第3节 第2课时基本不等式-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

法二：<<0，可知a<0, 第2课时基本不等式 ①中，周为a+b<0,b>0,所以<0，>0.批有b< 夯实·必备知识必备知识掌握 1.(2)a=b ,即①正确： 1 3.(1)x-y2√D(2)x=y1 ②中，因为b<a<0,所以一b>一a>0.故-b>a,即a|十b< 自主诊断查验思考辦析 0,故②错误： (1)×(2)×(3)×(4)×(5)/ @中，因为a<0<右<0，->->0，所以a 小题查验 日>0方故回正确 1AD[由a<00,可得名>0，号>0，则由装本不等式可得。 ①中，因为b<a<0,报据y=xr2在（一o,0)上为减盛数，可得 会+若≥合·号=2，此A正填ER时，gy有可 >a2>0,而y=lnT在定义城(0，十o)上为增函数，所以ln lna2,故④错误.由以上分析，知①③正确.] 能为0或负数，不持合基本不等式的条件，B错联；若x<0,则工 3.BD[对于A,取特殊值a=2,h=1,c=一1，满足a>b>c,但ac +--[-x+(-)]-2·(-)--4.C <x,故A不正确：对于B,因为a,b,c均为非零实数，且a>b c,所以c2>0,所以ac>2,故B正确：对于C,取特殊值a=3,b 错误：x<0时，2>0，由基本不等式可得，2r十2≥2，故D =2c=一1，满足非零实数a>b>c,此时(a一b)r=(3-2)1 正确，门 1,a-cy=(3-1)1=21=2,但(a-by>(a-0y,故C不 2.C[由题意，画数y=十子的定义城为x≠0.当>0时， 正确：对于D,因为a,b,c均为非零实数，且a>h>c,所以一b< -ca->0,a-b>0,所以0<a-h<a-6.0<0<1,所以 y->≥3√-2，当1时取得当<0时y a-c 1 1na二<ln1,即1n二b<0,故D正确.] =-(-+)<-2…=2=-1时 a-c 题型3 取得等号，综上，画靴y=r十的值城是（一四，一2]U [典例](1)[解析]国为-一3<a<-2,所以a2∈(4,9)，而3<h [2,十∞).] <,故亏的取值范围为(1,3)， 3.A[因为x>1,y>0,x十y=2,则x-1>0,(x-1)+y=1, [答案]A 可得（红一1D·<[=士-，含且仅当x-1=,即 4 (f(1)=d+b, (2)[解]由题意，得 3 2=2a+台 x=立=豆时，等号成立， 解得a-号[22)-f11.6-号[211)-2]，周此3) 所以(x-1)·y的疑大值是子故选A] b16 4,解析：设矩形场地的长为rm,宽为ym,尉x十y=10,所以S= 3-9f2)- /1)北1)和2)的取值范周代入 释9<3< ≤（宁）=25，当且收当=y=5时取等号，故矩彩场地的 最大面积为5m×5m=25m2, “3)的取位花周是[学智] 答案：25m 互动探究 5.解折y=+5=十4+=+4+1 +4√F+4 2+4 解析：极据>0，b>0,由a≤2h. 2b≤2a+b, 解得<分≤2， 令1=VP牛≥2y=计号在≥2时是单调遥增的y=1什 2ab ◆-[2]+是 >2一故量的最小值是受 15 a2+2 b [后号]，[] 答案： 跃升·关键能力题型1命题点1 答案[] [典例1](1)[解析]由x+2y+xy-7=0,得(r+2)(y十1)= 9,由x>0,y>0, 跟踪训练 得x+2>2,y十1>1，所以x+y=(x+2)+(y+1)-3 1.ABD[因为一1<2r-y<4,所以-24x-2y<8.因为一3<x 2(x+2)(y+1万-3=3， 十2y<2,所以-5<5.r<10,则-1<r<2,故A正确：因为-3< 当且仅当x十2=y十1=3时取等号，所以x十y的最小值为3.故 x十2y<2,所以一6<2x十4y<4.因为一1<2x-y<4,所以 选A. 一4<一2r+y<1,所以一10<5y<5,所以一2<y<1,故B正 [答案]A 确：周为-3+2<2，-1<2x-yK4,所以-号<号+ (2)[解析][因为一1<x<1,则0<1一x<2, 2<号-吉<号2r<尉-2<+y<2,批C 于是得y=一立 1-x 因为-3<+2<2.