第2节 利用导数研究函数的单调性-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

金榜题名创新高考总复习数学北师大版 第2节利用导数研究函数的单调性 ★[课程标准] 1.了解函数的单调性与导数的关系， 2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间， 3.能利用导数解决有关不等式、参数等问题. 夯实>必备知识 教材夯实强基固本 必备知识学握 (2)函数的导数越小，函数的变化越慢，函数的 1.函数的单调性与导数的关系 图象就越“平缓” () 函数y=f(x)在某个区间内可导： (3)如果函数f(x)在某个区间内恒有f(x)= (1)若在某个区间内，函数y=f(x)的导数(x) 0,则f(.x)在此区间内为常数函数.( >0,则在这个区间内，函数y=f(x)单调 (4)f(.x)在(a,b)上单调递增与(a,b)是f(x) 递增： 的单调递增区间意义不一样， (2)若在某个区间内，函数y=f(x)的导数f(x) ◆[小题查验] <0,则在这个区间内，函数y=∫(x)单调 1.如图所示是函数f(x)的导 递减； 函数(x)的图象，则下列 (3)若在某个区间内，f(x)≥0且只在有限个点 为0，则在这个区间内，函数y=f(x)单调 判断中正确的是() 递增； A.函数f(x)在区间（一3,0） (4)若在某个区间内，f(x)≤0且只在有限个点 上是减函数 为0，则在这个区间内，函数y=f(x)单调 B.函数f(x)在区间（一3,2）上是减函数 递减 C.函数f(x)在区间(0,2)上是减函数 2.求函数单调区间的步骤 D.函数f(x)在区间（一3,2）上是单调函数 (1)求定义域. 2.(2025·莆田期末)函数f(x)=(x一3)e的单 (2)求导 调增区间是 ( (3)由导数大于0求单调递增区间：由导数小于0 A.(-∞，2) B.(0,3) 求单调递减区间. C.(1,4) D.(2,十) ·重要结论 3.(BSD选择性必修第二册P5练习T2改编)已 1.f'(x)>0(或f(x)<0)是f(x)在(a,b)内单 知定义在区间（一π，π）上的函数f(x)=xsin .x 调递增（或递减）的充分不必要条件： 2.若f(x)可导且f(x)=0不恒成立，则f(x) 十cosx,则函数f(x)的单调递增区间是 ≥>0（或f(x)≤0）是f(x)在(a,b)内单调递增 (或递减)的充要条件. 4.f(x)是f(x)在区间[a,b们的导函数，则“在区 自主诊断查验 间(a,b)内f(x)>0”是“f(x)在该区间内单调 ◆[思考辨析] 递增”的 条件 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括 5.(忽视端点取等号致误)若y=x十4（a>0)在 号里打“/”，错误的打“×” [2,十o)上单调递增，则a的取值范围是 (1)f(x)>0是f(.x)为增函数的充要条件. 56 主题二第三章导数及其应用 跃升>关键能力 层级突破素养提升 题型1〔 利用导数求函数的单调区间 题型2〔利用导数判断或证明函数的单调性 [典例](1)(2025·河南月考)已知f(x)=3.x2 [典例] (2025·河北张家口市模拟)已知f(x) 十6.x一6e十5，则函数f(.x)的单调减区间为 ( ux-h)+2a∈R讨论f)的单 A.(1,+∞) B.(In 3,+) 调性。 C.(-o∞，ln3) D.(-oo,十o∞) [尝试解答] 2)函数f(x)=sinx一x·cosx十2x2的递 增区间为 ( A.(-∞，0) B.(-1,1) C.(0,+o∞) D.(-1,+o∞) [尝试解答] 方法指导 方法指导 导数法证明函数f(x)在(a,b)内的单调性的步骤 利用导数求函数单调区间的方法 (1)求f(x): (1)当导函数不等式可解时，解不等式f(.x) (2)确认f(x)在(a,b)的符号； >0或f(x)<0求出单调区间. (3)下结论：f(x)>0时为增函数；f(x)<0 (2)当方程f(x)=0可解时，解出方程的实 时为减函数 根，依照实根把函数的定义域划分为几个 区间，确定各区间f(x)的符号，从而确定 易错警示 单调区间. 