抛物线课件-2026届高三数学一轮复习

　抛物线 课 标 解 读 1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程. 2.掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率). 3.掌握抛物线的简单应用. 知识梳理 1.抛物线的定义 (1)平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离　　　　　的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的　　　　　. (2)数学表达式:P={M||MF|=d}(d为点M到准线l的距离). 微思考　抛物线的定义中,为什么要强调l不经过点F? 相等 准线 提示 若直线l过点F,则到点F与到直线l距离相等的点的轨迹是过点F且与l垂直的直线. 2.抛物线的标准方程和简单几何性质 等于焦点到抛物线顶点的距离 标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) p的几何意义:焦点F到准线l的距离　　 焦点 F(,0) F(-,0) F(0,) F(0,-) 离心率 e=1 准线方程 x=- x= y=- y= 范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R 开口方向 向右 取决于一次项变量(x或y)的取值范围 向左 向上 向下 焦半径(其 中P(x0,y0)) |PF|=x0+ |PF|=-x0+ |PF|=y0+ |PF|=-y0+ [教材知识深化] 1.焦点到顶点以及顶点到准线的距离均为. 2.由y2=mx或x2=my(m≠0)求焦点坐标时,只需将x或y的系数除以4,再确定焦点位置即可. 自主诊断 一、基础自测 1.思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”) (1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.(　　) (2)若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线一定相切.(　　) (3)方程y=ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,其焦点坐标是(,0),准线方程是x=-.(　　) × × × 2.(人教A版选择性必修第一册3.3.1节练习第3题改编)若抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是(　　) A. B. C. D.0 B 解析 抛物线方程可化为x2=y,开口向上,准线方程为y=-点M到焦点的距离为1,所以点M到准线y=-的距离为1,所以点M的纵坐标是 3.(人教B版选择性必修第一册习题2-7A第5题改编)图中是抛物线形拱桥,当水面在m时,拱顶距离水面2米,水面宽度为8米,则当水面宽度为10米时,拱顶与水面之间的距离为(　　) A.米 B.米 C.米 D.米 D 解析 以拱顶为坐标原点,建立平面直角坐标系如图所示. 可设拱桥所在抛物线的方程为x2=-2py(p>0),又抛物线过点(4,-2),则16=4p,解得p=4,则抛物线的方程为x2=-8y,当x=5时,y=-,故当水面宽度为10米时,拱顶与水面之间的距离为米. 4.(人教B版选择性必修第一册2.7.1节练习B第5题改编)已知点M到点F(4,0)的距离比它到直线l:x+6=0的距离小2,则点M的轨迹方程是　　　　　. y2=16x 解析 因为点M到点F(4,0)的距离比它到直线l:x+6=0的距离小2,所以点M到点F(4,0)的距离与它到直线x+4=0的距离相等.即点M的轨迹是以F(4,0)为焦点,直线x+4=0为准线的抛物线,抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),则=4,即p=8.所以点M的轨迹方程为y2=16x. 二、连线高考 5.(2023·全国乙,理13)已知点A(1,)在抛物线C:y2=2px上,则A到C的准线的 距离为　　　　　. 解析 因为点A(1,)在抛物线C上,所以5=2p,所以p=,所以抛物线C的准线方程为x=-=-,所以点A到抛物线C的准线的距离为1+ 6.(2024·上海,7)若抛物线y2=4x上有一点P到准线的距离为9,则P到x轴的距离为　　　　　. 4 解析 由题意可知,准线方程是x=-1.设点P的坐标是(x0,y0). 由点P到准线的距离为9知x0+1=9,则x0=8. 代入抛物线方程可得=4×8=32,解得y0=±4, 故点P到x轴的距离为|y0|=4 考点一　抛物线的定义及应用 例1(1)(2023·北京,6)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在C上.若M到直线x=-3的距离为5,则|MF|=(　　) A.7 B.6 C.5 D.4 D 解析 因为抛物线C:y2=8x的焦点F(2,0),准线方程为x=-2,点M在C上, 所以M到准线x=-2的距离为|MF|, 又M到直线x=-3的距离为5,所以|MF|+1=5,故|MF|=4. (2)设P是抛物线y2=4x上的一个动点,F是抛物线y2=4x的焦点,若B(3,2),则|PB|+|PF|的最小值为(　　) A.2 B.4 C.3 D.5 B 解析 如图,过点B作BQ垂直准线于点Q,交抛物线于点P1,则|P1Q|=|P1F|. 