辽宁冶金职业技术学院2025年单独招生考试数学大纲

辽宁冶金职业技术学院 2025 年单独招生 数学大纲 一、命题指导思想 按照“考查基础知识的同时，注重考查能力 ”的原则，并考虑到高职类学校 对新生文化素质的要求，数学科目的考试命题注重对数学思想与方法的考查，体 现数学的基础、应用和工具性的学科特色，将知识、能力与素质的考查融为一体， 检测考生的数学素养。同时，多视角、多维度、多层次地考查数学思维品质和思 维能力，考查考生对数学本质的理解，以及进入高等学校继续学习的潜能。 二、考试形式和试卷结构 1.答卷方式：闭卷，笔试。 2.试卷满分为 150 分。考试时间 90 分钟。 3.试卷包含难题约 10%，中等难度题约 20%，容易题约 70%。 4.题型及分值比例： 序号 题型 分值比例 一 单项选择题 约 40% 二 填空题 约 20% 三 解答题 约 40% 三、考试内容及要求 （一）集合与命题 集合的概念；常用数集及其记法；元素与集合、集合与集合间的关系；交集、 并集、补集等概念。全称命题与存在命题的否定。 （二）函数 函数的概念；会求函数的定义域；会求分段函数的函数值。函数的单调性、 奇偶性、周期性的概念；指数与对数的概念，指数与对数的运算；一次函数、二 次函数的图象与性质；幂函数、指数函数、对数函数的图象与性质。 （三）三角函数 任意角的概念；角度与弧度的相互转换；同角三角函数的基本关系；诱导公 式、两角和差公式和二倍角公式；正弦函数、余弦函数、正切函数的定义、图象 与性质；Asin(wx + φ) 型函数的图象性质。能运用正弦定理、余弦定理解决一些 简单的三角形度量问题。 （四）数列 数列的有关概念；等差数列的概念，其通项公式、前 n 项和公式；等比数列 的概念，其通项公式、前 n 项和公式。 （五）不等式 不等式的概念，基本性质；一元一次不等式、一元二次不等式、绝对值不等 式、简单的不等式组的解法。 （六）立体几何 柱、锥、台、球的概念与结构特征，表面积与体积计算；空间中直线与直线 的位置关系，直线与平面的位置关系，平面与平面的位置关系；直线和直线、直 线和平面、平面和平面所成的角、距离的计算。 （七）解析几何 直线的倾斜角和斜率，直线方程的几种形式（点斜式、斜截式及一般式）； 两条直线的平行与垂直判定；两直线的交点；两点间距离公式，点到直线的距离 公式，两平行线间的距离公式；圆的标准方程与一般方程；点与圆的位置关系， 直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系。 （八）向量 向量的概念；向量的加减法运算、数乘运算、数量积运算；坐标形式下的向 量的加减法运算、数乘运算、数量积运算。 （九）复数 虚数单位 i,复数的概念及几何意义,共轭复数，复数的模；复数的加、减、 乘、除法四则运算。 （十）概率与统计 总体、个体与样本，简单随机抽样，分层抽样；频率分布直方图，中位数， 平均数与方差；随机事件与概率，古典概型及概率计算。 附录：常用公式及结论 1.集合 常用数集及其记法：N 表示自然数集，N* 或N+ 表示正整数集，Z 表示整 数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. 2.函数 （1）指数相关公式 1 且n > 1 .n 为奇数时，a ∈ R ；n 为 偶数时 ⑦（a .b)m = am .bm . （2）角度制与弧度制的互化：兀 弧度= 180厂，1厂 弧度，1弧度 （3）三角函数定义:角 α 终边上任一点（非原点）P(x, y) ,设| OP |= r 则： （4）特殊角的三角函数值： 角度 函数 0。 30。 45。 60。 90。 180。 270。 360。 角 α 的弧度 0 兀 6 兀 4 兀 3 兀 2 兀 3兀 2 2兀 sin α 0 1 2 、 2 、 2 1 0 -1 0 cos α 1 、 2 、 2 1 2 0 -1 0 1 tan α 0 、 3 1 0 0 （5）同角三角函数值的关系：①sin2 x + cos2 x = 1 ；② . （6）正弦定理 . （7）余弦定理 a2 ＝b2＋c2－2bccos A；cos A = 3.数列 ①等差数列通项公式：an =a1+(n —1)d =ak +(n —k)d ； ②等差数列前 n 项和公式 ③等比数列通项公式：an = a1q n—1 = ak q n—k ； ④等比数列前 n 项和公式 4.立体几何 ①柱体体积：V=S 底 h ；②锥体体积 底 h；③球的表面积：S=4兀R2 ④球体体积 . 