研究含参数函数的单调性时，需注意依据参 (3)若导函数对应的方程、不等式都不可解， 数取值对不等式解集的影响进行分类讨论。 根据∫(x)结构特征，利用图象与性质确 跟踪训练 定f(x)的符号，从而确定单调区间. 提醒：若所求函数的单调区间不止一个，这 讨论函数x)=ln(x+1)-4。a>1D的单 些区间之间不能用并集“U”及“或”连接， 调性， 只能用“，”“和”字隔开。 !跟踪训练 1.(2025·山东济南历城二中月考)函数f(x)= x·e一er+1的递增区间是 () A.(-o∞，e) B.(1,e) C.(e,+o∞) D.(e-1,+∞) 2.函数y=rcos x一sinx在下面哪个区间上单 调递增 ( A(受，) B.(r,2π) c臣) D.(2π，3π) 57 金榜题名创新高考总复习数学北师大版 题型3 函数单调性的简单应用 (7)对于xf(x)+nf(x)>0型，构造F(x)= ◆[命题点1]比较大小或解不等式 "f(x),则F(x)="-1[xf(x)+nf(x)] (注意对x”一1的符号进行讨论)，特别地， 1.(多选)已知定义在(0，)上的函数f(x), 当n=1时，xf(x)+f(x)>0,构造F(x) f(x)是f(x)的导函数，且恒有cos rf'(x)+ =xf(x),则F(x)=xf(x)十f(x)>0. sin f(x)<0成立，则 (8)对于xf(x)-nf(x)>0(x≠0)型，构造 A.f()>2f() F(x)=f）,则F'(x)=f)-nf) x+1 (注意对x”+的符号进行讨论)，特别地， B.f)>f() 当n=1时，x(x)-f(x)>0,构造F(x》 C.f()>f(5) =f2）,则F(x)=xf(x)fx)0. x D.2f()>3f) (9)对于不等式f(x)+f(x)>0(或<0)，构 造函数F(x)=ef(x). 2.(2025·四川广元市模拟)已知定义在R上的 (10)对于不等式f(x)一f(x)>0(或<0) 偶函数f(x),其导函数为f'(x),当x>0时， 构造函数F(x)=x) 若xf(x)-2f(x)>0,f(-3)=1,则不等式 D<)x的解集是 )[命题点2】已知函数的单调性求参数的取 x 值范围 A.(-∞，-3)U(0,3) [母题] 已知函数f(x)=x3-a.x一1. B.(-3,3) (1)讨论f(x)的单调性； C.(-3,0)U(0,3) (2)若f(x)在R上为增函数，求实数a的取值 D.(-c∞，-3)U(3,十∞) 范围. [破题关键点](1)讨论子(x)的符号是正 解题技法 的还是负的； 构造法解f(x)与∫(x)共存问题 (2)转化为f(x)≥0在（一∞，十o)上恒 (1)对于不等式(x)十g'(x)>0(或<0)，构 成立 造函数F(x)=f(x)十g(x). [尝试解答] (2)对于不等式f(x)一g'(x)>0(或<0)，构 造函数F(x)=f(x)-g(x): 特别地，对于不等式∫(x)>k(或<k)( ≠0)，构造函数F(x)=f(x)一kx. (3)对于不等式∫(x)g(x)+f(x)g'(x)>0 (或<0)，构造函数F(x)=f(x)g(x). (4)对于不等式f(x)g(x)-f(x)g'(x)>0 （或<0)，构造函数F()=I巴( ggr)≠0. (5)对于不等式xf(x)十f(x)>0(或<0)， 构造函数F(x)=xf(x). (6)对于不等式xf(x)-f(.x)>0(或<0)， 构造函数F(x)=f(x≠O). 58 主题二第三章导数及其应用 [子题1]函数f(x)不变，若f(x)在区间(1，十∞) [子题4]函数f(x)不变，若f(x)在区间（一1,1） 上为增函数，求a的取值范围. 