第5节 指数与指数函数-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

金榜题名创新高考总复习数学北师大版 第5节指数与指数函数 ★[课程标准] 1.了解指数函数模型的实际背景. 2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算性质， 3.理解指数函数的概念，会画指数函数的图象. 4.理解指数函数的性质，并能简单应用. 夯实，必备知识 教材夯实强基固本 必备知识掌握 续表 1.指数幂的拓展 函数y=a'和y= (1)正分数指数幂：给定正数a和正整数m,n(n >1,且m,n ),若存在唯一的正数 ②当x=0时，a=b= ②当x=0时，a=b b,使得 ,则称6为u的骨次幂，记作 b= ,这就是正分数指数幂. ③当x>0时，a2>b> ③当x>0时，0<a <b 当k为正整数时，分数指数幂a”满足： 有时，也把a“写成 的形式。 (3)指数函数的图象和性质 (2)负分数指数幂：给定正数a和正整数m,n(n a>1 0<a<1 >1,且m,n ), = 定义：a#=1=1 3=0 a am 图 象 k01.…y-1 2.有理指数幂的运算性质：a'a=a'+s;(a)= 0 ar;(ab)r=a'b',其中a>0,b>0,r,s∈Q. (1)无理指数幂 ①定义域： 一般地，给定正数a,对于任意的无理数a,规 定：aa=1 ②值域： (2)指数幂的运算性质 ③过定点 ,即x=0时，y= 条件 指数幂的运算性质 ④当x<0时，；当④当x<0时，；当 ae·a2= 性 x>0时， x>0时， a>0,b>0, a,3为实数 (a4)3= 的 ⑤在R上是 ⑤在R上是 (ab)= 当x值趋近于正无穷 当x值趋近于正无穷 3.指数函数及其性质 大时，函数值趋近于大时，函数值趋近于 (1)概念：形如y=a(a>0且a≠1)的函数叫做 指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义 当x值趋近于负无穷 当x值趋近于负无穷 域是R,a是底数 大时，函数值趋近于大时，函数值趋近于 (2)指数函数值大小比较 函数y=a'和y= a>b>1 0<a<b<1 函数y=a与y=(日》广(a>0,且a≠1)的图 称 ①当x<0时，0<a' ①当x<0时，a>b 象关于 对称，且它们在R上单调性 b 34 主题二第二章函数 ·重要结论 (4)函数y=a+1(a>1)的值域是(0，+o∞). l.(a)"=a(n∈N+). ( a,n为奇数， (5)函数y=2·在R上为单调减函数. ( 2.Va" aa≥0，n为偶数. a|= ◆[小题查验] a,a<0, 1.(2025·珠海模拟)已知a>0且a≠1，下列等 3.指数函数的图象与底数大小的比较 式正确的是 () 如图是指数函数(1)y=a,(2)y=b,(3)y A.a-2·a3=a-6 a3-a? cr,(4)y=的图象，底数a,b,c,d与1之间 的大小关系为c>d>1>a>b. C.a6+a3=a9 D.a-=1 规律：在y轴右（左）侧图象越高（低），其底数 2.(多选)已知指数函数f(x)=a一r(a>0,且 越大， a≠1)，且f(一2)>f(一3)，则a的可能取值为 1 A.2 B.2 c D.4 3.已知0<m<n<1,则指数函数①y=mr, 自主诊断查验 ②y=的图象为 ◆[思考辨析] ②四 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括 号里打“/”，错误的打“×”： (1)a”与(a)n都等于a(n∈N+). 4.已知a=(停)，b=()c=(),则 (2)24·2=2」 ( a,b,c的大小关系是 (3)函数y=3·2r与y=2+1都不是指数 5.(忽视开偶次方规则致误)计算√(1+√2)3十 函数 V(1-2)= 跃升>关键能力 层级突破素养提升 题型1〔根式与有理数指数幂的运算（基础点） 题后反思 1.化简4a·b寺÷（- a6)的结果为 指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指 数运算. A.- 2a 3 (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的 C.-B 倒数. D.-6ab (3)底数是负数，先确定符号：底数是小数，先 2.