第3节 利用导数研究函数的极值、最值-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

金榜题名 创新高考总复习数学北师大版 第3节利用导数研究函数的极值、最值 ★[课程标准] 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件， 2.会用导数求函数的极大值、极小值. 3.会求闭区间上函数的最大值、最小值. 夯实>必备知识 教材夯实强基固本 必备知识学握 (2)应用导数知识解决实际问题时，首先要明确 1.函数极值的概念 题目的已知条件和所要求解的问题，然后根 (1)在包含xa的一个区间(a,b)内，函数y= 据题意建立适当的函数关系，将所求问题转 f(x)在任何不为xo的一点处的函数值 化为求函数的限制条件下的最大（小）值问 点x。处的函数值，称点x。为函数y= 题.此过程用框图表示如下： f(x)的 ,其函数值f(xo)为函数的 实际问题一用函数表示的数学问题 (2)在包含xo的一个区间(a,b)内，函数y= 实际问题的答業·丹导数鲜决数学问题 f(x)在任何不为xo的一点处的函数值 说明：常将问题中能取得最大值或最小值的 点xo处的函数值，称点xo为函数y 那个变量设为y,而将另一个与y有关的变 f(x)的 ,其函数值f(xo)为函数的 量设为x,然后利用导数求出所列函数的极 值点，再进一步分析可得出函数的最值， 函数的极大值点与极小值点统称为极值点， 极大值与极小值统称为极值 (3)实际问题中，一般通过函数的单调性和问题 2.求可导函数f(x)的极值的步骤 的实际意义确定最值 (1)求导函数(x). ·重要结论· (2)求方程f(x)=0的根. 1.函数极值与导数的关系 (3)列表，检验f(x)在方程f(x)=0的根左右 (1)f(xo)=0是x0为f(x)的极值点的必要不 两侧的函数值的符号，如果 ,那么函 充分条件.例如，f(x)=x3,f(0)=0,但x 数y=f(x)在这个根处取得极大值；如果 =0不是极值点， ,那么函数y=f(x)在这个根处取 (2)极值点不是点，若函数f(x)在x1处取得极 得极小值：如果左右两侧符号一样，那么这个 大值，则x1为极大值点，极大值为f(x1):在 根不是极值点. x2处取得极小值，则x2为极小值点，极小值 (4)得极值，由表得极大值与极小值. 为f(x2).极大值与极小值之间无确定的大 3.求函数f(x)在[a,b]上最值的步骤 小关系 (1)求函数y=f(x)在(a,b)内的 与端点处的 2.函数极值与最值的关系 (2)将函数y=f(x)的 比较，其中最大的一个是最大值，最小 (1)极值只能在定义城内取得（不包括端点），最 的一个是最小值，得出函数f(x)在[a,b]上 值却可以在端点处取得，有极值的不一定有 的最值. 最值，有最值的也未必有极值；极值有可能 4.利用导数求解实际问题中的优化问题 成为最值，非常数可导函数最值只要不在端 (1)在实际问题中，经常会遇到解决一些如面积 点处取，则必定在极值处取 最小、体积最大、成本最低、时间最少等问题， (2)若函数f(x)在开区间(a,b)内只有一个极 这些问题通称为 问题， 值点，则相应的极值一定是函数的最值， 60 主题二第三章导数及其应用 自主诊断查验 2.如图是f(x)的导函数f(x)的图象，则f(x) ◆[思考辨析] 的极小值点的个数为 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括 号里打“√/”，错误的打“×” (1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯 一的. (2)函数的极大值不一定比极小值大.() A.1 B.2 (3)对可导函数f(x),f(.xo)=0是x0点为极 C.3 D.4 值点的充要条件， ( 3.函数y=xe2的最小值是 (4)函数的极大值一定是函数的最大值. A.-1 B.-e ( (5)开区间上的单调连续函数无极值和最值. c-& D.