第1节 导数的概念及其几何意义、导数的运算-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

金榜题名创新高考总复习数学北师大版 第三章导数及其应用 第1节导数的概念及其几何意义、导数的运算 ★[课程标准] 1.了解导数概念的实际背景. 2.通过函数图象直观理解导数的几何意义： 3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并了解复合函数求导 法则，能求简单复合函数（仅限于形如y=f(a.x十b)的复合函数）的导数. 夯实>必备知识 教材夯实强基固本 必备知识掌握 续表 1.函数y=f(x)在x=xo处的导数 函数 导函数 (1)定义：设函数y=f(x),当自变量x从xo变到 时，函数值从f(x)变到f(x1),函数值y关于x y'= y=logax(a>0,a≠1) 的平均变化案为y=f)一) 特别地(lnx)'= △x x1一0 y=sin x y'= fo+△)一fo）.当x趋于x0,即△x趋 △x y=cos y'= 于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值， y=tan x y'= 那么这个值就是函数y=f(x)在点x。的瞬 时变化率.在数学中，称瞬时变化率为函数 4.导数的运算法则 y=f(x)在点x0处的导数.通常用符号 若f(x),g'(x)存在，则有： f)表示，记作()=mf)-f (1)[f(x)±g(x)]' 1一T0 (2)[f(x)·g(x)]Y= =-limfo+△)-f() △r (3)「f巴'=fg）fxgm(gx≠0. Lg()] g2(x) (2)几何意义函数y=f(x)在xo处的导数 5.复合函数的导数 (xo),是曲线y=f(x)在点(xo·f(xo))处 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=p(x)= 的 ax十b,如果给定x的一个值，就得到了u的 2.函数y=f(x)的导函数 一般地，如果一个函数f(x)在区间(a,b)上的 值，进而确定了y的值，那么y可以表示成 每一点x处都有导数f'(x)=lim ,称这个函数为函数y=f(u)和u= 那么f(x)是关于x的函数，称f(x)为y= g(x)的 ,记作 ,其中“为中 f(x)的导函数，也简称为导数.有时也将导数 间变量.复合函数y=f(p(x)对x的导数为 记作y'. yr'=[f(g(x)]'=f(u)e'(x）.其中u=g(x). 3.基本初等函数的导数公式 …重要结论· 函数 导函数 1.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇 y=c(c是常数) y'- 函数，周期函数的导数还是周期函数 y=x(a是实数) y'= 2.函数y=f(x)的导数广(x)反映了函数f(x) 的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方 y'= y=a'(a>0,a≠1) 向，其大小If(x)反映了变化的快慢，|f(x) 特别地(er)'= 越大，曲线在这点处的切线越“陡” 52 主题二第三章导数及其应用 自主诊断查验 2.(2025·吉林阶段练习)已 ◆[思考辨析] 知函数f(x)的部分图象如 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括 图所示，f(x)为f(x)的 号里打“/”，错误的打“×” 导函数，则 () 0 (1)y'=∫(x)在点x=xo处的函数值就是函 A.f(1)-f(0)>f(1)> 数y=f(x)在点x=xo处的导数值. ( f(0) (2)求f(xo)时，可先求f(xo)再求f(x0). B.f(1)>f(0)>f(1)-f(0) ( ) C.f(0)>f(1)-f(0)>f(1) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公 D.f(1)>f(1)-f(0)>f(0) 共点。 3.