第17章 勾股定理 分类练习 2024-2025学年人教版八年级数学下册

勾股定理复习与提高 【考点1 勾股定理求长度】 例1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AC=6，BC=8，求CD和AD的长. 例2.在△ABC中，AB=10，AC=2，BC边上的高AD=6，则边BC的长为_______. 例3.如图，根据图中的作图可得数轴上点C表示的数是__________. 例3图 例4图 例5图 例4.如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，MN=4，则△PMN的周长 为_______. 例5.如图是一个无盖圆柱形杯子的展开图，将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯内，木筷露在杯子外面的部分至少有__________cm. 练习1.已知一个直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边长是_______. 练习2.如图，点E在正方形ABCD内，∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是__________. 练习2图 练习3图 练习4图 练习5图 练习6图 练习3.如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为______. 练习4.如图，在长方形ABCD中，AB=3，AD=1，以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴于点M，则点M所表示的数为 . 练习5.如图，一个抽屉内壁的长、宽、高分别是32 cm、24 cm、9 cm，把一个画轴放入抽屉，则所能放入最长画轴是__________cm(画轴粗细忽略不计). 练习6.如图是一个无盖圆柱形杯子的展开图，将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯内，木筷露在杯子外面的部分至少有__________cm. 练习7.如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点A、C的坐标分别为(10，0)、(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上运动.当△ODP是等腰三角形时，求点P的坐标. 练习8.如图，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为__________. 【考点2 勾股定理与几何模型】 例1.如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE，BC于点H，G，则BG的长是__________. 例1图 例2图 例3图 例4图 例2.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，CD=1.5，BD=2.5，则AD的长为___________. 例3.如图，AB、BC、CD、DE是四根长度均为5cm的火柴棒，点A、C、E共线.若AC=6cm，CD⊥BC，则线段CE的长度为_____. 例4.如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，点D，E在AB上，且∠DCE=45°，BE=2，AD=3，则DE的长是__________. 练习1.如图，在△ABC中，AC=8，∠ABC=60°，∠C=45°，AD⊥BC于点D，∠ABC的平分线交AD于点E，则AE的长为_____. 练习1图 练习2图 练习3图 练习2.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，则AC的长为___________. 练习3.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交BC于点D，垂足为E.若BD=16cm，则DC的长为_________. 练习4.如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是D，E.若AD=3，BE=1，求AB的长. 练习5.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，连接AC，BD. (1)求证：BC2+CD2=2AB2；(2)若对角线AC的长为6，求四边形ABCD的面积. 练习6.如图，△ABC是等腰直角三角形，在BC的延长线上取一点D，连接AD，以AD为腰作等腰直角三角形△DAE.若BC=3，CD=1，求AD的长. 【考点3 勾股定理逆定理】 例1.如果一个三角形的三边长分别为15，20，25，那么它的最长边上的高是 . 例2.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在BC边上，点E在BC的延长线上，且∠DAE=45°.猜想BD，DE，EC之间的数量关系，并证明你的结论. 例3.如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置.若AE=1，BE=2，CE=3，求∠BE′C的度数. 练习1.在三边分别为下列长度的三角形中，不是直角三角形的是( ) A. 5，13，12 B. 2，3， C. 4，7，5 D. 1，， 练习2.如图，一块四边形菜地ABCD，测得AB=17m，BC=8m，CD=9m，AD=12m，∠D=90°，则这块菜地的面积是__________m2. 练习2图 练习3图 练习4图 练习3.如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，BC边的中线AD=2，则BC的长为______________________. 练习4.