-1<2-y<4.片以-号<-吉(x+2 -[-+]小--可 =-1,当 <是-号<号2r-<号.明-1<-K3,故D正确] 且仅当1-=己即=0时取=，所以当=0时y 2.解析：由-受<a<受-受<-K受a3.得-x<0K0, 2-2x+2有最大值一1.] 2x-2 答案：（一元，0） [答案]A 416 命题点2 命题点4 1)汇解析]因为2+6=1， [典例4][解析]由a>>0,得a-b>0, [典例2] y 所以3红+y=(3r+0(径+9)=6+g+兰+6≥12+ 6Ma-b≤(g)'=号 g= +≥+≥·=4. 当且仅当18=2，即y=3r时取等号，又圈为2+6=1，所 当里权当b=a-bLa一青即a-区6-号时取等号 以=4，y=12,所以x+y=16. a2+一万的最小值为4 [答案]A 「答案]4 (2)[解析]：a,b为正实数，且a十b=2, 跟踪训练 +气+是“ 1.c[由r+-y=1,将(-学)广+（停）=1 =名+a+6-1+=1+名+ 1 1 令 =1+号（总+）儿a+6+1 号-n0 =1+号[3+2+] 故r+y=8in0叶cos0=2sim(0+若)∈[-2,2]，故A错误，B 正确： ≥1+专3+2②=6+2. 3 2(6+1)=a 当且仅当 a 3c0s20+ -号n(20-)+号e[号2]： a十b=2, 即a=6-3√2，b=32-4时取“=” (共中tanp= )故C正确，D错送.] [答案] 6+2厘6-32 3 2.A[因为正数y满足r2+6y-1=0,所以y=工 命题点3 [典例3][解析]法一（换元消元法）：由已知得x十3y=9一xy, >0->0 x>0, y>0, .解得0<<1.所以r+2y=x+1工- 6.r 3.r 因为x>0,>0,所以x+3y≥2√3xy, 2x122 所以3≤（生）.当且仅害x=3,即=3y=1时取 等号， 侣时取等号：北十2的最小佳为号] 脚(x+3y)2+12(x+3y)-108≥0. 令x十3y-1,则t>0且2+121-108≥0， 3.解析：因为上+名=1，所以xy=y+2r,y十x+y=3x+2y 得t≥6，即x+3y的最小值为6. 法二（代入消元法）：由x十3y十xy■9， （a+20(宁+号)-7+华+号>≥1+4当里收当y y 得所以++ 8,脚x-1+25. 3 _9-3y+3y(1+y2 y=2+√时取等号)， 1+y 所以xy十x十y的最小值为7+43. _9+3y2_3(1+)2-6(1+y)+12 答案：7十43 I+y 1+y 题型2 1一6 =31++是-6≥2V1+· [典例](1)[解析]：m>n>0,∴m+n>2√mn, =12-6=6.即x+3y的最小值为6. >m [答案]6 ∴a=e+=e字>em, 互动探究 解：法一：9-xy=x+3y≥2√3ry, 又6=e+e)>·e=ab>a> [答案]A .9-xy≥2√3ry 令ry=1,∴>0，.9-2≥231， （2[解折]由0号<+2y对任高的>0>0楼成立，得 即1+231一9≤0. m≤x+2义=1+2 解得0<t5.√ry≤3.xy≤3， 当且仪当x=3y,即x=3.y=1时取等号， xy的最大值为3. 法二0-yy2彩 1+y --3y+12+15y+)-12--3(y+1) 12 (+号+)≥(+3 y+1 y千+5≤ 当且仅当号-，即=y=号政，等号成立，脚骨<号， 2/+…+15=8 当收多3y+D=号中)==3时取等号 解得m≥号或m<1, xy的最大值为3. [答案]B 417 (3)[解析】4，=a1十(n-1d=,S,=1+m 16 2 (2):m≥0时n十+(m+1)≥26=8. 所以 S,+8 n(1+n2+8 2 =(++)≥ <-8+29=21,言里仅当片=m十13m=3(万元)时， mx=21(万元). (…+) 9 故该厂家2025年的促结费用投入3万元时，厂家的利润最大为 21万元. 当县权当n=4时取等号所以三士“的最小值是号 第4节一元二次函数与一元二次不等式 [答案]号 夯实·必备知识必备知识掌掘 跟踪训练 1.(1)一个2(2)值集合 .C[南4r+y-xy+手-1，知(+)(+)-1+ y 2.