5.解析几何 （1）斜率公式 其中 （2）直线方程： ①点斜式：y — y1 = k (x — x1 ) (直线l 过点P1 (x1, y1 ) ，且斜率为k )； ②斜截式：y = kx +b (b 为直线l 在y 轴上的截距）； ③一般式：Ax + By + C = 0 (其中 A、B 不同时为 0). （3）两条直线的位置关系：若l1 : y = k1x + b1 ，l2 : y = k2x + b2 ,则： ①l1 ∥ l2 k1 = k2 ,b1 ≠ b2 ； ②l1 丄 l2 k1k2 = 一1 . （4）距离公式: ①点（x1，y1 ）与点（x2，y2 ）的距离 ②点 P（x0，y0 ）到直线 Ax+By+C=0 的距离： . （5）圆的标准方程：(x 一 a)2 + (y 一 b)2 = r 2 (圆心坐标为(a, b) ，半径为r ). 6.向量 设a = (x1, y1 ) ，b = (x2, y2 ) ，有 ①a +b = (x1 + x2, y1 + y2 ) ; ②a 一 b = (x1 一 x2, y1 一 y2 ) ; ③λa = (λx, λy) ; ④a ● b = x1x2 + y1y2 ; ⑤两个向量平行的充要条件：a ∥ b b = λ a x 1 y2 一 x2y1 = 0 ； ⑥两个向量垂直的充要条件： a 丄 b (a ≠ 0 ) a ·b=0 x 1 x2 + y1y2 = 0 7.复数 ①i2 = 一1 ; ② (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i ; ③ (a + bi) 一 (c + di) = (a 一 c) + (b 一 d)i ; ④ (a + bi)(c + di) = (ac 一 bd) + (bc + ad)i ; 辽宁冶金职业技术学院 2024 年 12 月 2 日 辽宁冶金职业技术学院 2025 年单独招生 数学题库及答案 一、选择题 1.已知集合 A = {-1, 0, 1, 2} ， B = {x | 0 < x < 3} ，则 A6 B = ( ) . A ． {-1, 0, 1} B ． {0, 1} C ． {-1, 1, 2} D ． {1, 2} 2.若集合 A ＝{x|x>－1} ，下列关系式中成立的为( ) A ．0⊆A B ．{0}∈A C ． ∅ ∈A D ．{0}⊆A 3. 已知3∈{2, a, a -1} ，则实数 a 的值为 ( ) A ． 3 B ． 4 C ． 3 或 4 D ．无解 4.设集合 A ＝{－1,0,－2} ，B ＝{x|x2－x－6 ＝0} ，则 A∪B 等于( ) A ．{－2} B ．{－2,3} C ．{－1,0,－2} D ．{－1,0,－2,3} 5.设集合 U＝R ，M＝{x|x>2 或 x<－2} ，则C UM 等于( ) A ．{x|－2≤x≤2} B ．{x|－2<x<2} C ．{x|x<－2 或 x>2} D ．{x|x≤-2 或 x≥2} 6.已知集合 U＝{1,2,3,4,5,6,7} ，A ＝{3,4} ，B ＝{6,7} ，则(C UB)∩A 等于( ) A ．{1,6} B ．{1,7} C ．{3,4} D ．{3,4,5} 7.集合 A = {x -1 ≤ x < 2 }用区间表示为 ( ) A. (-1，2] B. [-1，2) C. (-1，2) D. [-1，2] 8.用区间表示的解集是 ( ) A.(-1，1) B.(- ∞ , -1) ∪(1，+ ∞ ) C.(1，+ ∞ ) D.(- ∞ , -1) 9.不等式 < 0 的解集是 ( ) 10. x > 1 的解集为( ) A ． {x x < -1} B ． {x x > 1} C ． {x x < -1或x > 1} D ． {x -1 < x < 1} 11.若分式 的值为零，则 x = ( ) A ．7 B ．-7 C ．0 D ．14 12.命题“ ∀x∈R ，|x|＋x2 ≥0 ”的否定是( ) A ． ∀x∈R ，|x|＋x2<0 B ． ∀x∈R ，|x|＋x2 ≤0 C ． 彐x∈R ，|x|＋x2<0 D ． 彐x∈R ，|x|＋x2 ≥0 13.命题“ 彐x>0,2x2 ＝5x－1 ”的否定是( ) A ． ∀x>0,2x2 ≠5x－1 B ． ∀x≤0,2x2 ＝5x－1 C ． 彐x>0,2x2 ≠5x－1 D ． 彐x≤0,2x2 ＝5x－1 14.