第6节 对数与对数函数-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

金榜题名创新高考总复习 数学北师大版 第6节对数与对数函数 ★[课程标准] 1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数： 2.通过具体实例，了解对数函数的概念.能用描点法或借助计算工具画出对数函数的图象，探索并了 解对数函数的单调性与特殊点. 3.知道对数函数y=logx与指数函数y=a互为反函数(a>0,且a≠1). 夯实>必备知识 教材夯实强基固本 必备知识学 3.对数函数及其性质 1.对数的概念 (1)概念：给定正数a,且a≠1，指数函数y=a (1)对数的定义：一般地，如果a(a>0,且a≠1) 是定义在R上，值域为(0，十∞)的单调函数， 所以对于每一个正数y,都存在唯一确定的 的b次幂等于N,即a=N,那么数b称为 实数x,使得y=a.由函数的定义，x就是y ,记作 =b,其中a 的函数，称为以a为底的对数函数，记作x= 叫作对数的 ,N叫作 logy.习惯上，将自变量写成x,函数值写成 (2)对数与指数的关系：给定底数后，对数运算是 y,因此，一般将对数函数写成 指数运算的 ,即ab=N台b= (a>0,且a≠1)，其中a称为 (3)两种常见对数 (2)对数函数的图象与性质 对数形式 特点 记法 底数 a>1 0<a<1 y 常用对数 底数为 1 y=logx x=1 图象 1.0) 自然对数 底数为 y=log.x 2.对数的性质、换底公式与运算性质 定义域： (1)对数的性质：①log1= ;②log a= ;③aog.V= :④log ab= 值域： (a>0,且a≠1). 当x=1时，y=0,即过定点 (2)对数的运算法则 性质 当x>1时， 当x>1时， 如果a>0且a≠1，M>0,N>0,b>0,那么 当0<x<1时， 当0<x<1时， ①loga(MN)= ②log 在(0，十∞)上 在(0，十∞)上 是 是 ③logM=blog M(n∈R). 4.反函数 (3)对数的重要公式 习惯上，对数函数表示为y=logax(a>0,且a ①换底公式：一般地，若a>0,b>0,c>0,且 ≠1)，指数函数表示为y=a(a>0,且a≠1). a≠1，c≠1，则logb= 指数函数y=a是对数函数y=logx的 @logb=3a推广1ogb·lber·lo限d ,对数函数y=logx也是指数函数y=a 的 .即它们 ,它们的图象 =logad. 关于直线y=x对称. 38 主题二 第二章函 数 ·重要结论： ◆[小题查验] 对数函数的图象与底数大小的比较 1.0.5og5= 如图，作直线y=1,则该 logx logx 直线与四个函数图象交 A号 Y- 点的横坐标为相应的 c D.2 底数. 故0<c<d<1<a<b. log. 2.已知a=1og62.6=l0g3c=2则下列判断正 由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左 确的是 到右底数逐渐增大。 A.c<b<a B.b<a<c 自主诊断查验 C.a<c<b D.a<b<c ◆[思考辨析] 3.(2025·泉州质检)不等式log2(x2一1)<1的 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括 解集是 () 号里打“/”，错误的打“×” A.(-√3,3) (1)函数y=log2(x+1)是对数函数.( ) B.(1,3) (2)log2.r2=2log2x. ( C.(-5,0)U(0w3) (3)当x>1时，logx>0. ( ) D.(-√3，-1)U(1,W3) (4)对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图象 4.(BSD必修第一册P113练习T2(2)改编)函数 过定点1,0)，且过点a1)(合-1，函数图 y=l0g?1己3的定义域为 象只在第一、四象限。 ( 5.(忽视定义域的限制致误)已知y=log(2一a.x) 6)函数y=ln与y=ln1+)-ln1- 在[0,1]上是x的减函数，则a的取值范围是 的定义域相同， 跃升>关键能力 层级突破素养提升 题型1 对数的基本运算 题后反思 对数运算的一般思路 L.