，由切线性质解得，从而，构造函数，即可求得最小值. 【详解】， 设直线与曲线相切于点，则且， 解得，所以，从而得，所以， 设，， 令得，令得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即的最小值为. 故答案为：. 11．（2025·广东揭阳·三模）已知函数在处的切线方程为，则的最小值为 . 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】求二次函数的值域或最值、已知切线（斜率）求参数、导数的运算法则 【分析】先由切线斜率和导函数求出参数b，进而得切点，再将切点代入函数式即可求出参数c即可进一步计算得解. 【详解】已知在处的切线斜率为5，而， 所以，解得，所以， 所以切点为，代入可得， 所以，故其最小值为. 故答案为：. 12．（2025·河北保定·二模）已知直线是圆与曲线的公切线，则 ． 【答案】7 【难度】0.65 【知识点】已知切线（斜率）求参数、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】由直线与圆相切求得，再结合导数的几何意义即可求即可. 【详解】因为直线与圆相切， 所以，解得（负根舍去）. 设函数，则由， 得， 则 解得：， 故， 故答案为：7 13．（24-25高二下·上海浦东新·期中）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知切线（斜率）求参数、导数的运算法则 【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围. 【详解】∵， ∴，设切点为，则， 切线方程为：， ∵切线过原点， ∴， 整理得：， ∵切线有两条，∴， ∴的取值范围是， 故答案为： 14．（24-25高二下·四川绵阳·期中）已知直线既是函数的切线也是二次函数的切线，则 . 【答案】/ 【难度】0.4 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、导数的运算法则 【分析】设出切点，利用导数几何意义得到方程组，求出，. 【详解】设直线与函数相切于点， 与相切于点， 其中，， 故且，， 联立与得，解得，故， 又，故，即， 化简得 将代入中得 ，解得. 故答案为： 【题型六：公切线问题 】 1．（2025·湖南·三模）若直线（k为常数）是曲线和曲线的公切线，则实数a的值为（    ） A． B． C．1 D．e 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、导数的运算法则 【分析】解法一：先对求导得，设与直线切点为，写出切线方程，根据直线得到关于和的方程组，求出. 再对求导，设其与直线切点为，根据导数等于切线斜率以及切点在切线上列方程，求出. 解法二：设两条曲线的切点分别为，，分别根据切点在曲线上、在切线上以及切线斜率列出方程组，求解得到，，再同理求出，进而得到. 【详解】解法一：令，，则， 设直线与的切点为， 则切线方程为，即， 又因为，所以，解得，，所以切线方程为， 令，则， 设直线与的切点为，所以  ①， 又因为切点在直线上，所以，即  ②， 由①和②可得，所以，解得． 解法二：设切点分别为，， ．∴，． 同理．∴，∴，∴． 故选：B． 2.（24-25高二下·四川遂宁·期中）已知，若点为曲线与曲线的交点，且两条曲线在点处的切线重合，则实数的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】设点的横坐标为，且两条曲线在点处的切线重合，切线的斜率，求得，再由点是两曲线交点得，应用导函数得出函数单调性和最值，即可得解. 【详解】设点的横坐标为，则由可得， 又可得， 且两条曲线在点处的切线重合， 所以切线的斜率，解得或（舍去）， 即点的横坐标为，由点为曲线与曲线的交点， 所以，即，令， 则，令可得，由知， 当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，则实数的最大值为. 故选：C. 3．（24-25高二下·湖北·阶段练习）已知曲线与恰好存在两条公切线，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、简单复合函数的导数、已知某点处的导数值求参数或自变量 【分析】设切点分别为和，再由导数求得斜率相等，得到，构造函数由导数求得参数的范围． 【详解】的导数的导数为， 设与曲线相切的切点为相切的切点为， 则有公共切线斜率为， 又，即有，即为，即有， 则有，即为，恰好存在两条公切线，即有两解， 令，则， 当时，递减，当时，递增， 即有处取得极大值，也为最大值，且为， 由恰好存在两条公切线可得与 有两个交点， 可得的范围是， 故选：D. 4．（2025·云南昆明·模拟预测）若直线同时与曲线和曲线相切，则直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】设切线分别切两曲线于，，则直线斜率为，从而可得，，再利用导数，即可求解． 