不存在 (6)函数x)=在区间[-1,1上有最值。 4.(忽视参数的检验致误)函数f(x)=x3十ax2 +bx十a2在x=1处有极值10，则a的值为 ,b的值为 ◆[小题查验] 1.函数f(x)=(x2-1)2+2的极值点是( 5.从边长为10cm×16cm的矩形纸板的四角截 A.x=1 B.x=-1 去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒 C.x=1或一1或0 D.x=0 子，则盒子容积的最大值为 cm3. 跃升>关键能力 层级突破素养提升 题型1 利用导数研究函数的极值 A.10 B.-6 ◆[命题点1]由函数图象判断其极值情况 C.-7 D.0 1.如图，直线y=a.x+2与 方法指导 曲线y=f(x)交于A,B 运用导数求可导函数y=∫(x)的极值的步骤 两点，其中A是切点，记 (1)先求函数的定义域，再求函数y=f(x)的 h(x)=(x) g(x)= 导数(x): f(x)一ax,则下列判断正确的是 (2)求方程f(x)=0的根： A.h(x)只有一个极值点 (3)检查∫(x)在方程根的左右的值的符号， B.h(x)有两个极值点，且极小值点小于极大 如果左正右负，那么f(x)在这个根处取 值点 得极大值，如果左负右正，那么∫(x)在这 C.g(x)的极小值点小于极大值点，且极小值 个根处取得极小值.如果左右符号相同， 为-2 则此根处不是极值点： D.g(x)的极小值点大于极大值点，且极大值 为2 易错警示 [命题点2]利用导数求函数的极值 若函数y=f(x)在区间(a,b)内有极值，那么 2.已知函数f(x)=x2-8.x+6lnx十1，则f(x) y=f(x)在(a,b)内绝不是单调函数，即在某 的极大值为 区间上单调函数没有极值. 61 金榜题名创新高考总复习数学北师大版 ◆[命题点3]已知极值求参数的范围 方法指导 3.已知函数f(x)=lnx. 求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值时，首 (1)求f(x)图象过点P(0,一1)的切线方程； 先可判断函数在[a,b们上的单调性，若函数在 (2)若函数gx)=fx)一mx+四存在两个极 [a,b]上单调递增或单调递减，则f(a),f(b) 一个为最大值，一个为最小值.若函数在 值点x1,x2,求m的取值范围. [a,b们上不单调，一般先求[a,b们上f(x)的极 值，再与f(a),f(b)比较，最大的即为最大 值，最小的即为最小值. 易错警示 求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含 参数时，要讨论参数的大小 跟踪训练 1.(2025·陕西渭模拟)已知函数f(x)=xe十a 在区间[0,1]上的最小值为1，则实数a的 值为 () 题型2 利用导数研究函数的最值 A.-2 B.2 [典例](1)(2022·全国乙卷)函数f(x)=c0sx C.-1 D.1 +(x+1)sinx十1在区间[0,2π]的最小值、最 2.(2025·大连测试)已知函数f(x)=a.x3+hx 大值分别为 ( 在x=1处有极值4 (1)求a,b的值： A-8 k-经受 (2)求函数f(x)在区间[一2,3]上的最值. c-登登+2 D受+2 (2)已知函数f(x)=x2er,其中a≤0，e为自 然对数的底数， ①讨论函数f(x)的单调性； ②求函数f(x)在区间[0,1]上的最大值. [尝试解答] 62 主题二第三章导数及其应用 题型3[利用导数研究生活中的优化问题 方法指导 [典例]某企业拟建造如图所示的容器（不计厚 利用导数解决实际生活中的优化问题的一般步骤 度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形， (1)分析实际问题中各变量之间的关系，建立 左右两端均为半球形，按照设计要求，容器的 实际问题的数学模型，写出相应的函数关 容积为89立方米，且1>2.