若 则m 、n的大小关系是 ( ) A ． m > n B ． m < n C ． m = n D.无法确定 15.若 f(x) = 2x2 — x + 3 ，则 f(0) 的值为 ( ) A ．0 B ． 1 C ．2 D ． 3 16.函数f（x）= ·、 的定义域是 ( ) A ． B ． C ． D ．( –∞ , + ∞) 17.下列四个函数中，在(0，+∞)上为增函数的是 ( ) A ． f (x ) = 3 — x B ． f (x ) = x2 — 3x C ． f (x ) = 2x D ． f(x) = 18.一次函数 y = 3x — 2 的图象不经过 ( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 19.函数y ＝x2－2x ，x∈[0,3]的值域为( ) A ．[0,3] B ．[－1,0] C ．[－1 ，+∞) D ．[－1,3] 20.若y ＝(2k－1)x＋b 是 R 上的减函数，则有( ) 21.若函数f(x) ＝ax2＋(2＋a)x＋1 是偶函数，则函数f(x)的单调递增区间为( ) A ．( - ∞ , 0] B ．[0 ，+∞) C ．( - ∞ , +∞) D ．[1 ，+∞) 22.函数为奇函数，则实数 a ＝( ) A ．－1 B ．1 C ． D ．- 23.下列大小关系正确的是( ) A ．0.43<30.4<π0 B ．0.43<π0<30.4 C ．30.4<0.43<π0 D ．π0<30.4<0.43 24.函数f(x) ＝ax －b 的图象如图所示，其中 a ，b 为常数，则下列结论正确的是( ) A ．a>1 ，b<0 B ．a>1 ，b>0 C ．0<a<1 ，b>0 D ．0<a<1 ，b<0 25.函数y ＝loga(x－1)(0<a<1)的图象大致是( ) 26.将指数式2a = b 写成对数式为 ( ) ( D ． )A ． log2 b = a B ． log a b = 2 C ． log2 a = b logb 2 = a 27.方程 42x—1 = 16 的解是( ) A ．x ＝－3 B ．x ＝3 C ．x ＝1 D ．x ＝2 2 2 学科网（北京）股份有限公司 28.若 log 4 <1(a > 0, 且a ≠ 1) ，则实数 a 的取值范围为 ( ) a 5 A ． C ． (0, ) (1, +∞) D ． (0, ) ( , +∞) 29.已知幂函数y=xn 在第一象限内的图象如图所示，则曲线 C1 、C2 、C3 、C4 的 n 值可能依 次为 ( ) B ．2 ， D ．2 ， 30.2025°是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 31.60°的弧度数是( ) A ． B ． C ． D ． 32.已知 α 为第四象限的角，且 则 tan α 的值为 ( ) 3 3 4 4 A ． B ． - C ． D ． - 4 4 3 3 33.若 α 是第二象限角，则点P(sinα, cosα) 在 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 34.已知α为锐角，且 sinα = ，则 cos (π–α) = ( ) ( 3 3 4 4 )A ． - B ． C ． - D ． 5 5 5 5 35.若函数 y = sin(x + φ)(0 ≤ φ ≤ π) 是 R 上的偶函数，则 φ 等于 ( ) A ．0 B ． π C ． π D ． π 4 2 36.函数 是 A ．最小正周期为 4兀 的奇函数 B ．最小正周期为 2兀 的奇函数 C ．最小正周期为 4兀 的偶函数 D ．最小正周期为 2兀 的偶函数 37.函数y = 1 - cos x 的最大值是 ( ) A ．-1 B ．0 C ．1 D ．2 38.函数f(x) ＝sin(x－)的图象的一条对称轴方程是( ) A ．x ＝ B ．x ＝ C ．x ＝－ D ．x = - 39.sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°等于( ) A ．－ B. C ．－ D. 学科网（北京）股份有限公司 40.为了得到函数 的图象，可以将函数y ＝sin 2x 的图象( ) A ．向右平移个单位长度 B ．向右平移个单位长度 C ．向左平移个单位长度 D ．