【详解】因为和曲线， 所以，，， 设切线分别切两曲线于，， 则直线斜率为，所以， 所以，， 设，，则，， 所以当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以，且当与时，， 所以 故选：B. 5．（24-25高二下·江西南昌·期中）曲线与曲线的公切线的斜率为（   ） A．或 B．e或 C．1或e D．1或 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、简单复合函数的导数 【分析】求导，根据导数的几何意义分别为求切线方程，进而列式求解即可. 【详解】对于，则， 设切点为，则切线斜率， 可得切线方程为，即； 对于，则， 设切点为，则切线斜率， 可得切线方程为，即； 由题意可得， 由可得， 则，整理可得，解得或， 所以公切线斜率为或. 故选：B. 6．（24-25高二下·上海徐汇·期中）若曲线在与处的切线互相垂直，且两条切线的交点在直线上，则的值可能是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、简单复合函数的导数 【分析】根据给定条件可得，利用正弦函数的值域分析推得中必有一个为1，另一个为，由此确定，并求出，再作出图形数形结合求解判断. 【详解】函数，求导得, 曲线在与处的切线斜率分别为， 由两条切线互相垂直，得，而， 当且仅当中一个取1，另一个取时，它们的积为，不妨令，， 则，即， 此时,， 如图，设，则是以为直角顶点的等腰直角三角形， 由图知，， 则， 对于A，由，得不成立，A不是； 对于B，由，得不成立，B不是； 对于C，由，得不成立，C不是； 对于D，取，，D是. 故选：D 7．（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、简单复合函数的导数 【分析】根据题意，假设两曲线上线的切点，从而得到两曲线的切线，由共切线建立关于的方程组，求得，进而得到切线方程，从而得解. 【详解】根据题意，设直线与曲线的切点为， 与曲线的切点为， 而的导数为，的导数为， 所以两曲线的切线分别为， 两条切线对应相同，可得，解得， 所以切线方程为，即， 则. 故选：C. 【点睛】方法点睛：用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为： （1）设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：； （2）若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为， 8．（2024·江苏徐州·模拟预测）若曲线与，恰有2条公切线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】设在曲线上的切点为，求出切线方程，设该切线方程与曲线相交于点，由此可得，再利用导数研究函数的性质，结合题意即可得出答案． 【详解】设在曲线上的切点为， 由，可得过点的切线斜率为， 此时切线方程为，即， 设切线与曲线相交于点，， 则， 消去，可得， 依题意，直线与函数的图象有两个不同的交点， 令， 解得或， 令，解得， 则函数在，上单调递增，在上单调递减， 故，且恒成立，当且仅当时等号成立，当时，， 要使直线与函数的图象有两个不同的交点， 则需，解得． 故选：B． 【点睛】方法点睛：利用导数的几何意义，分别写出两曲线的切线方程，让两切线方程的系数相等，得到方程组，消去一个变量后，问题转化为方程的根的个数问题，构造函数，利用导数研究其性质，即可得结论． 9．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】先分别求出两条曲线的导数，再设出切点，写出切线方程，最后根据公切线的条件求解. 【详解】求导：导数；导数. 设切点写切线方程： 设与切点，切线方程. 设与切点，切线方程. 列方程组求解：由公切线性质得. 由得，代入另一式解得，. 求直线方程：把代入，得. 故答案为：. 10．（2025·辽宁·模拟预测）曲线与曲线的公切线方程为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】设两个函数的切点，求导，根据点斜式分别求解切线方程，进而得，构造函数，求导得函数单调性，进而求解方程的根得解. 【详解】设公切线与曲线切于点，与曲线切于点， 易知公切线的斜率存在，对求导得， 可得公切线的斜率， 所以公切线方程为，即①. 对求导得， 所以公切线方程为， 即②. 由①②得所以， 令，，所以， 当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，所以， 所以公切线方程为，即. 故答案为： 11.（24-25高三上·河北邢台·期中）曲线与曲线的公切线方程为 ． 【答案】（或） 【难度】0.4 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】设公切线为，与曲线相切于点，与曲线相切于点，利用导数的几何意义得到，，结合，得到，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，得到，即可求解. 【详解】设，的公切线为， 且与曲线相切于点，与曲线相切于点， 由，得，则，即①． 由，得，则，即②． 