(xx<1,或x>x} {≠-品}Ru<<a 33 自主诊断查验思考辨析 当且仅当x=2y=8时，等号成立，则使不等式+子<m2+3m (1)√(2)/(3)×(4)×(5)/ 小题查验 有解，只需满足m2+3n>1即可，解得m∈(-o,一4)U(1,十∞).] 1.解析：方程x2一2x一3=0的解为x=一1或x=3. 2.解析：法一：依题意画出图形，如图所示 易知S△AD十S△xD=S△Ax· 故不等式x2-2x-3<0的解集为{x-1<x<3}. 答案：{x-1<r<3 即2csin60'+2asin60 1 2.A[南0<a<1,得日>1>a>0,解不等式(r-a)(-日）< -acsin 120', 0,得a<x< a a c 4a+e=(u+e(日+)-5+后+≥9 所以不等式-a(一)<0的解集是{<<日故 a c 选A.] 当里仅当后-，即a==3时取= 品.B[原不等式可化为号-2<0同>0，解得<-5成 法二：以B为原点，BD所在直线为T轴建立 >-2, 如图所示的平面直角坐标系， 则D(1,0),:AB=c,BC=a, 所以原不等式的解集为（一∞，一5]U(一2，十∞）.] a台)c(号-) 1D1.0) 4.A[国为=-号。=号是方程ar十h征十2=0的两个根， :A,D,C三点共线，AD∥DC -+2=0， 所以 (-)(-)+(号-)-0 号++2=0， 行引8-2行以a-10] ,4e=a十c, 1+1=1 5.解析：当m=0时，1>0，不等式恒成立，当m≠0时， a ∫m>0, 得0<<4.综上，0≤n<4. 4u+e=(u+e(位+2）=5++兴≥9. △=m2-4m<0, 答案：[0,4) 当且仅当后=只，即a=号(=3时取= 3 跃升·关键能力题型1命题点1 答案：9 [典例1门(1)[解析]解一元二次不等式.2-2.x>1. 题型3 得r<1-2或>1十2， [典例][解析]由题意知，PB=8,QB=12,设∠PMB=a 所以B={xlx<1一√2或x>1+√2 ∠QMB=BBM=,对tama-是，am9=是.所以n∠PMQ 因为A=(一2，-1.0,1,2}， 所以A∩B={一2，一1).故选A 12-8 [答案]A 4 =tan(3-a)= 1+2.82+96 +06- （2解析]不等式可化为2_-51-3≤0，即2r十1(-3》≤ (x-1)2 (x-1)2 2后·当且仅当x5,即/96时取等芳，又因为9610 0,解得-号<<1浅1K<3 [答案]D 所以BM大釣为10米. [答案]C (3)[解析]当x≥一2时，x十2<x(x十2√2)，可得x2十(2√② 跟踪训练 -10x-2>0, 解：(1)由题意知，当m=0时，x=1,.1=3一k→k=2, 所以x>2-√2或x<-1-√2， r=3-m2 十万 又x≥一√2，所以x>2-2: 每万件产品的销售价格为1.5×8士16（万元）， 当x<-√2时，-x-2<x(x十2V2).可得2十(2V瓦+1)x+ ②>0，解得x<-2-2或x>1-√2， 2025年的利商y-1.5x×8±6r-8-16r-m=4+8r一m 又x<一2，所以r<-2-2:综上，不等式|x十2<x(r+22) +8(-n子)-=-[片++D]+m≥0. 的解集为（一∞，一2一√2）U(2一√2，十o). [答案]B 418主题一第一章集合与常用逻辑用语、不等式 第2课时基本不等式 ★[课程标准] 1掌握基本不等式<吉ab>0. 2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题. 夯实必备知识 教材夯实强基固本 心备知识学屋 自主诊断查验 1基本不等式v瓜<兰 ◆[思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括 (1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0. 号里打“√”，错误的打“×” (2)等号成立的条件：当且仅当 时取 等号 1)函数y=x十是的最小值是2. 2.算术平均数与几何平均数 成立的条件是ab>0.( 设a≥0,6≥0，则a,6的算术平均数为，几 (3).x>0且y>0是2+y≥2的充要条件. 