向左平移个单位长度 41. ΔABC 中，若 a = 1, c = 2, B = 60。，则 ΔABC 的面积为 ( ) A ． B ． C.1 D. ·、 42.在△ABC 中，内角A，B ，C 对边分别为 a，b，c ，若 a2－b2＋c2 = ·\ac ，则角 B 为( ) A ． B ． C ．或 D ．或 → → → 43.化简AE＋EB＋BC等于( ) → → → A. AB B. BA C. 0 D. AC 44.已知 a ＝(2 ，－1) ，b ＝(1 ，－1) ，则(a＋2b)·(a－3b)等于( ) A. 10 B.－10 C. 3 D.－3 45.已知向量 a ＝(1,2) ，b ＝(－1 ，m) ，若 a⊥b ，则 m 的值为( ) A.－2 B.2 → → 46.已知点 A(0, 1) ，B(3,2) ，向量AC ＝(－4 ，－3) ，则向量BC等于( ) A.(－7 ，－4) B.(7,4) C.(－1,4) D.(1,4) 47.设|a|=4, |b|=3, 夹角为 60 °, 则|a+b|等于 ( ) A.37 B. 13 48.若经过 A(m ，3) ，B(1,2)两点的直线的倾斜角为 45° , 则 m 等于( ) A ．2 B ． 1 C ．－1 D ．－2 49.过点 A(3,2) ，B(4,3)的直线方程是( ) A ．x＋y＋1 ＝0 B ．x＋y－1 ＝0 C ．x－y＋1 ＝0 D ．x－y－1 ＝0 50.直线y ＝kx＋b 通过第一、三、四象限，则有( ) A ．k>0 ，b>0 B ．k>0 ，b<0 C ．k<0 ，b>0 D ．k<0 ，b<0 51.直线 3x＋y－4 ＝0 的斜率和在y 轴上的截距分别是( ) A ．－3,4 B. 3 ，－4 C. －3 ，－4 D. 3,4 52.直线 2x＋y＋1 ＝0 与直线 x－y＋2 ＝0 的交点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 53.过点(2, 1) ，斜率 k ＝－2 的直线方程为( ) A ．x－1 ＝－2(y－2) B ．2x＋y－1 ＝0 C．y－2 ＝－2(x－1) D ．2x＋y－5 ＝0 54.已知直线 l1 ：ax＋(a＋2)y＋2 ＝0 与 l2 ：x＋ay＋1 ＝0 平行，则 a 的值为( ) A ．－1 或 2 B ．0 或 2 C ．2 D ．－1 55.过点 A(2,3)且垂直于直线 2x＋y－5 ＝0 的直线方程为( ) A ．x－2y＋4 ＝0 B ．2x＋y－7 ＝0 C ．x－2y＋3 ＝0 D ．x－2y＋5 ＝0 56.若圆 C 与圆(x＋2)2＋(y－1)2 ＝1 关于原点对称，则圆 C 的方程是( ) A ．(x－2)2＋(y＋1)2 ＝1 B ．(x－2)2＋(y－1)2 ＝1 C ．(x－1)2＋(y＋2)2 ＝1 D ．(x＋1)2＋(y－2)2 ＝1 57.圆(x－1)2＋(y－1)2 ＝2 关于直线 y=kx+3 对称，则 k 的值是( ) A ．2 B ．–2 C ．1 D ．–1 58.已知点(a ，1)到直线 x－y＋1 ＝0 的距离为 1 ，则 a 的值为( ) A ．1 B ．－1 C. D ．±·\ 59.在 △ABC 中，三个内角A ，B ，C 成等差数列，则角 B 等于( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．120° 60.若等差数列{an}满足 a2=20 ，a5=8 ，则 a1= ( ) A ．24 B ．23 C ．17 D ．16 61.已知等差数列{an } 的前 n 项和为 Sn ， a3 =5 ，则 S5 = ( ) A ．5 B ．25 C ．35 D ．50 62.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ，且 S3 ＝6 ，a3 ＝4 ，则公差 d 为( ) A ．1 B. C ．2 D ．3 63.在等比数列{an } 中，若 a4 = —8 ，公比 q = 2 ，则 a8 = ( ) A ．128 B ．－128 C ．64 D ．－64 64.在等比数列{an}中，如果 a1＋a2 ＝40 ，a3＋a4 ＝60 ，那么 a7＋a8 = ( ) A ．135 B ．100 C ．95 D ．80 65.复数 z ＝－1－2 i ( i 为虚数单位) ，则在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 66.