第7节 函数的图象-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

主题二 第二章函数 第7节函数的图象 ★[课程标准] 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析法表示函数 2.会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式的解的问题. 3.会结合函数性质判断或选择函数的图象， 夯实，必备知识 教材夯实强基固本 必备知识学握 ·重要结论 1.利用描点法作函数的图象步骤 1.函数图象自身的轴对称 (1)确定函数的定义域； (1)f(-x)=f(x)台函数y=f(x)的图象关于 (2)化简函数解析式； y轴对称： (3)讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对 称性等)： (2)函数y=f(x)的图象关于x=a对称台 (4)列表（尤其注意特殊点，零点、最大值点、最小 f(a+x)=f(a-x)台f(x)=f(2a-x)台 值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线， f(-x)=f(2a+x); 2.利用图象变换法作函数的图象 (3)若函数y=f(x)的定义域为R,且有f(a十x) (1)平移变换 =f(b一x),则函数y=f(x)的图象关于直 y=f(x)+k 上(k>0) 移个单位 线=生对张 Jfx+a） 左移 右移 2,函数图象自身的中心对称 a(a>0) yf(x) ala>0） y=f(x-a) 个单位 下k(k>0) 个单位 (1)f(一x)=-f(.x)台函数y=f(x)的图象关 移个单位 于原点对称： (2)对称变换 (2)函数y=f(x)的图象关于(a,0)对称台 关于x轴对称 f(a+x)=-f(a-x)f(r)=-f(2a-x) ①y=f(x) y= ②y=f(x) 关于y轴对称 台f(-x)=-f(2a+x): *y= (3)函数y=f(x)的图象关于点(a,b)成中心对 ③y=f(x) 关于原点对称 y= 称台f(a+x)=2b-f(a-x)台f(x)=2b ④y=a(a>0且a≠1)关于y=x对称 y= f(2a-x). 3.两个函数图象之间的对称关系 (3)伸缩变换 (1)函数y=f(a十x)与y=f(b-x)的图象关 。>1,横坐标缩短为原来的。倍，纵坐标不变 ①y=fx 于直线x=,4对称（由a十x=b-x得对 2 0<a<1,横坐标伸长为原来的。倍，纵坐标不变 称轴方程)： y= a>1,纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变 ②y=fx) (2)函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于 0<4<1,纵坐标缩短为原来的a倍，横坐标不变 直线x=a对称： y= (4)翻转变换 (3)函数y=f(x)与y=2b一f(-x)的图象关 保留x轴上方图象 于点(0，b)对称： ①y=f(.x) 将x轴下方图象翻折上去y一 (4)函数y=f(x)与y=2b-f(2a一x)的图象 ②y=f(x) 保留y轴右边图象，并作其 y= 关于y轴对称的图象 关于点(a,b)对称 41 金榜题名创新高考总复习 数学北师大版 自主诊断查验 2.函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所 ◆[思考辨析] 得图象与曲线y=e关于y轴对称，则f(x) 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括 的解析式为 ( 号里打“√/”，错误的打“×” A.f(x)=er+l B.f(x)=er-1 (1)函数y=2的图象关于直线x=0对称 C.f(x)=e-x+l D.f(x)=e-x-l ( 3.已知f(x)=a.x2-x-c,若f(x)>0的解集为 (2)当x∈(0，+∞)时，函数y=|f(x)川与y= (-2,1),则函数y=f(-x)的大致图象是 f(x)的图象相同. () (3)函数y=f(x)与y=一f(x)的图象关于原 点对称. ( (4)若函数y=f(x)满足f(1十x)=f(1-x), 则函数f(x)的图象关于直线x=1对称. (5)将函数y=f(一x)的图象向右平移1个单 位得到函数y=f(一x一1)的图象. ( ◆[小题查验] 1.(BSD必修第一册P66思考交流T2改编)已知 图①中的图象是函数y=f(x)的图象，则图② 中的图象对应的函数可能是 4.