何平均数为ab,基本不等式可叙述为：两个非 ( 负实数的算术平均数大于或等于它们的几何 平均数. ④)若a>0,则。3+的最小值是2，a. 3.利用基本不等式求最值 (5)(a+b)2≥4ab(a,b∈R). 已知x≥0，y≥0，则 ◆[小题查验] (1)如果积xy是定值p,那么当且仅当 1.(多选)下列不等式的证明过程正确的是 时，x十y有最小值是 (简记：积定和 最小). (2)如果和x十y是定值s,那么当且仅当 A若a<060则2+≥2·=2 时，xy有最大值是 (简记：和定积 B.若x,y∈(0，十o∞)，则lgx+lgy≥21gxgy 最大). ·重要结论 C若x为负实数则x+>-2r…1=-4 几个重要的不等式 D.若x为负实数，则2十21≥2√2·2=2 (1)a2十b≥2ab(a,b∈R),当且仅当a=b时取 2.函数y=x+是的值域为 等号. A.(-∞，-2] (2)ab≤（空）(a,b∈R,当且仅当a=6时取 B.[2,+o∞) 等号 C.(-∞，-2]U[2,+0∞) (3)42+6 2 >(a,6ER.当且当a= D.R 3.已知x>1,y>0,x十y=2,则(x-1)·y的最 时取等号， 大值是 ④)6+4≥2(a,b同号)，当且仅当a三b时取 名 等号 c D.1 11 金榜题名创新高考总复习数学北师大版 4.(BSD必修第一册P29例5(1)改编)若把总长 5.(忽视等号是否成立)函数y=十5的最小 为20的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地 √π2+4 的最大面积是 值为 跃升，关键能力 层级突破素养提升 题型1 利用基本不等式求最值 (2)(2025·江苏常州市模拟)已知a,b为正实 [命题点1]通过配凑法利用基本不等式 数，且a+6=2,则2+年的最小值为 [典例1](1)(2025·南通模拟)已知x>0,y>0, 此时a= 且x十2y十xy一7=0，则x十y的最小值为 [尝试解答] ( A.3 B.4 C.5 D.6 (2)(2025·山东师范大学附中模拟)若一1<x <1,则y=22有 2.x-2 ( A.最大值一1 B.最小值-1 万法指母 C.最大值1 D.最小值1 通过常数代换法利用基本不等式求解最值的 [尝试解答] 基本步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值（常数）： (2)把确定的定值（常数）变形为1： (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘 或相除，进而构造和或积为定值的形式： (4)利用基本不等式求解最值. [命题点3]通过消元法利用基本不等式 [典例3]已知x>0,y>0,x+3y十xy=9,则 x十3y的最小值为 方法指寻 [尝试解答] 通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及 关键点 拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形， 通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为 定值的形式，然后利用基本不等式求解最值 的方法，拼凑法的实质是代数式的灵活变形， 拼系数、凑常数是关键 。[互动探究] [命题点2]通过常数代换法利用基本不 本例条件不变，求xy的最大值. 等式 [典例2](1)已知，y均为正数，若2+6=1， x y 则当3x十y取得最小值时，x十y的值为 ( A.16 B.4 C.24 D.12 12 主题一第一章 集合与常用逻辑用语、不等式 方法指导 (2)(2025·江苏模拟)已知x>0,y>0,且2a 通过消元法利用基本不等式求最值的策略 +y=2,若m号<x+2y对任意的x>0,y>0 m-1 当所求最值的代数式中的变量比较多时，通 恒成立，则实数m的取值不可能为 () 常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑 出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本 