上不单调，求a的取值范围， 规律总结 已知函数单调性，求参数范围的两个方法 (1)利用集合间的包舍关系处理：y=「(x)在 (a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区 [子题2]函数f(x)不变，若f(x)在区间(-1,1) 间的子集 上为减函数，试求a的取值范围. (2)转化为不等式的恒成立问题：即“若函数 单调递增，则f(x)≥0：若函数单调递减， 则(x)≤0”来求解. 易错整示 f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈ (a,b)都有f(x)≥0且在(a,b)内的任一非 空子区间上(x)不恒为0，应注意此时式子 中的等号不能省略，否则漏解. 0跟踪训练 1.(2022·全国甲卷)已知a=影6=osc [子题3]函数f(x)不变，若f(x)的单调递减 4sin子则 区间为（一1,1），求a的值. A.c>b>a B.b>a>c C.a>b>c D.a>c>b 2.(2025·江苏昆山期末)已知f(.x)的定义域是 (0,十∞)，f(x)为f(x)的导函数，且满足 f(x)<f(x),则不等式ef(x2+x)>e-2 f(2)的解集是 A.(-2,1) B.(-∞，-2)U(1,+∞) C.(-1,2) D.(-∞，-1)U(2,+∞) 3.(2023·全国乙卷)设a∈(0,1)，若函数f(x) =a'+(1十a)r在(0，+∞)上单调递增，则a 的取值范围是 请完成课时冲关16 59命题点2 2.解析：由函数y=lnx+2,可得y=1 4.D[图为y=lnx+x2+(-a)x, 所以y=】+2x+3-a, 设切点坐标为，n1+2),可得y1,一子，则切线方程为y 因为曲线在M处的切线的领斜角0E[要，受)： (n+2)=1(x-. 所以y≥an号=5对于任意的>0证成立， 即y-之+h1+1,与公切线y-+1-h2堂合，可得n1十1 =1-ln2, 即+2zr+原-u≥3对任意x>0位成立. 可得1=号所以切线方程为y=2红十1-h2 卑a<2+士汉2十>≥2区.高且收有2红=脚=号 对于函数y=n(x十a),可得y= r千a设切点为(m,lh(m十a》, 时，等号成立，枚a≤2√2，所以a的取值范围是（一©，2√2].门 1 5.解析：易得曲线不过原点，设切点为(x。,(o十a)e),则切线斜 则yl-m一m干a 率为f(x。)=(xo十a十1)e,可得切线方程为y一(xo十a)ea (n(m+a)=2m+1一ln2, =(xo十a十1)ew(x一xo),又切线过原点，可得一(.xo十a)ea= 则 1-=2 解得 一xo(xg十a十1)eo,化荷得x后十ao一a=0(”),又初线有两 a=1. 答案：1 条，即"方程有两不等实根，由判别式△=a2十4a>0,得a< -4,或a>0, 第2节利用导数研究函数的单调性 答案：（一∞，-4）U(0,十∞) 命题点3 夯实·必备知识自主诊断查验思考辨析 [典例们(1)解析]由y=e十x,得y=e十1，所以y'lz-n= (1)×(2)×(3)J(4) +1=2, 小题查验 故曲线y=心十r在(0,1)处的切线方程为y=2r十1. 1.A[当x∈(-3,0)时，了(x)<0,则f(x)在(-3,0)上是减画 数·其他判断均不正确。] 由y-ln(r+1)+a,得y市' 1 2.D[由f(r)=(r-3)e求导得，f(r)=(r-2)e, 设切线与曲线y=ln(x十l)十a相切的切点 则当x>2时，f(x)>0,即函数f(x)=(x一3)e在(2，十o∞)上 单调递增， 为(xo,ln(x+1)+a), 故孤数f(r)=(x一3)c的单调道增区间为(2，十oo),故选D.] 