则有|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4,即|PB|+|PF|的最小值为4. 变式探究1 本例(2)中的点B的坐标改为(3,4),则|PB|+|PF|的最小值为　　　　　. 2 解析 由题意可知点B(3,4)在抛物线的外部. ∵|PB|+|PF|的最小值即为B,F两点间的距离,F(1,0), ∴|PB|+|PF|≥|BF|==2,即|PB|+|PF|的最小值为2 变式探究2 已知抛物线y2=4x,点P是抛物线上任意一点,则点P到直线l:x=-1的距离与点P到直线3x+4y+7=0的距离之和的最小值是　　　　　. 2 解析 易知直线l:x=-1为抛物线的准线,抛物线y2=4x与直线3x+4y+7=0相离,由抛物线的定义可知,点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离, ∴点P到直线l的距离与点P到直线3x+4y+7=0的距离之和的最小值为点F(1,0)到直线3x+4y+7=0的距离,即=2. [对点训练1](2024·北京海淀模拟)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于点A,B,线段AB的中点的横坐标为4,则AB的长为(　　) A.10 B.8 C.5 D.4 A 解析 设AB的中点为C,则点的横坐标xC=4.过A,B,C分别作准线x=-1的垂线,垂足分别为M,N,D.因为C为AB的中点,则易知CD为梯形AMNB的中位线,而|CD|=xC+1=5, 所以|AM|+|BN|=2|CD|=10. 根据抛物线定义可知|AM|=|AF|,|BN|=|BF|. 所以|AB|=|AF|+|BF|=|AM|+|BN|=10. 考点二　抛物线的标准方程 例2(2024·山东青岛二中高三检测)已知动圆M与直线y=2相切,且与定圆C:x2+(y+3)2=1外切,则动圆圆心M的轨迹方程为(　　) A.x2=-12y B.x2=12y C.y2=12x D.y2=-12x A 解析 设动圆圆心为M(x,y),半径为r,由题意可得点M与点C(0,-3)的距离是r+1,点M到直线y=2的距离是r,则点M到直线y=3的距离是r+1.由抛物线的定义可知,动圆圆心的轨迹是以C(0,-3)为焦点,以y=3为准线的一条抛物线,所以=3,2p=12,其方程为x2=-12y. [对点训练2]在建筑中很多圆顶建筑的顶部会使用抛物线形状,例如飞机库、穹顶体育场和博物馆采用了抛物线形状的圆顶,因为这种形状可以提供良好的结构稳定性,并能使空间更加开阔.图1为某机场的一个飞机库,它的一个纵截面呈抛物线形,将其置于平面直角坐标系xOy中,如图2.已知该飞机库的底面宽度约为96 m,高度约为60 m,则此纵截面所在抛物线的方程为 (　　) 图1 图2 A.x2=-y B.x2=-y C.x2=-y D.x2=-75y A 解析 由题意可设抛物线方程为x2=-2py(p>0), 由题意知点(48,-60)在该抛物线上,代入抛物线方程得482=-2p×(-60), 解得p=,则抛物线的方程为x2=-y. 考点三　抛物线的几何性质 例3(多选题)(2023·新高考Ⅱ,10)设O为坐标原点,直线y=-(x-1)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则(　　) A.p=2 B.|MN|= C.以MN为直径的圆与l相切 D.△OMN为等腰三角形 AC 解析 对于A,在y=-(x-1)中令y=0,得x=1,所以抛物线的焦点为(1,0), 所以=1,所以p=2,故A正确; 对于B,由A知,抛物线的方程为y2=4x, 则由 不妨设M(),N(3,-2), 则由抛物线的定义知|MN|=+3+2=,故B不正确; 对于C,由B知,以MN为直径的圆的圆心为(,-),半径为, 又抛物线的准线l的方程为x=-=-1,圆心到准线l的距离为-(-1)=, 故以MN为直径的圆与l相切,故C正确; 对于D,因为|OM|=, |ON|=,|MN|=, 可知△OMN不是等腰三角形,故D不正确.故选AC. [对点训练3](多选题)(2025·八省联考,9)已知F(2,0)是抛物线C:y2=2px的焦点,M是C上的点,O为坐标原点,则(　 　) A.p=4 B.|MF|≥|OF| C.以M为圆心且过F的圆与C的准线相切 D.当∠OFM=120°时,△OFM的面积为2 ABC 解析 因为F(2,0)是抛物线C:y2=2px的焦点,所以=2,解得p=4,A正确; 设M(x0,y0),由M在抛物线C上,所以x0≥0,所以|MF|=x0+=|OF|,B正确; 因为以M(x0,y0)为圆心且过F的圆的半径为|MF|=x0+2,等于点M到抛物线C的准线的距离,所以以M为圆心且过F的圆与C的准线相切,C正确; 当∠OFM=120°时,x0>2,=tan 60°=,且=8x0, 不妨设y0>0,所以-8y0-16=0, 解得y0=4(负值舍去). 所以△OFM的面积为S△OFM=|OF|×|y0|=4,D错误. 故选ABC. 标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) p的几何意义:焦点F到准线l的距离　　 图形 顶点 原点 对称轴 x轴 y轴 $$