第1节 函数的概念及其表示-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

主题二{ 函数 第二章函数 第1节函数的概念及其表示 ★[课程标准] 1.通过实例，体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，体会对应关系在刻画函数概念中 的作用：了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域 2.会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数. 3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用， 夯实>必备知识 教材夯实强基固本 必备知识学握 ·重要结论， 1.函数的定义及相关概念 L.直线x=a(a是常数)与函数y=f(x)的图象 (1)函数定义：给定实数集R中的两个 有0个或1个交点. 数集A和B,如果存在一个对应关系∫，使对 2.函数定义域的基本要求 于集合A中的 数x,在集合B中都 (1)分式函数中分母不等于零. 有 的数y和它对应，那么就把对应 (2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. 关系f称为定义在集合A上的一个函数.记 (3)y=x°的定义域是{xx≠0}. 作y=f(x),x∈A. (4)对数型函数的真数大于0. (2)相关概念：集合 称为函数的定义域，x 称为 ;与x值对应的y值称为 自主诊断查验 ,集合 称为函数的值域. ◆[思考辨析] (3)同一个函数：如果两个函数的定义域相同，并 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括 且对应关系完全一致，即相同的自变量对应 号里打“√”，错误的打“×” 的函数值相同，那么这两个函数是同一个 (1)函数y=f(x)的图象与直线x=a最多有2 函数 个交点. () 2.函数的表示法 (2)函数f(x)=x2-2x与g(1)=2-21是同 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列 一函数. () 表法 3.分段函数 (3)若两个函数的定义域与值域相同，则这两 若函数y=f(x),x∈A,根据自变量x在A中 个函数是相等函数 ( 不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称 (4)f(x)=与g(x) 1(x≥0)， 表示同 这样的函数为分段函数.分段函数虽由几个部 -1(x<0) 分组成，但它表示的是一个函数 一函数. 19 金榜题名创新高考总复习数学北师大版 ◆[小题查验] log2x.>0 1.(多选)下列四个图象中，是函数图象的是 3.已知函数f(x) 3,x≤0， 则r()的 值是 A.9 C.-9 n- 2.(BSD必修第一册P7习题2一2A组T4改编) 下列函数中，与函数y=x十1是同一个函数 4.函数f(x)= 3x+√16-2的定义域是 VrF4 的是 A.y=(Wx+1)2 B.y=-x3+1 5.(忽视变量的范围致误)已知f(√x)=x一1， C.y=+1 D.y=x2+1 则f(x)= 跃升>关键能力 层级突破素养提升 题型1 函数的定义域 [尝试解答] ◆[命题点1]求给定函数解析式的定义域 1.函数y= 1g(2-x) 十(x一1)0的定义域是 V12+x-x2 2.(2025·全国模拟)函数y=√/1og5(1一2sinx) (-<≤受)的定义域是 ( A[-0] B[-受看) 。[互动探究] c.[-.0) n[-] 若将本例改为“已知函数y=f(x2一4)的定义 域是[-1,5]”，则函数y=f(2x+1)的定义域 题后反思 为 (1)已知函数的解析式求定义域，构建使解析 方法指导 式有意义的不等式（组）求解.如果所给解 求抽象函数的定义域的策略 析式较复杂，切记不要化简后再求定 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b们，则复 义域 合函数f(g(x)的定义域由不等式a≤g (2)所求定义域须用集合或区间表示， (x)≤b求出： (3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意 (2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b们， 义，又要考虑实际问题的要求. 