第4节 一元二次函数与一元二次不等式-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

主题一第一章集合与常用逻辑用语、不等式 第4节一元二次函数与一元二次不等式 ★[课程标准] 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义. 2.能借助二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集， 3.借助二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系： 夯实，必备知识 教材夯实强基固本 必备知识掌握 (3)a (x-a)(x-b)≥>0， 1.一元二次不等式的概念 x-6≥0等价于 x-b≠0. (1)一般地，只含有 未知数，并且未知数 4)8≤0等价于u6-)≤0. 的最高次数是 的不等式叫作一元二次 x-b≠0. 不等式 2.不等式a.x2+b.x十c>0(<0)恒成立的条件要 (2)使一元二次不等式成立的所有未知数的 结合其对应的函数图象决定 组成的 叫作这个一元二次不等式的 (1)不等式a.x2+b.x十c>0对任意实数x恒成 解集 立c☑0 a=b=0, a>0, 或 4<0. 2.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二 次方程的关系 (2)不等式a.x2+b.x十c<0对任意实数x恒成 a=b=0,a<0, 判别式 立台 4>0 △=0 △<0 c<0 △<0. △=b2-4ac 3.关注点 二次函数 Y (1)对于不等式ax2十bx十c>0,求解时不要忘 y=ax2+bx+c 记a=0时的情形. (a>0)的图象 0 0 (2)当△<0时，不等式a.x2+bx十c>0(a≠0) 的解集为R还是☑，要注意区别. 一元二次方 有两相异 有两相等实 自主诊断查验 程a.x2十b.x十 实根，2 根x1=x2= 没有 c=0(a>0) 实数根 ◆[思考辨析] b (x1<x2) 的根 2a 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括 号里打“/”，错误的打“×” ax2 bx+c (1)若不等式ax2+bx+c<0的解集为 >0(a>0)的 (x1,x2),则必有a>0. 解集 (2)若不等式a.x2+bx+c>0的解集是(-∞，) ax2 +br+c U(x2,+∞)，则方程a.x2+bx十c=0的两个 <0(a>0)的 根是x1和x2: ( 解集 (3)若方程ax2十bx十c=0(a≠0)没有实数 ·重要结论· 根，则不等式a.x2+b.x十c>0的解集为R. 1.简单的分式不等式与一元二次不等式的等价 ( 关系 (4)不等式ax2十b.x十c≤0在R上恒成立的条 件是a<0且△=b2-4ac≤0. 8>0等价于x-ax-b>0, (5)若二次函数y=a.x2+hx十c的图象开口向 (2)x二4<0等价于(x-a)(x-b)<0. 下，则不等式a.x2+b.x十c<0的解集一定不是 x-b 空集 15 金榜题名创新高考总复习数学北师大版 ◆[小题查验] A.(-∞，-5)U(-2,十∞) 1.(2024·上海卷)已知x∈R,则不等式x2-2x B.(-o∞，-5]U(-2,+o∞) 一3<0的解集为 C.(-o∞，-5)U[-2,+∞) D.(-∞，-5]U[-2,+o∞) 2.若0<a<1.则不等式x-a)(r-)<0的解 4.(BSD必修第一册P39习题1一4A组T2(4)改 集是 编)若不等式a.x2十b.x+2>0的解集为 A.a<i<i 女-<<则a-6的值是 ( A.-10 B.-14 c.{<x<a D.{ek>a或x< C.10 D.14 +2≤2的解 3.(忽视不等式性质致误)不等式工一 5.(忽视m为零的讨论)不等式m.x2+m.x+1>0 对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围是 集是 跃升>关键能力 层级突破素养提升 题型1 一元二次不等式的解法 题后反思 ◆[命题点1]不含参数的一元二次不等式的 解一元二次不等式的4个步骤 解法 把不等式变形为二次项系数大于零的 交 [典例1](1)(2025·浙江开学考试)已知集合 标准形式 A={-2,-1,0,1,2),B={x|x2-2.x>1}, 判 计算对应方程的判别式 则A∩B= ( 求出对应的一元二次方程的根，或根 A.