(忽视复合函数中间变量的范 围致误)已知函数f(x)在R上 单调且其部分图象如图所示， 若不等式一2<f(x十t)<4的 图① 图② 解集为（一1,2），则实数t的值为 A.y=f(Iz) B.y=f(x) 5.若关于x的方程|x=a一x只有一个解，则实 C.y=f(-xl) D.y=-f(-x|) 数a的取值范围是 跃升，>关键能力 层级突破素养提升 题型1 作函数的图象 题后反思 分别作出下列函数的图象： 画函数图象的一般方法 (1)y=elnr; (1)直接法，当函数表达式（或变形后的表达 式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些 (2)y=|log2(x+1)|: 函数的特征直接作出。 (3)y=a(0<a<1): (2)图象变换法.若函数图象可由某个基本函 (4)y=2-1 x-1 数的图象经过平移、鼠折、对称得到，可利 用图象变换作出，但要注意变换顺序，对 不能直接找到熟悉的基本函数的要先变 形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序 对变换单位及解析式的影响。 易错警示 可先化简函数解析式，再利用图象的变换 作图. 42 主题二第二章函数 题型2 函数图象的识别 易错警示 >[命题点1]由函数解析式选图 注意联系基本函数图象的模型，当选项无法 [典例1](1)(2024·全国甲卷)函数f(x)= 排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突 -x2+(e-er)sinx在区间[-2.8,2.8]的 破口. 图象大致为 跟踪训练 1.函数f(x)=sinx十 千2的图象可能是 2.(2025·江西赣州模拟)已知函数f(x)的图象 (2)(2023·天津卷)函数f(x) 的一部分如图1，则如图2的函数图象所对应 的图象如图所示，则(x)的 的函数解析式 解析式可能为 A.f(x)=5(er-e-r) x2+2 B.f(x)= 5sin x x2+1 图 图2 C.f(z)= 5(e'+er) x2+2 A.y=f(2x-1) D.f(z)= 5cos x x2+1 C.y=f(1-2x) n.=f） [尝试解答] ●[命题点2]用函数的变化趋势及特殊值 选图 [典例2]如图，正△ABC的 中心位于点G(0,1), A(0,2),动点P从A点出 发沿△ABC的边界按逆时 方法指导 针方向运动，设旋转的角度 知式选图的策略 ∠AGP=x(0≤x≤2π)，向量OP在a=(1,0) (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置： 方向的射影为y(O为坐标原点)，则y关于x 从函数的值域，判断图象的上下位置： 的函数y=f(x)的图象是 (2)从函数的单调性（有时可借助导数判断）， 判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复： (5)从函数的特征点（与坐标轴的交点、经过 的定点、极值点等)，排除不合要求的 图象 43 金榜题名创新高考总复习数学北师大版 [尝试解答] [命题点2]求不等式的解集或判断不等式 是否成立 2.已知函数 则f(x)≤ log4(x+1),-1<x<1, 1 x的解集为 A.(-∞，0] B.(-1,0] C.(-1,0]U[1,+o∞)D.[1,+o∞) 3.(多选)(2025·山东模拟)已知直线y=一x十2 …方法总结 分别与函数y=e和y=lnx的图象交于点A 1.解决动点的函数问题思路：采用“以静观 (x1,y1),B(x2y2)则下列结论正确的是 动”，即将动点处于某些特殊的位置处考查 ( 图象的变化特征，从而作出选择 A.x1十x2=2 B.e'1十e'>2e 2.知式选图的解题思路：根据解析式结合所 给图象，灵活运用特殊值及函数的变化趋 C.x1lnx2十x2lnx<0 D.2 2 势排除错误的选项，快速选择。 ●[命题点3]求参数的取值或范围 d跟踪训练 x-1x≤0， 3.如图，圆O的半径为1，A是圆 4.已知函数f(x) 若关于x的方 上的定点，P是圆上的动点，角 In z ,x>0 x的始边为射线OA,终边为射 程f(x)=x十a无实根，则实数a的取值范 线OP,过点P作直线OA的 围为 ( ) 垂线，垂足为M,将点M到直线OP的距离表 示为x的函数f(x),则y=f(x)在[0，π]上的 A.(-0U(,1 B.(-1,0) 图象大致为 ) c.(o.) D.(0,1) 规律总结 (1)利用函数的图象研究函数的性质，一定要 注意其对应关系，如：图象的左右范围对 应定义域，上下范围对应值域，上升、下降 D 趋势对应单调性，对称性对应奇偶性。 