专题21 平面向量的概念及其线性运算（讲义） - 河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块共40个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》的第21个专题平面向量的概念及其线性运算。本专题涵盖向量的概念、向量的线性运算、共线向量定理等知识点，知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 河北省2026年对口升学考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题21 平面向量的概念及其线性运算（讲义） 1. 向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)． (2)零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的，零向量记作0　. (3)单位向量：长度等于1个单位的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量；平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行. (5) 单位向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形 法则 平行四边形 法则 (1)交换律： a＋b＝ b＋a　； (2)结合律： (a＋b)＋c＝ a＋(b＋c)　 减法 向量a加上向量b的 相反向量 叫做a与b的差，即a＋(－b)＝a－b 三角形 法则 a－b＝a＋(－b) 数乘 实数λ与向量a的积是一个 向量 记作λa (1)模：|λa|＝|λ||a| ； (2)方向： 当λ>0时，λa与a的方向 相同 ； 当λ<0时，λa与a的方向 相反 ； 当λ＝0时，λa＝0 设λ，μ是实数． (1) λ(μa)　＝(λμ)a (2)(λ＋μ)a＝ λa＋μa　 (3)λ(a＋b)＝ λa＋λb　. 3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使 b＝λa　. 1．（2024年山东）如图所示，在中，三条边长均为1，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则下列运算结果为单位向量的是（     ） A． B． C． D． 2．（2023年黑龙江）在中，，D，E分别是、的中点，则（   ） A．与共线 B．与相等 C．与相等 D．与共线 3．（2025年广西）化简：＝（   ） A． B． C． D． 4．（2025年河南）在四边形中，如果向量，那么四边形是（   ） A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 5. （24-25高三上·安徽合肥·期末）如图，在中，D是的中点，则（     ） A． B． C． D． 6. （2024年山西）对于非零向量， “”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 知识点1 向量的有关概念 1．给出下列命题： ①和的模相等；      ②方向不同的两个向量一定不共线； ③；④. 其中真命题的个数是（       ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．如图所示，已知平行四边形，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（    ） A．长度相等的向量叫做相等向量 B．两个有共同终点的向量，一定是共线向量 C．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 D．向量与向量是共线向量，则点必在同一条直线上 4．下列说法中，不正确的是（   ） A．所有单位向量的模都等于1 B．向量可用有向线段表示 C．方向相反的两个向量一定平行 D．零向量没有方向 5．已知正方形的边长为，则（   ） A． B． C． D． 6. 下列命题中正确的是（   ） A． B． C． D． 7．设是正方形的中心，向量，，，是（　　） A．平行向量 B．有相同终点的向量 C．相等向量 D．模相等的向量 8．如图所示，在正六边形中，与向量相等的向量个数为（   ）． A．2 B．3 C．4 D．5 9．关于向量相等，下列说法正确的是（   ）． A．若两个向量模相等，则它们是相等向量 B．若两个向量方向相同，则它们是相等向量 C．若两个向量大小相等且方向相同，则它们是相等向量 D．零向量和任何向量相等 10．若菱形ABCD的边长为2，求＝ ． 知识点2 向量的线性运算 1．已知平面向量，，则（    ） A． B． C． D． 2．的化简结果为（   ） A． B． C． D． 3．在矩形中，等于（    ） A． B． C． D． 4．在中，D是BC的中点，，，则（    ） A． B． C． D． 5．设，是两个不共线的非零向量，若向量与的方向相反，则（   ） A． B． C．或 D． 6．如图所示，在中，若，，且，则（   ） A． B． C． D． 7．下列各式不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在平行四边形ABCD中，下列式子中不正确的是（    ） A． B． C． D． 9．已知、、为向量，向量 . 10．化简 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块共40个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》的第21个专题平面向量的概念及其线性运算。