(2025·贵州遵义模拟)已知lg2=a,lg3=b, (1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变 则log175= ( 形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数 A.a-b+2 B.b-a+2 最简，然后正用对数运算性质化简合并. 2a 2a (2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数 C.6-2a+2 D.2a-b+2 运算，然后逆用对数的运算性质，转化为 2a 2a 同底对数真数的积、商、幂的运算。 2.(2025·内蒙古包头市月考)已知9=4y= v6,则x十y)2 题型2 对数函数的图象及应用 ( r2y2 [母题] 当0<x≤ 2时，4<logar,则a的取值 A.25 B.16 C.9 D.4 范围是 3.(2024·全国甲卷)已知a>1且1oga 1 log4 A C.(1,2) D.(√2,2) 2,则a= [破题关键点]方法一：构造函数∫(x)= 4.√g3)2-lg9+1(g27+lg8-lg个000) 4和g(x)=logx,利用这两个函数图象的 1g0.3·1g1.2 上下位置关系，求出a的取值范围；方法二： 采用排除法， 39 金榜题名创新高考总复习数学北师大版 [尝试解答] ●[命题点2]解简单的对数不等式 3.设函数f(x)=ln(1+|x)- 1+2,则使得 1 f(x)>f(2x一1)成立的x的取值范围是 A.(3 B(-,3)U1,+∞) c(g》 [子题1] 将母题变为：若不等式x2一logx<0 D.(-o,- 对x∈(0,2)恒成立，则实数a的取值范围是 3U(号+∞) ●[命题点3]与对数有关的复合函数问题 4.(2025·全国模拟)已知函数f(x)=loga.x2 [子题2] 将母题变为：当0<x≤时，反< (2a+3)x+6在区向[34]上单调递增，则 logar,则实数a的取值范围是 实数a的取值范围为 ( [子题3]将母题变为：已知函数f(x) A.< Bgasl 1og2x,x>0, 且关于x的方程f(x)+x一a= 3,x≤0， cg<a<或e>1 Dg<aI或a>1 0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是 [命题点4]利用对数函数的性质求参数 5.(2024·新课标I卷)已知函数f(x) 规律总结 -x2-2a.x-a,x<0, 在R上单调递增，则a er+ln(.x+1),x≥0 应用对数型函数的图象可求解的问题 的取值范围是 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象 A.(-∞，0] B.[-1,0] 的对数型函数，在求解其单调性（单调区 C.[-1,1] D.[0,+∞) 间)、值域（最值）、零点时，常利用数形结 规律总结 合思想. 对数函数性质及应用中应注意的问题 (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相 (1)比较对数值大小时，若底数相同，构造相 应的函数图象问题，利用数形结合法 应的对数函数，利用单调性求解；若底数 求解 不同，可以找中间量，也可以用换底公式 化成同底的对数再比较， 题型3 对数函数的性质及应用 (2)解简单的对数不等式时，先利用对数的运 ●[命题点1]比较对数值的大小 算性质化为同底数的对数值，再利用对数 L.(2024·天津卷)若a=4.2-0.3,b=4.20.3,c= 函数的单调性转化为一般不等式求解. 1og4.20.2,则a,b,c的大小关系为 (3)利用对数函数的性质，求与对数函数有关 A.a>b>c B.ba>c 的复合函数的值城和单调性问题，必须弄 C.c>a>b D.b>c>a 清三方面的问题，一是定义域，所有问题 2.(2022·全国甲卷)已知9m=10,a=10m-11, 都必须在定义域内讨论；二是底数与1的 b=8m-9,则 大小关系：三是复合函数的构成，即它是 由哪些基本初等函数复合而成的。 A.a>0>b B.a>b>0 C.b>a>0 D.b>0>a 请完成课时冲关11 40互动探究 1.