第3节 第1课时不等式的性质-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

2.A[对于伞题p当上=一合时r=一号>-名=，所以p L.D[当c≤0时，不等式ac>c不成立，故A不正确：当a>0,b< 为真命题： 0时，不等式。<行不成主故B不正确：查0=-16=-2时， 对于命题q,由于2≥0恒成立，所以恒有x2+1>1>0. 不等式2>不成主，故C不正确，由不等式的性质知，选项D 综上，p和g均为真命题.故选A.] 正确，] 命题点2 5.解析：0<h<1,.-1<-h<0,0<a<2, 1,B[命题是全称命题，因为命题p:Hx≥0，e≥1或sinx<1, ,.-1a-b<2. 所以p:3x≥0，e<1且sinx≥1.] 答案：（一1,2） 2.C[周为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以一p:“任意 跃升·关键能力题型1 x∈[1，十∞)，使得(log23)r≤1”.] 命题点3 [典例](1)[解析]x=a十he,y=b+ae,e=h+a心， .y-=a(e-). [典例](1)[解析]因为“x∈R,x2一4x十4≠0”为假命题， 所以“3x∈R,x2一4x十a=0”是真命题， 叉a>b>0,e>1,.>,,y>g, 即方程r2-4r十a=0有实数根，则△=（一4）2-4a≥0，解得a g-x=(h-a)+(a-b)心=(a-b)(d-1), ≤4， 又a>b>0t>1>x, 即实数4的取值范图是（一，4门.故选A. 综上，x<<y 答案]A [答案]A (2)[解析]当x∈[0,3]时，f（x)mm=f(0)=0,当x∈[1,2]时， (2)[解析]法-M-N=心3+1C24+1 22t+1e20西+ gr=-8(2)--m,由f)m≥8✉)=得0≥-m,所 =(203+1D(c225+1)-(c2021+1)2 以m>子中实数m的取值范国为[子十一） (e2024+1)(e2025+1) e2o23+e202i-2e2021 e202s(e-1)2 [答案] [片+∞) (e0+1)(e2+1)(ea4+1)(e20s*可>0， ∴.M>N 互动探究 (e*1+1)+1- 解析：当x∈[1,2]时，g(x)a=g(1)=交一m: 法二：令f(x)=心十1 -e e er+1+1 e+T+1 由r)m≥g）得0≥号-mm≥名：中实载m的取值 范国为[子+四） +十显然f)是R上的减函经， .f(2023)>f(2024),即M>N. 答案[+) [答案]M>N 跟踪训练 跟踪训练 L.解析：因为xy为整数， 1.B[依题意命题“r∈R,ax十1≥0”为真命题， 当a=0时，1≥0成立， 则+}->0县>0… y ry 当a>0时.a.x2+1≥0成主， rty 当a<0时，函数y=a.十1开口向下，a,z2十1≥0不成立. 综上所述，4≥0.] 由子=≥2-=音且收当=y时，￥ y y ry 2解折：若￥x∈[一音，受]anr≥m是真今题， ty 号成立， 则实数m小于等于y=anx在[一，] 的最小值， ty 周为y=在[一吾，子]上为培数 所以≥>1，所以+> yr+y x+y 所以画数y=amr在[一音，开]上的最小值为-厅， 答案：M>V 所以m≤一尽，即实数m的最大值为一√3. 2解：周为a-3>06-2>0,所以号-3·品2- 3·1n231n2 答案：一 h8=loe9>1, 第3节 不等式 所以a>b. 第1课时不等式的性质 题型2 夯实·必备知识必备知识掌握 1.B[对于A,取r=y,该不等式成立，但不满足>y:对于C,该 1.(1)> <(2)>< 不等式等价于十子>叶号取一0，y-1,谁不等式成立，但 自主诊断查验思考辨析 (1)×(2)×(3)×(4)/(5) 不满足>y对于D孩不等我等价于+子>y叶取一0， 1 小题查验 y=1,该不等式成立，但不满足x>y:下而证明B: .A[M-N=2+r+1=(+)厂+>0，所以M>N] 法一不等我等价于>y动而一>y>y 1 2.A[a-√b>0-→a>b≥0→a2>b→a2-2>0.,反之不成立， .