第8节 方程解的存在性及方程的近似解-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

主题二 第二章函 数 第8节方程解的存在性及方程的近似解 ★[课程标准] 1.理解函数的零点与方程的解的联系，理解函数零点存在定理，并能简单应用. 2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解， 夯实必备知识 教材夯实强基固本 必备知识学握 ·重要结论· 1.函数的零点 1.有关函数零点的重要结论 (1)函数的零点 (1)若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调 使得 的数xo称为方程f(x)=0 函数，则f(x)至多有一个零点. 的解，也称为函数∫(x)的 ·f(x)的 (2)连续不断的函数相邻两个零点之间的所有 零点就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的 函数值保持同号， (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值符 (2)函数零点与方程根的关系 号可能不变， 方程f(x)=0有实数根台函数y=f(x)的图 2.函数F(x)=f(x)一g(x)有零点台方程F(x) 象与 有交点台函数y=f(x)有 =0有实数根台函数y=f(x)与y=g(x)的 图象有交点， (3)零点存在定理 若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是 自主诊断查验 条连续的曲线，并且在区间端点的函数值 ◆[思考辨析] 一正一负，即 ,则在开区间(a, 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括 b)内，函数y=f(x)至少有一个 ,即 号里打“/”，错误的打“×” 在区间(a,b)内相应的方程f(x)=0 (1)函数f(x)=x2-1的零点是(-1,0)和 有一个解. (1,0). 2.二分法 (2)函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点（函数 对于一般的函数y=f(x),x∈[a,b],若函数 图象连续不断)，则一定有f(a)·f(b)<0. y=f(x)的图象是一条 的曲线， ( ,则每次取区间的中点，将区间一分 (3)函数y=2sinx-1的零点有无数多个 为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间 ( 的求方程近似解的方法称为二分法 3.二次函数y=a.x2+bx十c(a>0)的图象与零 (4)二次函数y=a.x2十bx十c(a≠0)在b- 点的关系 4ac<0时没有零点. (5)若函数f(x)在(a,b)上单调且f(a)·f(b) △=b2-4ac △>0 △=0 △<0 <0,则函数f(x)在[a,b]上有且只有一个 二次函数 零点 ( y=ax2+bx+c ◆[小题查验] (a>0)的图象 0=天 1.下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二 分法求图中函数零点的是 与x轴的交点 无交点 零点个数 2 1 0 45 金榜题名创新高考总复习数学北师大版 2.(多选)已知函数∫(x)的图象是连续不断的， C.函数f(x)的零点，即函数f(x)的图象与x 且有如下对应值表： 轴的交点 D.函数f(x)的零点，即函数f(x)的图象与x 轴的交点的横坐标 4.函数f(x)=e+x一2的零点所在的区间是 在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间有 A.(0,1) B.(1,2) A.(1,2) B.(2,3) C.(-1,0) D.(-2,-1)》 C.(5,6) D.(5,7) 3.(多选)下列说法中正确的是 5.(忽视二次项系数为零的讨论)函数f(x)= A.函数f(x)=x+1的零点为（一1,0》 a.x2一x一1有且仅有一个零点，则实数a的值 B.函数f(x)=x十1的零点为一1 为 跃升>关键能力 层级突破素养提升 题型1( 确定函数零点所在的区间 题型2 判断函数零点的个数 1.若a<b<c,则函数f(x)=(x一a)(x-b)十 g x,x>0, [典例] 已知f(x) 则函数y (x-b)(x-c)十(x-c)(x一a)的两个零点分 2lx,x≤0， 别位于区间 2f2(x)一3f(x)+1的零点个数是 A.(a,b)和(b,c)内 [尝试解答] B.(-∞，a)和(a,b)内 C.(b,c)和(c,+∞)内 D.(-∞，a)和(c,+oo)内 2.