解析：曲线y=2严一1与直线y=b的图象如 2)◆m=ar-+3f)=(侵). 图所示，由图象可得，如果曲线y=2一1川 由于f(x)有最大值3.所以g(x)应有最小值一1， 与直线y=b有两个公共点，附b的取值范图 a>0. 是(0,1). 因此必有3a一1=-1， 答案：(0,1) 2.解析：阁为品数y=|2r一1的单调递减区间为（一©∞，0]，所以表 解得a=1.即当f(.x)有最大值3时，da的值等于1. ≤0，即k的取值范围为（一0©，0们， (3)由指数品数的性质如， 答案：（一o∞，0] 3.解析：y=引a一1的图象是由y=a先向下平移1个单位，再将 委使=（写）的位孩为0.十o. x轴下方的图象沿x轴翻折过来得到的. 应使g(x)=ax2一4x十3的值城为R, 当4>1时，两图象只有一个交点，不合题意，如图①： 周此只能a=0.(固为若a≠0，则g(x)为二次函数.其值域不可 当0<a<1时，要使两个图象有两个交点，则0<2a<1,得到0< 能为R).故4的值为0. 跟踪训练 1.解析：0<0.999<0,9.<0.90=1,1.10.1>1.19=1， 2a .0.g0.9<0.g91.8<1.101 答案：0.90.9<0.9.8<1.10.1 2.B[由不等式21红+1川>16等价子212+1川>2，可得 2x+1>4, 0 所以2+1<-4成2红+1>4，解得K-号或>号， 3 图① 图② 综上，a的取值范周是(0,2) 所以不等式211>16的解集为（-©，一号)U 答案：(0,2) (受，十∞）故选B] 跟踪训练 3.解析：设1=（号）广>0，又y=P-8+17=1-402+1在(0， 1.B/-)==--f且 (一x)2 上单调道减，在(4，十∞)上单涧递增.令（号）广<4，得≥一2 (x)定义城(（一∞，0）U(0,十∞))关于原，点对称， 所以函数f(x)为奇函教，燕除A, 令()'>4，得<-.而函数1=（受）广在R上单调递减， 当x=-1时，f(一1)=e-1-e<0,排除D. 当x趋于十时，f(x)趋于十的，排除C,经检验B符合题意 所以画数y=(侵)产-8·（合）厂广+17的增区间为[-2，+四， 故选B. 减区间为（一00，一2）. 2.D[函数g(x)=f(x)一k有两个 答案：增区间为[一2，十∞)，减区间为（一∞，一2） 不同的零点， 3 脚为盛数y=f(x)与直线y=k有 第6节对数与对数函数 2 两个变点， 夯实·必备知识必备知识掌握 西数y=(x)图象如图所示： ---“y 1.(1)以4为底N的对数1ogN底数真数(2)逆运算 所以k∈[0,1).] -3-2-10 234 题型3命题点1 1 y=fla) log,N (3)10 Ig N e In N 2.(1)0 1 N 6 (2)log.M+log.N log.M-log,N (3)joga log b 1.B[易知幂函致y=x#在 (0,+o©)上为单调遂增函鼓，所以0.60,2>0.20,2，即a>b, 3.(1)y=logx底数(2)(0，十o∞)R(1,0)y>0y<0 又指数函教y=0.2在R上是单调递减函数，所以0.20，> y<0y>0增函数减函数 0.20.5,脚b>,于是a>b>c,故选B.] 4,反函数反函数互为反函数 命题点2 自主诊断查验思考辨析 2,A[图画数f(x)是定义在R上的奇西数，且当x≥0时，f(x)= (1)×(2)×(3)×(4)√(5)/ 4-3×2十2a, 小题查验 则f(0)=4"-3×2°+2a=2a-2=0,解得a=1,即当x≥0时， f(r》=4F-3×2'+2, 1.c[o.5=(位)s-25=2+-子故选C] 当r<0时，->0，则f(r)=-f-r)=-(4厂-3×2寸+2)， 2,C[考查比较大小问题，主要利用对数函数单调社，属于基础 ≥0=(e-号)广->周当-6 题，以e-号为中间量，构造增画教数y-1og了和y-loga,log2 r<0, x<0, 时，4-3x2+21≤-6即{2-4027+1≥0. <log5--log2/<og3.] 彩释任 ,解得x≤-2， 3.D[1g2(x2-1)<1.p1ow(.2-1)<1oge2, 则0<x2-1<2,解得x∈(-√3，-1)U(13).枚选D.] 所以不等式f(x)≤一6的解集为（一，一2].] 命题点3 3.解：1)当a=-1时fx)=(号) 5.