假设该容器的建 系式y=f(x) (2)求导数(x),解方程(x)=0. 造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每 (3)判断使f(x)=0的点是极大值点还是极 平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方 小值点 米建造费用为c(c>3)千元，设该容器的建造 (4)确定函数的最大值或最小值，还原到实际 费用为y千元 问题中作答.一般地，对于实际问题，若函 数在给定的定义域内只有一个极值点，那 么该点也是最值点。 跟踪训练 (1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数 (2025·海南模拟)突破技术封锁、打破国外技 的定义域： 术垄断，实现高水平科技自立自强，正是企业 (2)求该容器的建造费用最小时的r, 坚持独立自主的一种重要体现.我国某企业为 [思维导引](1)建造费用=表面积×单价， 突破技术难题，组织多个科研团队，加大对某 用r把l表示出来，再由l≥2r得到r的取值 项电子产品的研发投入.已知该项电子产品年 范围，即函数y的定义域：(2)利用导数求该容 产量不低于1万件且不高于8万件，根据以往 器的建造费用最小时的r, 数据显示，每年研发投入固定费用为121n3万 [尝试解答] 元，每生产a万件增加投入a万元，且生产的 都能销售完，预计2025年销售收入f(x)(单 位：万元)与销量x(单位：万件)之间满足关系 式f(x)=-x2+3.x+12lnx+20. (1)写出该企业2025年的利润F(x)(单位：万 元)关于该产品的销量x的函数解析式； (2)该产品2025年的销量目标定为多少万件 时，该企业能从中获利最大？最大利润为 多少？ 请完成课时冲关17 63[子题3]解：由母题可知，f(x)的单调递减区间为 3.C[y'=e+x·e, （)-1,a=8 令y=0,则x=-1, r<-1时，y<0x>-1时，y>0, [子题4]解：f（x)=,x1-a.r-1..f(x)=3x2-a x=一1是函数的唯一极小值，点，即为最小值点， 由f=0,得=士a≥0. =-1时=- f(x)在区间（一1,1）上不单调， 0<3知<1，得0<a<3, 4.解析：广（x)=32十2ax十6，依题意得{)=0，解得 3 即a的取值范围为(0,3 a=4.或a。3当{a=4:,时广r)=3r2+8x-1- 16=-1116=3, 1b=-111 跟踪训练 (3r+11)(x-1),所以f(r)在r=1处取得极值： 1,A[构造画数A()=1-之2-c0s 曹{833时fp)=32-6r+3=3(r-1),此时f)在 e[0,受]，则gu)=h)=-tn =1处无极值.所以a=一3，b=3. g(x)=-1十cosx≤0，所以g(x)≤g(0)=0,因此，h(x)在 答案：一33 [0,受]上适减，所以h(号)=a-bh0)=0,即a<,芳-方 5.解析：设盒子客积为ycm,金子的高为xcm 则y=(10-2x)(16-2x)x 1 1 =4x3-52.x2+160x(0<x<5). 0言是格(0，受)时m .y=12x2-104x+160. 1 c084 令y=0,得=2或r=9(合去 4sn子_a主>1.脚b.周光>b>a.门 .ym*=6X12×2=144(cm3). 所以= 1 1 答案：144 cos4 4 跃升·关键能力题型1命题点1 2.B[令hr)=n.则N)=f-四0，所以画数A) 1.D[设切点A的坐标为(x。,f(xo)),则由条件得(xn)=a, e e 且当x<0时，f(x)>a,当r>xo时，(x)<a, 在区间(0，十∞)上单调递增，所以ef(x2+x)>2-”f(2)曰 g(x)=f(x）一ax, r2+2f2=h(r2+)>h(2)一2+x>2,解之得x< g'(r)=f(x)-a. e'+T 当x<时，g(x)=∫(x)一a>0,g(x)单调递增， 一2或x>1,肿原不等式的解集为（一∞，一2）U(1,十∞).] 