如图，点P是等边△ABC内一点，AP=3，BP=4，CP=5，将△ABP绕点B顺时针旋转60°，得到△CBD，则∠BPA的度数为__________. 练习5.如图，在四边形ABCD中，∠A=30°，E是AB的中点，DE⊥AB于点E，DE=，BC=1，CD=. (1)求∠EBC的度数；(2)求CE的长. 练习6.如图，在△ABC中，AB=5，AC=13，D为BC的中点，AD=6，求BC的长及△ABC的面积. 【考点4 折叠问题、最值问题】 例1.如图，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面圆的周长等于18cm，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，则沿圆柱侧面爬行的最短路程是__________. 例1图 例2图 例3图 例4图 例2.如图，长方体底面的长和宽分别为3cm和1cm，高为6cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要__________cm. 例3.如图，在长方形ABCD中，AB=2，AD=3，P为边BC上一动点，连接PA，PD，则△PAD周长的最小值为__________. 例4.如图，在长方形纸片ABCD中，AB=8cm，把矩形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F.若AF=cm，则AD的长为__________. 练习1.如图，长、宽、高分别为3，2，1的长方体木块上有一只小虫从顶点A出发沿着长方体的外表面爬到顶点B，则它爬行的最短路程是__________. 练习1图 练习2图 练习3图 练习2.如图，圆柱形玻璃杯的高为14 cm，底面周长为32 cm，在杯内壁离杯底5 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短路径的长为__________cm(杯壁厚度不计). 练习3.如图，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，点A和点C相对，过点A和点C镶嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝周长的最小值为_________. 练习4.如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一动点，则DN+MN的最小值是_____. 练习4图 练习5图 练习6图 练习7图 练习5.如图，△ABC是等腰直角三角形，AB=BC=2，点Q是BC的中点，P为边AC上一点，则△PBQ周长的最小值是__________. 练习6.如图，在长方形ABCD中，点E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠得到△GBE，延长BG交CD于点F，若AB=6，BC=4，则FD的长为__________. 练习7.如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE.若AB的长为2，则FM的长为_____. 练习8.如图，正方形纸片ABCD的边长为12，点F是AD上一点，将△CDF沿CF折叠，点D落在点G处，连接DG并延长交AB于点E.若AE=5，求GE的长. 【基础巩固】 1.下列条件中，不能判定一个三角形是直角三角形的是( ) A. 三个角的度数之比为1∶2∶3 B. 三条边满足关系式a2=b2－c2 C. 三条边的长度之比为1∶2∶3 D. 三个角满足关系∠B+∠C=∠A 2.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( ) A. 4，5，6 B. 1.5，2，2.5 C. 2，3，4 D. 1，，3 3.在Rt△ABC中，已知两边长分别为5和12，则第三边长为( ) A. 3 B. 13或 C. 13或15 D. 15 4.若△ABC的三边长a，b，c满足 +|b－a－2|+(c－8)2=0，则△ABC是( ) A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 5. 如图，在△ABC中，D是BC边上的点，AB=13，AD=12，AC=15，BD=5，则DC的长为__________. 5题图 6题图 7题图 8题图 9题图 6.如图，等边△OAB在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(0，2)，则点B的坐标是_________. 7. 如图，把等边△ABC沿着DE折叠，使点A恰好落在BC边上的点P处，且DP⊥BC，若BP=4，则EC的长为__________. 8.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米.如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为_________. 9.如图，每个小正方形的边长为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为_______. 10.如图，在△ABC中，AB=2，AD⊥BC于点D，BD=2CD，若E是AD的中点，则EC的长为_____. 10题图 11题图 12题图 13题图 14题图 11.如图，把Rt△ABO放置在平面直角坐标系中，已知∠OAB=30°，点B的坐标为(0，2)，将△ABO沿着斜边AB翻折得到△ABC，则点C的坐标是_____. 12.如图是一个滑梯的示意图，若将滑道AC水平放置，刚好与AB一样长，已知滑梯的高CE=3m，平台CD=1m，则滑道AC的长为__________. 13. 如图是长方形零件的加工图(单位：mm)，则两圆孔中心的距离AB为__________. 14. 