第1节 集合-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

主题一预备知识 第一章 集合与常用逻辑用语、不等式 第1节集合 ★[课程标准] 1.了解集合的含义，了解全集与空集的含义，体会元素与集合的属于关系. 2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集， 3.理解两个集合的并集、交集与补集的含义，会求两个简单集合的并集与交集，会求给定子集的补集。 4.能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，能使用韦恩(Venn)图 表达集合的基本关系及集合的基本运算， 夯实~必备知识 教材夯实强基固本 备知识学握 续表 1.集合的基本概念 关系 自然语言 符号语言 Venn图 (1)集合元素的性质： 如果A二B并且BC 集合 A,就说两个集合 A(B) (2)元素与集合的关系 相等 ①属于，记为 :②不属于，记为 (3)常见数集的记法 3.集合的基本运算 自然 正整 有理 表示 集合 集合 整数集 实数集 文字语言 图形语言 记法 数集 数集 数集 运算 语言 把所有集合 符号 N N+(或N) Z Q R A、B中的元 (4)集合的表示方法：① :② 素放在一起组 并 ③ 集 成的集合，叫 A,或 2.集合间的基本关系 做A和B的 x∈B 并集，简称 关系 自然语言 符号语言 Venn图 为并 如果集合A的 把所有 la 都是集合B的 的 交 ∈ 子 元素，就说A包含于ACB(或 集 元素组成的集 A,且 集 B,或者说B包含A,B三A) 合，称为A,B 或A( x∈B 若 ,则称A 的交集 是B的一个子集 若A是全集 U的子集，U{xx 如果A三B但A≠B, 补 中 的∈ 真 A至B(或 A 就说A是B的真 集 元素组成的子U,且 套 B军A) 子集 集叫作A的x∈A》 补集 金榜题名创新高考总复习数学北师大版 ·重要结论 ◆[小题查验] 1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2” 1.已知集合A={xx2=1},则下列表述正确的是 个，真子集有2m一1个，非空真子集有2” ( 2个. A.1二A B.0)CA 2.ACB=A∩B=A台AUB=B台CUBC C.{-1,1}=A D.{1}∈A CvA. 2.(2023·上海卷)已知集合P={1,2},Q={2,3}, 3.CU(AnB)=(CUA)U(CUB),Cv(AUB) 若M={x|x∈P且x任Q},则M=( =(CuA)∩(CuB). A.1} B.{2 自主诊断查验 C.{1,2 D.{1,2,3} 3.(2023·全国甲卷)设全集U={1,2,3,4,5}, ◆[思考辨析 集合M={1,4},N={2,5},则NUCUM= 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括 号里打“/”，错误的打“×” () (1)0={0. ( A.{2,3,5》 B.{1,3,4} (2)空集是任何集合的子集，两元素集合是三 C.{1,2,4,5} D.{2,3,4,5} 元素集合的子集. ( ) 4.(BSD必修第一册Pg例6改编)若集合A (3)a在集合A中，可用符号表示为a二A. {x|-1<x<5},B={x|x≤1或x≥4}，则 ( AUB= ,A∩B= (4)NCN+≤Z. ( ) 5.(忽视空集讨论)已知集合M={x|x-a=0} (5)若A={x|y=x2},B={(x,y)ly=x2,则 N={xa.x-1=0},若M∩N=N,则实数a A∩B={xx∈R. 的值是 跃升~关键能力 层级突破素养提升 题型1 集合的基本概念 规律方法 1.(2025·湖北十堰期末)下列关系中正确的个 与集合中的元素有关问题的求解策略 数为 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中 ) 代表元素的含义，再看元素的限制条件， ①2∈R;②√24Q:③|-3|∈N:④|-3 明白集合的类型，是数集、点集还是其他 ∈Q. 类型集合， A.1个 B.2个 (2)集合元素的三个特性中的互异性对解题 C.3个 D.4个 的影响较大，特别是含有字母的集合，在 2.