当>时，g'(x)=f(r)一e<0,g(x)单调递减， 3.解析：由盈数的解析式可得f(r)-alna十(1十a)rln(1十a)≥ ∴当r=0时g(x)有极大值，且极大值为g(x)=f八a)一a 0在区问(0，十∞)上恒成立， =2, 对+aria1+a≥-a*1aa,即（生）广≥ 同理g(x)有极小值，结合题图可得g(x)的极小值点大于极大 n日。在区同0，十o四)上枚成立 值点.] 命题点2 (告）”=1≥a两a+1e,2 In a 2.B[函数f(x)的定义战为(0，十oo), 故ln(1+a)>0, f(r)=2x-8+6=2x-1)(x-3 故{nfa+l≥-na脚{a(a+lD≥1： 令了(x)=0,解得x=1或x=3,故 \0<a<1, (0,1) (1.3) 3 (3,+o∞) 5,1<u<1, 2 了(x) >0 =0 <0 =0 >0 结合题意可得实款a的取位花国足[，） f()单调递增极大值单调递诚极小值单调通增 答[ 所以f(x)的极大值为f(1)=一6.门 命题点3 第3节利用导数研究函数的极值、最值 8.解：(1)/八x)的定义战为(0，十eo),且广(x)=】 夯实·必备知识必备知识掌握 设初点坐标为(，lnx0), 1.(1)都小于极大值点极大值(2)都大于极小值点 极小值 则初线方程为y一名十n。-1 2.(3)左正右负左负右正 把点P(0,一1)代入切线方程，得lnx0=0,0=1. 3.(1)极值(2)各极值函数值f(a),f(b) .过点P(0,一1)的切线方程为y=x一1. 4.(1)最优化 (2)因为g(.x)=f(x)-m.x+"=lnx-mr十m(.x>0) 自主诊断查验思考辨析 (1)×(2)√(3)×(4)×(5)/(6)× 所以g(x)=1 -n=一m2-m。一m产2一T十m 小题查验 1.C[f(r)=x-2x十3， 令h(x)=mx2一x十m, 由f(x)=4x3-4.x=4x(x+1)(x-1)=0,得 要使g(x)存在两个极值点1,2， x=0或x=1或x=一1. 则方程m2一x十m=0有两个不相等的正数根g: 又当x<一1时，(x)<0,当一1<r<0时，f(r)>0,当0<r h(0)>0 <1时，f(x)<0,当>1时，f(x)>0, .r=0,1,一1都是f(r)的极值点，门 故只需满足2m 2.A[由题意知只有在x=一1处f(一1)=0，且其两侧导数符号 可，解得0<m<号 为左负右正，] ()0 435 题型2 [典例们(1)[解析]子(x)=一inr十sinx+(x+1)eosx= 2)得=8c-2-16-82(-29）0< (r+1)cos. ≤2 所以fx)在区间[0，受)和(，2x]上f(x)>0,即fx)单调 由于>3，所以c一2>0， 递增： 当3-20 20 -2 =0时r=√-2 在区间（受，F)上了(x)<0,即fx)单调递减， 20 =m,则m>0 又f0)=2)=2,(受)=是+2， 所以y=8xC-2(r-m)(+m十m. (受)=-（受+）+1=-受 所以f)在区间[0,2]上的最小值为-，最大值为受+2。 ①当0<m<2,即c>2时，当r=m时y=0: 当r∈(0，m)时，y'<0:当r∈(m,2)时，y>0. [答案]D (2)[解]①广(x)=2xe+x2ae=x(ar+2)e 所以r=m是函数y的极小值点，也是最小值点。 当a=0时，由f(x)>0,得x>0,由f(r)<0,得x<0. ②当m≥2，即3<≤之时， 故函数(.x)在(0，十∞)上单调递增，在（一∞，0）上单调递减： 当a<0时，由了(x)>0得，0<r<- 当r∈(0,2]时，y<0,函数单调递减， a 所以r一2是函教y的最小值点. 由f(<0,得x<0或r>-2 9 a 综上所述，当3<≤立，建造货用最小时r=2 故函数x)在(0，一2)上单润造增， 120 当>号建造费用最小时=√ 在（一0,0）与（一兰十）上单调证减。 