如图，将长方形ABCD纸片的边AD沿折痕AE折叠，使点D落在BC上的点F处，已知AB=6，△ABF的面积为24，则EC的长等于__________. 15.如图，△ABC中，边BC的垂直平分线，分别交AB，BC于点E，F.若AC=5，BE=4，∠B=45°，则AB的长是__________. 15题图 16题图 16. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=5，DA=5，则BD的长为__________. 17. 如图，正方形ABCD内有一点P，连接PA，PB，PC. 若PA∶PB∶PC=1∶2∶3，求∠APB的度数. 18. 如图，△ABC为等腰直角三角形，AB=AC，∠BAC=90°，D为斜边BC的中点，E，F分别为AB，AC边上的点，且DE⊥DF.若BE=8，CF=6，求△DEF的面积. 19. 如图，小明在A时测得树CD的影长CM为 2 m，B时又测得该树的影长CN为8 m.若两次日照的光线互相垂直，求树CD的高度. 20.如图，某气象台测得一热带风暴中心从A城正西方向300km的点O处，以每小时26km的速度向北偏东60°方向沿OE移动，距风暴中心200km的范围为受影响区域.试问A城是否受到这次风暴的影响？如果受影响，请求出遭受风暴影响的时间；如果不受影响，请说明理由. 21. 如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上.求证：AE2+AD2=2AC2. 22.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，PA=3，PB=1，CD=PC=2，CD⊥CP，求∠BPC的度数. 【能力提升】 1.已知在△ABC中，∠B=45°，AB=10，AC=5，则△ABC的面积为__________. 2.已知一直角三角形的斜边长为13，并且周长为30，求这个三角形的面积是______. 3. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD平分∠BAC，交BC于点D，则的值是_________. 3题图 4题图 5题图 6题图 4. 如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一根到达底部的直吸管在罐内部分a的长度(罐壁厚度和小圆孔的大小忽略不计)范围是_______. 5.我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭(jiā)生其中，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深几何.”(丈、尺是长度单位，1丈=10尺.)如图，其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水的深度是______. 6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，若以AC边和BC边向外作等腰直角三角形AFC和等腰直角三角形BEC. 若△BEC的面积为S1，△AFC的面积为S2，则S1+S2的值为_____. 7.如图，四边形OABC是长方形，点A的坐标为(8，0)，点C的坐标为(0，4)，把长方形OABC沿OB折叠，使点C落在点D处，则点D的坐标为__________. 7题图 8题图 8.如图是用4个全等的直角三角形和1个小正方形镶嵌而成的正方形图案.已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边长(x>y)，下列四个说法：①x2+y2=49；②x－y=2；③2xy+4=49；④x+y=9. 其中正确的是__________. 9.如图，在长方形ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，动点P、Q分别从点D、A同时出发向右移动，点P的运动速度为2cm/s，点Q的运动速度为1cm/s，当点P运动到点C时，两个点都停止运动. (1)当PQ=PB时，求运动时间t的值；(2)当BQ=PQ时，求运动时间t的值. 10.如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，P为△ABC内一点，∠APC=135°，PA=3，PC=，求PB的长. 【拓展提高】 1. 如图，AEFC是长方形ABCD内的一条折线，∠E=∠F=90°，AE=4，EF=3，FC=2，则对角线AC的长为_______. 2. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连接CE，则线段CE的长为______. 2题图 3题图 3.如图，a，b，c是直角三角形的三条边长，c为斜边长，斜边上的高的长为h，给出下列结论： ①以长为a2，b2，c2的三条线段为边能组成一个三角形；②以长为，，的三条线段为边能组成一个三角形；③以长为a+b，c+h，h的三条线段为边能组成直角三角形；④以长为，，的三条线段为边能组成直角三角形.其中正确结论的序号为__________. 4.如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点P在△ABC外，且∠CPB=45°，连接PA，试探索线段PA，PB，PC之间的数量关系？并说明理由. 5. 如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD、ED⊥BD，连接AC、EC. 已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x. (1)用含x的代数式表示AC+CE的长. (2)请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？ (3)请根据(2)中的规律和结论，构造图形求出代数式 +的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $$