第2节 常用逻辑用语-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

主题一第一章集合与常用逻辑用语、不等式 第2节 常用逻辑用语 ★[课程标准] 1.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义 2.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义. 3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定 夯实，必备知识 教材夯实强基固本 似备知识掌握 2.充要关系与集合的子集之间的关系 1.命题的概念 A=(rlp(x)),B=xlq(x)), 可以判断真假，用文字或符号表述的陈述句叫 (1)若A二B,则p是q的充分条件，q是力的必 作命题， 要条件. 2.充分条件、必要条件与充要条件的概念 (2)若A三B,则p是q的充分不必要条件，9是 p的必要不充分条件. p是q的 ,g是p的 p→q (3)若A=B,则p是q的充要条件. p是g的 条件 p→g且9为p 3.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词、 否结论” p是g的 条件 pPq且q→p 自主诊断查验 p是q的 条件 eq ◆[思考辨析] p是q的 条件 pPq且qPp 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括 号里打“/”，错误的打“×” 3.全称量词命题、存在量词命题 (1)命题p的否定的否定是p. ( (1)在给定集合中，断言所有元素都具有同一种 (2)若p是q成立的充分条件，则q是p成立 性质的命题叫作全称量词命题，在命题中，诸 的必要条件， 如“所有”“ wu (3)若p是g成立的充要条件，则可记为p台q. 这样的词叫作全称量词，用符号“V”表示 () (2)在给定集合中，断言某些元素具有一种性质 (4)“3x∈M,x具有p(x)”与“Hx∈M,7p 的命题叫作存在量词命题，在命题中，诸如 (x)”的真假性相同。 ( “有些”“有一个”“ ”这样的词叫作存 (5)“存在一个菱形，它的四条边不相等”是存 在量词，用符号“了”表示 在量词命题， () (6)“对顶角相等”是全称量词命题.( 4,全称量词命题、存在量词命题的否定 ◆[小题查验] 量词命题 量词命题的否定 结论 1.(BSD必修第一册P18练习T1(4)改编)“xy>0” 是“x<0,y<0”的 Hx∈M,x具 3x∈M,x不全称量词命题的否 A.充分不必要条件 有性质p(x) 具有性质p(x)定是存在量词命题 B.必要不充分条件 3x∈M,x具 Hx∈M,x不存在量词命题的否 C.充要条件 有性质p(x) 具有性质p(x)定是全称量词命题 D.即不充分也不必要条件 ·重要结论 2.命题V>02号>0的否定是 1.在判断充分、必要条件时，小可以推大，大不 A3x<051<0 B.3x>0,0≤x≤1 可以推小，如x>2(小范围)→x>1(大范 围)，x>1(大范围)≠x>2(小范围). C.V>01≤0 D.Hx<0,0≤x≤1 金榜题名创新高考总复习数学北师大版 3.(2024·天津卷)设a,b∈R,则“a3=b3”是 4.“x(x一1)=0”是“x=1”的 条件（选 “30=3”的 ( 填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充 A.充分不必要条件 分也不必要”). B.必要不充分条件 5.(忽视二次项系数的讨论)命题“Hx∈R,a.x2 C.充要条件 一ax十1>0”为真命题，则实数a的取值范周 D.既不充分也不必要条件 是 跃升，关键能力 层级突破素养提升 题型1 充分、必要条件的判定 提醒：判断条件之间的关系要注意条件之 间关系的方向，要注意“A是B的充分不必 1.(2023·北京卷)若xy≠0，则“x十y=0”是“y 要条件”与“A的充分不必要条件是B”的 +工=一2”的 区别，要正确理解“p的一个充分不必要条 件是g”的含义， A.充分不必要条件 题型2〔利用充要条件求参数的取值（范围） B.必要不充分条件 C.充要条件 [典例]已知集合A={xx2-8.x-20≤0}，非 D.既不充分也不必要条件 空集合B={x1一m≤x≤1十m}.若x∈A是 x∈B的必要条件，求m的取值范围. [考题解读]本题以两个等式为载体设置 [尝试解答 题目，考查逻辑推理，数学探索能力.