则f(x)的定义城为g(x)在x∈[a,b]上 ●[命题点2]求抽象函数的定义域 的值域 [典例1](2025·江苏模拟)若函数f(x)的定 ◆[命题点3]已知定义域确定参数问题 义域为[-1,2]，则函数g(x)=fx-2的定 √x-1 [典例2】(1)（多选）若函数y a+1在区间 义域是 [-2,-1]上有意义，则实数a可能的取值是 A.[1,4] B.(1,4] ( C.[1,2] D.(1,2] A.-1 B.1 C.3 D.5 20 主题二第二章函数 (2)(2025·合肥模拟)若函数f(x)= 方法指导… 函数解析式的求法 √2+2r-a-1的定义域为R,则a的取值范围 (1I)配凑法：由已知条件f(g(x)=F(x),可 为 将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后 [尝试解答] 以x替代g(x),便得f(x)的解析式； (2)待定系数法：若已知函数的类型（如一次 函数、二次函数)，可用待定系数法： (3)换元法：已知复合函数∫(g(x)的解析 式，可用换元法，此时要注意新元的取值 方法指导 范围： 已知函数的定义域求参数问题的解题步骤 (1)调整思维方向，根据已知函数，将给出的 (④)消去法：已知关于fx)与f()成(-x) 定义域问题转化为方程或不等式的解集 的表达式，可根据已知条件再构造出另外 问题； 一个等式组成方程组，通过解方程组求出 (2)根据方程或不等式的解集情况确定参数 f(x). 的取值或范围， 1跟踪训练 跟踪训练 1.(2025·云南期中)若函数f(x)=11x,则 1.已知f(2r)的定义域是[一1,1]，则f(1og2x) r 的定义域为 A.)= B.f(11.x)=22x 2记函数)√2的定文城为A,g C.f(2.x)=13x D.f(x2)=121x2 =lg[(x-a-1)(2a-x)](a<1)的定义域为 2.已知f(.x)是二次函数且f(0)=2,f(x+1) B.若B二A,则实数a的取值范围为 f(x)=x-1,求f(x)的解析式 题型2 求函数的解析式 [典例门求下列函数的解析式： (1)已知f(1-sinx)=cos2x,求f(x)的解 析式： 2)已知f(+）=+子，求fx)的解 析式： (3)f(x)是一次函数，且满足f(f(.x))=4x一3， 求f(x)的解析式： 3.已知f(0)=1,对任意的实数x,y都有f(x一y) (4)已知f(x)满足2f(x)+f() =3x,求 =f(x)一y(2x-y+1),求f(x)的解析式. f(x)的函数解析式. [尝试解答] 21 金榜题名 创新高考总复习数学北师大版 题型3 分段函数及应用 跟踪训练 》[命题点1]求函数值 1.设函数∫(x)= 1.(2025·山东潍坊模拟)设函数f(x)= x2+2x,<0若fa) -x2,x>0, x-3,x≥10， f(a)+2=0,则实数a的值为 则f(8)= ( f(f(x+4)),x<10, A.2-1 B.-√2-1 A.10 B.9 C.√2+1 D.-√2+1 C.7 D.6 ●[命题点3]解不等式问题 2.(2025·浙江省江山中学期中)已知a∈[-1,1]， [x+1,x≤0， sin[2r(.x-a)],x≤a, [典例2]设函数f(x)= 则满足 函数f(x)= 2,x>0, x2-2(a+1)x+a2,x>a, 若 f(f(a)=1,则a= f()+f(x-号)>1的x的取值范围是 题后反思 分段函数“两种”题型的求解策略 [尝试解答] (1)根据分段函数解析式求函数值 首先确定自变量的值属于哪个区间，其次 选定相应的解析式代入求解。 (2)已知函数值或函数值范围求自变量的值 或范围 应根据每一段的解析式分别求解，但要注 意检验所求自变量的值或范围是否符合 相应段的自变量的取值范围， 提醒：当分段函数的自变量范围不确定时， 应分类讨论. ◆[命题点2]解方程问题 [典例1](2024·凉山模拟)已知函数f(x)= e+1,x<0, 则方程f(1+x2)=f(2.x)的解 方法总结 2,x≥0， 分段函数与不等式问题的求解思路：依据分 集是 段函数的解析式，对不同范围的不同段分类 [尝试解答] 讨论求解，最后将各段结果取并集.注意每段 不等式结果与本段自变量的范围取交集得本 段的最后结果。 ①跟踪训练 2.(2025·河北模拟)设函数f(x)= (x+1)2+2,x<1, 则不等式f(3)+f(|x一4) 方法指导 -2xx≥1， 分段函数与方程问题的求解思路 >0的解集为 应根据每一段的解析式分别求解，但要注意 A.(-1,1) 检验所求自变量的值是否符合相应段的自变 B.