由两曲线有公切线得y= 一干市=2，解得=一之，则切点 3,解析：f(x)=sinx十rcos r一sinr=rcos x, 为(-号a+in号） 今f(x)=rcos r>0,射其在区间（一r…r)上的斜集为 （-,-受)和(0，受)，即画数∫(x)的单调递增区间为 切线方程为y=2(x+号)十a+ln令=2x+1+a-ln2. (-,-受)和(0，受) 根据两切线重合，所以a-ln2=0,解得a=ln2. [答案]n2 答案：(-，-受)和(0，受） （2[解折]由y=己，则=。号设切点为(o受）别切 4,解析：一般地，由了(x)>0能推出f(x)为增画数，反之，则不一 定.如函数f(x)=x在区间（一，十∞）上单调递增，但是 线斜率=1一西 f(x)≥0，因此子(x)>0是函教f(r)为增函数的克分不必要 e 条件 则在点（0三】 了0）的切线方程为y一=D(x一x0）· 答案：充分不必要 、代入点P坐标得m二=日一)， 5解折：法-：由-1-号≥0得K-a或≥ y=r十4的单调递增区间为（一0，一4]，[a,十o0. 禁理为m后-十1，即这个方程有三个不等式实根， e 盛数在[2，十©)上单调递增， 令fx)=2-r+L,则f广x)=2+3r2 .[2,+o∞)[a,十oo),.a2.又a>0,.0<a≤2. e 令f(x)>0,则1<x<2, 法二=1一号，快题意如1一号≥0 数f（x)在（一0∞，1）上单调递减，在(1,2)上单调递增，在(2，十0∞) 在x∈[2，+∞)上恒成立，即≤x位成立， 上单调递诚， r∈[2，十∞)，.x≥4,2≤4，又a>0, 故释/<m<2,即mE(日，是) ∴.0<a≤2 答案：(0,2] [答案]D 跃升·关键能力题型1 跟踪训练 [典例](1)[解析]由题可知，f(x)=3.x十6.x一6e2十5. 1.AD[由题意知f(x)=,-(r>0),周为fx)在r= 且f(x)的定义城为R, 2Vr 则f(x)=6r+6-6e=6(r+1-e): 令g(x)=r+1-e,则g'(x)=1-e,x∈R. 和x=2(≠x2)处切线平行，所以了()=了(x2), 1 2 当r∈（一oo,0)时，(x)>0,当x∈(0，十o∞）时，g(x)<0, =1-1 所以g(x)在（一∞，0）上单调递增，g(x)在(0，十∞)上单调 ·化简得1十=之，A正确：由基本 递减， 则g(x)的最大值为g(0)一0， 1,即x 故g(.x)≤0恒成立，故f(x)≤0在R上恒成立， 所以f(x)在R上单调逃减，即函数∫(x)的单调减区间为 >256,B错误：1十2>2√x2>32,C错误；x7+>2n (-00,十00). >512,D正确，门 [答案]D 433 (2[解析])=sn一·as+之产，定义线为R,别了u 所以x∈(0，受)时 =cosr-[cosr十x·(-sinx)]十x=rsin z+r=x(sinx十1)， 令f(r)>0,剥r(sinx+1)>0,所以x>0. ()().cosf).sin. cosr 所以函数的单调道增区间为(0，十). [答案]C 因此s(x)在(0，受)上单调递减， 跟踪训练 1.D[由f(x)=x·e-e+1,得f(x)=(x+1-e)·e.令 所以()>g(琴）g(晋)>g(开) f(x)0,解得r>e一1，所以函数f(x)的递增区间是(e一1，十o).门 2.B[y'=一rsin a.经验证，4个选项中只有在（π，2x)内y>0领 成立， ))()>号) ∴y=reos r-sinx在（π，2x)上单调递增.] 题型2 [典例][解]f(r)的定义城为(0，+∞)， )径）()>)门 号 当a≤0时，x∈(0,1)时，f(x)>0,f(r)单调递增， 2.A[为造画数g)=g)=·f2四 x∈(1，+oo)时，f(x)<0,f(x)单调递减. -x(.x)-2fx 当>0时，r=(图)（√图） 当x>0时，xf(x)-2f(x)>0,故g(x)>0,g(x)在(0，十o) ①0a<2时√侣， 上单调递增， 当E0.浅x∈(W侣，+o)时f)>0)单调递增， 又f)为锅函数y子为锅函数， 所以g)=化为锅画教，在（一，0）单调递减. 当（√侣）时fx0,u)单调递浅 -3)=1.