(2025·山西忻州河曲县中学校考)用二分法 求方程log4x一 =0的近似解时，所取的第 2x 方法指导 一个区间可以是 判断函数y=f(x)零点个数的常用方法 A.(0,1) B.(1,2) (1)直接法：令f(x)=0,则方程实根的个数 C.(2,3) D.(3,4) 就是函数零点的个数， 3.已知函数f(x)=logx+x-b(a>0且a≠1). (2)零点存在性定理法：判断函数在区间 当2<a<3<b<4时，函数f(x)的零点xo∈ [a,b们上是连续不断的曲线，且f(a)· (n,n十1)，n∈N+,则n= f(b)<0,再结合函数的图象与性质（如单 调性、奇偶性、周期性、对称性)可确定函 题后反思 数的零点个数 确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法 (3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交 (1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数 点个数问题（画出两个函数的图象，其交 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续， 点的个数就是函数零点的个数) 再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数 0跟踪训练 y=f(x)在区间(a,b)内必有零点. 2r+4-3,x≤0， (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象 1.已知函数f(x)= 的 2x2-7x+4-lnx,x>0, 与x轴在给定区间上是否有交点来判断， 零点个数为 46 主题二第二章函数 2.(2025·烟台市模拟)已知函数f(x)是定义在 规律总结 区间（一∞，0）U(0,+∞)上的偶函数，且当x 由函数的零点或方程的根的存在情况求参 2x-11,0<x≤2， ∈(0，十o∞)时，f(x)= 数的取值范围常用的方法 f(x-2)-1,x>2, (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数 方程f(x)十 x2=2根的个数为 的不等式，再通过解不等式确定参数 范围 A.3 B.4 (2)分离参数法：先将参数分离得a=f(x), C.5 D.6 再转化成求函数∫(x)值域问题加以 题型3 函数零点的应用 解决。 [母题] 若函数∫(x)=xlnx一a有两个零点， (3)数形结合法：先对解析式变形，再在同一 则实数a的取值范围为 平面直角坐标系中，画出函数的图象，然 [尝试解答] 后数形结合求解. 0跟踪训练 1.(2025·四川广安期末)已知函数f(x)=x2+ bx十c的两个零点分别是一1和3，函数g(x) =fm),则函数g(x)在x∈[1,3]上的值域为 ( [子题1]若母题中f(x)有且只有一个零点，则 A.[0,4] B.[-4,0] 实数a的取值范围是 C.[-4,4] D.[-1,3] [子题2]若函数变为f(x)=lnx一x一a,其他 2.(2025·全国模拟)已知函数f(x) 条件不变，则a的取值范围是 x2+2,x≤1， 若关于x的方程f(x) xln x-a,x>0, |ln(x-1)|+2,x>1, [子题3)若函数变为f(.x)= -2-2x-ax≤0， 一kx=0有且只有一个实数根，则实数k的取 函数y=f(x)有三个零点，则实数a的取值范 值范围是 围是 请完成课时冲关13 第9节 函数模型及应用 ★[课程标准] 1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具，在实际情境中，会选择合 适的函数类型刻画现实问题的变化规律。 2.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差 异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义. 夯实>必备知识 教材夯实强基固本 必备知识学握 续表 1.常见的函数模型 函数模型 函数解析式 函数模型 函数解析式 指数函数型 f(x)=ba+c(a,b,c为常数，a>0 且a≠1，b≠0) 次函数型 f(x)=a.x十b(a,b为常数，a≠0) 对数函数型 f(x)=blogax十c(a,b,c为常数，a 二次函数型 f(x)=a.x2十bx十c(a,b,c为常数， >0且a≠1，b≠0) a≠0) 幂函数型 f(.x)=a.x十b(a,b为常数，a≠0) 47法二：如图所示，过点M作OP的垂线，垂足为D. 故画数的零点在(0，号)上，即0<4<号，南1十=2，则1 <2心元 M rIn r2 +r:In x=In r2-r2 In <riIn r-rgln-(-ln<0,故C正确： = 4 对于D.