第2节 函数的单调性与最值-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

命题点2 自主诊断查验思考辨析 [典例1)[解析]：画数f代x)=:十L<0, (1)×(2)×(3)×(4)×(5)/(6) 12,x≥0， 小题查验 方程f(1+2)=f(2x). 1.BD[函数f(x)=一x是一次函数，在R上是减函数：函数(x) 当x<0时，2=e2十1，解得x=0,不成立： 当x≥0时，f(1十x2)=f(2x)=2,成立 =+2在R上是增面数：画数)=上在(-0,0)上是减画 .方程f(1+x2)=f(2.x)的解集是{xx≥0} 数，在(0，十∞)上是诚函数：函数f八x)=G-x于是暴品数，指数 [答案]《xx≥0) 跟踪训练 吉>0，所以高纸)在R上是增画款.] 1.B[令f(a)=t,f（f(a))-f(a)+2=0,则f(t)=t-2, 2.C[由题图可知，品数y=fx)的单调递增区间为[-3,1门.] ①1≤0时.+21=1-2，则2+1十2=0无解. ②t>0时，-2=1-2，.1=1，.f(a)=1, 3.D[画数y=2十+2对称轴为x=一之，开口向上. a≤0时，a2十2a=1,别a=一2-1a>0时， 所以函数y=x2十x十2，r∈(-5,5)的单调减区间为 -a2=1无解，综上a=-2-1.] （-5,-)故选D] 命题点3 L.C[由2一4>0，可得x<一2或x>2.函数f(x)的定义城为 [典例2】[解析]第一步：解>时fx)+f(x一)>1. (一∞，一2)U(2,十o0).设1=x产2-4.则1在(2，十∞)上单调递 增，又函数y=10g2t为增西数，.函数「(x)=og题(x2一4)在 由题意得，当x>号时)+f(x-号）=2r+2+>1恒成 (2,十∞)上单调递增，函数f(x)的单调递增区间为(2，十∞).] 5.解析：因为函数f(x)在[0,2幻上单调迷减， 立即>号 所以fx)m=f0)=2,f（x)mm=f(2)=3· 第二步：解0<x≤时，fx)+f(x-)>1, 当0<x≤分时)+f(-子)=2y+x-文+1>1恒成 答案2号 跃升·关键能力题型1命题点1 立，即0<≤2： 1r2-2x,x≥2. 1.A[f(r)=|x-2|x= {-x2+2xx<2, 第三步：解x≤0时，u)+f(x-)>L 画出f(x)的图象知下： 当<0时+1+-+1>1，郎得>-即-<： ≤0. 第四步：取并集计算x的取值范国 综上x的取值范国是（一十十一）小 [答案] 跟踪训练 f(x)的单调减区间为[I,2],故选A.门 2.A[因为f(x)= (x+1)2+2r<1所以f3)=-6,f-3) 2.C[令y-log4h,u=-x2+4r+12.由4=-x2+4r+12>0, -2.r,x≥1， 得-2<x<6. =(-3+1)2+2=6, 国为函数y-1og5“是关于“的递减函数.且x∈（一2,2）时，4- 则f(3)+f(x-4)>0,脚f(x一4)>-f(3)=6=f(-3) 一x2十4x十12为增函数，所以y=log号（一2+4x+12)为减 f(r)的函数图象如图所示： 盛数， 所以函数y=10g+(一产十4x十12)的单调减区问是（一2,2）.] 命题点2 6 [典例][证明]法一（定义法）：第一步，取值，作差、变形：设一1 5 4 rg<1, -a()-a(+） 1 )-=a(+)-a+高) 43-201234 a(xg一x1） =,-1)(x2-1D 24 第二步，判号、定论：由于-1<x1<<1。 所以2-0>0,0-1<02-1<0， -4 故当a>0时，f(x1)-f(x1)>0, pf（x1)>f(x), 西数f(x)在（一1,1）上单调递减： 由函数图象可知当x>-3时，f(x)<6且f(r)在（一∞，-3）上 单调递减，所以f(|x一4)>f(一3)茅价于1x一4<一3，即x 当a<0时，fr1)-f(x)<0,即f(m)<f(), 函数f(x)在（一1,1）上单调递增. <1,解得一1<x<1,即x∈（一1,1）.