A司 B.g C. D.2 不等式求最值. (3)设等差数列{an}的公差是d,其前n项和是 ◆[命题点4]利用两次基本不等式求最值 的最小值是 [典例已知a>6>0,那么a2+6的最 S,若a=d=1,则+8 an [尝试解答] 小值为 [尝试解答] 方法指导 综合应用基本不等式的重点题型与求解策略 方法指导 题型 求解策略 两次利用基本不等式求最值的注意点 判断或证明不等 对所给不等式（或式子）变形， 当连续多次使用基本不等式时，一定要注意 式或比较大小 然后利用基本不等式求解 每次是否能保证等号成立，并且注意取等号 观察题目特点，利用基本不等 求参数的值或 的条件的一致性 式确定相关成立条件，从而得 范围 参数的值或范围 0跟踪训练 与函数、数列、解 1.(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若x,y满足x2十 利用已知条件进行转化，再利 析几何等其他知 y2-xy=1,则 ( 用基本不等式求解 识结合的问题 A.x十y≤1 B.x+y≥-2 C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1 2.若正数x,y满足x2+6xy-1=0,则x+2y的 跟踪训练 最小 ( 1.(2025·全国模拟)若两个正实数x,y满足4.x 号 6② C③ 3 D.2/3 十y=xy且存在这样的，y使不等式x十￥ 3.已知x>0,y>0,且上+2=1，则xy+x十y <m2十3m有解，则实数m的取值范围是 y 的最小值为 A.(-1,4) 题型2 基本不等式的综合应用 B.(-4,1) C.(-o∞，-4)U(1,十oo) [典例](1)(2025·临汾模拟)若m>n>0,a= D.(-∞，-3)U(0,十∞) √e"·e",b= 1 (em+e"),c=evm,则 2.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b, A.b>a>c B.a>c>b c,∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点 C.c>b>a D.b>c>a D,且BD=1,则4a十c的最小值为 13 金榜题名创新高考总复习数学北师大版 题型3〔 均值不等式的实际应用 跟踪训练 [典例](2025·广东模拟)在足球比赛中，球员 某厂家拟在2025年举行促销活动，经调查测 在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门 算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万 的威胁是不同的，出球点对球门的张角越大， 件与年促销费用m万元(m≥0)满足x=3 射门的命中率就越高.如图为室内5人制足球 十k为常数)，如果不搞促销活动，则该产 k 场示意图，设球场（矩形）长BC大约为40米， 品的年销售量只能是1万件.已知2023年生 宽AB大约为20米，球门长PQ大约为4米. 产该产品的固定投入为8万元.每生产1万件 在某场比赛中有一位球员欲在边线BC上某 该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品 点M处射门（假设球贴地直线运行），为使得 的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5 张角∠PMQ最大，则BM大约为（精确到 倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分 1米) 资金) (1)将2025年该产品的利润y万元表示为年 促销费用m万元的函数： (2)该厂家2025年的促销费用投入多少万元 A.8米 B.9米 C.10米 D.11米 时，厂家的利润最大？ [尝试解答] 方法指导 在利用基本不等式解决实际问题时，一定要 注意所涉及变量的取值范围，即定义域.若使 基本不等式等号成立的变量值不在定义城内 时，则要研究函数的单调性，利用单调性求 最值. 请完成课时冲关4 14