第4节 幂函数与二次函数-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

金榜题名创新高考总复习数学北师大版 第4节幂函数与二次函数 ★[课程标准] 1.通过具体事例，了解幂函数及其图象的变化规律。 2.掌握二次函数的图象与性质（单调性、对称性、顶点、最值等）. 夯实>必备知识 教材夯实强基固本 必备知识学握 (2)二次函数的图象和性质 1.幂函数 (1)幂函数的定义 f(x）=a.x2+ f(x)=a.x2+ 解析式 一般地，形如y=x(a为常数)的函数，即底 bz+c(a>0) b.x+c(a<0) 数是自变量，指数是常数的函数称为幂函数 (2)常见的5种幂函数的图象 图象 定义域 (-∞，十0∞) (-∞，十∞) (3)常见的5种幂函数的性质 值域 函数 y=x y=t2 y=t3 y=rt y=r-I 在(-，-]上单 在 定义域 R R R {xx≠0 2a] 上单调递增： 单调性 调递减； 值域 R R [0,+o) 在 上单调 在[-+ 递增 上单调递减 奇偶性 偶 非奇非偶 奇 对称性 函数的图象关于x=一 在R 对称 上单 单调性 调递 ·重要结论 增 l.幂函数y=x“(a∈R)在第一象限内图象的画 法如下 (1)当a<0时，其图象可类似y=x一1画出： 公共点 (2)当0<a<1时，其图象可类似y=x画出； 2.二次函数 (2)当a>1时，其图象可类似y=x2画出. (1)二次函数解析式的三种形式 2.关于x的一元二次不等式恒成立的条件 一般式：f(x)= (1)“a.x2+bx十>0(a≠0)在R上恒成立”的充 顶点式：f(x)=a(x一m)2十n(a≠0)，顶点坐 标为 要条件是“a>0,且△<0” 零点式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)， (2)“a.x2+bx+c<0(a≠0)在R上恒成立”的充 x1,x2为f(x)的零点. 要条件是“a<0,且△<0” 30 主题二第二章 函数 自主诊断查验 2.函数y=xi的图象是 ◆[思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括 号里打“/”，错误的打“×” (1)函数y=2x是幂函数. ( (2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点 一定是原点， (3)当n<0时，幂函数y=x是定义域上的减 函数 (4)二次函数y=ax2+bx+c(a>0),x∈ [m,m]的最小值一定是如c一b ( Aa (5)关于x的不等式a.x2十bx十c>0恒成立的 3.已知二次函数y=a.x2+(b一1)x十c是偶函 a>0, 数，一次函数y=kx十(m一3)是奇函数，那么 充要条件是 b2-4ac<0. 函数f(.x)=b·xm,下列正确的说法是() A.定义域是[0，十∞)B.值域是[0，十o∞) ◆[小题查验】 C.是偶函数 D.是奇函数 1.若幂函数的图象经过点(2，)，则它的单调递 4.已知函数y=2x2-6x+3,x∈[-1,1]，则y 的最小值是 增区间是 5.(判定图象的位置致误)设二次函数f(x)=x2 A.(0,十∞) B.[0,+o∞) -x十a(a>0),若f(m)<0,则f(m-1) C.(-∞，十∞) D.(-o∞，0) 0(填“>”“<”或“=”) 跃升>关键能力 层级突破素养提升 题型1 幂函数的图象与性质 题后反思 1.幂函数的解析式 L.已知幂函数(x)=(m2-2m一2)·xm-1的 y=x“(a∈R),其中只有参数a,因此只需 图象不经过坐标原点，则m= 一个条件即可确定其解析式 A.-1 B.3 2.幂函数的图象特征 C.1或-3 D.-1或3 (1)在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象 2.(2025·岳阳模拟)如图， 越靠近x轴（筒记为“指大图低”），在 已知幂函数y=x4,y= (1,十∞)上，幂函数中指数越大，函数图 x,y=x在(0，十∞)上 象越远离x轴. 的图象分别是下降，急速 (2)曲线在第一象限的凹凸性：a>1时，曲线下 上升，缓慢上升，则( ) 0 凸：0<a<1时，曲线上凸<0时，曲线下凸. A.c<b<a B.a<c<b 3.幂函数的性质 C.c<a<b D.a<b<c (1)若a为偶数，则幂函数y=x(a∈R)是偶 3.(2025·北京模拟)已知函数f(x)=(m2-m一5) 函数；若a为奇数，则暴函数y=x(a∈ R)是奇函数.反之，不成立，当《是分数 ·m一5是幂函数，对任意x1,x2∈(0，十o), 时，一殷将其先化为根式，再判断奇偶性 且西≠2，满足f)-fx2) >0,若a,b∈ (2)若幂函数y=x在(0，十∞)上单调递增， x1一x2 则a>0;若在(0，十∞)上单调递减，则a<0. R,且a十b>0,则f(a)十f(b)的值 4.幂值大小的比较 A.恒大于0 B.恒小于0 结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其 C.等于0 D.无法判断 单调性进行比较， 31 金榜题名创新高考总复习 数学北师大版 题型2〔二次函数的图象与性质（多维探究） 。[引申探究] 本题条件不变，求f(x)在[一1,2]上的最 [命题点1]二次函数的图象 大值 1.已知函数y=a.x2+bx+c,如果a>b>c且 a十b十c=0,则它的图象可能是 规律总结 ●[命题点2]二次函数的单调性与最值 二次函数求最值问题，一般先用配方法化 2.(2025·山东广饶一中模拟)已知函数f(x)= 为y=a(x一m)2十n的形式，得顶点(m,n) x2-2a.x-3. 和对称轴方程x=m,结合二次函数的图象 (1)已知f(x)在[3，十∞)上单调递增，求a的 求解.常见有三种类型： (1)顶点固定，区间也固定： 取值范围： (2)顶点含参数（即顶点为动点），区间固定， (2)求f(x)在[一1,2]上的最小值. 这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内， 何时在区间之外： (3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中 的参数.讨论的目的是确定对称轴和区间 的关系，明确函数的单调性，从而确定函 数的最值. [命题点3]二次函数中恒成立问题 3.(2025·衡阳月考)已知抛物线C为二次函数 y=x一5x十5图象，直线1为一次函数y=kx +1的图象.当1<x<4时，l始终不在C的上 方.则k的取值范围是 () A.k≤25-5 B.k≥23-5 C.k≤-1 D.k≥-1 4.(2025·烟台模拟)已知函数f(x)=一x2十2.x +1,x∈[0,2]，函数g(x)=a.x-1,x∈[-1,1] 对于任意x1∈[0,2]，总存在x2∈[-1,1]，使 得g(x2)=f(x1)成立，则实数a的取值范 围是 () A.(-∞，-3] B.[3,+o∞) C.(-o∞，-3]U[3,+∞) D.(-∞，-3)U(3,+∞) 32 主题二第二章函数 规律总结 方法指导 由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 解决有关根的分布问题应注意以下几点 (1)一般有两个解题思路：一是分离参数求 (1)首先画出符合题意的草图，转化为函数 解；二是构造函数，数形结合求解 问题. (2)两种思路都是将问题归结为求函数的最 (2)结合草图考虑四个方面：①△与0的大 值，至于用哪种方法，关键是看参数是否 小；②对称轴与所给端点值的关系；③端 能分离.这两个思路的依据是：a≥f(x)恒 点的函数值与零的关系：④开口方向. 成立台a≥f(x)max,a≤f(x)恒成立台a≤ (3)写出由题意得到的不等式 f()min. (4)由得到的不等式去验证图象是否符合 题意 题型3 二次函数零点的分布问题 这类问题充分体现了函数与方程的思想， [典例] 关于x的方程a.x2-2(a+1)x+a-1 也体现了方程的根就是函数的零点，在写 =0,求a为何值时？ 不等式时要注意条件的完备性， (1)方程有一正根一负根； 。[互动探究] (2)方程两根都大于1. 本例已知条件不变，求a为何值时？ [破题关键点]构造函数f(x)=a.x2一2(a (1)方程有唯一实根： 十1)x十a一1，借助于二次函数的图象与性 (2)方程一根大于1，一根小于1. 质，列出不等式组进行求解。 [尝试解答] 请完成课时冲关9 332.A[因为画数f(x)满足f(2一x)=f(x),所以画数f(x)的图象题型2命题点1 关于直线x=1对称， 1.A[由题意，西数y=ax2+br十c, 又函数f(x)为偶函数，所以f(2一x)=f(x)=f(一x), 周为d十b十c=0,令x=1,可得y=G十b十c=0,即函数图象过点 所以函数f(x)是周期为2的西数， (1.0), 1 又g)=一的图象也关于直线r=1对称， 又由a>b>c,可得a>0,c<0,所以抛物线的开口向上，可排除 D项， 作出函数「(x)与g(x)在区间 令x=0,可得y=c<0,可排徐B,C项.