由1十2≥2√，解得x1x2≤1， 由于x1≠x2,别x<1,故D错误.] 当=受时，MD=0,捧除AD选项，当=子或r=时，NMD 命题点3 4 《.B[因为函数f(x)= -r≤0， 取得最大值为号，排除B选项] ,>0, 题型3命题点1 1.B[根据题意可知f(x)= 2x十2x≤0，不等式 2 -x+2,x>0, 3 y=x y=x+u =x-1 f(x)≥x2-x-a等价于a≥x2-x 1 f(r).4 g(T)=x--f(x) -2-10 -2-3x-2r≤0. -2Y y=a 对20 1x2-2,x>0, 作出g(x)的大致图象，如图所示，义g(0)=-2,g(1)=一1，g (一1)=2，.要使不等式的解集中有且仅有1个整数，则一2≤ā <-1,则实数a的取值范国是{a一2a<-1}.] -41 命题点2 关于x的方程f(r)=r+a无实根等价于函数y=f(x)的图象 2.C[作出函数y=f(,r)与y= 与直线y-x十a无交，点， 2「的困象，如图， 设直线y-r+a与fr)-血(r>0)的切点为P(),南 当≥1时（广≤，作 12 f(x)= 寸) 1-n三，由已知有：-n-1解得。一1剩 r2 P(1,0),则切线方程为：y=r一1，由图知：函数y=f(x)的图拿 与直线y=x十a无交点时实数a的取值范图为一l<a<0,] 的图象， 由图象可知，此时解得r∈[1，十o∞)： 第8节方程解的存在性及方程的近似解 当-l<x<1时.log:+1≤安，作出画数y=logG+1D与 夯实·必备知识必备知识掌握 1.(1)f(xn)-0零点横坐标(2)x轴零点 y:的因象 (3)f(a)·f(b)<0零点至少 2.连续f(a)·f(b)<0 它们的交点坐标为0,0)(1,7)，结合国象知此时x(一1,0]. 3.(x1,0),(x2,0)(x1,0) 自主诊断查验思考辨析 所以不等式≤号r的解集为(-1.0]U01,十o).] (1)×(2)×(3)/(4)/(5)/ 小题查验 3.AB(C[函数y=e与y=lnr互为反函数，则y=e与y=lnx 1.A[根据二分法的概念可知选项A中蓝数不能用二分法求 的图象关于y=x对称. 零点，门 将y=一x十2与y=x联立，则x=1y=L. 2.BCD[由所给的函数值表知， 由直线y=一r十2分别与函数y=e和y=lnx的图象交于点 f(1)f(2)>0,f(2)f(3)<0,f(5)f(6)<0. A(1y),B(z2), f(5)f(7)<0, 作出函数图象，则A(y),B(22)的中点坐标为(11). .f(x)在区间(2,3)，(5,6)，(5,7)内至少有一个零点，] y 3.BD[根据扇数零，点的定义，可知f(x)=r十1的零点为一1.扇 Y=X 数y=f(x)的零点，脚函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐 y=-x+2 标，因此B,D正确，A,C错误.门 4,A[由题意可知：y=心，y=x一2在R内单调递增，可知f(x) A y=lnx 在R内单调递增， 且f(0)=1十0-2=-1<0，f(1)=e十1-2=e-1>0. 可知函数「(x)有且仪有一个零点，零，点所在的区间是(0,1).故 43-2-1 2入34 选A.」 5.解析：当a=0时，/八x)=一x-1,令f（x)=0得x=-1, -2 故f(x)只有一个零点为一1，当a≠0时，则△=1十4a=0 1 ∴.a= 对于A,南十=1，解得0十=2.故A正确： 2 综上有a=0我- 1 对于B.+e≥2√1·-2√-2√-2e,因为 1≠2，即等号不成立，所以十心>2e,故B正确： 答案：0或- 对于C,将y=一x+2与y=e联立可得-x十2=e,即e十x 跃升·关键能力题型1 -2=0. 1.A['a<h<c,∴.f(a)=(a-b)(a-c)>0. 设f(x)-十x一2，且函数为单调道增蓝数， f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0, “0)=1+0-2=-1<0/(安）=et+号-2=t-号 由函数零点存在性定理可知：在区间(a,b),(b,)内分别存在雾 ,点·又品数f(x)是二次函数，最多有两个零点：图此品数f(x)的 >0, 两个零点分别位于区间(a,b),(b,)内，] 429 2.B[令fr)=lgr一云，国为画数y=log=一云在(0.+o) 题型3 [母题][解析]令g(x)=xlnr, 上都是培品数，所以函数)-10g一云在0，十四)上是增函 h(x)一4，则问题可转化成函数g(x) g 与h(x)的图象有两个交点.g'(x)= -<0，e-l2---- >0所以 lnr+1,令g(x)<0,即lnt<-1. 