本专题涵盖向量的概念、向量的线性运算、共线向量定理等知识点，知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 河北省2026年对口升学考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题21 平面向量的概念及其线性运算（讲义） 1. 向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)． (2)零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的，零向量记作0　. (3)单位向量：长度等于1个单位的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量；平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行. (5) 单位向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形 法则 平行四边形 法则 (1)交换律： a＋b＝ b＋a　； (2)结合律： (a＋b)＋c＝ a＋(b＋c)　 减法 向量a加上向量b的 相反向量 叫做a与b的差，即a＋(－b)＝a－b 三角形 法则 a－b＝a＋(－b) 数乘 实数λ与向量a的积是一个 向量 记作λa (1)模：|λa|＝|λ||a| ； (2)方向： 当λ>0时，λa与a的方向 相同 ； 当λ<0时，λa与a的方向 相反 ； 当λ＝0时，λa＝0 设λ，μ是实数． (1) λ(μa)　＝(λμ)a (2)(λ＋μ)a＝ λa＋μa　 (3)λ(a＋b)＝ λa＋λb　. 3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使 b＝λa　. 1．（2024年山东）如图所示，在中，三条边长均为1，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则下列运算结果为单位向量的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量线性运算和相等向量和相反向量计算出结果易得答案. 【详解】由题意得： A：， 因为，故为单位向量； B：，，故不是单位向量； C：，故不是单位向量； D：， 因为，故不是单位向量. 故选：A. 2．（2023年黑龙江）在中，，D，E分别是、的中点，则（   ） A．与共线 B．与相等 C．与相等 D．与共线 【答案】D 【分析】利用共线向量相等向量的定义可判断. 【详解】对于A，因为，则与不共线，故A错误； 对于B，与方向相反，则与不相等，故B错误； 对于C，与有公共交点，方向不相同，与不相等，故C错误； 对于D，D，E分别是、的中点，则为的中位线，则，则与共线，故D正确. 故选：D. 3．（2025年广西）化简：＝（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的加法运算可求. 【详解】； 故选：A. 4．（2025年河南）在四边形中，如果向量，那么四边形是（   ） A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】A 【分析】根据向量关系判断四边形的平行及长度关系即可得解. 【详解】 由可得向量与平行，即， 且，即， 根据梯形的定义，一组对边平行且不相等的四边形是梯形，所以四边形是梯形, 菱形需四条边相等，矩形要有四个直角且对边相等，正方形要求四条边相等且四个角为直角，题中条件均不满足， 故选：. 5. （24-25高三上·安徽合肥·期末）如图，在中，D是的中点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的运算法则即可解得. 【详解】由题可知，为中点，所以， . 故选：D 6. （2024年山西）对于非零向量， “”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据向量共线的相关知识直接判断. 【详解】对于非零向量，当时，，一定成立，即充分性成立； 当时，，不一定满足，即必要性不成立. 所以对于非零向量， “”是“”的充分不必要条件. 故选：A 知识点1 向量的有关概念 1．给出下列命题： ①和的模相等；      ②方向不同的两个向量一定不共线； ③；④. 其中真命题的个数是（       ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据向量的相关定义逐个分析即可. 【详解】和为相反向量，所以它们的模相等，故①正确， 方向相反的两个向量共线，故②错误， 的模为0，但，故③错误， 向量之间不能比较大小，故④错误， 所以真命题只有一个， 故选：B. 2．如图所示，已知平行四边形，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的概念与加法运算可求. 【详解】由题可知，，故A错误； 向量，方向不同，则，故B错误； 因为向量，方向不相反，则，故C错误； ，故D正确； 故选：D. 3．下列说法正确的是（    ） A．长度相等的向量叫做相等向量 B．两个有共同终点的向量，一定是共线向量 C．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 D．向量与向量是共线向量，则点必在同一条直线上 【答案】C 【分析】根据题意，结合向量的定义依次分析四个命题，综合即可得答案. 【详解】对于A，长度相等的向量不一定相等向量，故A错误； 对于B，共线向量是指方向相同或相反的向量，两个有共同终点的向量，其方向可能既不相同又不相反，故B错误； 对于C，相等向量是大小相等，方向相同的向量，故两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，故C正确； 对于D，若向向量与向量是共线向量，则，或点在同一条直线上，D错误； 故选：C． 4．