门 [一3,5]上的图象，如图所示： 命题点2 由图可知，函数f(x)与g(x)的 图象在区间[一3,5]上有8个交 2.解：(1)由虽数f(x)=x2一2.x一3，可得f(x)的图象开口向上， 点，且关于直线x一1对称， 且对称轴为x=a, 1 要使得f(x)在[3，十∞)上单调递增，则满足u≤3， 所以方程fx)=-可在区 所以a的取值范围为（一，3]. 间[-3.5]上所有解的和为4×2×1=8.] (2)由函数f(x)=x2一2a.x-3,可得f(x)的图象开口向上，且对 称轴为x=a, 第4节幂函数与二次函数 当a<一1时，西数f(x)在[一1,2]上单调道增，所以f(x)的最 夯实·必备知识必备知识掌握 小值为f(-1)=2a-2: 1.(3)[0,+∞)[0，十∞){yy≠0}奇奇在(-oo,0]上 当一1a2时，函数f(x)在[一1，a]上单调递减，在[a,2]上单 单测递减，在[0，十o∞)上单湖递增在R上单调递增在[0，十o) 调递增， 上单调递增在（一o,0)和(0，+∞）上单调递减(1,1) 所以f(x)的藏小值为f(公)=一a2一3 2avr+十a≠0)(m）2[。.+e） 当a>2时，函数f(r)在[一1,2]上单调递减，所以f(,x)的最小 值为f(2)=1一4a, 综上可得，f(x)在[一1,2]上的最小值为f(x)mn 2a-2,a<-1, 自主诊断查验思考辨析 (1)×(2)V(3)×(4)×(5)× -a2-3.-1≤u≤2， 小题查验 1-4a.a>2. .D[设)-，尉2必=8=一2.即)=，它是祸函 引申探究 解：由画数f(x)=x2一2ax一3，可得f(x)的图象开口向上，且对 数，单调递增区间是（一∞，0）.] 称轴为r=a, 2.A[令f(x)=x寸，则f(-x)=(-x)+=/-r)F= 当a<一1时，函数f(x)在[一1,2]上单调道增，所以f(x)的最 大值为f(2)=1-4a: =x=f(r), 所以函数y=xT是偶函数，故排除D, 当-1<a≤号时，画数f0的最大值为f2) 由幂函数姓质可知函数y一x十在(0，十⊙)上单调递增，且当x =1-4a: >1时的图意高于y=r的函数图象，故排除B、C.故选A,] 3.D[因为二次函数y=ax2十(b-1).x十c是偶函数， 当号<a<2时：函教f)的策大值为-D 所以-(1D=06=1: =2a-2: 24 当a>2时，函数f(x)在[一1,2]上单调递减，所以f(.x)的最大 又一次品数y■k.r十(m一3)是奇函数，所以m一3■0→m-3: 值为f(-1)=2a-2. 所以f(x)=b·xm=x3,定义战，值城都为R, f(一x)=一x3=一∫(x),为奇或数.故选D.] 综上，当a≤2时，函蟹f(x)的最大值为f(2)=1-4a:当a> 4解折：画量y=22-6十3的图象的对称轴为=受>1.画 号时)的最大值为八-1)=2a-2. 数y-2x2-6r+3在[-1,1】上单调递减mim-2-6+3- 命题点3 -1. 3.C[由题可知当1<x<4时，2-5.r十5-(5x十1)≥0恒 答案：一1 成立， 5解桥：)=子-x+a固象的对称格为直线x=子，且f)> :k≤x十-5在(1,4)上恒成立， r 0,f(0)>0, 而f(m)<0,'.m∈(0,1)，.m一1<0， 又子-5>-5=-1仅=子即=2取 x .f(m-1)>0. 等号， 答案：> .k≤一L.故选C.] 跃升·关键能力题型1 4.C[因为f(x)=-(x-2)2+2,x∈[0,2] 1.A[令m一2m一2=1，解得m=3或1. 当m=3时，f(x)=x,图象经速坐标原点，不合要求， 所以-f0)-即的值接为[1,2]， 当m一一1时，f(x)一x2,图象不经过坐标原点，满足要求.故 1f（x)mx=f2)=2. 选A.] 因为对于任意∈[0,2]，总存在x2∈[-1,1]，使得g(x) 2.B[由题意站合图象可知a<0<c<1<b.故选B.] f(x1)成立， 3.A[:盛数f(x)=(m2-m-5)x"-6是暴函敦，m2-m一5 所以f(x)的值域为[1,2]是g(x)在[一1,1]上值城的子集， =1,解得m=一2或m=3. 