可解得0<：<：令g(x)>0,即 0 h() 函教f)=g一云在区同1,2)上有峰一零点，所以用二分 e 1nx>-1,可解得x>1 ,所以，当0 求方程10g行三0近似解时，所取的第一个区间可以 上时，函教g)单调递减：当>时，函载g()单润递 (1,2).] e 3.解析：对于函数y=1ogx,当x y 增：由此可知当了=。时，g)=一。，在一坐标系中作出 =2时，可得y<1,当x=3 时，可得y>1,在同一坐标系 3 y=-x+b 画)h()的简图知周所示，据周可得-。<a<0, 中画出函数y=ogx·y=一x 十b的图象，判断两个函数图 象的交点的横坐标在 -3-4-3-2-1012345i [子题1门解析：由母题解析知a= 1或a≥0. (2,3)内， .画数∫(x)的零点rn∈(n,n y=log 答案：o,+oU- 十1)时，n=2 [子题2]解析：函数/(x)=lnx一x一4的零点，即为关于x的方 答案：2 程1nx一x一a一0的实根，将方程1nx一r一a=0化为方程1nx 题型2 =r十a,令y1=lnx,yg=r十a,由平数知识可知，直线为=r十a [典例]〔解析]第一步：作函数y= 与曲线y1=lnr相切时有a=一1，所以关于x的方程lnx一x f（r)的图象 a=0有两个不同的实根，实数a的取值范国是（一∞，一1）， 作出函数y=f(r)的图象. 第二步：解方程2fP(x）-3f(x)+1=0 由2f(x)-3f(x)+1=0得f(x)- 号或)= 第三步：观察y=?和y=1与y=f代)的图象文点个教 由图象知y=立与y=ú)的因象有2个交点y=1与y=八) 答案：(-00，一1) [子题3]解析：令g(z)= 的图象有3个交点. (rln r.>0. g() h(x)=a,则问题转 第四步：得出函教的零点个数 1-x2-2x,x≤0 "(x 因此函数y=2f产(x)一3f(r)十1的零点有5个. 化为g(x)与h(x)的图象有三个交点， [答案]5 g(x)图象如图. 跟踪训练 由图泉知一。<a<1 1.解析：当x≤0时，由f(x)=2+1一3 =0,得x=l0g23一4，当r>0时，由f 答案(。 yln￥ (x)=2.x2-7.x十4-lnx=0,得2x2 跟踪训练 7x十4=lnx,则x>0时，函数f(x)= 1.B[由题意得-1+3=-b,-1×3=c,解得6=一2，=-3， 2x2-7x十4一lnx零点的个数，即为 故g=卫--2=3-1-3-2. 函教y=2产-7x+4.y=lnx图象交 242-7x+4 点的个数，如图，作出函教y-22 33 由于y=x与y=一 在r1.]上*河运增， 4 7r十4，y-nx的图象， 故g(x)=x- 由图可知，两西数的图象有2个交点，脚当r>0时，函数(x)= 3-2在x∈[1,3]上单调递增， 2.x2-7x十4一nx有2个零点，棕上所迷，函数f(x)有3个 故g(x)mm=g(1)=1-3-2=一4，g(x)mx=g(3)=3-1 零点。 -2=0, 故g(x)在x∈[1,3]上的值城为[一4,0们.故选B.J 答案：3 2.解析：方程f(x)一k,r=0台f(x)一2一(kr一2)=0. 2.D[要求方程f)+8产=2根的个数，即为求f八x)与y=2 画出y=f(x)一2与y=x一2的函数图象如图所示： 专的文点小北 由题设知，在(0，十∞)上的图象如图所示： 因为直线y=kx一2过(0，一2)， .由图知：有3个交点，又由f(x)在（一o,0)U(0,十）上是偶 联立y二一2得产-k红+2=0. y=x 品数， 由△=2-8=0，得k=士2√2. '.在y轴左侧也有3个交点，故一共有6个交点.门 又过(1,1)与(0，一2)两点的直线的钟率3， 430 由图知：当直线y=kr一2过点(1,1)时，为函数y=x2与y=kx一 跟踪训练 2有两个交，点的临界点，此时k=3, 由图可知，若关于x的方程f(x)=kr有且只有一个实数根， ACD[:L1-1e=20×1g2-20×1g2=20×1g2≥0， Po Po 则实数k的取值范国为k0<k<3)U(一2√2}. 答案：(k10<k<3}U{-22 会≥1A≥所以A运瑞 第9节函数模型及应用 :h-山=20×g号>10le会> 夯实·必备知识必备知识掌握 :2>10十，所以B错误： 2.单调递增单调递增单调递增y轴x轴 自主诊断查验思考辨析 L4=20Xg=402=100,所以C正骑： Po (1)×(2)/(3)×(4)×(5)/ 小题查验 h-h=0Xe会<0-0=40.s会<2. 1,D[根据x=0.50,y=一0.99，代入计算，可以排徐A:根据r= 2.01,y=0.98,代入计算，可以排除B,C:将各数据代入函数y= :.2≤100.