已知复数 z=2+i ，则 z . z = ( ) A ． B ． ·、 C ．3 D ．5 67.若 z(1+ i) = 2i ，则 z = ( ) A ． —1— i B ． —1+i C ． 1— i D ． 1+i 68.若复数(a2－3a＋2)＋(a－1) i 是纯虚数，则实数 a 的值为( ) A. 1 B.2 C. 1 或 2 D.－1 69.若 a ，b∈R ， i 为虚数单位，且(a＋ i ) i ＝b＋ i ，则( ) A.a ＝1 ，b ＝1 B.a ＝－1 ，b ＝1 C.a ＝－1 ，b ＝－1 D.a ＝1 ，b ＝－1 70.下列命题： ①如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行； ②过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行； ③如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线平行. 其中正确命题的个数为( ) A.0 B. 1 C.2 D.3 71.直线 l⊥平面α , l c平面β , 则α与β的位置关系是( ) A.平行 B.可能重合 C.相交且垂直 D.相交不垂直 72.如图所示的几何体是由哪个平面图形旋转得到的( ) 73.正四棱锥底面正方形的边长为 4 ，侧面是等边三角形，则该四棱锥的侧面积为( ) A.16V3 B.48V3 C.64V3 D. 74.圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是 16v2π , 则圆锥的体积是( ) C.64π D.128、π 75.两个球的体积之比为 8 ∶27 ，那么这两个球的表面积之比为( ) A.2 ∶3 B.4 ∶9 C. ∶ \ D. ∶ \ 76.将一枚硬币连续抛掷 3 次，只有一次出现正面的概率是( ) 77.集合 A ＝{2 ，3} ，B ＝{1 ，2 ，3} ，从 A ，B 中各任意取一个数，则这两数之和等于 4 的 概率是( ) B. 78.为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区 100 名年龄在 17～18 岁男生的 体重(千克)，将他们的体重按[54.5，56.5)，[56.5，58.5)，… , [74.5，76.5]分组，得到 频率分布直方图如图所示．由图可知这 100 名学生中体重在[56.5，64.5)的学生人数是( ) A ．20 B ．30 C ．40 D ．50 79.某学习小组在一次数学测验中，得 100 分的有 1 人，得 95 分的有 1 人，得 90 分的有 2 人，得 85 分的有 4 人，得 80 分和 75 分的各 1 人，则该小组数学成绩的平均数、众数、中 位数分别为( ) A.85,85,85 B.87,85,86 C.87,85,85 D.87,85,90 80.某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品的数量之比为 3 ∶5 ∶7 ，现用分层抽样的 方法抽出容量为 n 的样本，其中甲种型号的产品有 18 件，则样本容量 n ＝( ) A ．54 B ．90 C ．45 D ．126 二、填空题 1. (—1)0 = 2.如果x < 0, 且x2 = 9, 则x = 3.已知集合 A = {x ∈ N | x2 + 3x —10 ≤ 0} ，则集合 A 中元素的个数为________ 4.若直线y = kx + 3经过点M（—1,1），则 k=______ 5.方程的解 x = ___________ 6.函数在[2,3]上的最大值为________ 7.如果 a>0 ，那么 的最小值是________ 8.已知 则 f 则 10.函数 的定义域是_______________ 11.已知函数f(2x＋1) ＝3x＋2 ，且f(a) ＝2 ，则 a 的值为 12.若f(x)为 R 上的偶函数，且f(2) ＝3 ，则f(－2) ＝________ 13.若函数f(x) ＝－x2－2(a＋1)x＋3 在区间(-∞ , 3]上单调递增，则实数 a 的取值范围是_____ 14.若奇函数f(x)在区间[－4，－2]上的最大值为 2，则f(x)在区间[2,4]上的最小值为________ 15.