已知集合A={x|-1<x<3,x∈N},B={C 求出字母的值后，要注意检验集合中的元 素是否满足互异性， C二A},则集合B中元素的个数为 (3)对于集合相等首先要分析已知元素与另 A.6 B.7 C.8 D.9 一个集合中哪一个元素相等，分几种情况 3.(多选)已知集合{x|mx2-2x十1=0}={n}, 列出方程（组）进行求解，要注意检验是否 则m十n的值可能为 ( 满足互异性， A.0 C.1 D.2 题型2 集合间的基本关系 [典例] (1)(2025·宁夏银川阶段练习)设集合 4.设A=2,3,a2-3a,a+2+7,B={a-21, A={1,a-1},B={-1,2a-3,1-2a},若A 二B,则a= ( 3},已知4∈A且4￠B,则a的取值集合为 A.2 C.1 D.0 主题一第一章集合与常用逻辑用语、不等式 (2)已知全集U=R,集合A={x|-2≤x≤7}， 2.(2024·成都期末)设集合A={x|(x一1)· B={x|m+1≤x≤2m-1},则使BCA成立 (x+3)<0),B={xx>0},则 的实数m的取值范围是 A.A∩B=0 尝试解答] B.AUB=R C.A∩B={x|0<x<1} D.AUB=(xa>1) [命题点2]集合的交、并，补的综合运算 1.(2024·全国甲卷)已知集合A={1,2,3,4,5,9 B={xx∈A},则CA(A∩B)= 。[互动探究] A.1,4,9} B.{3,4,9 在本例(2)中，若把“B二A”改为“A二CB”,则 C.1,2,3 D.{2,3,5》 实数m的取值范围是 [考题解读]本题考查集合的交、补的运算， 方法指导 考查数学运算与数学抽象的核心素养.集合 由集合的关系求参数的关键点 是高考每年必考知识点，一般以容易题目呈 由两集合的关系求参数，其关键是将两集合 现，位于选择题的前3题的位置上，所给集合 的关系转化为元素间的关系，进而转化为参 多为简单不等式的解集、离散的数集或点集， 数满足的关系，解决这类问题常常要合理利 这种考查方式多年来保持稳定 用数轴、Venn图帮助分析，而且常要对参数 2.(多选)已知集合A={x|一1<x≤3}，集合 进行讨论，注意区间端点的取舍 B={xx≤2}，则下列关系式正确的是 提醒：解决两个集合的包含关系时，要注意空 集的情况 A.A∩B=0 ①跟踪训练 B.AUB={x|-2≤x≤3 1.(2025·湖北模拟)已知集合M=女x=号+， C.AU(CRB)={xx≤-1或x>2y D.A∩(CRB)={x|2<x≤3 n∈Z},N= {xx=+2n∈小则下列表 [命题点3]利用集合的基本运算求参数的 述正确的是 ( 取值（范围》 A.M∩N=☑ B.MUN=R [典例](1)已知集合A={1,3,a2},B=1,a十2} C.MCN D.NCM AUB=A,则实数a值构成的集合为( 2.已知集合A={1,2},B={x|x2+m.x+1=0, A.{2} B.{-1,2 x∈R},若B二A,则实数m的取值范围为 C.{1,2 D.{0,2} (2)(2025·豫北名校联考)设集合A={x 题型3 集合的基本运算 x2+2x-3>0},集合B={x|x2-2a.x-1≤0， [命题点求交集、并集 a>0},若A∩B中恰含有一个整数，则实数a 1.(2024·新课标I卷)已知集合A={x一5 的取值范围是 <x3<5},B={-3,-1,0,2,3},则A∩B= ( A.(o,) [) A.{-1,0》 B.{2,3 C.{-3,-1,0 D.{-1,0,2} c.+) D.(1,+∞) 3 金榜题名创新高考总复习数学北师大版 [尝试解答] 题型4 集合的新定义问题 [典例] (2025·北京房山模拟)已知U是非实 数集，若非空集合A1,A2满足以下三个条件， 则称(A1,A2)为集合U的一种真分拆，并规定 (A1,A2)与(A2,A1)为集合U的同一种真 分拆 ①A1∩A2=0: ②A1UA2=U: ③A:(i=1,2)的元素个数不是A;中的元素. 则集合U一{1,2,3,4,5,6}的真分拆的种数是 方法指导 () 解集合运算问题应注意以下三点 A.5 B.6 C.10 D.15 (1)看元素组成.