(2025·青岛市高三月考)化简： 化成分数；底数是带分数的，先化成假 a-8ab ÷af-2×a园 分数. 4b+2Yab+a WWa·a (4)若是根式，应化为分数指数暴，尽可能用 (a>0) 幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来 3已知14“=70=4=2，则上-1+1 解答. a b 35 金榜题名 创新高考总复习数学北师大版 易错警示 方法指导… 运算结果不能同时含有根号和分数指数，也 指数函数图象可解决的两类热点问题及思路 不能既有分母又含有负指数 (1)求解指数型函数的图象与性质问题 对指数型函数的图象与性质问题（单调 题型2( 指数函数的图象及应用 性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利 [典例] (1)(2025·合肥模拟)函数f(x)= 用相应指数函数的图象，通过平移、对称变 换得到其图象，然后数形结合使问题得解， 4中一4的图象大致为 (2)求解指数型方程、不等式问题 一些指数型方程、不等式问题的求解，往 往利用相应指数型函数图象数形结合 求解. 易错整示 B 应用指数函数的图象解决指数方程、不等式 问题以及指数型函数的性质，要注意画出图 象的准确性，否则数形结合得到的可能为错 误结论。 1跟踪训练 D (2)(2025·长春市模拟)若存在正数x使 L.(2025·开封模拟)函数f(x)=e一e x2一的图 2r(x一a)<1成立，则a的取值范围是( 象大致为 A.(-∞，十∞) B.(-2,+∞) C.(0,+o∞) D.(-1,+∞) (3)(2025·衡水市模拟)若曲线|y|=2十1 与直线y=b没有公共点，则b的取值范围是 [尝试解答] |2-1,x<1, 。[互动探究] 2.已知函数f(x)= -(x-1)2,x≥1， 若函数 1.若将本例(3)中“y=2r+1”改为“y=|2r一1”， g(x)=f(x)一k有两个不同的零点，则实数k 且与直线y=b有两个公共点，则b的取值范 的取值范围是 围是 A.(-∞，0] B.(0,1] 2.若将本例(3)改为：函数y=|2r一1|在 C.(-1,0] D.[0,1) (一∞，k]上单调递减，则k的取值范围是 题型3 指数函数的性质及应用 P[命题点1] 比较指数式的大小 3.若将本例(3)改为：直线y=2a与函数y= 1.(2025·宝鸡模拟)设a=0.60.2,b=0.20.2, |a'一1(a>0且a≠1)的图象有两个公共点， c=0.20.6,则a,b,c的大小关系是 A.u>c>b B.a>b>c 则a的取值范围是 C.c>a>b D.b>c>a 36 主题二第二章函数 [命题点2]简单的指数方程或不等式的 规律总结 应用 2.(2025·全国模拟)已知函数f(x)是定义在R 指数函数的性质及应用问题解题策略 上的奇函数，当x≥0时，f(x)=4r一3×2x+ (1)比较大小问题.常利用指数函数的单调性 2a.则关于x的不等式f(x)≤一6的解集为 及中间值(0或1)法. ( (2)简单的指数方程或不等式的求解问题.解 A.(-∞，-2] B.(-∞，-1] 决此类问题应利用指数函数的单调性，要 C.[-2,0)U(0,2) 特别注意底数a的取值范围，并在必要时 D.[-2,0)U(2,+c∞) 进行分类讨论. ◆[命题点3]探究指数型函数的性质 (3)解决指数函数的综合问题时，要把指数函 3已知函数)=（侵）" -4.r十3 数的概念和性质同函数的其他性质（如奇 (1)若a=一1，求f(x)的单调区间： 偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底 (2)若f(x)有最大值3，求a的值； 数不确定时，对底数的分类讨论， (3)若f(x)的值域是(0，十oo),求a的值. [思路导引门(1)遵循“同增异减”法则求 跟踪训练 f(x)的单调区间；(2)由于f(x)有最大值3， 1.按从小到大的顺序，可将1.10.1,0.90.9,0.90.8 所以g(x)应有最小值一1，由此可求出a的 重新排列为 值：(3)要使f(x)的值域为(0，+∞)，应使 g(x)=a.x2-4x十3的值域为R,由此可求出a 2.(2025·北京模拟)不等式22+1|>16的解 的值. 集为 A[3+∞) B(-,-2)U(侵+∞】 c.(-o,-]U[3+∞ D.(-o,-2》 3.求函数y=(侵)户-8（公）厂+17的单调区间 请完成课时冲关10 37题型3 [典例][解]令f(x)=a.r2-2(a+1)r+a-1. 2.AC[由指数画数f(x)=a=(合）广(a>0,且a≠1)，且 (1)方程有一正一负根时，f(x)对应的图象只有如图①，②两种 f(-2)>f(-3), 情况. 振搭指教高教单满性可知>1，所以0<a<1.门 3.C[由0<m<n<1,.y=m,y=m在R上单调递减，所以排 除AB选项：令x=1,m<n,C项正确，] 4解析“y=(号）广是减画数 因此f(x)=0有一正一负根等价于《 4>0, 或 Ja<0, ∴()>(g)）>(3)°，即>b>1. f(0)<0 解得 1f(0)>0, 0<a<1. xc=(2)<(受)°=1ic<b<a 所以0<a<1时，方程有一正一负根. (2)方程两根都大于1时，f(x)对应的图象只有如图③，④两种 答案：cb<d 情况. 5.解析：V(1+2)下+V(1-2)=1+2+11-√21=1+2+2 1=2√2. 答案：2√2 跃升·关键能力题型1 1.c[原式=-6a+6+-+-6b1=-g.] 因此f(x)=0两根都大于1等价于 2.解析：原式= g*-(26)灯÷。-2 (a宁)+a于·(2h宁)+(2b)2 a a>0, a0, 4>0, 4>0, (a·a)十 2(a+D>1 或{2a+1D>1. 解得a∈⑦. 一a+（a42b)X+26×2F=. (a÷·aT)于 2a. 答案：a f(1)>0 f(1)<0, 所以不存在实数，使方程两根都大于1. 3.解桥：由题设可得2=11,2+=7,2=4，则2宁+=号=2， 互动探究 “22-÷+÷=2X4=22, 解：(1)令f(x)=ax2-2(a+1)x+a-1. 当a=0时，方程变为-2x-1=0,即x=一立，特合题意： 当a≠0时，4=4(a十1)2-4a(a-1)=0, 答案：3 题型2 1 :a=-31 [典例]1)汇解析]由画数f(x)=三4，可得f(-) 所以当a=0或一号时，方程有唯一实根 （-x)3 (2)因为方程有一根大于1，一根小于1. +-44-4F=f(x), f(x）大致图象如图⑤，⑧， 所以函数f(x)为偏函数，图象关于y轴对称，排除C,D项： y 4 又由f(1)=百>0.可排徐B项，所以A符合题意.故选A [答案]A (2)[解析]第一步：将不等式2r(x- ]变形为两个基本初等昌数构成的兮】 不等式 ⑤ 不等式2r(r一a)<1可变形为x一a 所以必集满是8o或。.解释>0 a<0, <(分) 0 所以当a>0时，方程有一根大于1，一根小于1. 第二步：画出函数=（）广与y=r 第5节指数与指数函数 a的图象 夯实·必备知识必备知识掌握 在同一平面直角坐标系内作出直线y=x一a与y=(）广的图 l.(1)互素r=amaa÷=a月 am(2)互素 象，由题意，在(0，十©)上，直线有一部分在曲线的下方 2.(2)a+3a3a·9 第三步：观察图象，列出有关满足的条件 3.(2)<111111(3)R(0,+∞)(0,1)10< 观察可知，有一a<1,所以>一1， y<1y>1y>10<y<1增函数正无穷大0减函数 [答案]D 0正无穷大y轴相反 (3)[解析]曲线y=2十1与直线y=b的图象如图所示，由 自主诊断查验思考辨析 图象可得如果y川=2十1与直线y=b没有公共点，则b应满足 (1)×(2)×(3)/(4)×(5)√ 的条件是b∈[一1,1]. 小题查验 L.D[A选项，a>0且a≠1，故a2·a3=a2+3=a,A错误： y=2+1 B选项>0且a≠1，故号==，B精溪 C选项，a十a≠a9,C错误； D选项，a>0且a≠1，故a十=↓ 1 ,D正确.故选D.门 [答案][-1,1] 425 互动探究 1.解析：曲线y=2严一1与直线y=b的图象如 2)◆m=ar-+3f)=(侵). 图所示，由图象可得，如果曲线y=2一1川 由于f(x)有最大值3.所以g(x)应有最小值一1， 与直线y=b有两个公共点，附b的取值范图 a>0. 是(0,1). 因此必有3a一1=-1， 答案：(0,1) 2.解析：阁为品数y=|2r一1的单调递减区间为（一©∞，0]，所以表 解得a=1.即当f(.x)有最大值3时，da的值等于1. ≤0，即k的取值范围为（一0©，0们， (3)由指数品数的性质如， 答案：（一o∞，0] 3.解析：y=引a一1的图象是由y=a先向下平移1个单位，再将 委使=（写）的位孩为0.