{-2,-1》 B.{-2,-1,0} 求 据判别式说明方程有没有实根 C.{-2,-1,2 D.{-2,2} (2)不等式≥2的解集是 利用“大于取两边，小于取中间”或结 写 合图象写出不等式的解集 A[-3, B[-号3] [口诀助解] c.[2,1U1,3] D[-ua,3] 求解不含参数的一元二次不等式口诀 函数方程不等式，图象交点是标志； (3)(2025·江苏南京模拟)不等式|x+√2|< 首项系数先化正，判别式，符号定； x(x十2√2)的解集为 若为正，记口诀，小于中间大于侧： A.(-∞，-3√2)U(2√2，+∞) 或为负，或为零，配方观察解自明 B.(-o∞，-2-√2)U(2-√2，+∞) ●[命题点2]含参数的一元二次不等式 [典例2]解不等式a.x2-(a十1).x+1<0. C.(-∞，2-√2)U(2+√2，+o∞) [尝试解答] D.(-∞，-2+√2)U(2+√2，+o∞) [尝试解答] 16 主题一第一章 集合与常用逻辑用语、不等式 方法指导 [命题点2]在给定区间上的恒成立问题 解含参数的一元二次不等式的步骤 [典例2](2025·浙江模拟)若关于x的不等 (1)若二次项系数含有参数，则应讨论参数是 等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式 kx+2x2->1对任意的x∈(0,2)恒成 10-x3 转化为二次项系数为正的形式； 立，则实数k的取值范围为 (2)判断方程根的个数，讨论判别式△与0的 [尝试解答] 关系； (3)确定无根时可直接写出解集；确定方程有 两个根时，要讨论两根的大小关系，从而 确定不等式的解集. [口诀助读] 求解含参数一元二次不等式的分类口诀 含参二次不等式，有无实根判别式； 或为负，或为零，配方法，解自明： ●[命题点3]给定参数范围的恒成立问题 若为正，求两根，两种题型要区分； [典例3]已知a∈[-1,1]时不等式x2+ 首项系数无参数，根的大小定胜负； (a一4)x十4一2a>0恒成立，则x的取值范 首项系数含参数，先论系数零正负： 围为 () 系数化一是旨要，负数变换不等号 A.(-∞，2)U(3,+∞) 口跟踪训练 B.(-∞，1)U(2,+0∞) (2025·河北唐山月考)已知关于x的不等式 C.(-∞，1)U(3,+) a.x2-(3a+1)x+3<0. D.(1,3) (1)当a=一2时，解此不等式： [尝试解答] (2)当a>0时，解此不等式. 题型2〔与一元二次不等式有关的恒成立问题 规律总结 ●[命题点]在实数R上的恒成立 恒成立问题求解思路 (1)一元二次不等式在R上恒成立确定参数 [典例]若一元二次不等式2kx2+k红-3 的范围时，结合一元二次方程，利用判别 对一切实数x都成立，则k的取值范围为 式来求解. ( (2)一元二次不等式在x∈[a,b们上恒成立确 A.(-3,0] B.[-3,0) 定参数范围时，要根据函数的单调性，求 C.[-3,0] D.(-3,0) 其最小值，让最小值大于等于0，从而求参 [尝试解答] 数的范围 (3)一元二次不等式对于参数m∈[a,b]恒成 立确定x的范围，要注意变换主元，一般 地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的 范围，谁就是参数 17 金榜题名创新高考总复习数学北师大版 跟踪训练 方法指导 1.(多选)(2025·齐齐哈尔模拟)若不等式sinx 求解不等式应用题的四个步骤 -asin+2≥0对任意的x∈(0，]恒成立， 邻1步 阅读理屏，认真审题，把耀问题小的关健量， 找带不等关系 则实数a可能是 ( A.1 B.2 第2步 引出数学符号，将文字信息转化为符号语言，用 不等式表示不等关系，建立相应的数学模型 C.3 D.4 2.若命题“3a∈[-1,3]，ax2-(2a-1)x+3-a 第3步 解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中 自变量的实际意义 <0”为假命题，则实数x的取值范围为( A.[-1,4] 同归实际间题，将数学结论还原为实际问题的 第4步 R[] 緒果 跟踪训练 c.[-1,oU[34] 某商品每件成本价为80元，售价为100元，每 天售出100件.若售价降低x成(1成=10%)， D.