充分必 要条件是高考命制创新试题的重要载体，它 与其他知识结合，题目具有一定的灵活性， 能很好地考查学生的理性思维能力， 2.(2025·江西新余市模拟)若a>0,b>0,则“a2 +b2≥2”是“a十b≥2”的 条件( A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 3.(2024·全国甲卷)设向量a=(x十1，x),b= (,2),则 ·[互动探究] A.“x=一3”是“a⊥b”的必要条件 若将本例中条件改为“若x∈A是x∈B的必 B.“x=一3”是“a∥b”的必要条件 要不充分条件”，求m的取值范围. C.“x=0”是“a⊥b”的充分条件 D.“x=一1十√3”是“a∥b”的充分条件 题后反思 判断充分、必要条件的3种方法 (1)定义法：根据p→q,q→p进行判断，适用 于定义、定理判断性问题. (2)集合法：根据p,9成立的对象的集合之间 的包含关系进行判断，多适用于命题中涉 及字母范围的推断问题. (3)等价转化法：指对所给题目的条件进行一 系列的等价转化，直到转化成容易判断充 分、必要条件是否成立为止 主题一第一章集合与常用逻辑用语、不等式 方法指导 ●[命题点2]含有一个量词的命题的否定 (1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条 1.(2025·湖北襄阳模拟)已知命题p:Hx≥0， 件或充要条件转化为集合之间的关系，然 e≥1或sinx<1,则p为 后根据集合之间的关系列出关于参数的 A.3x<0,e<1且sinx≥1 不等式求解. B.3x≥0，er<1且sinx≥1 (2)注意利用转化的方法理解充分必要条件： C.3x≥0，e<1或sinx≥1 若一p是g的充分不必要（必要不充分、 D.3x<0,e'≥1或sinx≤1 充要)条件，则力是q的必要不充分（充分 2.已知命题p:“存在x∈[1，十∞)，使得(log23)r 不必要、充要)条件. >1”,则下列说法正确的是 () D跟踪训练 A.p:“任意x∈[1，十o∞)，使得(log23)<1” 1.(2025·河南联考)若“|x十1|=2”是“1og2x十 B.p:“不存在x∈[1，+∞)，使得(log23) 2r=a”的必要不充分条件，则实数a=( <1” A.3 B.2 C.1 D.0 2.若(x-a)2<4成立的一个充分不必要条件是 C.7p:“任意x∈[1，十∞)，使得(1og23)≤1” 1十2<0则实数a的取值范周为 D.p:“任意x∈(-o∞，1)，使得(log23)≤1” ( 题后反思 A.(-∞，4] B.[1,4] 全称量词命题与存在量词命题的否定与命题 C.(1,4) D.(1,4 的否定的区别 题型3〔 全称量词命题与存在量词命题 全称量词命题与存在量词命题的否定与命题 [命题点1]全称量词命题与存在量词命题的 的否定有一定的区别，否定全称量词命题和 真假判断 存在量词命题时，一是要改写量词，全称量词 1.(2024·江西模拟)已知命题p1:存在x>0,使 改写为存在量词，存在量词改写为全称量词； 得x+≤4，命题：对任意的x∈R,都有 二是要否定结论，而一般命题的否定只需直 接否定结论即可. tan 2.x= n号，命题3：存在x∈K,使得 提醒：对于省略量词的命题，应先挖掘命题中 3sinx+4cosx=6,其中正确命题的个数是 隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写 ( 出命题的否定. A.0 B.1 C.2 D.3 ◆[命题点3]参数的取值范围问题 2.(2025·海南模拟)已知命题p:3x<0,x3>x, 命题q:x<0,x2+1>0,则 [典例](1)(2025·呼和浩特期未)若命题“Hx ( A.p和q均为真命题 ∈R,x2一4x十a≠0”为假命题，则实数a的取 B.一p和g均为真命题 值范围是 ( C.p和q均为真命题 A.(-∞，4] B.(-∞，4) D.一p和一q均为真命题 C.(-o,-4) D.[-4,+∞) 题后反思 全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法 2已知fx)=ln(x2+1D,gr)=(侵) 命题名称真假 判断方法一 判断方法二 m,若对Hx1∈[0,3]，3x2∈[1,2]，使得 f(x1)≥g(x2),则实数m的取值范围是 全称量词 真 所有对象使命题真 否定为假 命题 假存在一个对象使命题假 否定为真 [尝试解答] 存在量词 存在一个对象使命题真 否定为假 命厕 所有对象使命题假 否定为真 提醒：不管是全称量词命题，还是存在量词命 题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其 否定的真假 金榜题名创新高考总复习数学北师大版 。