则f(3)-1,g(-3)-(3)-f3)-1,m2< @每a=2时√层-1，在0，+∞)内，fu)≥0，u)单消 32 9 1 递增 >2时：0<√层<1，当(月 或x∈(1，十∞) 当>0时，即<日g<日=g3.所以rE(03 时，f(x)>0,f(x)单调逆增， 当0时，即>号g>号-g-3所以r(-a-3》 当r(√层)时)<0，)单拥递减。 综上所述，x∈（-∞，-3)U(0,3).] 综上所述，当a≤0时，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，+o∞)上 命题点2 单调递浅： [母题][解](1)f(r)=3x2-a. ①当a≤0时，f(.r)≥0， 当0<a<2时，)在0D上单调遥增，在（√侣）上单调运 所以f(x)在（一∞，十∞）上为增函数， 或：在（√侣+）上单调提增：当u=2时，在(0，十∞)上 @当a>0时，令32-a=0,得r=士3@ 单调递增： 当r>r<-时f(r>0: 3 3 当>2时，)在(o√层)上单调递增，在（√侣，）上单 当-厘<r<时，f<0, 3 调递减，在(1，十∞)上单调递增 跟踪训练 解：f(r)的定义战为(-1，十∞)， 因先)在(，-）（要+）上为增画，在 f(x)=r-(a2-2a)] (r+1)(r+a)7 (-,)上为减画数 ①当1<a<2时，若x∈(-1，a2-2).则f(r)>0,f(x)在 综上可知，当≤0时，f(x)在（一o∞，十o)上为增函数 (-1,a2-2a)上是增函数： 若r∈(a2-2a,0),则了(x)<0,f(x)在(a-2a,0)上是减 当>0时)在(-，-）(+四)上为增通数 函数， 若x∈(0，十0∞)，则广(x)>0,f(x)在(0，十oo)上是增函数. 在(-，一)上为减画载 ②当a=2时，f(x)≥0，f(x)=0成立当且仅当x=0,f(x)在 (2)因为f(x)在（一0，十∞）上是增函数， (一1，十∞)上是增函数. 所以了(x)=3x2-a≥0在(-o,十∞)上恒成立， ③当a>2时，若x∈(-1,0)，则f(x)>0,f(x)在(-1,0)上是 即a≤3.x2对x∈（一∞，十o)恒成立. 增函数： 周为3.x2≥0，所以只需4≤0. 若r∈(0，a2-2a),则f(x)<0,f(r)在(0，a2-2a)上是减 又因为a=0时，f(x)=3x2≥0，f(x)=x3-1在(-∞，十oo)上 函数： 是增函数，所以a≤0，即a的取值范国为（一o,0们. 若x∈(a2-2u,+oo),则了(x)>0.f(x)在(a2-2a,+o∞)上是 [子题1门解：因为了(x)=32一a,且f(x)在区间(1，十∞)上为 增函数 增函数，所以了(x)>0在(1，十)上恒成立， 题型3命题点1 脚3.x2一a≥0在(1，十0∞)上恒成立， 1.CD[设gr)= 所以a≤3.2在(1，十oo)上恒成主，所以a≤3， cosr 即a的取值范围为（一∞，3]. 则g(x)=)·cosx+fx)·sinx [子题2]解：由f(x)=3.2一a≤0在（一1,1）上恒成立，得a≥ 3r2在(-1,1)上恤成立. 因为xe(0,受)时，cos()+inxf)<0, 图为-1<x<1,所以3.2<3，所以a≥3. 即当a的取值范围为[3，十∞)时，f(x)在(-1,1)上为减函数， 434 [子题3]解：由母题可知，f(x)的单调递减区间为 3.C[y'=e+x·e, （)-1,a=8 令y=0,则x=-1, r<-1时，y<0x>-1时，y>0, [子题4]解：f（x)=,x1-a.r-1..f(x)=3x2-a x=一1是函数的唯一极小值，点，即为最小值点， 由f=0,得=士a≥0. =-1时=- f(x)在区间（一1,1）上不单调， 0<3知<1，得0<a<3, 4.解析：广（x)=32十2ax十6，依题意得{)=0，解得 3 即a的取值范围为(0,3 a=4.或a。