门 法二（导数法）：第一步，求导、变形： 第2节函数的单调性与最值 f(x)=ar)'(x-1)-ar(x-1 (x-1)2 夯实·必备知识必备知识掌据 1.1)任意<rf(x)<f(x2）单调递增任意< -="=PV d (x-1)2 f(x1)>f(x2)单调递减(2)单调性单调区间 第二步，判号、定论：当a>0时，了(x)<0,画数f(x)在(-1,1) 2.(1)存在f(x)≤M存在f(xo)-M(2)存在f(x)≥M 上单调递减： 存在f(0)=M最值 当a<0时，(x)>0,函数f(r)在（一1,1）上单调递增. 421 跟踪训练 (一∞，0)上单调递减且h(0)=一03=0，所以f(x)在R上单调递 x≠0， 减，又因为3.2>30=1，即>1,0=ln1<ln2<lne=1.即0<a 解：由题意4二1>0， 解得0r<4, <1,log.32<log.11=0,即c<0,所以b>a>c,所以f(b)< f(a)<f(c). 故f(x)的定义域为(0,4)： 命题点2 令=41=-1y=1g4,由子=生-1在(0,4)上单调递 2.解析：由函数解析式知f(x)在R上单调递增： 且-f(2)=-2=f(-2). 减y=1g在(0，十四)上单调递增，因此y=g4二‘在(0,4)上 则f1-1x)+f(2)>0→f(1-x)>-f(2)=f-2) 单调递减，又y一在0，上单调递减：故)=士+g号 由单调性知1一r>一2，解得x∈（一3,3）， 答案：（一3.3） 在(0,4)上单调递减，证明如下： 命题点3 设0<1<x2<4,则 3.解析：因为函数y=f(x)在定义域（一1,1）上是减函数，且f (2a-1)<f(1-a). -1<2a-1<1. =4+g4- (4-x1）rg 所以-11-a<1,解得a∈（号1） r1T2 2a-1>1-a. 0<i<xg<4. -1>0.n>04->4->0>1>1 答案：（号） 跟踪训练 (4-x>1,g(4-2x >049 (4-2>0, 1T2 1.B[依题意，V∈(0，十四)，西≠，/）-西f .f(x1)>f（x), f(r)f(r2) f(x)在(0,4)上单调递减， >0 T2 ->0, 题型2 TI-Ty [典例们(1)[解析]x∈（一∞，1门时，f(x)=1单调递增，f(x) ≤f1)=e-1=1 于是得画数：口在(0，+∞)上单调递增，而画：八x)是R上的 ∈1，+四)时，=上-+1单潮递浅： 锅画纸，即=f二2-2】 2 21 1 fx)< -1+1-1 显然有中<受<但国光降a<K, 2 3 所以f(x)的最大值为1. 所以a<<c.] [答案]1 (②)[解析]法一（基本不等式法)：(x)=十8 2D[由题意易得，受>≥1，所以a的取值范国是[2，十∞)，] r-1 3.解析：周为对任意1≠4，都有)-0 449=-+马+>2-…哥 有一12 x-I 所以y=(x)在（一∞，十o)上是增函数. 十2=8，当且仅当-1=号即x=4时=8 (2-a>0, 所以〈a>1, 解得号<a<2 法二（导教法）：f()-r一4)(r十2 (2-a)×1+1≤a (x-1)2 令广(x)=0,得x=4或x=-2(舍去). 故实数a的取催范国是[受，2) 当1<x<4时，f(x)<0,f(x)在(1,4)上单调递减： 当x>4时，f(x)>0,f(x)在(4，十∞)上单调道增， 答案[受) 所以f(x)在r=4处达到最小值， 脚f(x)mn=f（4)=8. 第3节 函数的奇偶性与周期性 [答案]8 夯实·必备知识必备知识掌握 跟踪训练 1.-x∈Af(一x)=-f（x)一x∈Af(-x)=f(x)奇偶性 1A-号告=1+ -2: 原点 因为y=1+2在[3,4门上单洞递减， 自主诊断查验思考辨析 (1)×(2)×(3)J 所以当=3时y取得最大值，最大位为1十写2一2故选A] 小题查验 1.D[:f(-x)-21+2-f(x)..f(x)-2+21是偶 2.解析：：f(一3)=lg[(-3)2+1门=1g10=1, 函数.门 .几f(-3)]=f(1)=0, 2.D[设x<0,则一x>0,因为离数f(x)为奇函数，且当x≥0时， 当≥1时)=计是-3≥2，亿-3，当且仅当-巨时，取 f(x)=e1-1,可将f(x)=-f(-x)=-(c+1)=-e+1.] 