解析：y-log(2一ar)是由y-logu,u-2-ar复合而成，又a >0, 令g(x)=-x2-4.x+3. u=2一a.x在[0,1门上是r的减函数， 由于g(x)在（一∞，一2）上单调递增，在（一2.十∞）上单调递减， 由复合函数美系知y=log应为增画数，∴a>1, 而y=(号）广在R上单调递减， 义由于r在[0,1门上时y=log(2一a.r)有席义，t=2-ar义是减 函数， 所以f(x)在（一∞.一2）上单调递减，在（一2，十○）上单调递增。 ∴x=1时，u=2-a.x取最小值是4mn=2一a>0即可，∴a<2, 即函数f(x)的单调递增区间是（一2，十©），单调递藏区间是 综上可知，所求a的取值范围是【<a<2. (-09,-2). 答案：1<a<2 426 跃升·关键能力题型1 [子题2]解析：若V反<ogx在x∈ .c5-5-站5-+2ga-] 2a 2a (0,号]或立，则0a<1且y=F的图 2.Bog/log,6og6. 象在y=o眼x困象的下方，如图所示， y=log,/logog:6. L∠1ogT' 由图象知√ 0<a1, y-堪x 4 -()=（+号）广-43+2- 即实数。的取值范国是(6) (41og6)2=16.] 答案：（信） 1 3-1 [子题3】解析：如图，在同一坐标系 中分别作出y=f(x)与y=一x十a (log2 a )2-5 log2a-6=0. 的图象，其中：表示直线在y轴上 →log2a=-1或log2a=6,又a>1, 的戴距，由图可知，当a>1时，直线 所以1og2a=6=log225,故a=25=64. y=-x十a与y=f(r)只有一个 答案：64 交点 4.解析：原式 答案：(1，十oo) V0g3)-21g3+(号1g3+31g2-2)） 题型3命题点1 1,B[因为y=4.2在R上递增，且 (g3-1)·(lg3+21g2-1) -0.30<0.3, 1-g3)·号g3+2g2-1D 所以0<4.28<4.20<4.2.1， （4g3-10·0g3+2g2-D-- 所以0<4.2-0.3<1<4.20.3，即0<a<1<6. 图为y=1og.2x在(0.+)上递增，且0<0.2<1， 答案：号 所以log.20.2<1og.21=0,即c<0, 所以b>a>c.故选B.] 题型2 [母题][解析门法一：构造函数f(x)= y 名A[由9-10，可释m=l5属10-货智>1两g9取1< 和g(r)=logr,当a>1时不满足条件， 当0<a<1时，画出两个函数在 (山)=（色2）°<1=10，所以智>品 2 f(x)1 m>lg11,所以a=10m-11>10e11-11=0. (@,]上的图象，可知，（分） 又gg10<(8告生1)-(2)广<g9,所以0号 <(2) g(x) 智中风9> 即2<1g子，期a>受所以a的取植范 所以b=8m一9<8%，9-9=0.综上，4>0>h.] 2 命题点2 国为（号）月 3.A[定义在R上的函数f(r)满足f(-x)=f(x),所以f(x)为 偶函数， 法二0<≤号1<r<2log>r>1, 当>0时，)=n1+)中存为增高载， 六0<a<1,兼膝选项C,D:取u=之=号 由f(x)>f(2r一1)结合偶函数图象的对称性可知x>2x一1， 则有什=2.l0g时合-1，显然<k眼F不成立，持除选项A.] 两边平方并化简得(-D(3x-1)<0,解得号<x<1.所以不 [答案]B 等式x)>2r-1D的解集为（号1）门 [子题1]解析：由x2-logr<0,得x2<ogx, 命题点3 ()=,f:(r)=logr, 4.C[函数y=f(x)是由y=log1与1=|(x-2)(a.r-3)|复合 而成， 要使r(0,)时，不等式<l6限r恒成立， ①当0<a<1时，因为y=log4为减函数，且函数f(r)= 只需()-产在(0，号)上的图象在)-lgr图象的下 16gur2-(2a+3)r+61在区间[子4]上单河递增，所以1 方即可，当a>1时，显然不成立： 1u-2ar一3训在[子]小上单捐地减，皓合1=一2ar-3别 当0<a<1时，如图所示，要使2<1ogx y f) 在x∈(（0，号)上板成立，需（合）< 2+3 的图象可得 2 解得号<a<是， (受) 2f(r)=logx 3 所以有（号）广<1og,解得a≥， ②当a>1时，图为y-log1为增函数，且函数f八x)-loga2 (2a+3)r+61在区同[子4]上单调递琳，所以1--2)· 中实数a的取位范国是[6）片 a一3川在[子]上单销递增，又周为此时吕<3，塔合1 (x一2)(ar一3)川的图象可知此时符合题意. 