[-1.oU(34] 售出商品数量就增加gx成，要求售价不能低 题型3 一元二次不等式的实际应用 于成本价 [典例]某汽车制造厂上年度生产汽车的投入 (1)设该商店一天的营业额为y,试求y与x 成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年 之间的函数关系式y=f(x),并写出定义域： 销售量为10000辆.本年度为适应市场需求， (2)若再要求该商品一天营业额至少为10260 计划提高产品质量，适度增加投入成本.若每 元，求x的取值范围。 辆车投人成本增加的比例为x(0<x<1),则 出厂价相应地提高比例为0.75.x,同时预计年 销售量增加的比例为0.6x,已知年利润=（出 厂价一投入成本)×年销售量. (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增 加的比例x的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加， 则投入成本增加的比例x应在什么范围内？ [尝试解答] 请完成课时冲关5 18(3)[解析】4，=a1十(n-1d=,S,=1+m 16 2 (2):m≥0时n十+(m+1)≥26=8. 所以 S,+8 n(1+n2+8 2 =(++)≥ <-8+29=21,言里仅当片=m十13m=3(万元)时， mx=21(万元). (…+) 9 故该厂家2025年的促结费用投入3万元时，厂家的利润最大为 21万元. 当县权当n=4时取等号所以三士“的最小值是号 第4节一元二次函数与一元二次不等式 [答案]号 夯实·必备知识必备知识掌掘 跟踪训练 1.(1)一个2(2)值集合 .C[南4r+y-xy+手-1，知(+)(+)-1+ y 2.(xx<1,或x>x} {≠-品}Ru<<a 33 自主诊断查验思考辨析 当且仅当x=2y=8时，等号成立，则使不等式+子<m2+3m (1)√(2)/(3)×(4)×(5)/ 小题查验 有解，只需满足m2+3n>1即可，解得m∈(-o,一4)U(1,十∞).] 1.解析：方程x2一2x一3=0的解为x=一1或x=3. 2.解析：法一：依题意画出图形，如图所示 易知S△AD十S△xD=S△Ax· 故不等式x2-2x-3<0的解集为{x-1<x<3}. 答案：{x-1<r<3 即2csin60'+2asin60 1 2.A[南0<a<1,得日>1>a>0,解不等式(r-a)(-日）< -acsin 120', 0,得a<x< a a c 4a+e=(u+e(日+)-5+后+≥9 所以不等式-a(一)<0的解集是{<<日故 a c 选A.] 当里仅当后-，即a==3时取= 品.B[原不等式可化为号-2<0同>0，解得<-5成 法二：以B为原点，BD所在直线为T轴建立 >-2, 如图所示的平面直角坐标系， 则D(1,0),:AB=c,BC=a, 所以原不等式的解集为（一∞，一5]U(一2，十∞）.] a台)c(号-) 1D1.0) 4.A[国为=-号。=号是方程ar十h征十2=0的两个根， :A,D,C三点共线，AD∥DC -+2=0， 所以 (-)(-)+(号-)-0 号++2=0， 行引8-2行以a-10] ,4e=a十c, 1+1=1 5.解析：当m=0时，1>0，不等式恒成立，当m≠0时， a ∫m>0, 得0<<4.综上，0≤n<4. 4u+e=(u+e(位+2）=5++兴≥9. △=m2-4m<0, 答案：[0,4) 当且仅当后=只，即a=号(=3时取= 3 跃升·关键能力题型1命题点1 答案：9 [典例1门(1)[解析]解一元二次不等式.2-2.x>1. 题型3 得r<1-2或>1十2， [典例][解析]由题意知，PB=8,QB=12,设∠PMB=a 所以B={xlx<1一√2或x>1+√2 ∠QMB=BBM=,对tama-是，am9=是.所以n∠PMQ 因为A=(一2，-1.0,1,2}， 所以A∩B={一2，一1).故选A 12-8 [答案]A 4 =tan(3-a)= 1+2.82+96 +06- （2解析]不等式可化为2_-51-3≤0，即2r十1(-3》≤ (x-1)2 (x-1)2 2后·当且仅当x5,即/96时取等芳，又因为9610 0,解得-号<<1浅1K<3 [答案]D 所以BM大釣为10米. [答案]C (3)[解析]当x≥一2时，x十2<x(x十2√2)，可得x2十(2√② 跟踪训练 -10x-2>0, 解：(1)由题意知，当m=0时，x=1,.1=3一k→k=2, 所以x>2-√2或x<-1-√2， r=3-m2 十万 又x≥一√2，所以x>2-2: 每万件产品的销售价格为1.5×8士16（万元）， 当x<-√2时，-x-2<x(x十2V2).