已知函数f(x)=x(19十lnx),若f(xo)= (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线 20,则x0 的切线. A.e2 B.1 (5)若f(x)=f(a)x2+lnx(a>0),则f(x) C.In 2 D.e =2xf(a)+1 4.(多选)下列求导数运算正确的有 ( ◆[小题查验] A.(sin r)'=cos a R(= 1.一质点运动的方程为s=5一3t2,若该质点在 时间段[1,1+△1]内相应的平均速度为一3△1 C.(logs r)'= 1 3In c D.(In )'=I 一6，则该质点在t=1时的瞬时速度是() 5.(忽视切点的位置致误)已知函数f(x)=2x3 A.-3 B.3 一3x,过点M(0,32)作函数f(x)的切线，则切 C.6 D.-6 线方程为 跃升>关键能力 层级突破素养提升 题后反思 题型1 导数的概念 根据导数的定义，求函数y=f(x)在x=xo 1.已知函数f(x)=2lnx+8x, 处导数的步骤 则1imf1+2△x)-f1)的值为 +0 △x (1)求函数值的增量△y=f(xo+△x)一f(xo): A.-20 B.-10 C.10 D.20 (2)求平均变化率Ay= f(xo十△x)-f(xo) △x △ 2.用导数的定义求函数y= 在=1处 (3)计算导数∫(xo)=limAy -0△.x 的导数 题型2 导数的计算 1.已知f(x)=x(2024+lnx),若f(xo)= 2025,则.xo等于 A.e2 B.1 C.In 2 D.e 2.(2025·湖北武汉模拟)已知函数f(x)= f(0)e2x-e-x,则f(0)= 3.求下列函数的导数， (1)y=x2sin (2)y-+ (3)y=c0s e 53 金榜题名创新高考总复习数学北师大版 (4)y=zsin(2x+)cos(2r+) 方法指导 1.已知切点A(xo,f(xo),求切线方程的步骤 (5)y=ln(2.x-5). (1)求斜率k,即求该点处的导数值：k=f(x0): (2)求切线方程，即点斜式对应的直线方程： y-f(zo)=f(xo)(x-zo). 2.求曲线过点P的切线方程的方法 (1)当点P(xo,yo)是切点时，切线方程为y yo=f(xo)·(x-x0. (2)当点P(x0,yo)不是切点时，可分以下几 步完成： 第一步：设出切点坐标P(x1,f(x1); 第二步：写出过点P(x1,f(x1)的切线 方程y-f(x1)=f(x1)(x-x1) 第三步：将点P的坐标(x0,yo)代入切线 方法指导 方程求出x1; 函数求导的遵循原则 第四步：将x1的值代入方程y一f(x1) (1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变 f(x1)(x一x1)可得过点P(x0,yo)的切 形对函数进行化简，然后求导，这样可以 线方程 减少运算量，提高运算速度，减少差错. 易错警示 (2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形 式，但在求导前利用代数或三角恒等式等 求切线方程的“在”“过”两重天 变形将函数先化筒，然后进行求导，有时 求曲线的切线间题时，要明确所运算的对象 可以避免使用商的求导法则，减少运 (切线)涉及的点是“在”还是“过”，然后利用 算量. 求切线方程的方法进行求解. (3)复合函数的求导，要正确分析函数的复合 (1)“在”曲线上一点处的切线问题，先对函数 层次，通过设中问变量，确定复合过程，然 求导，代入点的横坐标得到斜率， 后求导。 (2)“过”曲线上一点的切线问题，此时该点未 题型3 导数的几何意义及应用 必是切点，故应先设切点，求切点坐标。 [命题点1]求切线方程 ◆[命题点2]求参数的值（范围） 4.(2025·湖南模拟)已知P是曲线C:y=lnx 1.(2024·全国甲卷)设函数f(x)= e+2sin x 1+x2 十x2+(3-a)x上的一动点，曲线C在P点 则曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标 轴所围成的三角形的面积为 ( 处的切线的倾斜角为0，若≤<，则实数a A.6 B C.2 n号 的取值范围是 A.