等号， 3.B[国为f(x+3)--故有f(x+6)-r+3 此时f(x)mn=2V2-3<0: 1 -=f(x), 当x<1时，f(x)=lg(2+1)≥lg1=0,当且仅当x=0时，取等 号，此时f(.x)ain=0. 一f 所以函数()是以6为周期的函数 f(x)的最小值为2w2一3. 答案：02√2-3 所以f0107.5)=f(6×17+5.5)=f(6.5)=72. 题型3命题点1 D国为-7020在0法手 一-2.5)4×(-2.50·] 4.解析：f(x)的定义战为（一∞，一1）U[1,十∞)不关于原点对称. 调递增，y=2在(0，+∞)上单调递减，则g(x)=-2r十2在 故(x)为非奇非偶函数， (0,十∞)上单调递减且g(0)=一29十20=0，又h(x)=一x3在 答案：非奇非偶 422主题二 第二章函数 第2节函数的单调性与最值 ★[课程标准] 1.借助函数的图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义 2.掌握求函数单调性与单调区间的求解方法，并能利用函数的单调性求最值. 夯实>必备知识 教材夯实强基固本 ·重要结论： 必备知识学握 1.单调性定义的推广 1.函数的单调性 设Hx1,x2∈D(x1≠x2),则①x1一x2>0(或 (1)单调函数的定义 <0),f(x1)-f(x2)>0(或<0)台f(x)在D 增函数 减函数 上单调递增；x1-x2>0(或<0)，f(x1) 设函数y=f(x)的定义域是D f(x2)<0(或>0)台f(x)在D上单调递减； 如果对于 的 如果对于 的 ②f)-0(或(-2)[f1) x1-x2 x1x2∈D,当 x1,x2∈D,当 f(x2)]>0)曰f(x)在D上单调递增； 时，都有 时，都有 定 那么就称函数y= 那么就称函数y= ③f)-f2) 义 1一x2 <0(或(x1-x2)[f(x1) f(x)是增函数.特别 f(x)是减函数.特别 地，当I是定义域D 地，当I是定义域D f(x2)]<0)白f(x)在D上单调递减. 上的一个区间时，也称 上的一个区间时，也 2.单调性的几个结论 函数在区间I上 称函数在区间I上 (1)若k>0,则kf(x)与f(x)单调性相同：若k <0,则kf(x)与f(x)单调性相反. (2)函数y=f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与 2 y=f(x) 图 f(x) = y=-f(x),y= f的单调性相反. 象 f(a) x)) (3)复合函数y=f儿g(x)]的单调性与y=f() 描 0新x 可新 和u=g(x)的单调性有关，简记：“同增 述 自左向右看图 自左向右看图 异减” 象是上升的 象是下降的 (④)“对勾面数”y=x十是(a>0)的增区间为 (2)单调区间的定义 (一∞，-√a),(√a,十∞)：单调减区间是 如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调 [-Va,0),(0,a]. 递减，那么就称函数y=∫(x)在区间I上具有 自主诊断查验 此时，区间I为函数y=f(x)的 ◆[思考辨析] 2.函数的最值 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括 (1)若 实数M,对所有的x∈D,都有 号里打“√”，错误的打“×” ,且 xo∈D,使得 (1)函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x) 则称M为函数y=f(x)的最大值. 的单调增区间是（一∞，0]U(0,十∞）.( (2)若 实数M,对所有的x∈D,都有 ,且 xo∈D,使得 则称M为函数y=f(x)的最小值 函数的最大值和最小值统称为 23 金榜题名创新高考总复习数学北师大版 (2)若定义在R上的函数f(x),有f(-1)< A.[-4,4] f(3),则函数f(x)在R上为增函数.