贵州省盘州市第二中学2024-2025学年高二下学期数学期末考前冲刺模拟卷二（人教A版）

2025届高二下学期期末考前冲刺卷二（人教A版） 命题范围：导数及其应用32%、计数原理10%、随机变量及其分布列23.3%、成对数据分析14%、集合与简易逻辑6.7%、不等式4%、函数10%． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则B可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，进而可得. 【详解】由题意，观察选项只有选项符合题意， 故选：C 2．已知a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】由推不出，例如，；由可得，或，，当，时不能推出，例如，，所以“”是 “”的既不充分也不必要条件. 3．关于二项式，若展开式中含项的系数为4，则（    ） A． B．1 C．3 D．2 【答案】D 【分析】根据题意，先求得二项式的展开式的和项系数，进而得到展开式中的系数，列出方程，求解的值，即可得到答案. 【详解】由二项式展开式中项系数为，展开式的项系数为， 所以展开式中含的项的系数，解得. 故选：D. 4．某学校一同学研究温差x(°C)与本校当天新增感冒人数y (人)的关系，该同学记录了5天的数据： x 5 6 8 9 12 y 17 20 25 28 35 经过拟合，发现基本符合经验回归方程，则下列结论错误的是（    ） A．样本中心点为 B． C．时， 残差为 D．相关系数 【答案】C 【分析】由回归直线必过样本中心可判断A项、B项，由残差公式可判断C项，由线性回归方程的斜率即可相关系数正负可判断D项. 【详解】对于A项，因为，， 所以样本中心点为，故A项正确； 对于B项，由回归直线必过样本中心可得：，解得：，故B项正确； 对于C项，由B项知，，令，则， 所以残差为，故C项错误； 对于D项，经验回归方程中，斜率，说明与正相关， 故相关系数，故D项正确. 故选：C 5．第十五届中国国际航空航天博览会于 2024年11月12 日至17日在珠海举行．此次航展有47个国家参加．为了给观展人更准确、更专业的解读，某大学航空航天专业4名志愿者要到3个场地执勤，要求每个场地至少有1名志愿者，且每个志愿者只到1个场地执勤，则不同的执勤方案有（   ） A．144种 B．72种 C．36种 D．18种 【答案】C 【分析】将4名志愿者分成3组，再分配到3个场地即可. 【详解】依题意，将4人按分成3组有种分法，再将每种分法所得3组分到3个场地有种方法， 所以不同的执勤方案有（种）. 故选：C 6．中华人民共和国国家标准（GB11533-2011）中的《标准对数视力表》采用的是五分视力记录方式（缪氏记录法）：，其中，为被测试眼睛的视力值，为该眼睛能分辨清楚的最低一行“”形视标的笔划宽度（单位：毫米），为眼睛到视标的距离（单位：米），如图1所示，是与无关的常量．图2是标准视力表的一部分，一个右眼视力值为5.0的人在距离该视力表5米处进行检测，能分辨的最低一行视标为图2中虚线框部分．因条件所限，小明在距离该视力表3米处进行检测，若此时他的右眼能分辨的最低一行视标也为图2中虚线框部分，不考虑其它因素的影响，则与小明右眼的实际视力值最接近的为（    ）（参考数据：） A．4.5 B．4.6 C．4.8 D．5.0 【答案】C 【分析】根据已知视力值求出的值，再根据小明距离3米，求出其实际视力值. 【详解】已知当，时，代入，解得. 小明在距离该视力表3米处进行检测,即，代入，求解； 因为题中参考数据已知，； 所以. 所以. 故选：. 7．对于函数，若集合中恰有个元素，则称函数是“阶准偶函数”.若函数是“2阶准偶函数”，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别讨论不同情况下在时的解的情况，再根据恰有个元素这一条件得出的取值范围. 【详解】当时，，即. 因为，且. 若，当时： 对于，令，，，，， 通过分析函数与的图象可知，在时，最多有个解. 要使中恰有个元素，则（且）必须有一个解，（且）必须有一个解. 由（），通过分析函数与的图象，当时满足恰有个解. 若，当时，与相等的情况会使得满足且的元素个数多于个. 综上所得，的取值范围是， 故选：B. 8．设函数在R上存在导函数，对任意的实数都有，当时，.若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造，求导，得到在上为减函数，结合为奇函数，得到在上为减函数，分和两种情况，得到，由函数单调性得到不等式，求出答案. 