[2√3,0) B.[2√2,0) 2.已知曲线y=}上一点P(2,),则过点P C.(-∞，2√3] D.(-o∞，22] 的切线方程为 5.(2022·新高考I卷)若曲线y=(x十a)e有 3.(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y=lnx过坐标原 两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 点的两条切线的方程为 54 主题二第三章导数及其应用 解题技法 解题技法 利用导数的几何意义求参数的基本方法 (1)处理与切线有关的参数问题，关键是根据 利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等 曲线、切线、切点的三个关系列出参数的 得到关于参数的方程（组）或者参数满足的不 方程： 等式（组），进而求出参数的值或取值范围. ①切点处的导数是切线的斜率；②切点在 ●[命题点3]两曲线的公切线 切线上：③切点在曲线上. [典例](1)(2024·新课标I卷)若曲线y=e (2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P处 十x在点(0，l)处的切线也是曲线y=ln(x十1) 的切线”：在“点P处的切线”，说明点P为 十a的切线，则a (2)(2025·河北模拟)若过点P(1,m)可以作 切点，点P既在曲线上，又在切线上；“过 点P处的切线”，说明点P不一定是切点， 三条直线与曲线C:y=工相切，则m的取值范 点P一定在切线上，不一定在曲线上. 围为 ( (3)求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条 A(,3) B(o,) 曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使 思路更清晰，一般是把两条曲线分开考 C.(-∞，0) D(日) 虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再 [尝试解答] 分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物 线相切可用判别式法， ①跟踪训练 1.(多选)已知函数f(x)=√E-lnx,若f(x)在 x=x1和x=x2(x1≠x2)处切线平行，则 A.1十1=1 Wx1√x2 2 B.x1.x2<128 C.x1十x2<32 D.x+x>512 2.(2025·南宁月考)已知曲线y=1nx十2与 y=ln(x十a)的公切线为y=kx十1一n2,则 实数a= 请完成课时冲关15 552e[由已如hg十8有膝释8-2.ha+a)- 题型2 21n(1+a), 1.Bf（x)=2024+1nr+x·↓=2025+1nx (1+a)2=3+a, 由f(.x0)=2025. 因为a>0,故解得a=1, 所以2025十1nx0=2025, 设t天后开始失去全部新鲜度，则mln(t十1)=1，义mln(1十1) 则lnu=0,解得x。=1.故选B.] =0,4, 2.解析：由函数f(x)=f(0)e-er求导，得f(r)=2f(0)e 所a-点，2h+1D-2-h32,u+1-321+1 +e,当x=0时，f(0)■2f(0)+1,解得F(0)=一1，因此， f(x)=-e-e,所以f(0)=一2. =32=42=4×1.414=5.656,1=4.656≈4.7.] 答案：一2 第三章导数及其应用 3.解：(1)y'=(x2)'sinx十x2(sinx)'=2 rsin x+cos r. 第1节导数的概念及其几何意义、导数的运算 ew-(r+广-n+(/-是 夯实·必备知识必备知识掌握 ③y=(）y=orY-r+s三 (e)2 1.(2)切线的斜率 2.x+△r)-fx) (4y=xsim(2x+受)os(2r+受） △r 3.0 ax-1 a'lna e rina 1 1 =xsin(4+x)--- 2sin 4r. cos x -sin x 4.