跟踪训练 ②当a=0时，f(x)在区问[0,1门上单调递增，其最大值为f(1) 解：(1)由题意得，生产接产品的投入为x十12ln3万元， =1: 所以F(r)=f(x)-x-12ln3=-x2+3r+121nx+20-x 当-2<4<0时，-2>1x)在区间[0,1门上单调递增，其最 12ln3=-x2+2x+12(lnx-n3)十20，其中1≤x≤8. (2)F(x)=-2r+2+12--22+2+12-(-2x+6)(x+2 大值是f(1)=: 当a≤-2时，0<-二≤1，r=-2是画数f0x)在区间[0,1]上 1≤r≤8， 令F(x)=0,得x=一2或3， 唯一的极大值点，也就是最大值点， 当1≤x<3时，F(x)>0,F(x)在(1,3)单调递增： 光时画教)录大值是f(一吕)厂 4 当3<x≤8时，F(r)<0,F(x》在(3,8)单调递减， .当x=3时，F(r)取得最大值F(3)=17. 综上可得当一2<a≤0时，f(x)在[0,1]上的最大值是e: ,,该产品2025年的销量目标定为3万件时，该企业能从中获利 当a长一2时f)在[0.门上的爱大为 最大，最大利润为17万元. 跟踪训练 热点强化课2函数中的构造问题 1,D[由题意可知：(x)=(x十1)e, 所以当x∈[0,1]时(x)>0,则f(x)在[0,1]上单调递增， 题型1 所以f(x)mn=∫(0)=a=L.故速D.] [例1][解析]令g(x)=f(x)-2.x,则g'(x)=f(x)-2<0,则 2.解：(1)f(x)=a.x2+bx,广(x)=3ax2+b g(x)在R上单调递减，又f(m)一f(1一2m)≥6m一2等价于 函数f(x)=ax十b.r在x=1处取得极值4， f(m)-2m≥f1-2m)-2(1-2m),即g(m)≥g(1-2m),由单 ∴.f(1)=a+b=4,f(1)=3a+b=0,解得a=-2,b=6, .f(x)=一2.x2+6.x,经验证在x=1处取得极大值4， 调性得m≤1一2m,解得加≤3 故a=-2,6=6. [答案]B (2)由(1)可知，f(x)=-2r+6.r,f(x)=-6x2+6, [例2][解析]设g(x)=f(x)一x,则g'(x)=f(x)一1， 令f(x)>0,解得-1<x<1,令f(x)<0,解得x>1或x< 又x∈[0，十o)上，了(x)<1,则g'(r)<0,即画数(x)在r∈ -1, [0,十o)上单调递减， 因此f(x)在[一2，一1)上单调递减，在（一1,1）上单调递增。 又(x)是定义在R上的奇西数，则函数g(x)为R上的奇画数， 在(1,3]上单调递减， 故g(x)在R上单调递减， 所以蓝数在f(x)在x=一1时取得极小值，极小值为∫（一1）= 义f(2024-m)-f(m)≥2024-2m, -4 在x=1时取得极大值，极大值为∫(1)=4，且f(一2)=4， .f(2024一m)一(2024-m)≥f(m)-m f(3)=-36, 即g(2024一m)≥g(m), 经比较，西数f(x)在区间[一2,3]上的最小值是一36，最大值 可得2024一m≤m,解得m≥1012. 是4. [答案]B 题型3 题型2 工典例][解](1)设客器的客积为V,由题意知 [例3][解析]令x=0,时2f(0)十0>0，∴.f(0)>0,则A错误： 令g(x)=x2f（x),则g'(xr)=2xf(x)+x2f(x), V=1+音，又V=g,故1= 80 当r>0时，由2f(x)+xf(x)>0, 3r2 2xf(x)+x2了(x)>0,则g(x)在(0，十∞)上单调递增， 言（学-小南于≥2，周光号(9-）≥2 叉因为偶函数(r)的定义城为R, g(x)=r2f(x)为偶函数，g(x)在(0，十o)上单调适增， 整理得9≥5r,故0<r≤2.所以建造费用y=2rlX3+4x产2c ,g(一3)=g(3)>g(1),9f(一3)>f(1),故B错误： 2r×号(9-r）×3+4r2e ∴g(2)>g(-1),4f(2)>f(-1),故C正确： 由题意，不妨似设(x)=>0(c为常数)特合题意，此时(1D) 因此y=4c-2)2+160x,0<r≤2. f(2)=c,故D错误. [答案]C 436