集合是由元素组成的，从研 [尝试解答 究集合中元素的构成入手是解决集合运 算问题的关键. (2)对集合化简.有些集合是可以化简的，先 化简再研究其关系并进行运算，可使问题 简单明了、易于解决. (3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结 合形式有数轴、坐标系和韦恩(Venn)图. 素养点晴 提醒：Venn图图示法和数轴图示法是进行 解决以集合为背景的新定义问题，要抓住 集合交、并、补运算的常用方法，其中运用 两点： (1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点，把 数轴图示法要特别注意端点是实心还是 新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用 空心. 到具体的解题过程之中， 心跟踪训练 (2)用好集合的性质，解题时要善于从试题中 1.(2023·新课标Ⅱ卷)设集合A={0,一a},B= 发现可以使用集合性质的一些因素， {1,a-2,2a-2},若A二B,则a= 目跟踪训练 A.2 B.1 c号 D.-1 用C(A)表示非空集合A中元素的个数，定义 2.(2023·全国甲卷)设集合M={x|x=3k十1， (C(A)-C(B),C(A)C(B), A￥B= 已知集 C(B)-C(A),C(A)<C(B), k∈Z},N={xx=3k+2,k∈Z},U为整数 合A=(xl.x2+x=0},B={x(x2+a.x)(x2+ 集，则Cu(MUN)= ax十1)=0}，且AB=1,设实数a的所有可 A.{xx=3k,k∈Z 能取值构成集合S,则C(S)= B.{x|x=3k-1,k∈Z} A.0 B.1 C.2 D.3 C.{xx=3k-2,k∈Z D.0 请完成课时冲关1参芳答案与详解 主题一 预备知识 (2)[解析]①当B=⑦时，则m十1>2一1，即m<2,此时B二 第一章集合与常用逻辑用语、不等式 A成立，符合题意 ②当B≠⑦时， 第1节集合 m十1≤2m-1, 夯实·必备知识必备知识掌握 m+1≥-2，解得2≤m≤4. 1.(1)确定性无序性互异性(2)E庄(4)列举法 描述 2m-17, 法图示法 综上，实数m的取值范国是（一0,4]， 2.每个元素A包含于B相等A=B [答案](-o,4] 3.AUB既属于A又属于BA∩B不属于ACuA 互动探究 自主诊断查验思考辨析 解析：①当B≠②时.则m十1≤2m一1.即m≥2， (1)×(2)×(3)×(4)×(5)X 因为集合A={x|一2≤x≤7}，B={xm+1≤r≤2m一1}， 小题查验 则C,B={xx<m+1或x>2m一1}， 1.C[由x2=1,得r=土1， 又ACB.则m+1>7成2m-1<-2, 所以A=(1,-1,故C正确：对于A,1∈A,故A错误：对于B, 解得m>6友m<-言又m≥2，所以m>6: {0}车A,故B错误：对于D,{1}二A,故D错误，故选C.门 ②当B=0时，则m十1>2m一1，即m<2,此时CB=R,将合 2.A[由M-{xx∈P且x任Q知，M-{1),] 题意. 3.A[图为全果U={1,2,3,4,5},果合M=(1,4,所以CuM= 综上所述，实数m的取值范围为m>6戏m<2. {2,3,5},又N={2,51, 答案：（一09,2）U(6,十∞) 所以NUCM=2,3,5.] 跟踪训练 4.解析：国为A={x一1<x<5},B={xx≤1或x≥4)，所以AU B=R,A∩B={x-1<x≤1或4≤r<5}. 1.C[M-{-2nmE乙表示是的合义是正专能除以4 答案：R{x|一1<x≤1或4≤r<5} 5.解析：由题易得M-a,MnN-N,∴N二M. N=一"牛乙表示的合义是整除以 .N=必戏N=M,.a=0或a=±1. 所以M三N,故选C.] 答案：0或1或一1 2.解析：①若B-⑦，则△-m2一4<0，解得一2<m<2. 跃升·关键能力题型1 ②若1∈B,则12+m+1一0， 1.C[对于①，2∈R显然正确： 解得m=一2，此时B=(1},符合题意： 对于②√②是无理数，故②正骑： ③若2∈B,则22+2m+1=0, 对于③，一3=3是自然数，故③正骑： 5 解得m=一号，此时B={2,2),不符合题意 对于④，一√3】=3是无理数，故④错误.故正确个数为3.