(1)f(x)±g'(x)(2)f(x)g(x)+f(x)g'(x) 六y=-zin4r-立r·4cos4r 5.x的函数复合函数y=f((r) 自主诊断查验思考辨析 sin 4r-2rcos 4.r. (1)/(2)×(3)、/(4)×(5) (5)令=2.x-5,y=ln4, 小题查验 1 .2 2 1.D[由平均速度和眸时连度的关系可知，质点在t=1时的醉时 则y=(血ww'=25·2=2n5即=2 速度为x/=1im(-3△1-6)=一6.] 题型3命题点1 2.D[由导数的几何意义可知，广(0)表示曲线y=f(x)在x=0 1.A[f(x)= 处的切线斜率， (e +2cosr)(1+)-(e +2sin r).2r (1)表示曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率， (1+x2)2 1)-02兼杀(0，/(0)，(1，(1)两点连线的斜率， 则f(0)= 1-0 (e+2cos0)(1+0)=(心+2sim0)X0-3, 由图可知，当x从0变化到1时，f(x)切线斜率越来越大， (1+0)2 所以f(1)>f(1)一f(0)>f(0),故选D.] 聊该初线方程为y-1=3.r,即y=3x十1， 3.B[/(x)=19+1nx+r.=20+inr,由f()=20,得20 令r-0.则y-1,令y-0,别x-号 +lnxo=20,则lnxa=0,解得xn=l.] 4AD[A(in=os,故正瑰：且(y=-子 ,故蜡误： 故孩切线与两坐标轴所围成的三商形面积S=号×1X Cogr/-n3故错误D,(nr)=,故正确.] 5.解析：设切点坐标为N(工，2x-3xo),则切线的斛率k=∫(xa) 2.解析：)当P为切点时，由y=(号=产，得y1== =6x8-3. 脚过，点P的切线方程的针率为4. 故切线方程为y=(6.后一3)x十32，义因为点N在切线上， 所以2x-3x0=(6后一3)江0十32，解得10=-2，所以切线方程 则所求的切线方程是一号-4(x一2 为y=21.x十32. 即12.x-3y-16=0. 答案：y=21x十32 (2)当P点不是切点时，设切点为Q(x·), 跃升·关键能力题型1 1.D[图为f八x)=2lnx+8x, 尉切线方程为y一青店=元红一， 所以f0=2+8. 国为切线过点P(2,号）：起P点的坐标代入以上切线方程，求 所以im1+2)-f①=im0+2)-f①=2r1) 得0=一1或=2（即点P,舍去），所以切点为 △r 2△x =20.] Q(-1.-号)）：即所求初线方程为3x-3y+2=0. 2,解：设fx)-L, 综上所述，过点P的切线方程为12r一3y一16=0 或3x-3y+2=0. 则Ay-f1+ar)-f)-+a 答案：12x-3y-16=0或3x一3y+2=0 3.解析：当>0时·点(1ln)(>0)上的切线为y-ln= =1-+△x_1-1+△)1++△ 上(r一1)若诚切线经过原点，则n一1=0，解得=e,此 VIFAr 1+△x(1+1+△x) -△r 时切线方程为y一 1+△x(1+1+△r) 当r<0时，点(rln(-2)(r2<0)上的切线为y-ln(一2)= △y= △r √/1+△.x(1+1+△x) (x一).若该切线经过原点， ∴lim Ay=lim- -1 1 “a△xs√/+△x(1+√1+△r) 2· 则1n(-)一1=0，解得=一e,此时切线方程为y=一吉 y-1=- 1 答案y=。y=一名 432 命题点2 2,解析：由函数y=1nx+2,可得y=】 4.D[图为y=lnx+x2+(-a)x, 所以y=】+2x+尽-a, 设切点坐标为，n1+2),可得y,一子，则切线方程为y 因为曲线在M处的切线的领斜角0E[罗，受)： a1+2)-r-. 所以y≥an号=B对于任意的>0证成立， 甲y-之+h1+1,与公切线y-+1-h2堂合，可得n1十1 =1-ln2, 即号+2x+5-a≥3对任意x>0位成立. 可得1=号所以切线方程为y=2十1一n2. a<2+宁又2红+≥2，每凰仅当2=南=号 对于函数y=n(x十a),可得y'= r干a设切点为(m,ln(m+a》, 时，等号成立，枚≤2√2，所以a的取值范围是（一©，2√2].] 