十o. x轴下方的图象沿x轴翻折过来得到的. 应使g(x)=ax2一4x十3的值城为R, 当4>1时，两图象只有一个交点，不合题意，如图①： 周此只能a=0.(固为若a≠0，则g(x)为二次函数.其值域不可 当0<a<1时，要使两个图象有两个交点，则0<2a<1,得到0< 能为R).故4的值为0. 跟踪训练 1.解析：0<0.999<0,9.<0.90=1,1.10.1>1.19=1， 2a .0.g0.9<0.g91.8<1.101 答案：0.90.9<0.9.8<1.10.1 2.B[由不等式21红+1川>16等价子212+1川>2，可得 2x+1>4, 0 所以2+1<-4成2红+1>4，解得K-号或>号， 3 图① 图② 综上，a的取值范周是(0,2) 所以不等式211>16的解集为（-©，一号)U 答案：(0,2) (受，十∞）故选B] 跟踪训练 3.解析：设1=（号）广>0，又y=P-8+17=1-402+1在(0， 1.B/-)==--f且 (一x)2 上单调道减，在(4，十∞)上单涧递增.令（号）广<4，得≥一2 (x)定义城(（一∞，0）U(0,十∞))关于原，点对称， 所以函数f(x)为奇函教，燕除A, 令()'>4，得<-.而函数1=（受）广在R上单调递减， 当x=-1时，f(一1)=e-1-e<0,排除D. 当x趋于十时，f(x)趋于十的，排除C,经检验B符合题意 所以画数y=(侵)产-8·（合）厂广+17的增区间为[-2，+四， 故选B. 减区间为（一00，一2）. 2.D[函数g(x)=f(x)一k有两个 答案：增区间为[一2，十∞)，减区间为（一∞，一2） 不同的零点， 3 脚为盛数y=f(x)与直线y=k有 第6节对数与对数函数 2 两个变点， 夯实·必备知识必备知识掌握 西数y=(x)图象如图所示： ---“y 1.(1)以4为底N的对数1ogN底数真数(2)逆运算 所以k∈[0,1).] -3-2-10 234 题型3命题点1 1 y=fla) log,N (3)10 Ig N e In N 2.(1)0 1 N 6 (2)log.M+log.N log.M-log,N (3)joga log b 1.B[易知幂函致y=x#在 (0,+o©)上为单调遂增函鼓，所以0.60,2>0.20,2，即a>b, 3.(1)y=logx底数(2)(0，十o∞)R(1,0)y>0y<0 又指数函教y=0.2在R上是单调递减函数，所以0.20，> y<0y>0增函数减函数 0.20.5,脚b>,于是a>b>c,故选B.] 4,反函数反函数互为反函数 命题点2 自主诊断查验思考辨析 2,A[图画数f(x)是定义在R上的奇西数，且当x≥0时，f(x)= (1)×(2)×(3)×(4)√(5)/ 4-3×2十2a, 小题查验 则f(0)=4"-3×2°+2a=2a-2=0,解得a=1,即当x≥0时， f(r》=4F-3×2'+2, 1.c[o.5=(位)s-25=2+-子故选C] 当r<0时，->0，则f(r)=-f-r)=-(4厂-3×2寸+2)， 2,C[考查比较大小问题，主要利用对数函数单调社，属于基础 ≥0=(e-号)广->周当-6 题，以e-号为中间量，构造增画教数y-1og了和y-loga,log2 r<0, x<0, 时，4-3x2+21≤-6即{2-4027+1≥0. <log5--log2/<og3.] 彩释任 ,解得x≤-2， 3.D[1g2(x2-1)<1.p1ow(.2-1)<1oge2, 则0<x2-1<2,解得x∈(-√3，-1)U(13).枚选D.] 所以不等式f(x)≤一6的解集为（一，一2].] 命题点3 3.解：1)当a=-1时fx)=(号) 5.解析：y-log(2一ar)是由y-logu,u-2-ar复合而成，又a >0, 令g(x)=-x2-4.x+3. u=2一a.x在[0,1门上是r的减函数， 由于g(x)在（一∞，一2）上单调递增，在（一2.十∞）上单调递减， 由复合函数美系知y=log应为增画数，∴a>1, 而y=(号）广在R上单调递减， 义由于r在[0,1门上时y=log(2一a.r)有席义，t=2-ar义是减 函数， 所以f(x)在（一∞.一2）上单调递减，在（一2，十○）上单调递增。 ∴x=1时，u=2-a.x取最小值是4mn=2一a>0即可，∴a<2, 即函数f(x)的单调递增区间是（一2，十©），单调递藏区间是 综上可知，所求a的取值范围是【<a<2. (-09,-2). 答案：1<a<2 426