故 选C. 综上所述，实数m的取值范国为[一2.2 2.C[因为集合A={x|-1<x<3,x∈N}, 答案：[-2,2) 所以A={0,1,2},图为B={C1C二A), 题型3命题点 所以B中的元素为A的子桑，即B有2=8个.] 1.A[因为A={x-5<x<5},B=(-3,-1,0,2,3},且注 3.BD[因为集合xmx2一2x十1=0}={n}, 意到1<5<2， m≠0， 从而A∩B=《一1,0}.故选A.] 所以/m=0， 或△=4-4m=0·解得 m=0, 2.C[,集合A={x|(x-1)(x十3)<0)，B={xx>0},A 1-2n+1=0 -2 1或{m=1, n=一2m1 n=1, (-3,1),B=(0,+6∞)，，，A∩B=(0,1).] 命题点2 所以m十=受或m十n=2.] 1.D[因为A={1,2,3,4.5,9},B={x1x∈A},所以B =(1,4,9,16,25,81}, 解折：周为4∈A:即4∈232-3a+吕+7小 则A∩B={1,4,9》,CA(A∩B)={2,3,5】,故远D.] 2.BD[,'A={x-1<x3},B={x|x≤21={x|-2≤x≤21， 所以a2-3a=4或4十2+7=4. .A∩B={x-1<x≤3)∩{x|-2≤x≤2}=(x|-1<x≤2} 若a一3a=4,则a=一1或a=4: 故A不正确： 若a+2+7=4,脚+3a+2=0,则a=-1或4=-2. AUB={r-1<r≤3}U{x|-2≤x≤2)={x|-2≤x≤3)，故 B正确： 由。2-a与a+子+7互异：得a≠-1. "CRB={xlx<-2或x>2, ∴.AU(DwB)=(x-1<r≤3U{xx<-2或x>21={xx< 故a=一2或a=4.又4任B,即4任{la-2,3 一2或x>一1}，故C不正确： 所以|a一2|≠4，解得a≠一2且a≠6. A∩(CRB)=(x-1<x≤3)∩(xx<-2或x>2}={x2<d 综上所述，a的取值集合为{4， ≤3}，故D正确.门 答案：{4 命题点3 题型2 [典例](1)[解析]由AUB=A知：B二A,当a十2=3，即a=1, [典例门(1)[解析]因为A二B,所以1∈B. 则a2=1,与集合中元素的互异性矛盾，不符合：当《十2=a,即 当2a一3=1时，a=2,此时a-1=1,舍去： a=一1或a=2.若a=一1，则a2=1,与集合中元素的豆异性矛 当1-2a=1时，a=0,此时A={1,-1},B=-1,-3,1},符 盾，不符合：若a=2,则A=(1,3,47,B=1,4},满足要求，综上， 合题意，故选D. a=2. [答案]D [答案]A 413 (2)[解析]A=xx2十2x-3>0}={x|x>1或x<一3}，设画 法二：充分性：因为xy≠0，且x十y=0, 数f(x)=x2-2ax一1，因为函数f(.x)=xr2一2ax一1图象的对 称轴为直线x=a(a>0),f(0)=一1<0，根据对称性可知，若A 所以号+=++22 y 门B中拾有一个整教，财这个整数为2，所以有{)0：即 =红十y》2一2y-二22=-2，所以充分性成立： ry ry 3 14-4a-1≤0：所以 3 1m8∠a· 必要性：周为y≠0，且号+￥=一2 19-6a-1>0, 4 a<3' 所以是+义=2+y-2+y+2ry-2型 ty [答案]B =(x+y)2-2xy_(x+y)2 跟踪训练 -2=-2, Ty xy 1.B[若a一2=0，则a=2,此时A={0,-2},B=(1,0,2},不满 足题意：若24一2=0，则4=1，此时A={0,一1)，B={1,-1,01, 所以r十y) y =0,所以(x+y)=0,所以x十y=0,所以必要性 满足题意.故选B.门 成立。 2.A[因为整数集U={xx=3k,k∈ZU{xx=3k十1，k∈Z)U {xx=3k+2,k∈Z,所以C,(MUN)={xx=3k,k∈Z.] 所以若xy≠0，则“x十y=0”是“工十义=一2”的充要条件.] 