函数f(x)＝x2－2x＋3 在闭区间[0 ，3]上的最小值为________ 16.过点 P(－2 ，m) ，Q(m ，4)的直线的斜率为 1 ，则 m 的值为________ 17.当 a > 0 ,且 a ≠ 1时，函数f(x) ＝2·ax－ 1＋1 的图象恒过定点________ 18.设 a>1 ，函数f(x) ＝logax 在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为 ，则 a ＝________ 19.计算：3log22＋2log31－3log77＋3ln 1 ＝________ 20.已知幂函数f(x) ＝xα 的图象过点(2,8) ，则f(3) ＝________ 21.已知 logx27 ＝3 ，则 x ＝________ 22.余弦函数的图像关于________对称 23.lg 2 + lg5 = ________ 24.sin 2 α +cos 2 α = 25.化简 26.若 sinθ < 0 ， cosθ > 0 ，则θ在第____________象限 27.函数 则函数的值域为________ 28. ΔABC 的内角A, B, C 的对边分别为 a, b, c 若 则角 B度数为 29.已知 i 为虚数单位，则复数 的实部为________ 30.设 z=-3+2i ，则在复平面内 z 对应的点位于第____________象限 31.已知扇形的半径是 3，面积是 9，则此扇形的圆心角的弧度数是________ 32.直线 x — 2y + 4 = 0 与两坐标轴围成的三角形面积为___________ 33.若大圆半径是小圆半径的三倍，则大圆的面积是小圆面积的________倍 34.已知直线l1 : x — y + 1 = 0, l2 : x — y — 3 = 0 ，则两平行直线 l1 , l2 间的距离为 35.已知直线3y＋8 ＝0 和圆 x2＋y2 ＝r2(r>0)相交于 A ，B 两点．若|AB| ＝6， 则 r 的值为________ 36.设 x, y ∈ R ，向量 a = (x, 1) ，b = (1, y) ，c = (2, —4) ，且 a 丄 c ，b / /c ，则x + y = _____ 37.已知 a ＝(2,－1) ，b ＝(1 ，3) ，则－2a+3b=___________ 38.已知点 A（2， -4），B（ -6，2），则线段 AB 的长为___________ 39.已知向量 a ，b 满足|a| ＝2 ，|b| ＝1 ，a ·b ＝1 ，则向量 a 与 a－b 的夹角为________ 40.已知向量a = (m, 1) ，若 a = 2 ，则 m = ___________. 41.设 Sn 是等差数列{an }的前n 项和，若 a3 + a5 + a7 = 27 ，则 S9 = ________ 42.已知等比数列 {an }前 n 项和为 Sn ，若 S4 = 1，S8 = 4 ，则 a13 + a14 + a15 + a16 = _______ 43.等比数列{an }的通项公式为an = 5n ，则a1 = 44.如果－1 ，a ，b ，c ，－9 成等比数列，那么 ac ＝___________ 45.先后抛掷两枚质地均匀的骰子,点数之和为 7 的概率 46.服装店销售某款服装，一件服装的标价是 300 元，若按标价的8 折销售，仍可获利 60 元，则这款服装每件的进价是________ 元 47.某位同学的银行卡密码为 6 位数字，他把最后一位数字忘记了，他第一次取款就按对密 码的概率是________ 48.如果 5 个数 x1 ，x2 ，x3 ，x4 ，x5 的平均数是 7 ，那么 x1＋1 ，x2＋1 ，x3＋1 ，x4＋1 ，x5＋1 这 5 个数的平均数是______ 49.经过市场抽检，质检部门得知市场上食用油合格率为 80% ，经调查，某市市场上的食用 油大约有 80 个品牌，则不合格的食用油品牌大约有_________个． 50.如图，某电子商务公司对 10 000 名网络购物者本年度 的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间 [0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示.在这些购物者中， 消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为________ 三、解答题 1.