“va一√>0”是“a2一>0”的充分不必要条件，门] 子画款0=一上在0，十o)上单增，故> 3.BD[根据a>b,取a=1,b=-1,则。<不成立，故A铅误： 1 :a>b,.由不等式的基本性质知a2≥b2成立，故B正确：由a >0>b,取a=1,b=一1，则a2<一ab不成立，故C错误：，c>d 2.C[法-：周为日<名<0，故可取a=-1,6=-2,是然1a+6 >b>0,∴(a-b)c>0,∴ae-ab>bc-ab,即a(e-b)>b(c-a). =1一2=一1<0，所以②错误： >0>0小。>D正 周为lna2=ln(-1)2=0,ln2=ln(-2)2=ln4>0,所以④错 误.综上所述，可排除ABD, 415 法二：<<0，可知a<0, 第2课时基本不等式 ①中，周为a+b<0,b>0,所以<0，>0.批有b< 夯实·必备知识必备知识掌握 1.(2)a=b ,即①正确： 1 3.(1)x-y2√D(2)x=y1 ②中，因为b<a<0,所以一b>一a>0.故-b>a,即a|十b< 自主诊断查验思考辦析 0,故②错误： (1)×(2)×(3)×(4)×(5)/ @中，因为a<0<右<0，->->0，所以a 小题查验 日>0方故回正确 1AD[由a<00,可得名>0，号>0，则由装本不等式可得。 ①中，因为b<a<0,报据y=xr2在（一o,0)上为减盛数，可得 会+若≥合·号=2，此A正填ER时，gy有可 >a2>0,而y=lnT在定义城(0，十o)上为增函数，所以ln lna2,故④错误.由以上分析，知①③正确.] 能为0或负数，不持合基本不等式的条件，B错联；若x<0,则工 3.BD[对于A,取特殊值a=2,h=1,c=一1，满足a>b>c,但ac +--[-x+(-)]-2·(-)--4.C <x,故A不正确：对于B,因为a,b,c均为非零实数，且a>b c,所以c2>0,所以ac>2,故B正确：对于C,取特殊值a=3,b 错误：x<0时，2>0，由基本不等式可得，2r十2≥2，故D =2c=一1，满足非零实数a>b>c,此时(a一b)r=(3-2)1 正确，门 1,a-cy=(3-1)1=21=2,但(a-by>(a-0y,故C不 2.C[由题意，画数y=十子的定义城为x≠0.当>0时， 正确：对于D,因为a,b,c均为非零实数，且a>h>c,所以一b< -ca->0,a-b>0,所以0<a-h<a-6.0<0<1,所以 y->≥3√-2，当1时取得当<0时y a-c 1 1na二<ln1,即1n二b<0,故D正确.] =-(-+)<-2…=2=-1时 a-c 题型3 取得等号，综上，画靴y=r十的值城是（一四，一2]U [典例](1)[解析]国为-一3<a<-2,所以a2∈(4,9)，而3<h [2,十∞).] <,故亏的取值范围为(1,3)， 3.A[因为x>1,y>0,x十y=2,则x-1>0,(x-1)+y=1, [答案]A 可得（红一1D·<[=士-，含且仅当x-1=,即 4 (f(1)=d+b, (2)[解]由题意，得 3 2=2a+台 x=立=豆时，等号成立， 解得a-号[22)-f11.6-号[211)-2]，周此3) 所以(x-1)·y的疑大值是子故选A] b16 4,解析：设矩形场地的长为rm,宽为ym,尉x十y=10,所以S= 3-9f2)- /1)北1)和2)的取值范周代入 释9<3< ≤（宁）=25，当且收当=y=5时取等号，故矩彩场地的 最大面积为5m×5m=25m2, “3)的取位花周是[学智] 答案：25m 互动探究 5.解折y=+5=十4+=+4+1 +4√F+4 2+4 解析：极据>0，b>0,由a≤2h. 2b≤2a+b, 解得<分≤2， 令1=VP牛≥2y=计号在≥2时是单调遥增的y=1什 2ab ◆-[2]+是 >2一故量的最小值是受 15 a2+2 b [后号]，[] 答案： 跃升·关键能力题型1命题点1 答案[] [典例1](1)[解析]由x+2y+xy-7=0,得(r+2)(y十1)= 9,由x>0,y>0, 跟踪训练 得x+2>2,y十1>1，所以x+y=(x+2)+(y+1)-3 1.ABD[因为一1<2r-y<4,所以-24x-2y<8.