1 5,解析：易得曲线不过原点，设切点为(x。,(ro十a)e'),则切线斜 则yL-m一m干a 率为f(x。)=(xo十a十1)，可得切线方程为y一(xn十a)e (ln(m+a)=2m+1一ln2, =(x。十a十1)eo(x一xo),又切线过原点，可得一(xo十a)e,= 12 解得m一一交 一xo(x十a十1)eo,化荷得x后十aro一a=0(”),又初线有两 a=1. 答案：1 条，即"方程有两不等实根，由判别式=a2十4a>0,得a< -4,或a>0, 第2节利用导数研究函数的单调性 答案：(-∞，一4)U(0,十∞) 命题点3 夯实·必备知识自主诊断查验思考辨析 [典例们(1)[解析]由y=e十x,得y=e十1，所以y'x-"= (1)×(2)×(3)J(4)/ +1=2, 小题查验 故曲线y=心十r在(0,1)处的切线方程为y=2r十1. 1.A[当x∈(-3,0)时，f(x)<0,则f(x)在(-3,0)上是减画 数·其他判断均不正确。] 1 由y=ln(x+1)十a,得y= 2.D[由f(r)=(r-3)e求导得，f(r)=(r-2)e, 设切线与曲线y=ln(x十l)十a相切的切点 则当x>2时，(x)>0,即函数f(x)=(x-3)e在(2，+o∞)上 单调递增， 为(xo,ln(xo+1)+a), 故孤数f(r)=(x一3)c的单调道增区间为(2，十oo),故选D.] 由两曲线有公切线得y= 一干=2，解得n=一之，则切点 3,解析：f(x)=sinx十rcos r一sinr=rcos, 为(-a+n号） 今∫(x)=rcos r>0,射共在区间（一r…r)上的斜集为 （-,-受)和(0，受)即画：∫(x)的单调递增区同为 切线方程为y=2(x+之)十a+n令=2x+1+a-ln2. （-,-受)和(0，受)月 根据两切线重合，所以a-ln2=0,解得a=ln2. [答案]n2 答案：(-，-受)和(0，受） （2[解折]由y=己，则=。号设切点为(o兰）则切 4,解析：一般地，由了(x)>0能推出∫(x)为增函数，反之，则不一 e 定.如数f(x）=x在区间（一，十∞）上单调递增，但是 线斜率=1一西 f(,x)≥0，因此子(x)>0是函教f(r)为增函数的充分不必要 条件 则在点（0三】 ,0】的切线方程为y一。=D(x一0）· 答案：充分不必要 代入点P坐标得m-=(1一· 5解折：法-：由了-1-号≥0得<-0或≥ 整理为m后一十！，即这个方程有三个不等式实根， y=x计的单调道增区间为(-0，-a],[u,十oo) e 盛数在[2，十∞》上单调造增， 令fx=2-r+山，则广r)=+3-2 .[2,+o∞)[a,+o∞)，.a2.又a>0,.0<a≤2. er e 令f(x)>0,则1<x<2, 法二=1一号快题意知1一号≥0 菡数f（x)在（一00,1）上单调递减，在(1,2)上单调递增，在(2，十∞) 在x∈[2，+o∞)上位成立，即a≤x位成立， 上单调递诚， x∈[2，十∞)，.x≥4，a2≤4，又a>0, 故得/<m<2,即mE(日，是) ∴.0<a≤2 答案：(0,2] [答案]D 跃升·关键能力题型1 跟踪训练 [典例](1)[解析]由题可知，f(x)=3.x2十6.x一6e十5， 1.AD[由题意知f(x)=,-(r>0)周为f)在r= 且f(x)的定义城为R, 2际 则f(x)=6r+6-6e=6(r+1-e): 和=9（≠）处切线平行，所以了(n)=(x2》,即。 令g(x)=r+1-e,则g'(x)=1-e,x∈R. 2 当r∈（一o∞，0）时，(x)>0,当x∈(0，十o∞)时，g(x)<0, 所以g(x)在（一∞，0）上单调适增，g(x)在(0，+○)上单调 三】一上他简得后十=之，A正确：由基本 递减， 则g(x)的最大值为g(0)=0, 故g(x)≤0恒成立，故f(x)≤0在R上恒成立， 所以f(x)在R上单调递减，即函数f(x)的单调减区间为 >256,B错误：1十2>2√x2>32,C错误：7+>2n (-00,十00). >512,D正确，] [答案]D 433