[互动探究] 目跟踪训练 若将本例(2)中“3x2∈[1,2]”改为“Vx2∈ 1.(2025·青岛模拟)若命题“Hx∈R,a.x2十1≥ [1,2]”,其他条件不变，则实数m的取值范围 0”为真命题，则实数a的取值范围为() 是 A.a>0 B.a≥0 C.a≤0 D.a≤1 方法指导 对于含量词的命题中求参数的取值范围的问 2.若“Yx∈[一牙，香]，anx≥m”是真命题，则 题，可根据命题的含义，利用函数值域（或最 实数m的最大值为 值)解决. 请完成课时冲关☑ 第3节 不等式 第1课时 不等式的性质 ★[课程标准] 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系。 2.了解不等式（组）的实际背景. 3.掌握不等式的性质及应用. 夯实>必备知识 教材夯实强基固本 似备知识学握 ·重要结论 1,两个实数比较大小的方法 不等式的一些常用性质 a-b>0-a b. 1.倒数性质的几个必备结论 (1)作差法{a一b=0台a=b, 1a>6b>0→日 a-b<0Ha b. >1→a b b(a∈R,b>0), (2)a<0<b=1<1 2.两个重要不等式 (2)作商法 =1台a=b(a∈R,b>0). 若a>b>0,m>0,则 ∠1eu （a)b<b+m,b>-m(6-m>0: b b(a∈R,b>0). aa+m'aa-m 2.不等式的性质 (2)号>80：号<看6-m>0, 性质 性质内容 注意 自主诊断查验 性质1如果a>b且b>c,那么a>c → ◆[思考辨析] 性质2如果a>b,那么a十c>b十c 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括 如果a>b,c>0那么ac>bc: 号里打“/”，错误的打“×” 性质3 c的符号 如果a>b,c<0那么ac<bc (1)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个 性质4 如果a>b,c>d,那么a+c>b+d 数，不等号方向不变. ( 如果a>b>0,c>d>0,那么ag (2)一个非零实数越大，则其倒数就越小. >bd; 性质5 如果a>b>0,c<d<0,那么ac (3)同向不等式具有可加和可乘性. <bd (4)a>b>0,c>d>0→g>b 当a>b>0时.Va>b(n∈ a,b同 性质6 N+,n≥2) 为正数 (5)若ab>0,则a>b=1<1 8(2)[解析]A=xx2十2x-3>0}={x|x>1或x<一3}，设画 法二：充分性：因为xy≠0，且x十y=0, 数f(x)=x2-2ax一1，因为函数f(.x)=xr2一2ax一1图象的对 称轴为直线x=a(a>0),f(0)=一1<0，根据对称性可知，若A 所以号+=++22 y 门B中拾有一个整教，财这个整数为2，所以有{)0：即 =红十y》2一2y-二22=-2，所以充分性成立： ry ry 3 14-4a-1≤0：所以 3 1m8∠a· 必要性：周为y≠0，且号+￥=一2 19-6a-1>0, 4 a<3' 所以是+义=2+y-2+y+2ry-2型 ty [答案]B =(x+y)2-2xy_(x+y)2 跟踪训练 -2=-2, Ty xy 1.B[若a一2=0，则a=2,此时A={0,-2},B=(1,0,2},不满 足题意：若24一2=0，则4=1，此时A={0,一1)，B={1,-1,01, 所以r十y) y =0,所以(x+y)=0,所以x十y=0,所以必要性 满足题意.故选B.门 成立。 2.A[因为整数集U={xx=3k,k∈ZU{xx=3k十1，k∈Z)U {xx=3k+2,k∈Z,所以C,(MUN)={xx=3k,k∈Z.] 所以若xy≠0，则“x十y=0”是“工十义=一2”的充要条件.] 