易得，即③，将②③代入①，可得， 令，则， 当时，，在区间上单调递减， 当时，，在区间上单调递增， 所以，当且仅当时，等号成立，则， 所以，， 故曲线与曲线的公切线方程为，即， 故答案为：（或） 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于设出公切线，与曲线相切于点，与曲线相切于点，利用导数的何意义得到，，进则得到，构造函数，利用导数与函数的单调性间的关系，得到，进而可求出，即可求解. 【题型七： 已知某点的导数值求参数或自变量 】 1．（24-25高三上·上海闵行·期中）已知，，则的最小值为 ． 【答案】2 【难度】0.4 【知识点】已知某点处的导数值求参数或自变量 【分析】设，把问题转化为求与图象上两点距离的平方的最小值，再利用导数的几何意义求解即可； 【详解】， 设，则在函数的图象上，在函数的图象上，且与关于直线对称， 所以问题转化为求与图象上两点距离的平方的最小值， ，令，则，由对称性可得最小时，， ， 所以的最小值为. 故答案为：2. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是能够把所求代数式转化为求与图象上两点距离的平方的最小值. 2．（22-23高二下·江苏盐城·开学考试）已知函数，若，且的最大值为5，则实数的值为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究函数的零点、已知某点处的导数值求参数或自变量 【分析】由题意可知，若，当为最大值时，即在的切点处的切线与平行，因此求出时，在处的导数，即可求出，根据，求出，最后根据，即可求解. 【详解】令，， 令，得， 当，，单调递减，当，，单调递增， ，，所以的另一个根在， 因为，若的最大值为5，则和不能同时大于0， 令，在上单调递增， 设，，的最大值为5， 即时，上的一点切线和平行，此时这一切点的横坐标为， 而，因此，由此可得，解得， 故， ，即，得， ，解得：，或， 因为，所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是确定最大时，是与平行时，的切线的切点，从而可以求出. 3．（23-24高二下·贵州六盘水·期中）已知函数在上仅有两个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、已知某点处的导数值求参数或自变量 【分析】设函数，，将函数的零点问题转化为与的图象仅有两个交点，通过研究与的图象相切的情况，可得实数的取值范围. 【详解】设函数，， 由在上仅有两个零点，即在上仅有两个根， 即与的图象在上仅有两个交点， 先研究与的图象相切的情况，如图，设公切点， 即点同时在函数，图象上，在点处的切线斜率相等， 就有， ， 则，有， 函数的图象向右平移便可知，仅有两个零点， 根据图象，可知实数的取值范围介于当或者1时， 即. 故答案为： 【题型八：利用导数公切线求参数的取值范围 】 1．（2025·宁夏石嘴山·三模）已知函数，若曲线与有两条公切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、简单复合函数的导数、利用导数研究函数的零点、由导数求函数的最值（含参） 【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义，结合公切线建立方程组，消元构造函数，利用函数有两个零点，借助导数求出范围. 【详解】设公切线与曲线、曲线相切的切点分别为， 而，依题意，，则，因，则， 消去得，令函数， 由曲线与有两条公切线，得函数有两个不同的正零点， ，当时，；当时，， 函数在上递减，在上递增，， 而当从大于0的方向趋近于0时，，当时，， 则当且仅当，即时，函数有两个不同零点， 所以的取值范围是. 故选：C 2．（24-25高二下·云南临沧·阶段练习）已知函数，，若存在两条不同的直线与函数和图像均相切，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、利用导数研究函数的零点 【分析】取，此时函数和不满足条件，当时，设直线与切于，与切于，根据导数的几何意义可得，求出函数和的切线方程，由条件可得，条件可转化为方程有两个不同的解，设，利用导数研究函数图象，结合图象可得的范围. 【详解】当时，，，不存在公切线， 当时，设直线与切于， 与切于， 又，， 则直线的斜率， 所以， 所以直线为，即， 直线也可以写成，即， 所以， 将代入可得，， 又，所以， 因为存在两条不同的直线与函数和图像均相切， 所以方程有两个不同的解， 设， 则， 当时，解得， 当时，解得， 所以， 又因为且无穷接近时，趋近正无穷； 当时，趋近正无穷； 函数的大致图象如下： 所以， 所以， 所以或， 所以的取值范围为. 故选：A. 3．（24-25高二下·天津·阶段练习）若曲线上存在两条切线相互垂直，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、基本初等函数的导数公式、导数的加减法 【分析】对函数求导，根据已知有，即可求参数范围. 【详解】由，曲线上存在两条切线相互垂直， 所以，只需且，即， 所以，即. 故选：A 4．