下列说法中，不正确的是（   ） A．所有单位向量的模都等于1 B．向量可用有向线段表示 C．方向相反的两个向量一定平行 D．零向量没有方向 【答案】D 【分析】根据向量的基本概念判断即可解得. 【详解】选项A：所有单位向量的模都为，正确. 选项B：向量可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向，正确. 选项C：平行向量（也叫共线向量）包括同向和反向两种情况，方向相反的两个向量一定平行，正确. 选项D：零向量的方向是任意的，不是没有方向，错误. 故选：D 5．已知正方形的边长为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的加法，减法法则及向量的模运算即可求解. 【详解】由题意得，在边长为的正方形中， . 则则. 故选：D. 6. 下列命题中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的概念、零向量的概念、相等向量的概念和共线向量的概念即可求解. 【详解】对于A，时，与不一定相等，因为它们的方向不一定相同，故A错误；   对于B，向量、既有方向，又有大小，∴与不能比较大小，故B错误； 对于C，当时，有，反过来，若，则与不一定相等， 因为它们的方向不一定相同，故C错误； 对于D，时，则 ，反过来，若，则， 因为零向量的模长等于，故D正确. 故选：D. 7．设是正方形的中心，向量，，，是（　　） A．平行向量 B．有相同终点的向量 C．相等向量 D．模相等的向量 【答案】D 【分析】根据正方向的性质及向量的相等向量，平行向量的定义，向量模的定义即可得解. 【详解】 是正方形的中心，则为对角线交点， 如图所示，向量与，与的方向既不相同也不相反，所以向量，，，不是平行向量，故选项错误； 向量的终点是，的终点是，，的终点是，的终点是，它们的终点并不都相同，故选项错误； 方向相同，大小相等的向量为相等向量，所以向量与，与的方向不同，所以，，，不是相等向量，故选项错误； 根据正方形的性质可知，，所以向量，，，是模长相等的向量，故选项正确； 故选：. 8．如图所示，在正六边形中，与向量相等的向量个数为（   ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据相等向量的概念，即可求解. 【详解】方向相同，模相等的两个向量是相等向量， 故在正六边形中，与向量相等的向量为和， 所以与向量相等的向量个数为3， 故选：B 9．关于向量相等，下列说法正确的是（   ）． A．若两个向量模相等，则它们是相等向量 B．若两个向量方向相同，则它们是相等向量 C．若两个向量大小相等且方向相同，则它们是相等向量 D．零向量和任何向量相等 【答案】C 【分析】根据题意，结合相等向量的概念，即可判断求解. 【详解】因为两个大小相等且方向相同的向量是相等向量， 所以若两个向量模相等，方向不同，也不是相等向量，故选项A错误； 若两个向量方向相同，但模长不等，则它们也不是相等向量，故选项B错误； 若两个向量大小相等且方向相同，则它们是相等向量，故选项C正确； 零向量和任何向量都共线，但不一定相等，故选项D错误； 故选：C. 10．若菱形ABCD的边长为2，求＝ ． 【答案】2 【分析】由向量的运算法则化简后求解 【详解】 由题意可知， 所以， 所以. 故答案为:2. 知识点2 向量的线性运算 1．已知平面向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的减法运算法则即可得解. 【详解】. 故选：B. 2．的化简结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算法则计算即可. 【详解】 ， 故选：B. 3．在矩形中，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量的加法运算解答即可. 【详解】在矩形中： A，， B，， C，， D，. 故选：D. 4．在中，D是BC的中点，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算即可得解. 【详解】因为，，所以. 因为D是BC的中点，所以. 所以. 故选：B. 5．设，是两个不共线的非零向量，若向量与的方向相反，则（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】根据相反向量得到向量数乘关系，由向量相等列方程组求解即可. 【详解】向量与的方向相反， 则有，， 则有，解得或， 因为，所以. 故选：B. 6．如图所示，在中，若，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的线性运算法则求解即可. 【详解】由图结合，可得， ∴， ∴， 故选：A. 7．下列各式不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量加法以及减法的法则和运算律逐项计算即可. 【详解】，故A选项能化简； ，故B选项能化简； ，故C选项能化简； ，而， 即，故D选项不能化简. 故选：D. 8．如图，在平行四边形ABCD中，下列式子中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量线性运算的几何意义，结合平行四边形的几何性质，可得答案. 【详解】由向量减法的三角形法则可得：，即A正确； 根据相等向量的概念可得：，则，即B错误； 由向量加法的三角形法则可得：，即C正确； 根据平面向量加法的平行四边形法则可得：，所以D正确； 故选：B 9．已知、、为向量，向量 . 【答案】 【分析】根据向量的运算法则对所给向量表达式进行化简. 【详解】 . 故答案为：. 10．化简 . 【答案】 【分析】根据向量的加法和减法运算法则，可得答案. 【详解】. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$