因为一3<x 2(x+2)(y+1万-3=3， 十2y<2,所以-5<5.r<10,则-1<r<2,故A正确：因为-3< 当且仅当x十2=y十1=3时取等号，所以x十y的最小值为3.故 x十2y<2,所以一6<2x十4y<4.因为一1<2x-y<4,所以 选A. 一4<一2r+y<1,所以一10<5y<5,所以一2<y<1,故B正 [答案]A 确：周为-3+2<2，-1<2x-yK4,所以-号<号+ (2)[解析][因为一1<x<1,则0<1一x<2, 2<号-吉<号2r<尉-2<+y<2,批C 于是得y=一立 1-x 因为-3<+2<2.-1<2-y<4.片以-号<-吉(x+2 -[-+]小--可 =-1,当 <是-号<号2r-<号.明-1<-K3,故D正确] 且仅当1-=己即=0时取=，所以当=0时y 2.解析：由-受<a<受-受<-K受a3.得-x<0K0, 2-2x+2有最大值一1.] 2x-2 答案：（一元，0） [答案]A 416金榜题名创新高考总复习数学北师大版 。[互动探究] 目跟踪训练 若将本例(2)中“3x2∈[1,2]”改为“Vx2∈ 1.(2025·青岛模拟)若命题“Hx∈R,a.x2十1≥ [1,2]”,其他条件不变，则实数m的取值范围 0”为真命题，则实数a的取值范围为() 是 A.a>0 B.a≥0 C.a≤0 D.a≤1 方法指导 对于含量词的命题中求参数的取值范围的问 2.若“Yx∈[一牙，香]，anx≥m”是真命题，则 题，可根据命题的含义，利用函数值域（或最 实数m的最大值为 值)解决. 请完成课时冲关☑ 第3节 不等式 第1课时 不等式的性质 ★[课程标准] 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系。 2.了解不等式（组）的实际背景. 3.掌握不等式的性质及应用. 夯实>必备知识 教材夯实强基固本 似备知识学握 ·重要结论 1,两个实数比较大小的方法 不等式的一些常用性质 a-b>0-a b. 1.倒数性质的几个必备结论 (1)作差法{a一b=0台a=b, 1a>6b>0→日 a-b<0Ha b. >1→a b b(a∈R,b>0), (2)a<0<b=1<1 2.两个重要不等式 (2)作商法 =1台a=b(a∈R,b>0). 若a>b>0,m>0,则 ∠1eu （a)b<b+m,b>-m(6-m>0: b b(a∈R,b>0). aa+m'aa-m 2.不等式的性质 (2)号>80：号<看6-m>0, 性质 性质内容 注意 自主诊断查验 性质1如果a>b且b>c,那么a>c → ◆[思考辨析] 性质2如果a>b,那么a十c>b十c 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括 如果a>b,c>0那么ac>bc: 号里打“/”，错误的打“×” 性质3 c的符号 如果a>b,c<0那么ac<bc (1)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个 性质4 如果a>b,c>d,那么a+c>b+d 数，不等号方向不变. ( 如果a>b>0,c>d>0,那么ag (2)一个非零实数越大，则其倒数就越小. >bd; 性质5 如果a>b>0,c<d<0,那么ac (3)同向不等式具有可加和可乘性. <bd (4)a>b>0,c>d>0→g>b 当a>b>0时.Va>b(n∈ a,b同 性质6 N+,n≥2) 为正数 (5)若ab>0,则a>b=1<1 8 主题一第一章 集合与常用逻辑用语、不等式 ◆[小题查验] 1.设M=x2,N=一x-1,则M与N的大小关 A若a>6,则日分 系是 ( B.若a>b,则ac2>bc2 A.M>N B.M=N C.若a>0>b,则a2<-ab C.M<N D.与x有关 n.若c>a>6>0,则“。>6 2.若a,b都是实数，则“a-√b>0”是a2-b2> 4.