（24-25高三上·山东聊城·阶段练习）一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为 ． 【答案】-2 【难度】0.4 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】求导，由导数几何意义得到切线方程，对照系数得到，联立得到，故. 【详解】因为，，所以，， 则在点处的切线方程为，即； 在点处的切线方程为：，即， 由已知，由得，故， 故，解得， 所以，因此． 故答案为：． 【点睛】方法点睛：应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面： (1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数； (2) 已知斜率求切点即解方程； (3) 已知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解. 5．（2024·广东江门·二模）若曲线与曲线存在公切线，则a的最大值 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】设公切线与曲线切与点，与曲线切与点，由题意可得，化简可得，则，构造函数，利用导数求出其最大值即可. 【详解】设公切线与曲线切与点，与曲线切与点， 由，得；由得. 则， 所以，所以，即. 设，则. 由；由. 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 所以函数. 即的最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题考查导数几何意义，考查利用导数求函数的最值，解题的关键是设出两切点的坐标，由切线为两曲线的公切线列方程组求解，考查数学转化思想和计算能力. 6.（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知函数，若存在两条不同的直线与曲线和均相切，则实数的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】利用导数的几何意义求出两曲线的切线方程，进而，利用方程根的个数与函数图象交点的个数之间的转化，结合导数讨论函数的单调性和数形结合的思想即可求解. 【详解】设曲线上的切点坐标为，又， 则公切线的方程为，即． 设曲线上的切点坐标为，又， 则公切线的方程为，即， 所以，消去，得． 若存在两条不同的直线与曲线均相切， 则关于的方程有两个不同的实数根． 设，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，由可得， 当且时，，当时，且， 则的大致图象如图所示，    由图可知，，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键点是两曲线的切线方程相等，消去得，利用数形结合的思想将方程的根个数转化为函数图象的交点个数. 7．（24-25高三上·湖北·阶段练习）已知函数 其中，当两函数图象对应曲线存在2条公切线时则的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、利用导数研究方程的根 【分析】根据反函数的性质，先求解两曲线相切时的临界情况时的值，利用相切和导数可得，构造函数，即可根据函数单调性求解. 【详解】令则， 令，则， 由于函数互为反函数，故图象关于对称， 因此只需要考虑两曲线相切时的临界情况，设切点横坐标为， 由 故，即， 所以， 设，则，，故有，两边取对并移项， 记函数，易知在上单调递增, 因为，所以，此时， 所以的取值范围是 【点睛】关键点点睛：根据两函数在相切的临界情况，设出切点横坐标为，得，求解. 8．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知曲线与有公共切线，则实数a的最大值为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究能成立问题 【分析】先设出切点，求导得到切线方程，斜率截距对应相等，得到,构造函数，转化为存在性问题，最终求最值即可. 【详解】设曲线与的切点分别为，， ∵，，∴，， ∴，， ∴，，即， 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， ∴，即，即，即． 故答案为：. 【题型九：切线方程和函数零点的关系 】 1．（2025·陕西·二模）已知函数，则的零点个数可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】求过一点的切线方程、求函数零点或方程根的个数 【分析】转化为与的交点个数，分，和三种情况，通过导数求切线斜率，数形结合判断. 【详解】令，即，， 故的零点个数等价于与的交点个数， 画出的图象， 当时，，如图，此时有2个交点， 当时，由于恒过，故与有1个交点， 设与相切的切点坐标为， ，此时切线斜率为，解得：，， 当时，与的交点个数为1， 此时与的交点个数为2， 当时，与的交点个数为2， 故与的交点个数为3个，如下图： 当时，与的交点个数为0， 故与的交点个数为1个， 当时，设与相切的切点坐标为， ，恒过， 此时切线斜率为，解得， 此时， 所以当时，与的交点个数为1， 则与的交点个数为1个，如下图： 当时，与的图象没有交点， 当时，与的图象有2个交点， 无论取何值，与的图象不会由4个交点. 