若a 、b 为实数，且(2a — 4)2 + b + 3 = 0 ，求(a +b)2025 的值. 2.已知集合 A ＝{1 ，3 ，vm} ，B ＝{1 ，m},若 B⊆A ，求实数 m 组成的集合 C. ( 〔 3 x + 1 > 7 2 x — 5 < 1 ) ( l )3.解不等式组：{ 4.已知不等式ax2 + bx + 2 > 0 的解集为 求2x2 + bx + a < 0 的解集． 5.已知y＝f(x)在定义域(－1 ，1)上是减函数，且f(1－a)<f(2a－1)，求实数 a 的取 值范围. 6.化简 7.已知 tan α =3 ，求的值. 8.已知二次函数f(x) ＝ax2＋2ax＋1 在区间[－3,2]上的最大值为 4 ，求实数 a 的值. 9.已知二次函数f(x) ＝ax2＋bx＋5 的图象过点 P(－1 ，11) ，且其对称轴是直线 x = 1 ，求 a＋b 的值. 10.当m 取什么值时，抛物线y = x2 +2x + m —1与直线y = x + 2m 只有一个公共点. 11.已知直线 l 的斜率与直线 3x－2y ＝6 的斜率相等，直线 l 与x 轴交点坐标为(a， 0) ，且 a 比直线 l 在y 轴上的截距大 1 ，求直线l 的斜截式方程． 12.求过直线l1 : x — 2y — 3 = 0 和l2 : 2x + y + 9 = 0 的交点，且垂直于直线x —y + 7 = 0 的直线方程. 13.过圆 x2＋y2 ＝8 内的点 P(－1,2)作直线 l 交圆于 A，B 两点．若直线 l 的倾斜角 为 135° , 求弦 AB 的长. 14.已知在△ABC 中 厂，求△ABC 的面积S . 15.已知|a| ＝1 ，b ＝(0,2) ，且 a ·b ＝1 ，求向量 a 与 b 的夹角. 16.已知函数 的部分图象如图所示． （1）求 A ，ω 的值； （2）求f（x）的单调增区间； 2025 年单招数学题库答案 一、选择题 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答 案 D D B D A C B A A C C C A B D 题 号 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 答 案 B C B D C A D B D A A B C B C 题 号 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 答 案 C D D A C B D C D B B A D B D 题 号 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 答 案 A C A D B A B D D A A B D B A 题 号 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 答 案 B C B A C D D B D B C D A A B 题 号 76 77 78 79 80 答 案 A C C C B 二、填空题 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答 案 1 -3 3 2 -1 1 4 7 4 {x x ≥ 1且x ≠ 2 } 题 号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答 案 1 3 a ≤ -4 -2 2 1 （1 ，3） 4 0 27 题 号 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 答 案 3 y 轴 1 1 -1 四 [0，1] 30。 -1 三 题 号 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 答 案 2 4 9 2 /2 5 0 （–1，11） 10 30。 ± 题 号 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 答 案 81 27 5 9 180 0. 1 8 16 6000 三、解答题 1.若 a 、 b 为实数，且 (2a — 4)2 + b + 3 = 0 ，求 (a +b)2025 的值. 解：5 2a — 4 = 0, 则a = 2 b + 3 = 0, 则b = —3 : (a + b)2025 = (—1)2025 = —1 2.