【详解】令，，则， 函数在上为减函数， 因为，即， 故为奇函数，于是在上为减函数 而不等式， 若，则，即， 可化为， 即，则 解得，与前提条件相同，满足要求； 若，则无法比较与的大小关系， 故无法比较与的大小关系，故不合要求. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．以下几种说法正确的是（    ） A．对于相关系数，越接近1，相关程度越大，越接近0，相关程度越小 B．若随机变量满足，则 C．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到.依据的独立性检验，可判断与有关且犯错误的概率不超过0.05 D．某人在次射击中，击中目标的次数为，射击中靶的概率为，若，则 【答案】AC 【分析】由相关系数性质可得A；由方差性质计算可得B；由独立性检验定义可得C；由二项分布的期望与方差公式可得D. 【详解】对A：在回归分析中，相关系数的绝对值越接近于1，相关程度就越大，故A正确； 对B：，故B错误； 对C：观测值越大，有关系把握程度越大，故C正确； 对D：由，则有，， 故，即，故D错误. 故选：AC. 10．若是关于的方程的两根，且，，则下列说法正确的是（    ） A．的取值范围是 B．的最大值为 C．的最大值为25 D．的最小值为8 【答案】ABD 【分析】根据题意可得，可判断A，利用基本不等式判断BCD. 【详解】对于A，因为关于的方程有两个正根， 所以解得.故A正确； 对于B，，故， 当且仅当时取等号，即的最大值为，故B正确； 对于C，， 当且仅当时等号成立，又因为，解得，时，等号成立， 但，所以等号不能成立，故C不正确； 对于D，， 当且仅当时等号成立，又因为，解得，时，等号成立. 故正确， 故选：ABD 11．已知函数，则（    ） A．在区间上单调递增 B．极大值点仅有一个 C．无最大值，有最小值 D．当时，关于的方程共有3个实根 【答案】BC 【分析】利用函数的单调性与导数的关系可判断A选项；利用函数的极值点与导数的关系可判断B选项；利用函数的最值与导数的关系可判断C选项；数形结合可判断D选项. 【详解】对于A选项，当时，，则， 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减，故A错误； 对于B选项，由A选项知，函数在上有一个极大值点， 当时，，则，此时函数单调递增， 当时，，此时函数有极小值点，无极大值点， 综上所述，函数仅有1个极大值点，故B正确； 对于C选项，当时，， 当时，， 所以，函数的最小值为，函数无最大值，故C正确； 对于D选项，如下图所示：    由图可知，当时，关于的方程共有4个实根，故D错误. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知定义在上的函数满足以下两个条件：①对任意恒有；②在上单调递减．请写出一个满足上述条件的函数 ．（答案不唯一） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据函数满足的条件，结合指数函数的性质，即可写出一个满足题中条件的函数. 【详解】根据题意知函数满足以下两个条件：①对任意恒有； ②在上单调递减， 则在上单调递减， 且，即满足， 故符合题意， 故答案为：（答案不唯一） 13．已知，其中是关于的多项式，则 ; 【答案】2 【分析】将化为，展开后观察对应项可得；先求，然后将转化为，展开可得. 【详解】因为 所以， 所以，，所以. 故答案为：. 14．设函数且.若为偶函数，则 ；若在上单调递增，则的取值范围是 . 【答案】 1 【分析】根据得到方程，求出，检验后得到结论；分，，或四种情况，结合指数函数单调性，导数，进行求解，得到答案. 【详解】为偶函数， ，即, ∴，经检验，此时为偶函数， 当时，在上单调递增，符合题意，此时. 当时，在上单调递减，不符合题意. 当或时，， 则需在上恒成立， 不妨设，则在上恒成立， 在上单调递增， ∴，即. 综上，的取值范围是. 故答案为：1， 【点睛】关键点点睛：恒成立问题，转化为恒成立，结合指数函数单调性，得到不等式，求出答案. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量（单位：百千克）与某种液体肥料每亩使用量（单位：千克）之间的对应数据的散点图如图所示． (1)依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数，并说明线性相关性的强弱（相关系数精确到小数点后2位，若，则线性相关程度很高）； (2)求关于的线性回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少百千克． 附：数据和公式：；回归方程：，其中．相关系数：． 