所以D正确.] p? 10g2x,可知满足题意，] 题型3命题点1 2,C[距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段 是直线段，途中停留时距离不变，后段加递，直线段比前段下降 1上解折：当0<号时y=-+10 113 的快。] 3,B℃[设经过n次过滤，产品达到市场要求， 1T(r-2)2+1080 =-270, 11 则品×（号）广≤d中（号）广≤动 当-2时，画数有最大值>20，所以当2<<号时，依酒 由lg号≤-g20,即mg2-g3)≤-1+g2,释n≥ 后体内每100mL.血液中的酒精含量大于20mg/100mL, 日最24 当>号时，函y=少0单润道减，合y=少=20=5.5，因 北饮酒后5.5小时体内每100mL血液中的酒特含量等于 4.解析：由题意知100=alog(2+1),∴.a=100, 20mg/100ml. .y=100log3(x十1)..当r=8时，y=100og:9=200 答案：5.5 答案：200 命题点2 5.解析：俄题意42=2+(62-22)·e,e4=号，故再经过4 2.B[由题意知，当1=0时，y=0.2,所以0.05十1=0.2，入= 分钟冷却，孩物体的温度可以冷却到22十(42一22)·e=22 0.15.所以y=0.05十0.15et≤0.1，解得e年≤号，所以-它 +20…(e0)2-22+20×-27℃. ≤一ln3,t≥12ln313.2.故该教室内的二氧化碳浓度达到回 家标准至少需要的时间为14分针，] 答案：27℃ 命题点3 跃升·关键能力题型1 3.解：(1)第一步：分别列出0<x≤40和x>40时对应的利润W 1.D[A选项：lgp=g1026>3,1gP4 当0<x≤40时，W=xR(x)-(16.x十40)=一6.x2十384x-40,当 T-220,由图易知处于因态：B选 4 项：lgp=1g128>2,T=270,由 固态 r>40时，w-rR(r)-(16x+40)--40000-16r+7360. 图易知处于液态：C选项：lg力= 3 德 第二步：列出利润W的分段函数 1g99873.999,T=300,由图易 2 液然 (-6x2十384x-40,0x≤40， 知处于园态：D选项：lgp=lg729 所以，W= >2,T-360,由图易知处于超临 气态 40000-16x+7360,7>40. 界状态，] (2)第三步：计算0<x≤40时的利润W的最大值 2.A[根据图片处理过程中图象 2002503003504007 ①当0<x≤40时，W=-6(x-32)2+6104. 上每个像煮的灰度值转换的规则 可知，相对于原图的灰度值，处理后的图象上每个像素的灰度值 所以Wx=W(32)=6104: 第四步：计算x>40时的利羽W的最大值 增加，所以困象在y=x上方.钻合选项只有A选项能够较好的 达到目的，] ②当x>40时，w=-40000 -16x+7360, x 3.解析：-)二@表示区间瑞，点连线斜本的负数， b-a 南子4000+16≥3/000×16x-160, 在[11,2]这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反 数比乙的大，因此甲金业的污水治理能力比乙金业张：①正确： 当且仅当4000-16r,即I=50∈(40，十o0)时，取等号，所以W 在2时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数 取最大值为5760， 比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强：②少正确： 第五步：得出本题的利润W的最大值 在3时刻，甲、乙两金业的污水排放量都在污水达标排效量以 综合①②，当x=32时，W取得最大值为6104万元 下，所以都已达标：③正确： 跟踪训练 甲企业在[0,4]，[4g].[] 1.C[设斌污染物排放前过滤的次数为n(n∈N+),由题意1.2X 这三段时间中，甲企业在[1,2]这段时问内，甲的韩率最小，其 相反数最大，即在[1,2]的污水治理能力强，①错误. 0.8<0.2,脚（号）广>≥6 答秦：①②③ 题型2 两边取以10为底的对最可得g(于）广≥g5, [典例][解析]设里氏震级M一8.0时释放的能量为E:,里氏 震级M=7.0时释放的能量为E2, 即ag(52）≥g2+1g3, 则1gE1=4.8十1.5×8=16.8，lgE2=4.8+1.5×7=15.3, 所以E1=1018.8,E2=105.3, 所以≥血2+g3 1-31g2 -1068-.3=105， 所以 因为g203g30.471,所以2被2*9投0 1-31g2 即2008年5月12日汶川地震释放出的能量是2024年4月3日 7,77, 我国台湾发生的地宸释放的能量的105倍，故选C. 所以n≥7.77，又n∈N,·所以nm=8,即孩污柒物排救前需要 [答案]C 过滤的次数至少为8次，] 431