答案[后) 综上所述，实数a的取值花围为子<a<是或a>1.门 427 命题点4 题型2命题点1 5.B[因为f(x)在R上单调递增，且x≥0时，f(x)=e十 [典例1](1)[解析]f(一x)=一x2十(e一e)sin(一x) ln(x十1)单调递增， -2+(er-e)sin r=f(r), -2a 则需满足 2x（二1)≥0，解得-1≤a<0. 又西数定义域为[一2.8,2.8]，故接画数为偶西数，可排除 -a≤e+ln1. A、C, 即a的花图是[-1.0].故选B.] 又f1)=-1+(e-)in1>-1+(e-）sin吾=号 第7节函数的图象 1一元>一>0，故可将除D故选B 夯实·必备知识必备知识掌握 [答案]B 2.(1)f(x)-k(2)-f(r）f(-x)-f(-x)logx(a>0且 a≠1)(3)f(ar)af(x〉(4)f(r)f(|x|) (2)[解析]由图象可知，(x)图象关于y轴对称，为偶函数，故 自主诊断查验思考辨析 AB错误：当x>0时，(r)=5(c十e)恒大于0，与图象不特 (1)√(2)×(3)×(4)/(5)× x2+2 小题查验 合，故C错误， 1.C[围为题图②中的图象是在题图①的基础上，去掉函数y [答案]D (x)的图象在y轴右侧的部分，然后将y轴左侧图象翻折到y 跟踪训练 轴右侧得到的，所以题图②中的图象对应的西数可能是y 1.D[因为f(x)=sinr+ 1十g的定义战为R,又周为f(一) 2 f(-xl).] 2.D[依题意，与曲线y-e关于y轴对称的曲线是y=e,于 是f(x)相当于y=c向左平移1个单位的结果，.f(x) 2 e0=e--1. n-++g=-mr+3名 2≠-f八)，所以f(r)不是 3.C[由f八.x)>0的解集为(-2,1)， 奇函数，排除A,B项 可知函数y一f(x)的大致图象为选项D中的园象， (停)=血()+ 2 1+2 <0,所以排除 又函数y=f(x)与y=(一x)的图象关于y轴对称，可得出y f(一x)图象为C选项，故选C.] C项，] 4.解析：由题中图象可知不等式一2<f(x十t)<4: 即为f(3)<f(r+1)<f(0),故x十t∈(0,3)， 2.C[y=f(r) ·y=f(1-x) 即不等式的解集为（一1,3一1），依题意可得1=1 y=f(1一2x) 答案：1 5.解析：由题意a=x+x, y-a y /y=x 令y=x+={0r<0, f2x.x≥0， 图象如图所示，故要使a=|x十x只有一解 0 则a>0. 答案：(0，十∞) 跃升·关键能力题型1 解：(1)函数的定义城为{xx>0》, 且y=ehr=x(x>0), .其图象如图(1)所示 ①关于y轴对称②向右平移1个单位③纵坐标不变，横坐标变为 原来的一半，] 命题点2 012x [典例2][解析]设BC边与y轴交点 -1 为，点M,由已知可得GM=0.5,因而可 图1) 图2) 得AM=1,5,由此正三角形的边长为 (2)将函数y一10g2x的图象向左平移一个单住，再将x轴下方的 3 部分沿x轴斛折上去，即可得到函数y=log2(x十1)川的图象， 如图(2)所示. √3，连接BG,可得tan∠BGM= ax≥0 (3)y 厅，即∠BGM=吾，对∠BGA=号，由周可知当1 言时，期 “只考作出0<a<1时函数y=a(u≥0)和y=(合）广(r<0) 影y取到最小值，其大小为- 2 ,由此可静除A,B选项：又当点 的图象，合起来即得函数y=a(0<a<1)的图象.如图(3) 所示， P从点B向点M运动时，x变化相同的值，此时射影长的变化变 小，即图象趋于平缓，由此可捧除D [答案]C 跟踪训练 3.C[法一：由题图：当x=受时，0PL0A,此时/)=0，排降 -2-10123x A,D项：选项当r∈(0，芝)时，OM=cosr,设点M到直线OP 图(3) 图(4) 1 (4)”y=2十与故函数图象可由y= 子的图泉向右平移1个 的矩高为d,剥品=n,中d=0M6nr=sinros,fd 单位，再向上平移2个单位而得，如图(4)所示， =sin xcos 之sin2x≤2，排徐B选项. 428