【答案】(1)0.95，与线性相关性很强． (2)，6.1 【分析】（1）根据题意，结合相关系数的公式，求得，即可得到结论； （2）根据最小二乘法的公式，求得，得出的值，求得回归方程，令，求得的值，即可得到预测值. 【详解】（1）根据题意，可得， 且， ， ， 可得， 因为时线性相关程度很高，所以与线性相关性很强． （2）由，则， 所以线性回归方程为， 当时，， 即当液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为6.1百千克． 16．已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)求的极值． 【答案】(1) (2)单调递增区间是和，单调递减区间是 (3)极大值为，极小值为 【分析】（1）求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）利用导数与函数单调性的关系可求出函数的增区间和减区间； （3）利用（2）中的结论可得出函数的极大值和极小值. 【详解】（1）由函数，得，所以，． 所以函数在点处的切线方程为. （2）函数的定义域为，由（1）得， 令，得或，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是. （3）由（2）可知，函数的极大值为，极小值为. 17．一个不透明盒子里装有7个大小相同、质地均匀的小球，其中白色小球3个（分别标有数字1，2，3），黑色小球4个（分别标有数字2，3，4，5）．现从盒子中—次性随机取出3个小球． (1)求取出的3个小球上的数字之和等于10的概率； (2)在取出的3个小球中有黑色小球的情况下，黑色小球上的数字的最大值为X（当只取到1个黑色小球时，该球上的数字即为X），求随机变量X的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）列出所有满足题意的情况，再利用古典概型即可求出答案； （2）首先分析出X可能的值有5，4，3，2，再分别写出其对应概率即可. 【详解】（1）7个球里取3个共有种， 3个小球上的数字之和等于10的含有4，5，1；3，5，2；3，4，3， 其中4，5，1只有一种，而3，5，2有种，即从两个3，两个2里各取一个，3，4，3也只有一种， 所以总共有种， 所以取出的3个小球上的数字之和等于10的概率为. （2）由题意可知，X可能的值有5，4，3，2， ， ， ， . 所以X的分布列为： 2 3 4 5 18．ChatGPT，是OpenAI研发的一款聊天机器人程序.某科技公司在使用ChatGPT对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.99；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.19.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，ChatGPT的回答是否正确相互独立.该公司科技人员小张想挑战ChatGPT，小张和ChatGPT各自从给定的9个问题中随机抽取8个作答，已知在这9个问题中，小张能正确作答8个问题，答错1个问题. (1)求小张能全部回答正确的概率； (2)求一个问题能被ChatGPT回答正确的概率； (3)比较小张和ChatGPT答对题数的数学期望. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）利用古典概型求解即可； （2）利用全概率公式求解即可； （3）利用期望公式分布求出期望，即可得解. 【详解】（1）设小张答对的题数为，则； （2）设事件A表示“输入的问题没有语法错误”， 事件表示“一个问题能被ChatGPT正确回答”， 由题意知， 则， ； （3）设小张答对的题数为，则的可能取值是7，8， 且， 则， 设ChatGPT答对的题数为，则服从二项分布， 则， ，， 显然，即. 19．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)已知在上的最小值为2，求的值； (3)若，且，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2)2 (3) 【分析】（1）求出函数导数，分类讨论，根据导数的正负求出函数的单调区间； （2）利用（1）中函数的单调性求出函数的最值即可得解； （3）分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最小值即可得解. 【详解】（1）因为，，所以． 当时，恒成立，所以在上单调递减． 当时，解，得， 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增． 