题型4 [典例][解析]由题意，集合U=(1,2,3,4,5,6}的真分拆有 2.B[依题意，取a=巨6=号，满足2+≥2，而a十b<2 A1=(52,A2=1,2,3,4,61:A1=1,4}.A2=(2,3,5,61:A1= {3,4,A±=1,2,5,63：A={4,5},A2={1.2.3,6}:A1 直0十≥2时0+=中去a≥多a十b,省具软 2 {4,6},A1=(1,2,3,5},共5种， 当a=b时取"=”，则a2+2≥2， [答案]A “a2十≥2”是“a十b≥2”的必要不充分条件] 跟踪训练 3,C[对A,当a⊥b时，则a·b=0, D[由A={xx2+x=0},可得A=(一1,0}， 因为(x2+ax)(x2+a.x十1)=0等价于x2+a.x=0或x2十axr+1 所以x·(x十1)十2x=0,解得x=0或一3，即必要性不成立，故 =0, A错误： 且A={一1,0)，AB=1,所以集合B要么是单元素集，要么是 对C,当x=0时，a=(1,0),b=(0,2),故a·b=0, 三元意集， 所以a⊥b,即充分性成立，故C正确： ①若B是单元素集，则方程x2十ax=0有两个相等实数根，方程 对B.当a∥b时，则2(x十1)=x2,解得x=1士√，即必要性不成 x2十4x十1=0无实数根，故a=0: 立，故B错误： ②若B是三元素集，则方程x”十ax=0有两个不相等实数根·方 对D,当x=一1十√3时，不满足2(x十1)=x2,所以a∥b不成立， 程x2十4x十1一0有两个相等且异于方程x2十ar=0的实数根， 即a2-4=0→4=士2且a≠0. 即充分性不立，故D错误，故选C,] 综上所求a=0或a=士2，即S={0,一2,21，故C(S)=3.] 题型2 [典例][解]由x2-8x-20≤0，得-2≤r≤10， 第2节常用逻辑用语 .A={x-2x≤107. 夯实·必备知识必备知识掌握 由x∈A是r∈B的必要条件，知B二A. 2.充分条件必要条件充分不必要必要不充分充要 既不 「1一m≤1十m, 充分也不必要 则1一m≥-2..0≤m≤3. 3.(1)每一个任意一切(2)存在一个 1十m≤10， 自主诊断查验思考辨析 .当0m≤3时，x∈A是r∈B的必要条件，即所求m的取值 (1)/(2)/(3)/(4)×(5)/(6)/ 范国是[0,3 小题查验 互动探究 1.BL图为xy>0不能推出x<0,y<0,且x<0,y<0能推出y 解：由x∈A是xEB的必要不充分条件，知B匡A, >0,所以“xv>0”是“x<0,y<0”的必要不充分条件.] 1一m≤1十m,(1一m≤1十m, 2B[因为高>0所以K0或>1，所以马>0的香定是0 1一m≥一2，浅1一m>-2, 1+m<10 1十m≤10， ≤x≤1，所以命题的否定是3>0,0≤x≤1.门 3.C[根据立方的性质和指数函数的性质，a3一3和3=3都当 解得0≤m≤3或0≤m<3, 且仅当a=b,所以二者互为充要条件.故选C.] .0≤m3, 4.解析：x(.x-1)=0一x=0成r=1.即x(r-1)=0不一定有x 故m的取偵范图是[0,3] 1成立：但x=1能推出x(x一1)=0成立，故“x(x一1)=0”是 跟踪训练 “x=1”的必要不充分条件。 1.B[解|x+1=2得r=1或一3，设集合A=(1,一31，方程 答案：必要不充分 1og2x十2=a的解集为集合B,则B军A且B≠☑，所以B={1} 5.解析：①当a=0时，1>0：成立，a=0满足条件， 或B={一3.当B=(11时，1og1十2=a,所以a=2:当B=(一3 ②当a≠0时，△=公2-4u<0: 1a>0, 时，不成立。 2.D[由(.x-a)<4.可得a-2<r<a+2: 解得0<a<4,综上，0≤a4. 答案：[0,4) 7是=多二≤0，则-2)0-3)≤0·可得2<<3： 由1十2-x2-7 2-x≠0， 跃升·关键能力题型1 1,C[法一：充分性：图为ry≠0，且x十y=0,所以x■一y, :(一2<成立的一个无分不必要条件是1十六<0 所以号+是=宁+六，=-1-1=-2，所以完分性或立： ≤2可得1<a≤4.们 1a+2>3. 必要性：因为Ty≠0，且二+义=一2，所以2十y2=一2xy,即 题型3命题点1 x2+y2+2.ry=0.即(x+y)2=0,所以x十y=0.所以必要性 1,B[当x=2时，显然p成立：当=开时，可知口不成立：由 成立， 载助角得3sinx+4cosx=5sin(r十g),所以3sinx+4cosx的最 所以若xy≠0，则“x十y=0“是“十义=一2”的充要条件. y 大值为5，所以p为假命题，门 414 2.A[对于伞题p当上=一合时r=一号>-名=，所以p L.D[当c≤0时，不等式ac>c不成立，故A不正确：当a>0,b< 为真命题： 0时，不等式。