题型3 函数图象的应用 (2)研究方程根的个数或由方程根的个数确 定参数的值（范围）：构造函数，转化为两 ◆[命题点1]研究函数的零点或方程解的 个数 函数图象的交点个数问题，在同一坐标系 1.如图，函数f(x)的图象为两 中分别作出两函数的图象，数形结合 2 条射线CA,CB组成的折 求解 线，如果不等式f(x)≥x2 (3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代 A/ x一a的解集中有且仅有1 7-10 2八￥ 数法求解，但其对应函数的图象可作出 个整数，则实数a的取值范 时，常将不等式问题转化为两函数图象的 围是 上、下关系问题，从而利用数形结合求解 A.{a|-2<a<-1} B.{a|-2≤a<-1 请完成课时冲关12 C.{a-2≤a<2} D.{aa≥-2} 44命题点4 题型2命题点1 5.B[因为f(x)在R上单调递增，且x≥0时，f(x)=e十 [典例1](1)[解析]f(一x)=一x2十(e一e)sin(一x) ln(x十1)单调递增， -2+(er-e)sin r=f(r), -2a 则需满足 2x（二1)≥0，解得-1≤a<0. 又西数定义域为[一2.8,2.8]，故接画数为偶西数，可排除 -a≤e+ln1. A、C, 即a的花图是[-1.0].故选B.] 又f1)=-1+(e-)in1>-1+(e-）sin吾=号 第7节函数的图象 1一元>一>0，故可将除D故选B 夯实·必备知识必备知识掌握 [答案]B 2.(1)f(x)-k(2)-f(r）f(-x)-f(-x)logx(a>0且 a≠1)(3)f(ar)af(x〉(4)f(r)f(|x|) (2)[解析]由图象可知，(x)图象关于y轴对称，为偶函数，故 自主诊断查验思考辨析 AB错误：当x>0时，(r)=5(c十e)恒大于0，与图象不特 (1)√(2)×(3)×(4)/(5)× x2+2 小题查验 合，故C错误， 1.C[围为题图②中的图象是在题图①的基础上，去掉函数y [答案]D (x)的图象在y轴右侧的部分，然后将y轴左侧图象翻折到y 跟踪训练 轴右侧得到的，所以题图②中的图象对应的西数可能是y 1.D[因为f(x)=sinr+ 1十g的定义战为R,又周为f(一) 2 f(-xl).] 2.D[依题意，与曲线y-e关于y轴对称的曲线是y=e,于 是f(x)相当于y=c向左平移1个单位的结果，.f(x) 2 e0=e--1. n-++g=-mr+3名 2≠-f八)，所以f(r)不是 3.C[由f八.x)>0的解集为(-2,1)， 奇函数，排除A,B项 可知函数y一f(x)的大致图象为选项D中的园象， (停)=血()+ 2 1+2 <0,所以排除 又函数y=f(x)与y=(一x)的图象关于y轴对称，可得出y f(一x)图象为C选项，故选C.] C项，] 4.解析：由题中图象可知不等式一2<f(x十t)<4: 即为f(3)<f(r+1)<f(0),故x十t∈(0,3)， 2.C[y=f(r) ·y=f(1-x) 即不等式的解集为（一1,3一1），依题意可得1=1 y=f(1一2x) 答案：1 5.解析：由题意a=x+x, y-a y /y=x 令y=x+={0r<0, f2x.x≥0， 图象如图所示，故要使a=|x十x只有一解 0 则a>0. 答案：(0，十∞) 跃升·关键能力题型1 解：(1)函数的定义城为{xx>0》, 且y=ehr=x(x>0), .其图象如图(1)所示 ①关于y轴对称②向右平移1个单位③纵坐标不变，横坐标变为 原来的一半，] 命题点2 012x [典例2][解析]设BC边与y轴交点 -1 为，点M,由已知可得GM=0.5,因而可 图1) 图2) 得AM=1,5,由此正三角形的边长为 (2)将函数y一10g2x的图象向左平移一个单住，再将x轴下方的 3 部分沿x轴斛折上去，即可得到函数y=log2(x十1)川的图象， 如图(2)所示. √3，连接BG,可得tan∠BGM= ax≥0 (3)y 厅，即∠BGM=吾，对∠BGA=号，由周可知当1 言时，期 “只考作出0<a<1时函数y=a(u≥0)和y=(合）广(r<0) 影y取到最小值，其大小为- 2 ,由此可静除A,B选项：又当点 的图象，合起来即得函数y=a(0<a<1)的图象.如图(3) 所示， P从点B向点M运动时，x变化相同的值，此时射影长的变化变 小，即图象趋于平缓，由此可捧除D [答案]C 跟踪训练 3.C[法一：由题图：当x=受时，0PL0A,此时/)=0，排降 -2-10123x A,D项：选项当r∈(0，芝)时，OM=cosr,设点M到直线OP 图(3) 图(4) 1 (4)”y=2十与故函数图象可由y= 子的图泉向右平移1个 的矩高为d,剥品=n,中d=0M6nr=sinros,fd 单位，再向上平移2个单位而得，如图(4)所示， =sin xcos 之sin2x≤2，排徐B选项. 