当a>0时，g(x)在[一1,1]上为增函数，所以g(一1)g(x) ”对任意程∈(0，十∞)，且1≠2，满足）-2》 g(1),所以g(x)∈[一a-1,a一1门： 所以一a-11解得a≥3， >0, 1a-1≥2， .函数f(x)在(0，十∞)为增离数，，，m2一6>0， 当a<0时，g(x)在[一1,1门上为减函数，所以g(1)≤g(x) ,m=3(m=一2含去)， g(一1)，所以g(x)∈[a一1，一a一1]， f(x)=x3为增函数.对任意a,b∈R,且a+b>0, 所以a-11,。解得a≤-3， 则a>-b,.f(a)>f(一b)=-f(b), -d-1>≥2， '.f(a)+f()>0.] 综上，实数a的取值范围是（一∞，-3]U[3,十∞）.] 424 题型3 [典例们[解]令f(.x)=a.r2-2(a+1)x+a-1. 2.AC[由指数画教f(x)=a=(合）广(a>0,且a≠1)，且 (1)方程有一正一负根时，f(.x)对应的图象只有如图①，②两种 f(-2)>f(-3), 情况， 长搭指教汤数单洞性可知}>1，所以0<a<1.] 3.C[由0<m<n<1,.y=m,y=m在R上单调递减，所以排 除AB选项：令x=1,m<n,C项正确，] 4解析“y=(号）广是减画址 D 因此f(x)=0有一正一负根等价于{ 4>0, 或 a0, “(号)>(g)）>(3)°，即>b>1 f(0)<0 解得 1f(0)>0, 0<a<1. xc=(2)<(号)°=1ic<b<a 所以0<a<1时，方程有一正一负根。 (2)方程两根都大于1时，f(x)对应的图象只有如图③，④两种 答案：c<h<d 情况. 5,解析：V(1+2)下+V(1-2)=1+2+11-√②=1+2+2 -1=22. 答案：2√2 跃升·关键能力题型1 1.c[原式=-6a+6+-+-6ab1=-g] 2.解析：原式= a+[(a+)1-(26寸)31 因此f(x)=0两根都大于1等价于 ÷0-26 a>0. (a宁)+a于·(2h宁)+(2b)2 a<0, 4>0, 4>0, (a·a) =a. 2a+1D>1 或{2a+1D>1, 解得a∈⑦ =a+(a+-2h+)×a5×0+ (a·a于)F 2a. 2u 答案：a f(1)>0 f(1)<0, 所以不存在实数山，使方程两根都大于1. 3.解桥：由题设可得2=11,2=7,2=4，则2中-+=号=2， 互动探究 “22-+÷=2X4=22, 解：(1)令f(x)=ax2-2(a+1)x+a-1. 当a=0时，方程变为-2x-1=0,即x=一立，特合题意： 当a≠0时，4=4(a十1)2-4a(a-1)=0, 答案：3 题型2 1 :a=-31 [典例们1)汇解析]由函数f(x)=二4，可得/(-x) 所以当a=0或一号时，方程有唯一实根 （-x)3 (2)因为方程有一根大于1，一根小于1. +-44-4=f(x), f(x)大致图象如图⑤，⑧， 所以函数f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，排除C,D项： y 4 又由f1)=5>0,可排除B项，所以A符合题意.故送A [答案]A (2)[解析]第一步：将不等式2(x- 变形为两个基本初等画载构成的行》 不等式 ⑤ 不等式2r(r一a)<1可变形为x一a 所以必须满足0或。.解释>0 a<0. <() 0 所以当a>0时，方程有一根大于1，一根小于1. 第二步：画出函数y()广与y= 第5节指数与指数函数 a的图象 夯实·必备知识必备知识掌握 在同一平面直角坐标系内作出直线y=1一口与y=(合）广的图 l.(1)互素r=amua÷=a月 am(2)互素 象，由题意，在(0，十)上，真线有一部分在曲线的下方 2.(2)a+3a3a·l9 第三步：观察图象，列出有关满足的条件 3.(2)111111(3)R(0,+∞)(0,1)10< 观察可知，有一a<1,所以d>一1， y<1y>1y>10<y<1增函数正无穷大0减函数 [答案]D 0正无穷大y轴相反 (3)[解析]曲线y=2十1与直线y=b的图象如图所示，由 自主诊断查验思考辨析 图象可得如果|y川=2十1与直线y=b没有公共点，则b应满足 (1)×(2)×(3)√(4)×(5)V 的条件是b∈[一1,1]. 小题查验 1.D[A选项，a>0且a≠1，故a2·a3=a2+3=a,A错误： y=2+1 B选项>0且≠1，故号==，B精溪 C选项，a十a≠a9,C错误； D选项，a>0且a≠1，故a十= 1 ,D正确.故选D.] [答案][-1,1] 425