题型4 [典例][解析]由题意，集合U=(1,2,3,4,5,6}的真分拆有 2.B[依题意，取a=巨6=号，满足2+≥2，而a十b<2 A1=(52,A2=1,2,3,4,61:A1=1,4}.A2=(2,3,5,61:A1= {3,4,A±=1,2,5,63：A={4,5},A2={1.2.3,6}:A1 直0十≥2时0+=中去a≥多a十b,省具软 2 {4,6},A1=(1,2,3,5},共5种， 当a=b时取"=”，则a2+2≥2， [答案]A “a2十≥2”是“a十b≥2”的必要不充分条件] 跟踪训练 3,C[对A,当a⊥b时，则a·b=0, D[由A={xx2+x=0},可得A=(一1,0}， 因为(x2+ax)(x2+a.x十1)=0等价于x2+a.x=0或x2十axr+1 所以x·(x十1)十2x=0,解得x=0或一3，即必要性不成立，故 =0, A错误： 且A={一1,0)，AB=1,所以集合B要么是单元素集，要么是 对C,当x=0时，a=(1,0),b=(0,2),故a·b=0, 三元意集， 所以a⊥b,即充分性成立，故C正确： ①若B是单元素集，则方程x2十ax=0有两个相等实数根，方程 对B.当a∥b时，则2(x十1)=x2,解得x=1士√，即必要性不成 x2十4x十1=0无实数根，故a=0: 立，故B错误： ②若B是三元素集，则方程x”十ax=0有两个不相等实数根·方 对D,当x=一1十√3时，不满足2(x十1)=x2,所以a∥b不成立， 程x2十4x十1一0有两个相等且异于方程x2十ar=0的实数根， 即a2-4=0→4=士2且a≠0. 即充分性不立，故D错误，故选C,] 综上所求a=0或a=士2，即S={0,一2,21，故C(S)=3.] 题型2 [典例][解]由x2-8x-20≤0，得-2≤r≤10， 第2节常用逻辑用语 .A={x-2x≤107. 夯实·必备知识必备知识掌握 由x∈A是r∈B的必要条件，知B二A. 2.充分条件必要条件充分不必要必要不充分充要 既不 「1一m≤1十m, 充分也不必要 则1一m≥-2..0≤m≤3. 3.(1)每一个任意一切(2)存在一个 1十m≤10， 自主诊断查验思考辨析 .当0m≤3时，x∈A是r∈B的必要条件，即所求m的取值 (1)/(2)/(3)/(4)×(5)/(6)/ 范国是[0,3 小题查验 互动探究 1.BL图为xy>0不能推出x<0,y<0,且x<0,y<0能推出y 解：由x∈A是xEB的必要不充分条件，知B匡A, >0,所以“xv>0”是“x<0,y<0”的必要不充分条件.] 1一m≤1十m,(1一m≤1十m, 2B[因为高>0所以K0或>1，所以马>0的香定是0 1一m≥一2，浅1一m>-2, 1+m<10 1十m≤10， ≤x≤1，所以命题的否定是3>0,0≤x≤1.门 3.C[根据立方的性质和指数函数的性质，a3一3和3=3都当 解得0≤m≤3或0≤m<3, 且仅当a=b,所以二者互为充要条件.故选C.] .0≤m3, 4.解析：x(.x-1)=0一x=0成r=1.即x(r-1)=0不一定有x 故m的取偵范图是[0,3] 1成立：但x=1能推出x(x一1)=0成立，故“x(x一1)=0”是 跟踪训练 “x=1”的必要不充分条件。 1.B[解|x+1=2得r=1或一3，设集合A=(1,一31，方程 答案：必要不充分 1og2x十2=a的解集为集合B,则B军A且B≠☑，所以B={1} 5.解析：①当a=0时，1>0：成立，a=0满足条件， 或B={一3.当B=(11时，1og1十2=a,所以a=2:当B=(一3 ②当a≠0时，△=公2-4u<0: 1a>0, 时，不成立。 2.D[由(.x-a)<4.可得a-2<r<a+2: 解得0<a<4,综上，0≤a4. 答案：[0,4) 7是=多二≤0，则-2)0-3)≤0·可得2<<3： 由1十2-x2-7 2-x≠0， 跃升·关键能力题型1 1,C[法一：充分性：图为ry≠0，且x十y=0,所以x■一y, :(一2<成立的一个无分不必要条件是1十六<0 所以号+是=宁+六，=-1-1=-2，所以完分性或立： ≤2可得1<a≤4.们 1a+2>3. 必要性：因为Ty≠0，且二+义=一2，所以2十y2=一2xy,即 题型3命题点1 x2+y2+2.ry=0.即(x+y)2=0,所以x十y=0.所以必要性 1,B[当x=2时，显然p成立：当=开时，可知口不成立：由 成立， 载助角得3sinx+4cosx=5sin(r十g),所以3sinx+4cosx的最 所以若xy≠0，则“x十y=0“是“十义=一2”的充要条件. y 大值为5，所以p为假命题，门 414