( B.[-4,-3]U[1,4] (3)函数y=|x|是R上的增函数. ( C.[-3,1] (4)函数y=f(x)在[1，+∞)上是增函数，则 D.[-3,4] 函数的单调递增区间是[1，十o∞). () 3.函数y=x2+x+2,x∈(-5,5)的单调减区 (5)对于函数∫(x),x∈D,若x1,x2∈D,且 间为 ( (x1一x2)·[f(x1)一f(x2)]>0,则函数f(x) A.(-,-2》 在D上是增函数. B(-2+) (6)在闭区间上单调的函数，其最值一定在区 c(-) n.(-5,-) 间端点取到 4.(忽视定义域致误)函数f(x)=1og2(x2-4)的 ◆[小题查验] 单调递增区间为 1.(多选)下列函数中是增函数的为 A.(0,+∞) B.(-o∞，0) A.f(x)=-x B.f(x)=x十2 C.(2,+∞) D.(-∞，-2) C.f(x)=1 D.f(r)=V 5.(BSD必修第一册P6o例1改编)已知函数 2.函数y=f(x)的图象如图所 2 fx)=千x∈[0,2]，则f(x)的最大值为 示，其单调递增区间是 ,最小值为 跃升>关键能力 层级突破素养提升 题型1 函数单调性的判断或证明 (4)性质法：①对于由基本初等函数的和、差 ◆[命题点1]求具体函数的单调区间 构成的函数，根据各初等函数的增减性及 1.函数f(x)=x一2x的单调减区间是( f(x)士g(x)增减性质进行判断： A.[1,2] B.[-1,0] ②对于复合函数，先将函数y=f(g(x) C.[0,2] D.[2,+o∞) 分解成y=f(1)和1=g(x),再讨论（判 断)这两个函数的单调性，最后根据复合 2.(2025·湖北模拟)函数y=1og(一x2+4x十 函数“同增异减”的规则进行判断. 12)单调递减区间是 ( A.(-∞，2) B.(2,+o∞) ●[命题点2]确定含参函数的单调性 C.(-2,2) D.(-2,6) [典例]判断并证明函数八x)=气(a≠0)在 题后反思 (-1,1)上的单调性. 判断函数单调性常用以下几种方法 [尝试解答] (1)定义法：一般步骤为设元→作差→变形· 判断符号→得出结论， (2)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的， 或者f(x)的图象易作出，则可由图象的 上升或下降确定单调性， (3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确 定函数的单调区间， 24 主题二第二章函数 方法指导 方法指导 1.判断或证明含有参数的函数的单调性，除 求函数最值的五种常用方法及其思路 了利用增（减）函数的定义外，导数法也是 (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单 一种非常有效的方法，注意分类讨论思想 调性求最值. 的应用 (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最 2.可导函数也可以利用导数判断.但是，对于 高点、最低点，求出最值. 抽象函数单调性的证明，只能采用定义法 (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具 进行判断. 备“一正二定三相等”的条件后用基本不 ①跟踪训练 等式求出最值 (4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上 已知函数f(x)一士+g,判断并证明函 的极值，最后结合端点值，求出最值 数f(x)的单调性， (5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转 化为熟悉的函数，再用相应的方法求 最值。 提醒：(1)求函数的最值时，应先确定函数 的定义域， (2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上 的最值，再选取其中最大的作为分段函数 的最大值，最小的作为分段函数的最 小值. [口诀助读] 单调性，左边看，上坡递增下坡减： 函数值，若有界，上界下界值域外. 