已知集合 A ＝{1 ，3 ，-\} ，B ＝{1 ，m},若 B⊆A ，求实数 m 组成的集合 C. 解： 因为 B⊆A ，所以 m ＝3 或 m ＝vm. 即 m ＝3 或 m ＝0 或 m ＝1， 根据集合元素的互异性可知 m ≠1 ，所以 m ＝0 或 3. 则有 C ＝{0,3} 3.解不等式组 ( 解： 5 { l 2 x — 5 < 1 , : { l x < 3 , 即 2 < x < 3 )〔3x +1 > 7 〔x > 2 4.已知不等式 ax2 + bx + 2 > 0 的解集为 求 2x2 + bx + a < 0 的解集． 解： 由题意 和 是 ax2 + bx + 2 = 0 的两个根且 a < 0 ， ∴ 解得 . ∴不等式 2x2 + bx + a < 0 ，即为 2x2 — 2x —12 < 0 ，其解集为 {x — 2 < x < 3 }. 5.已知y＝f(x)在定义域(－1 ，1)上是减函数，且f(1－a)<f(2a－1) ，求实数 a 的取值范围. 解：因为f(x)在定义域(－1 ，1)上是减函数，且f(1－a)<f(2a－1)， 所以 解得 所以实数 a 的取值范围为(0，)． 7.已知 tan α =3 ，求的值 解：原式 8.已知二次函数f(x) ＝ax2＋2ax＋1 在区间[－3,2]上的最大值为 4 ，求实数 a 的值？ 解：f(x)的对称轴为直线 x ＝－1. 当 a>0 时，f(x)max＝f(2) ＝4 ，解得 a = ; 当 a<0 时，f(x)max＝f(－1) ＝4 ，解得 a ＝－3. 综上，或 a ＝－3. 9. 已知二次函数f(x) ＝ax2＋bx＋5 的图象过点 P(－ 1 ，11) ，且其对称轴是直线 x ＝1 ，求 a +b 的值 解：因为二次函数f(x) ＝ax2＋bx＋5 的图象的对称轴是直线 x ＝1 ，所以 . 又f(－1) ＝a－b＋5 ＝11， 所以 a－b ＝6②.联立①② , 解得 a ＝2 ，b ＝－4， 所以 a＋b ＝－2 10.当 m 取什么值时，抛物线 y = x2 +2x + m —1与直线y = x + 2m 只有一个公共点？ 解：列方程组 消去 y 并整理得 x2 +x — m —1 = 0 ， 则Δ= 4m + 5 ， ∵抛物线与直线只有一个交点， ∴ Δ =0，即4m + 5=0 ∴ 11.已知直线 l 的斜率与直线 3x－2y ＝6 的斜率相等，直线 l 与 x 轴交点坐标为(a ，0) ，且 a 比直线 l 在y 轴上的截距大 1 ，求直线 l 的斜截式方程． 解：由题意知，直线 l 的斜率为， 故设直线 l 的方程为 由直线 l 经过点(a ，0)可知 a＋b ＝0 ，即 a ＝－b， 因为直线 l 在y 轴上的截距为b， 所以 即 所以直线 l 的斜截式方程为 12.求过直线l1 : x — 2y — 3 = 0 和 l2 : 2x + y + 9 = 0 的交点，且垂直于直线x —y + 7 = 0的直线 方程． 解 解得即交点为（- 3，- 3） 5 直线x —y + 7 = 0斜率等于1， : 所求直线的斜率为 —1 : 所求直线方程为y + 3= —(x + 3), 即x + y + 6 = 0 13.过圆 x2＋y2 ＝8 内的点 P(－1,2)作直线 l 交圆于 A ，B 两点．若直线 l 的倾斜角为 135° , 求弦 AB 的长 解： 由题意知直线 l 的斜率 k = tan135厂= —1,且过点 P(－1,2) 所以方程为y－2 ＝－(x＋1) ，即 x＋y－1 ＝0， 所以圆心 O(0,0)到直线 l 的距离为 则有 14.已知在△ABC 中， a = 2·、, c = 6, A = 30厂，求△ABC 的面积 S 解： 由 知 得 , 所以 C=60 °或 120 ° 当 C=60 °时，三角形为直角三角形，面积为 6 当 C=120 °时，三角形为等腰三角形，面积为3 15.已知|a| ＝1 ，b ＝(0,2) ，且 a ·b ＝1 ，求向量 a 与 b 的夹角. 解：因为|a| ＝1 ，b ＝(0,2) ，且 a ·b ＝1， 设 a 与 b 的夹角为θ , 又因为 ，则 所以向量 a 与 b 夹角的大小为 . 16. 已知函数 w > 0) 的部分图象 如图所示． （1）求 A ，ω 的值； （2）求f（x）的单调增区间； 解：（1） 由图象知A= 1， 由图象得函数的最小正周期为 ， 则由 得ω=2． $$