<行不成主故B不正确：查0=-16=-2时， 对于命题q,由于2≥0恒成立，所以恒有x2+1>1>0. 不等式2>不成主，故C不正确，由不等式的性质知，选项D 综上，p和g均为真命题.故选A.] 正确，] 命题点2 5.解析：0<h<1,.-1<-h<0,0<a<2, 1,B[命题是全称命题，因为命题p:Hx≥0，e≥1或sinx<1, ,.-1a-b<2. 所以p:3x≥0，e<1且sinx≥1.] 答案：（一1,2） 2.C[周为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以一p:“任意 跃升·关键能力题型1 x∈[1，十∞)，使得(log23)r≤1”.] 命题点3 [典例](1)[解析]x=a十he,y=b+ae,e=h+a心， .y-=a(e-). [典例](1)[解析]因为“x∈R,x2一4x十4≠0”为假命题， 所以“3x∈R,x2一4x十a=0”是真命题， 叉a>b>0,e>1,.>,,y>g, 即方程r2-4r十a=0有实数根，则△=（一4）2-4a≥0，解得a g-x=(h-a)+(a-b)心=(a-b)(d-1), ≤4， 又a>b>0t>1>x, 即实数4的取值范图是（一，4门.故选A. 综上，x<<y 答案]A [答案]A (2)[解析]当x∈[0,3]时，f（x)mm=f(0)=0,当x∈[1,2]时， (2)[解析]法-M-N=心3+1C24+1 22t+1e20西+ gr=-8(2)--m,由f)m≥8✉)=得0≥-m,所 =(203+1D(c225+1)-(c2021+1)2 以m>子中实数m的取值范国为[子十一） (e2024+1)(e2025+1) e2o23+e202i-2e2021 e202s(e-1)2 [答案] [片+∞) (e0+1)(e2+1)(ea4+1)(e20s*可>0， ∴.M>N 互动探究 (e*1+1)+1- 解析：当x∈[1,2]时，g(x)a=g(1)=交一m: 法二：令f(x)=心十1 -e e er+1+1 e+T+1 由r)m≥g）得0≥号-mm≥名：中实载m的取值 范国为[子+四） +十显然f)是R上的减函经， .f(2023)>f(2024),即M>N. 答案[+) [答案]M>N 跟踪训练 跟踪训练 L.解析：因为xy为整数， 1.B[依题意命题“r∈R,ax十1≥0”为真命题， 当a=0时，1≥0成立， 则+}->0县>0… y ry 当a>0时.a.x2+1≥0成主， rty 当a<0时，函数y=a.十1开口向下，a,z2十1≥0不成立. 综上所述，4≥0.] 由子=≥2-=音且收当=y时，￥ y y ry 2解折：若￥x∈[一音，受]anr≥m是真今题， ty 号成立， 则实数m小于等于y=anx在[一，] 的最小值， ty 周为y=在[一吾，子]上为培数 所以≥>1，所以+> yr+y x+y 所以画数y=amr在[一音，开]上的最小值为-厅， 答案：M>V 所以m≤一尽，即实数m的最大值为一√3. 2解：周为a-3>06-2>0,所以号-3·品2- 3·1n231n2 答案：一 h8=loe9>1, 第3节 不等式 所以a>b. 第1课时不等式的性质 题型2 夯实·必备知识必备知识掌握 1.B[对于A,取r=y,该不等式成立，但不满足>y:对于C,该 1.(1)> <(2)>< 不等式等价于十子>叶号取一0，y-1,谁不等式成立，但 自主诊断查验思考辨析 (1)×(2)×(3)×(4)/(5) 不满足>y对于D孩不等我等价于+子>y叶取一0， 1 小题查验 y=1,该不等式成立，但不满足x>y:下而证明B: .A[M-N=2+r+1=(+)厂+>0，所以M>N] 法一不等我等价于>y动而一>y>y 1 2.A[a-√b>0-→a>b≥0→a2>b→a2-2>0.,反之不成立， .“va一√>0”是“a2一>0”的充分不必要条件，门] 子画款0=一上在0，十o)上单增，故> 3.BD[根据a>b,取a=1,b=-1,则。<不成立，故A铅误： 1 :a>b,.由不等式的基本性质知a2≥b2成立，故B正确：由a >0>b,取a=1,b=一1，则a2<一ab不成立，故C错误：，c>d 2.C[法-：周为日<名<0，故可取a=-1,6=-2,是然1a+6 >b>0,∴(a-b)c>0,∴ae-ab>bc-ab,即a(e-b)>b(c-a). =1一2=一1<0，所以②错误： >0>0小。>D正 周为lna2=ln(-1)2=0,ln2=ln(-2)2=ln4>0,所以④错 误.综上所述，可排除ABD, 415