故选：ABC. 2．（24-25高二下·河南开封·期中）已知是函数的极值点，则（   ） A．有3个零点 B．当时， C．曲线关于点对称 D．过点与曲线相切的直线有2条 【答案】CD 【难度】0.65 【知识点】判断或证明函数的对称性、求过一点的切线方程、利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】首先结合题意求得，利用导数求出函数的单调性，再结合极值情况即可判断的零点个数，则A可判断；先结合x的范围可得，再结合函数的单调性解不等式即可，则B可判断；求得即可得曲线关于点对称，则C可判断；利用导数的几何意义即可判断D. 【详解】，则，解得， 则， 当时，，当时，， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以的极小值为，极大值为， 所以有1个零点，A错误； 由，得，所以， 又在上单调递增，所以，故B错误； 因为， 所以曲线关于点对称，C正确； 设过点的直线与曲线相切于点， 所以切线方程， 将点代入切线方程为， 整理得，即，解得，或， 过点的直线与曲线相切于点或， 因此过点与曲线相切的直线有2条，D正确． 故选：CD． 【题型十： 由切线条数求参数的取值范围 】 1．（河南省部分学校2024-2025学年高三下学期5月模拟数学试题）已知对于，过点可作曲线的3条不同的切线，则实数的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求过一点的切线方程、利用导数研究方程的根 【分析】求出函数的导数，设出切点坐标，求出切线方程，构造函数并利用函数有3个零点求解即可. 【详解】设切点坐标为，则，即， 整理得，令， 依题意，函数有3个不同的零点，求导得 ，当时，，在上单调递减，值域为； 当时，，在是单调递增，值域为； 当时，在上单调递减，值域为， 由函数有3个零点，得，即， 解得，又，则， 所以的取值范围为. 故答案为： 2．（2025·甘肃定西·模拟预测）若过点只有一条直线与函数的图象相切，则的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求过一点的切线方程、用导数判断或证明已知函数的单调性、求已知函数的极值 【分析】由导数的几何意义可得切线方程，代入点的坐标可得，然后利用导数研究其图像，结合图像即可得到结果. 【详解】 设过点的切线与的切点为， 因为，则切线的斜率为， 所以切线的方程为， 代入得， 即. 设，则， 由，得或， 当或时，，在，上单调递减； 当时，，在上单调递增. 所以，， 因为，所以，， 作出的大致图象如图所示， 由图象可知只有一条直线与的图象相切时，或. 故答案为： 3．（24-25高二下·吉林长春·期中）若过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求过一点的切线方程、利用导数研究方程的根 【分析】设切点为，求切线方程，又在切线上得，令，即与的图像有两个交点即可，利用导数研究单调性，作出图像即可求解. 【详解】设切点为，则，所以，即， 又在切线上，所以，化简整理有， 令，即与的图像有两个交点即可， 所以，令有， 由有，有， 所以在单调递减，在单调递增， 所以，当， 作出函数的图像， 所以， 故答案为：. 4．（24-25高二下·辽宁抚顺·期中）过点可作曲线的切线的条数最多为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求过一点的切线方程、导数的加减法 【分析】设切点坐标为，利用导数求出切线方程，将点的坐标代入切线方程，求出的值，即可得出结果. 【详解】设切点坐标为． 因为，所以，则切线斜率为， 所以切线方程为． 又点在切线上，所以，解得， 故过点可作条切线与曲线相切． 故答案为：. 5．（24-25高二下·黑龙江·期中）已知过点与曲线相切的直线有两条，则实数的取值范围是 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求过一点的切线方程、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】先设切点，再求切线方程，将点代入切线方程，将问题转化为在上有两解，构造函数研究其单调性即可. 【详解】定义域为，且， 设切点为，则切线斜率为， 则切线方程为，即， 将点代入切线方程有：， 若，则，与定义域矛盾；则， 因过点与曲线相切的直线有两条， 所以在上有两解， 设， 则得；得； 则在上单调递增，在上单调递减，则， 又时，； ；时，，且时，， 所以，则实数的取值范围是. 故答案为： 6．（24-25高一下·上海·期中）若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求已知函数的极值、求过一点的切线方程 【分析】设切点为,利用导数的几何意义先求切线方程，由切线方程过点得，令，即与的图像有三个交点， 利用导数研究极值即可求解. 