(BSD必修第一册P26练习Ts改编)已知a,b, 0”的 ( c∈R,且a>b,则下列不等式中成立的是 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 A.ac>be C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 C.a2>62 D.a+c>b+c 3.(多选)对于实数a,b,c,下列命题是真命题 5.(忽视不等式的性质致误)若实数a,b满足0< 的为 a<2,0<b<1,则a一b的取值范围是 跃升>关键能力 层级突破素养提升 方法指导 题型1 比较两个数（式）的大小 比较两个数大小的常用方法 「典例] (1)(2025·重庆模拟)若0<b<a<。 (1)作差法：其基本步骤为：作差、变形、判断 符号、得出结论，用作差法比较大小的关 x=a十be,y=b十ae“,之=b十ae,则 键是判断差的正负，常采用配方、因式分 A.I<<y B.<I<y 解、分子（分母）有理化等变形方法 C.<y< D.y<z< (2)作商法：即判断商与1的关系，得出结论， c2晒+号则M,N (2)已知MC22+V=e2o24+1 要特别注意当商与1的大小确定后必须 的大小关系为 对商式分子分母的正负做出判断，这是用 [尝试解答] 作商法比较大小时最容易漏掉的关键 步骤. (3)特值验证法：对于一些小题目，有的给出 取值范围，可采用特值验证法比较大小· (4)构造函数法：若几个量形式相同，可构造 函数，使得几个量可能视为该函数的出数 值，则只需判断函数的单调性即可比较大小. 目跟踪训练 1L设y为正数，M=上十号N=则M, N的大小关系为 (用“>”连接) 2.若a=,6-2,比较a与6的大水 9 金榜题名 创新高考总复习数学北师大版 题型2 不等式的性质 (2)(2025·山东日照模拟)已知f(x)=a.x十 1.(2025·浙江模拟)已知x,y是正实数，则下列 么，若-3≤f1)≤0,3≤f(2)≤6，求f(3)的 式子中能使x>y恒成立的是 ( 取值范围. A.x+2>y+1 1 1 [尝试解答] y B.x+2>y+ 1 >y D.x- 1 2y>y- 2若}<6<0给出下列不等式：①6 a+b abi ②a+b>0;③a- >b-6:④na2>n. 其中正确的不等式是 ( A.①④ B.②③ C.①③ D.②④ 3.(多选)(2025·黄冈中学模拟)已知a,b,c均 ·[互动探究] 为非零实数，且a>b>c,则下列不等式中，一 若将本例(2)中条件改为设a>0,b>0,a≤2b 定成立的是 ( ≤2a十，则26的取值范围为 2ab A.ac>bo B.ac2>bc2 C.(a-b)<(a-c) D.In 4-b0 方法指得 a-c 利用不等式性质可以求某些代数式的取值范 题后反思 围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式 (1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理 的性质；二是在多次运用不等式的性质时有 判断或反例说明.常用的推理判断需要利 可能扩大了变量的取值范围，解决的途径是 用不等式的性质 先建立所求范围的整体与已知范围的整体的 (2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先 等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运 把要判断的命题和不等式性质联系起来 算求解范围 考虑，找到与命题相近的性质，并应用性 』跟踪训练 质判断命题真假，当然判断的同时还要用 1.(多选)(2025·山东模拟)已知实数x,y满足 到其他知识，比如对数函数，指数函数的 -3<x+2y<2,-1<2.x-y<4,则() 性质等 A.x的取值范围为（一1,2） 题型3 不等式性质的综合应用 B.y的取值范围为（一2,1） [典例] (1)已知-3<a<-2,3<b<4,则%的 C.x十y的取值范围为（一3,3） D.x一y的取值范围为（一1,3） 取值范围为 2.若- 受<a<<受，则a一B的取值范围是 A.(1,3) B(停) c(层，) n.( 请完成课时冲关3 10