可得2十(2V瓦+1)x+ ②>0，解得x<-2-2或x>1-√2， 2025年的利商y-1.5x×8±6r-8-16r-m=4+8r一m 又x<一2，所以r<-2-2:综上，不等式|x十2<x(r+22) +8(-n子)-=-[片++D]+m≥0. 的解集为（一∞，一2一√2）U(2一√2，十o). [答案]B 418 命题点2 令fx=10-2,fr)在xe(0,2)上单减，所以f(x)>f(2) [典例2][解]原不等式可化为(x一1)(a.x一1)<0， .①当a=0时，可解得x>1: =1,所以k1, @当>0时，不等式可化为-D(e-日)<0， 0≤k≤1. [答案][0,1] .当a=1时，不等式可化为(x一1)2<0，解集为： 命题点3 当0<a<1时，>1，不号式的解集为{1<<}： [典例3][解析]北不等式的左端看成关于4的一次函数， >1时1，不等式的解集为： 记f(a）=(x-2)a+x2-4x+4, 则由f(a)>0对于任意的a∈[-1,1]恒成立， @当a<0时，不等式可化为-1)（一日）>0， 所以f(-1)=x2-5.x+6>0, :不￥式的解集为：>1成<日} 且f(1)=x2一3x十2>0即可，解不等式组 2-5+6>0:得王 x2-3r+2>0, 编上，可知，当a<0时， <1或x>3. 不等式的解桑为{女>1或<合}： [答案]C 跟踪训练 当a=0时，解集为{xx>1}: 当0心4<1时不等式的解集为{：小1<<亡}： A[设1m(0,受]∈0，. 当a=1时，不等式的解集为： 则不等我m一anx+2≥0对任含rE(0受]位成立. 当>1时，不等式的解集为{日<<1 即转化为不等式2一a十2≥0在t∈(0,1]上恒成立， 跟踪训练 解：(1)当a=-2时，不等式-2.x2+5十3<0， 帝特化为a<里=计号在e(0门上祖成立 t 整理得(2r+1Dr-3)>0,解得<-号或>3 由对为能知y=1计子在1∈0，门上单销追减以=1+是 当a=-2时，原不等式解集为{女x<-或>3： 3.a≤3.] 2.C[命题“3a∈[-1,3]，a.2一(2a一1)x+3-a<0”"为假命题， (2)当a>0时，不￥式a.x2-(3a+1)x+3<0, 其否定为真命题， 整理得u一3(：-日)<0， 即“Ha∈[-1,3]，a.xr-(2a-1)x+3-a≥0”为真命题.令g(a) =a.r2-2a.x+x+3-a=(.x2-2x-1)a+x+3≥0， 当-号时日-8，此时不￥式无解： 1-x2+3r+4≥0. (一1≤x≤4， 当0<a<时，>3，解释3<< 则/8(-10≥0. 解得 所 g(3)≥0. 13x2-5.x≥0， 当>号时，日<3，解得<<： 以实数x的取值范国为[-10U[号小门 给上，当a=寸时，解条为， 题型3 [典例][解](1)由题意得y=[12(1+0.75x)-10(1+x)刀× 当0<a<号时，解集为{女3<<日}： 10000×(1+0.6r）(0<r<1), 当>时：解集为日<<3小 整理得y=-6000x2+2000x+20000(0<x<1). (2)要保证本年度的年利羽比上年度有所增加，必领 题型2命题点1 [典例门[解折]2k十红一号<0时一切实裁x都成立， 有/y-02-10)X10000>0. 固为2kx2+kr 君<0是一元二次不等式所以0， -600÷+200r>0,解得0<r<号 即 10<x<1. 2k<0, 则必有 4=-4×2×(-合）<0， 所以授入成本增加的比锅应在(0，号)范国内。 跟踪训练 解得一3<k<0. 解：(1)由题意，得 [答案]D 命题点2 y=10o(1-)100(1+0) [典例2][解析]由题意知：k.x+2r2一x>0,脚k>2-2x对 任意的x∈(0,2)恒成主， 国为售价不能低于成本价，所以100(-）-80≥0. .k≥0， 所以y=f(x)=40(10-x)(25+4x),定义城为x∈[0,2]. 10-x1 当x(0,2+27>1,得r+2-r<10- (2)由题意得40(10-x)(25+4r)≥10260.化简得8.x2-30x+ 即2x+k虹-10<0对任意的x∈(0,2)恒成主，脚k<10-2x 1<0,解得号<< 0-2r对任意的x∈(0,2)恤成立， 所以r的取值范国是[号，2] 419