【详解】设切点为，则，所以， 所以切线方程为， 又切线过点，所以， 即，令， 所以，即与的图象有三个交点， 所以，令有或， 由得或，得， 所以在单调递减，在上单调递增， 所以的极大值为，的极小值为， 所以，即， 故答案为：. 7．（24-25高二下·湖南·期中）已知函数.若当时，存在过坐标原点的直线与曲线相切，则实数的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求过一点的切线方程、已知切线（斜率）求参数、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】先设切点坐标为，接着由导数几何意义和两点间斜率公式建立等量关系得到，接着构造函数，，再利用导数工具研究函数的单调性和函数值情况即可求解. 【详解】设切点坐标为，由题意可得，则. 又直线的斜率，所以， 得，即，其中，又， 所以.设，其中， 因为，当时，单调递增；当时，单调递减， 所以.当时，，且当时，. 由且得， 故实数的取值范围是. 故答案为：. 【题型十一：导数切线在几何中的应用 】 1．（24-25高三上·上海黄浦·阶段练习）设，，为曲线上两点，为曲线上两点，且四边形为矩形，则实数的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、简单复合函数的导数 【分析】分讨论，并寻找其极限位置即可. 【详解】解：因为的图象是由的图象向右平移2个单位，再向上或向下平移个单位得到的， 当时，如图所示： 取，当的纵坐标趋向于正无穷大的时候，可以无限接近为一个矩形； 当时，若能成为一个矩形，则必有：∥， 因为， 上的点处切线的斜率比上的点处切线的增长率大， 所以必有，这与矛盾； 当时，取此时在处切线的斜率为4，取临界， 设解得， 即当时，可以看成极限时候的矩形； 当时，若能成为矩形， 必有∥， 上的点处切线的斜率比上的点处切线的增长率大， 所以必有，这与矛盾； 所以实数的取值范围为. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题的关键是寻找特殊位置，找到临界值的情况，对进行合理地分类讨论，从而得到其范围. 【题型十二： 导数新定义问题 】 1．（24-25高三上·河南·阶段练习）若函数的图象上存在两点使得在处的切线与在处的切线的夹角为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】求出导函数，得出切线斜率的最大值和最小值，由斜率最大和最小的两条切线的夹角不小于可得参数范围． 【详解】，，， 设斜率最大与斜率最小的两条切线的夹角为， ，由题意，解得． 故答案为：． 【点睛】方法点睛：从动态角度看，斜率最大和最小的两条切线的夹角不小于时，移动其中一个切线的切点，则两条切线的夹角随之发生变化，当两切线重合时夹角变为0，由连续性的变化知中间一定存在夹角为的切线，由此得解法． 2．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，对于曲线G所在平面内的点O，若存在以O为顶点的角α，使得对于曲线G上的任意两个不同的点A，B，恒有成立，则称角α为曲线G的相对于点O的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线G的相对于点O的“确界角”.已知曲线C：（其中是自然对数的底数），O为坐标原点，曲线C的相对于点O的“确界角”为，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】导数新定义、用导数判断或证明已知函数的单调性、求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】利用导数的几何意义，求出时，过原点且与相切的切线斜率，以及过原点且与相切的切线斜率，进而可得两切线互相垂直，即可求解. 【详解】当时，过原点作的切线， 设切点，，， 则切线方程为， 又切线过点，所以，所以. 设，则，故为增函数，且， 所以， 当时，过原点作的切线， 设切点B，， 则切线为，又切线过点 所以，又，， 因为，所以两切线垂直，所以. 故答案为： 3．（24-25高二下·上海松江·阶段练习）设定义在上的函数在点处的切线方程为，当时，若在内恒成立，则称点为函数的“类对称中心点”，则函数的“类对称中心点”的坐标是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题、函数新定义 【分析】求导，根据导数的几何意义可得切线方程，设，求导，判断的正负情况，即可判断“类对称中心”的坐标. 【详解】设“类对称中心”的坐标为， 由，， 得，， 则切线斜率为， 切线方程为， 即， 设， 则， ， 令，解得或， 当时，，在上单调递减， 即当，， 即， 当时，，在上单调递减， 即当时，， 即， 所以在上无“类对称中心”点； 当时，恒成立，在上单调递增， 即当时，，， 当时，，， 此时函数有“类对称中心”点，为， 即， 故答案为：. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$