(-∞，-1)U(1,+∞) 量的取值范围， C.(-7,7) 提醒：当分段函数的自变量范围不确定时，应 D.(-∞，-7)U(7,+∞) 分类讨论. 请完成课时冲关6 22主题二 函 数 跟踪训练 第二章函 数 1,解折：由已如∈[-1，门，所以∈[宁2]：ku)的定义城 第1节函数的概念及其表示 为[日，2]，所以在画数y=fogr)中，号<16照r<2,即 夯实·必备知识必备知识掌握 1.(1)非空每一个唯一确定(2)A自变量函数值 log2√2≤log2T≤1oge4,所以V2≤r≤4，故f(log2x)的定义城为 {f(x)x∈A [2,4. 自主诊断查验思考辨析 答案：[√2,4] (1)×(2)/(3)×(4)× 2.解析：由已知得A={rx<一1或x≥1}，B=r(r一a-1)(r 小题查验 2a)<01, 1,ACD[根据函数的定义，一个自变量值对应唯一一个函数值， 由a<1得，a+1>2a.'.B=(x|2a<x<a+11 或者多个自变量值对应唯一一个函数值，显然只有B不满足，] ,BCA,.a十1≤-1或2a≥1， 2.B a≤-2或号<a<l 3.B[/(十）=log=1og22=-2. f(()--2=8-÷.] u的取维范因为a<-2或号<a<1, 答案：（一00， 4.(-4.4] 2u[7) 5.解析：令1=F,则1≥0，x=,所以f(t)=-1(1≥0).即f 题型2 (x)=x2-1(r≥0). [典例][解](1)（换元法）设1一sinx=,t∈[0,2]， 答案：x2-1(r≥0) sinx=1-,f(1-sin x)=cosr=1-sin2x..f(t)=1- 跃升·关键能力题型1命题点1 (1-1)2=21-12,1∈[0,2]. 「2， 聊f(x)=2x-x2,x∈[0,2] 2-r>0, 1,解析：由 12+x-x2>0,得-3<x<4,所以一3<x2且x≠1. 2(配海法)：1(+）-2+是-(+）》-2 x-1≠0， x≠1， 故所求蓝致的定义城为{x一3<x<2且r≠1. .f(r)=2-2,x∈（-oo,-2]U[2,+oo). (3)(待定系数法)因为f(x)是一次函数， 答案：{x一3<x2且x≠1} 所以设f(x)=kx十b(k≠0》， 1-2sinx>0, 所以f(f(x)=k(kx十b)+b=k2x+kb十b, 2.A[由题意，得 logs(1-2sinx)≥0， 又因为f(f(x)=4.x-3, <r<受 2 所以2x十kb十b=4r一3， 1 sin' [sin i≤0， 女-解释台2.合 则1-2sinx≥1，即 所以f(x)=2x-1或f(x)=-2x+3. 受<r受 (4(方程组法)特子代入2)+f(）=3, re[-o] 得2(）+)=三，周 2fx)+f(）=3, 命题点2 [典例1][解析]由于西数fx)的定义城为[-1,2]，对于函数 2()+)-是 g(x)= f(x-2) √x-T 有，解得1<<4国光画款 解得f(x)=2x-二(x≠0). gr)=一2的定义城是1，. 跟踪训练 Vr-I 1.A[周为f()=11r,所以f(音）-f(1lx)-121, [答案]B f(2x)=22x,f(x2)=11x.故选A.] 互动探究 2.解：：∫(x)为二次函数， 解析：y=f(x2-4)的定义城是[一1,5]， ∴f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，：f(0)=c=2, 则x2-4∈[-4,21]， :f(x十1)-f(x)=x-1,∴2ax十a十b=r-1, 肿函数f(x)的定义域为[一4,21]， ◆2+1e[-4,21,解释∈[-受10] 5 ∴a- )=-+2 1 明画教y=2+1D的定义拔为[-吾10] 3.解：令x-0,得f(-y)=f(0)-y(-y+1)=1+y-y=(-y)2 答案[-10] +(-y)+1,所以f(y)=y2+y+1,即f(x)=+x+L. 命题点3 题型3命题点1 [典例2习[解析]函教y√二+1在区间[-2，-门上有喜 hc[国为-0In 则f(8)=f(f(12))=f(9)=f(f(13))=f(10)=7.] 义，等价于兰+1>0在区间[-2，-门上恒成立， 2.解析：f(f(a)=f(0)=1, 由x<0,得a≤一x在区间[一2，一1门上恒成立，所以a≤1. 当0<a<1时，f0)=m(-2a)=1,得a=-}-k,故u [答案]AB (2)[解析]因为函数f(x)的定义域为R,所以2+2如：一1≥ 0对x∈R恒成立，则+2ax-a≥0恤成立. 当-1≤a<0时，f(0)=a2=1,枚a=-1. 