3当{a=4:,时广r)=3r2+8x-1- 16=-1116=3, 1b=-111 跟踪训练 (3r+11)(x-1),所以f(r)在r=1处取得极值： 1,A[构造画数A()=1-之2-c0s 曹{833时fp)=32-6r+3=3(r-1),此时f)在 e[0,受]，则gu)=h)=-tn =1处无极值.所以a=一3，b=3. g(x)=-1十cosx≤0，所以g(x)≤g(0)=0,因此，h(x)在 答案：一33 [0,受]上适减，所以h(号)=a-bh0)=0,即a<,芳-方 5.解析：设盒子客积为ycm,金子的高为xcm 则y=(10-2x)(16-2x)x 1 1 =4x3-52.x2+160x(0<x<5). 0言是格(0，受)时m .y=12x2-104x+160. 1 c084 令y=0,得=2或r=9(合去 4sn子_a主>1.脚b.周光>b>a.门 .ym*=6X12×2=144(cm3). 所以= 1 1 答案：144 cos4 4 跃升·关键能力题型1命题点1 2.B[令hr)=n.则N)=f-四0，所以画数A) 1.D[设切点A的坐标为(x。,f(xo)),则由条件得(xn)=a, e e 且当x<0时，f(x)>a,当r>xo时，(x)<a, 在区间(0，十∞)上单调递增，所以ef(x2+x)>2-”f(2)曰 g(x)=f(x）一ax, r2+2f2=h(r2+)>h(2)一2+x>2,解之得x< g'(r)=f(x)-a. e'+T 当x<时，g(x)=∫(x)一a>0,g(x)单调递增， 一2或x>1,肿原不等式的解集为（一∞，一2）U(1,十∞).] 当>时，g'(x)=f(r)一e<0,g(x)单调递减， 3.解析：由盈数的解析式可得f(r)-alna十(1十a)rln(1十a)≥ ∴当r=0时g(x)有极大值，且极大值为g(x)=f八a)一a 0在区问(0，十∞)上恒成立， =2, 对+aria1+a≥-a*1aa,即（生）广≥ 同理g(x)有极小值，结合题图可得g(x)的极小值点大于极大 n日。在区同0，十o四)上枚成立 值点.] 命题点2 (告）”=1≥a两a+1e,2 In a 2.B[函数f(x)的定义战为(0，十oo), 故ln(1+a)>0, f(r)=2x-8+6=2x-1)(x-3 故{nfa+l≥-na脚{a(a+lD≥1： 令了(x)=0,解得x=1或x=3,故 \0<a<1, (0,1) (1.3) 3 (3,+o∞) 5,1<u<1, 2 了(x) >0 =0 <0 =0 >0 结合题意可得实款a的取位花国足[，） f()单调递增极大值单调递诚极小值单调通增 答[ 所以f(x)的极大值为f(1)=一6.门 命题点3 第3节利用导数研究函数的极值、最值 8.解：(1)/八x)的定义战为(0，十eo),且广(x)=】 夯实·必备知识必备知识掌握 设初点坐标为(，lnx0), 1.(1)都小于极大值点极大值(2)都大于极小值点 极小值 则初线方程为y一名十n。-1 2.(3)左正右负左负右正 把点P(0,一1)代入切线方程，得lnx0=0,0=1. 3.(1)极值(2)各极值函数值f(a),f(b) .过点P(0,一1)的切线方程为y=x一1. 4.(1)最优化 (2)因为g(.x)=f(x)-m.x+"=lnx-mr十m(.x>0) 自主诊断查验思考辨析 (1)×(2)√(3)×(4)×(5)/(6)× 所以g(x)=1 -n=一m2-m。一m产2一T十m 小题查验 1.C[f(r)=x-2x十3， 令h(x)=mx2一x十m, 由f(x)=4x3-4.x=4x(x+1)(x-1)=0,得 要使g(x)存在两个极值点1,2， x=0或x=1或x=一1. 则方程m2一x十m=0有两个不相等的正数根g: 又当x<一1时，(x)<0,当一1<r<0时，f(r)>0,当0<r h(0)>0 <1时，f(x)<0,当>1时，f(x)>0, .r=0,1,一1都是f(r)的极值点，门 故只需满足2m 2.A[由题意知只有在x=一1处f(一1)=0，且其两侧导数符号 可，解得0<m<号 为左负右正，] ()0 435