428 法二：如图所示，过点M作OP的垂线，垂足为D. 故画数的零点在(0.号)上：即0<4<号，南1十=2，则1 <<2 M rIn r2 +r:In x=In rz-r2 In <lng-ln-(1-ln<0,故C正确： 3 = 4 对于D,由x1十2≥2√，解得x1x2≤1， 由于x1≠，则x2<1,故D错误.] 当=受时，MD=0,将除A.D选项，当=子或r=时，MD 命题点3 取得最大值为号，排除B遮项] 《.B[因为函数f(x)= ,>0, 题型3命题点1 1.B[根据题意可知f(x)= /2x十2x≤<0，不等式 2 -x+2,x>0, 3 =y=x+ =x-】 f(x)>x2-x-a等价于a≥x2-x 1 f(r).4 g(T)=x-r-f(x) -2-10 2 -2 y=a 作出g(x)的大致图象，如图所示，又g(0=一2，g(1)=一1，g (一1)=2，.要使不等式的解集中有且仅有1个整数，则一2≤ā <一1，则实数a的取值范国是{a一2a<-1}.] -41 命题点2 关于x的方程f(r)=r+a无实根等价于品数y=f(x)的图象 2.C[作出函数y=f(,r)与y= 与直线y一x十4无交，点， 2不的困象，如图， 设直线y-r+a与fr)-血(r>0)的切点为P(,),南 当≥1时（厂≤，作 y=7 1-2 f(.x)= yf() -n三，由已知有：n一1.解得。一1期 出画数y一（）广与y= P(1,0),则切线方程为：y=r一1，由图知：函数y=f(x)的图拿 与直线y=x十a无交点时实数a的取值范图为一l<a<0,] 的图象， 由图象可知，此时解得r∈[1，十∞)： 第8节方程解的存在性及方程的近似解 当-l<<1时，log+1≤安，作出画数y=log+D与 夯实·必备知识必备知识掌握 1.(1)f(xn)-0零点横坐标(2)r轴零点 y=合的图象， (3)f(a)·f(b)<0零点至少 2.连续f(a)·f(b)<0 它们的交点坐标为(0,0)(1,7)，结合国象知此时x(一1,0]. 3.(x1,0),(x2,0)(x1,0) 自主诊断查验思考辨析 所以不等支)≤号r的解案为(-1,0]U1,+四.] (1)×(2)×(3)/(4)/(5)/ 小题查验 3.ABC[函数y=e与y=lnr互为反函数，则y=e与y=nx 1.A[根据二分法的概念可知选项A中菡数不能用二分法求 的图象关于y=x对称， 零，点.门 将y=一x十2与y=x联立，则x=1y=L. 2.BCD[由所给的函数值表知， 由直线y=一x十2分别与函数y=e和y=lnx的图象交于点 f(1)f(2)>0,f(2)f(3)<0,f(5)f(6)<0. A(1y),B(2), f(5)f(7)0, 作出函数图象，则A(1y),B(2)的中点坐标为(11). .f(x)在区间(2,3)，(5,6)，(5,7)内至少有一个零点.门 3.BD[根据扇数零，点的定义，可知f(x)=x十1的零点为一1. Y=x 数y=f(x)的零点，脚函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐 y=-x+2 标，因此B,D正确，A,C错误. 4,A[由题意可知：y=心，y=x一2在R内单调递增，可如f(x) A y=lnx 在R内单调递增， 红，) 且f(0)=1+0-2=-1<0.f(1)=e十1-2=e-1>0. 可知函数「(x)有且仗有一个零，点，零点所在的区间是(0，】).故 43-2-1 2入34 选A.」 5.解析：当a=0时，f(x)=一x-1,令f（x)=0得x=-1, -2 故f(x)只有一个零点为一1，当a≠0时，则△=1十4a=0 ∴.a= 对于A,南十=1，解得0十=2，故A正确： 2 综上有a=0或一 1 对于B,e+e≥2√·-2√+写-2√-2e,圈为 1≠2，即等号不成主，所以十心>2e,故B正确： 答案：0或-士 对于C,将y=一x+2与y=e联立可得-x+2=e,即c+r 跃升·关键能力题型1 -2=0. 1.A['a<h<c,∴.f(a)=(a-b)(a-c)>0, 设f(x)-十x一2，且函数为单调递增蓝数， fb)=(b-c)(b-a》<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0, “0)=1+0-2=-1<0f(安）=e+号-2=t-号 由函数零点存在性定理可知：在区间(，b),(b,c)内分别存在雾 ,点，又西数f(x)是二次函数，最多有两个零点：图此函数f(x)的 >0, 两个零点分别位于区间(a,b),(b,)内，] 429