0跟踪训练 题型2 确定函数的最值（值域） [典例](1)(2025·深圳期末)已知函数f(x) 1.(2025·吉林白城期未)y=二2在[3,4幻上的 最大值为 () e ,x≤1， x+1,>1, 则f(x)的最大值为 A.2 B. C. D.4 x+2-3x>1, 2.已知函数f(x) 则 (2)函数f)=(:>D的最小值为 1g(x2+1),x<1, f[f(-3)]= ,f(x)的最小值是 [尝试解答] 题型3 函数单调性的应用 卜[命题点1]比较两个函数值或两个自变量 的大小 1.(2024·重庆模拟)设函数f(x)= -2r+2-x(x>0), 若a=1n2,b=30.2,c -x3(x≤0)， 1og0.32,则 25 金榜题名创新高考总复习 数学北师大版 A.f(a)>f(b)>f(c) 跟踪训练 B.f(b)>f(a)>f(c) 1.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，对任 C.f(a)>f(c)>f(b) 意两个不相等的正数x1·x2,都有 D.f(c)>f(a)>f(b) x2f(x1）-x1f(x2） [命题点2]解函数不等式 x1一x2 >0,记a=f(1),b= 2.设函数f(x)= x,x≤1， 则不等式 八22c-f 3,则 ( (x-1)2+1,x>1, 2 f(1-|x)十f(2)>0的解集为 A.c<a<b B.a<b<c 》[命题点3]利用单调性求参数的取值范围 C.c<b<a D.b<c<a 或值 2.(2023·新课标I卷)设函数f(x)=2rr一a)在 3.(2025·浙江杭州期中)已知函数y=f(x)在 区间(0,1)单调递减，则a的取值范围是 定义域（一1,1）上是减函数，且f(2a一1)< f(1一a),则实数a的取值范围是 A.(-∞，-2] B.[-2,0) 规律总结 C.(0,2] D.[2,+o∞) 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 [考题解读]本题考查指数型复合函数的 (1)比较大小.比较函数值的大小，应将自变 单调性问题，考查理性思维与综合应用，函 量转化到同一个单调区间内，然后利用函 数问题一直是高考的重点考察对象，如函数 数的单调性解决. 的单调性，奇偶性，周期性，对称性，函数零 (2)解含“f”的不等式.在求解与抽象函数有 点问题等：函数问题的解决，定义域是隐藏 关的不等式时，利用函数的单调性将“” 的坑，数形结合是解题的金钥匙，有利于数 符号脱掉，使其转化为具体的不等式求 解.此时应特别注意函数的定义域： 学抽象和数学运算核心素养的培养， (3)利用单调性求参数 (2-a)x十1，x<1, 3.如果函数f(x)= 满足对 ①视参数为已知数，依据函数的图象或单 a',x≥l 调性定义，确定函数的单调区间，与已知 单调区间比较求参数：②需注意若函数在 任意≠：都有二0成立，那 x1-x2 区间[a,b]上是单调的，则该函数在此区 么实数a的取值范围是 间的任意子集上也是单调的， 请完成课时冲关7 第3节 函数的奇偶性与周期性 ★[课程标准] 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的概念和几何意义 2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性： 3.结合三角函数，了解函数周期性的概念和几何意义： 4.会运用函数的图象理解和研究函数的周期性。 夯实>必备知识 教材夯实强基固本 心必备知识掌握 续表 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 奇偶性 定义 图象特点 一般地，设函数∫(x)的定义 般地，设函数f(x)的定义 域是A,如果对任意的x∈A,关于y轴 域是A,如果对任意的x∈A, 偶函数 奇函数 关于原点 有 ,且 对称 有 ,且 对称 那么称函数f(x)为偶函数 那么称函数f(x)为奇函数. 26