因此有△=(2a)2+4a≤0，解得-1≤a≤0. [答案][一1,0] 答案：子或- 420 命题点2 自主诊断查验思考辨析 [典例1)[解析]：画数f代x)=:十L<0, (1)×(2)×(3)×(4)×(5)/(6) 12,x≥0， 小题查验 方程f(1+2)=f(2x). 1.BD[函数f(x)=一x是一次函数，在R上是减函数：函数(x) 当x<0时，2=e2十1，解得x=0,不成立： 当x≥0时，f(1十x2)=f(2x)=2,成立 =+2在R上是增面数：画数)=上在(-0,0)上是减画 .方程f(1+x2)=f(2.x)的解集是{xx≥0} 数，在(0，十∞)上是诚函数：函数f八x)=G-x于是暴品数，指数 [答案]《xx≥0) 跟踪训练 吉>0，所以高纸)在R上是增画款.] 1.B[令f(a)=t,f（f(a))-f(a)+2=0,则f(t)=t-2, 2.C[由题图可知，品数y=fx)的单调递增区间为[-3,1门.] ①1≤0时.+21=1-2，则2+1十2=0无解. ②t>0时，-2=1-2，.1=1，.f(a)=1, 3.D[画数y=2十+2对称轴为x=一之，开口向上. a≤0时，a2十2a=1,别a=一2-1a>0时， 所以函数y=x2十x十2，r∈(-5,5)的单调减区间为 -a2=1无解，综上a=-2-1.] （-5,-)故选D] 命题点3 L.C[由2一4>0，可得x<一2或x>2.函数f(x)的定义城为 [典例2】[解析]第一步：解>时fx)+f(x一)>1. (一∞，一2)U(2,十o0).设1=x产2-4.则1在(2，十∞)上单调递 增，又函数y=10g2t为增西数，.函数「(x)=og题(x2一4)在 由题意得，当x>号时)+f(x-号）=2r+2+>1恒成 (2,十∞)上单调递增，函数f(x)的单调递增区间为(2，十∞).] 5.解析：因为函数f(x)在[0,2幻上单调迷减， 立即>号 所以fx)m=f0)=2,f（x)mm=f(2)=3· 第二步：解0<x≤时，fx)+f(x-)>1, 当0<x≤分时)+f(-子)=2y+x-文+1>1恒成 答案2号 跃升·关键能力题型1命题点1 立，即0<≤2： 1r2-2x,x≥2. 1.A[f(r)=|x-2|x= {-x2+2xx<2, 第三步：解x≤0时，u)+f(x-)>L 画出f(x)的图象知下： 当<0时+1+-+1>1，郎得>-即-<： ≤0. 第四步：取并集计算x的取值范国 综上x的取值范国是（一十十一）小 [答案] 跟踪训练 f(x)的单调减区间为[I,2],故选A.门 2.A[因为f(x)= (x+1)2+2r<1所以f3)=-6,f-3) 2.C[令y-log4h,u=-x2+4r+12.由4=-x2+4r+12>0, -2.r,x≥1， 得-2<x<6. =(-3+1)2+2=6, 国为函数y-1og5“是关于“的递减函数.且x∈（一2,2）时，4- 则f(3)+f(x-4)>0,脚f(x一4)>-f(3)=6=f(-3) 一x2十4x十12为增函数，所以y=log号（一2+4x+12)为减 f(r)的函数图象如图所示： 盛数， 所以函数y=10g+(一产十4x十12)的单调减区问是（一2,2）.] 命题点2 6 [典例][证明]法一（定义法）：第一步，取值，作差、变形：设一1 5 4 rg<1, -a()-a(+） 1 )-=a(+)-a+高) 43-201234 a(xg一x1） =,-1)(x2-1D 24 第二步，判号、定论：由于-1<x1<<1。 所以2-0>0,0-1<02-1<0， -4 故当a>0时，f(x1)-f(x1)>0, pf（x1)>f(x), 西数f(x)在（一1,1）上单调递减： 由函数图象可知当x>-3时，f(x)<6且f(r)在（一∞，-3）上 单调递减，所以f(|x一4)>f(一3)茅价于1x一4<一3，即x 当a<0时，fr1)-f(x)<0,即f(m)<f(), 函数f(x)在（一1,1）上单调递增. <1,解得一1<x<1,即x∈（一1,1）.门 法二（导数法）：第一步，求导、变形： 第2节函数的单调性与最值 f(x)=ar)'(x-1)-ar(x-1 (x-1)2 夯实·必备知识必备知识掌据 1.1)任意<rf(x)<f(x2）单调递增任意< -="=PV d (x-1)2 f(x1)>f(x2)单调递减(2)单调性单调区间 第二步，判号、定论：当a>0时，了(x)<0,画数f(x)在(-1,1) 2.(1)存在f(x)≤M存在f(xo)-M(2)存在f(x)≥M 上单调递减： 存在f(0)=M最值 当a<0时，(x)>0,函数f(r)在（一1,1）上单调递增. 421