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （2）由（1）可知， 当时，在上单调递减，所以在上的最小值为． 由题意，得，解得，则． 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以在上的最小值为． 由题意，得，解得，则． 当时，在上单调递增，所以在上的最小值为． 由题意，得，解得，则． 综上，的值为2． （3）由已知，得． 设，， 则． 因为，所以，所以的零点即函数在上的零点． 因为在上恒成立，所以函数在上单调递增． 因为，，所以存在，使得， 即，则，所以． 当时，，，所以在上单调递减， 当时，，，所以在上单调递增． 所以． 由恒成立，得， 所以，即的取值范围是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高二下学期期末考前冲刺卷二（人教A版） 命题范围：导数及其应用32%、计数原理10%、随机变量及其分布列23.3%、成对数据分析14%、集合与简易逻辑6.7%、不等式4%、函数10%． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则B可能为（   ） A． B． C． D． 2．已知a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．关于二项式，若展开式中含项的系数为4，则（    ） A． B．1 C．3 D．2 4．某学校一同学研究温差x(°C)与本校当天新增感冒人数y (人)的关系，该同学记录了5天的数据： x 5 6 8 9 12 y 17 20 25 28 35 经过拟合，发现基本符合经验回归方程，则下列结论错误的是（    ） A．样本中心点为 B． C．时， 残差为 D．相关系数 5．第十五届中国国际航空航天博览会于 2024年11月12 日至17日在珠海举行．此次航展有47个国家参加．为了给观展人更准确、更专业的解读，某大学航空航天专业4名志愿者要到3个场地执勤，要求每个场地至少有1名志愿者，且每个志愿者只到1个场地执勤，则不同的执勤方案有（   ） A．144种 B．72种 C．36种 D．18种 6．中华人民共和国国家标准（GB11533-2011）中的《标准对数视力表》采用的是五分视力记录方式（缪氏记录法）：，其中，为被测试眼睛的视力值，为该眼睛能分辨清楚的最低一行“”形视标的笔划宽度（单位：毫米），为眼睛到视标的距离（单位：米），如图1所示，是与无关的常量．图2是标准视力表的一部分，一个右眼视力值为5.0的人在距离该视力表5米处进行检测，能分辨的最低一行视标为图2中虚线框部分．因条件所限，小明在距离该视力表3米处进行检测，若此时他的右眼能分辨的最低一行视标也为图2中虚线框部分，不考虑其它因素的影响，则与小明右眼的实际视力值最接近的为（    ）（参考数据：） A．4.5 B．4.6 C．4.8 D．5.0 7．对于函数，若集合中恰有个元素，则称函数是“阶准偶函数”.若函数是“2阶准偶函数”，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．设函数在R上存在导函数，对任意的实数都有，当时，.若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．以下几种说法正确的是（    ） A．对于相关系数，越接近1，相关程度越大，越接近0，相关程度越小 B．若随机变量满足，则 C．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到.依据的独立性检验，可判断与有关且犯错误的概率不超过0.05 D．某人在次射击中，击中目标的次数为，射击中靶的概率为，若，则 10．若是关于的方程的两根，且，，则下列说法正确的是（    ） A．的取值范围是 B．的最大值为 C．的最大值为25 D．的最小值为8 11．已知函数，则（    ） A．在区间上单调递增 B．极大值点仅有一个 C．无最大值，有最小值 D．当时，关于的方程共有3个实根 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知定义在上的函数满足以下两个条件：①对任意恒有；②在上单调递减．请写出一个满足上述条件的函数 ．（答案不唯一） 13．已知，其中是关于的多项式，则 ; 14．设函数且.若为偶函数，则 ；若在上单调递增，则的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量（单位：百千克）与某种液体肥料每亩使用量（单位：千克）之间的对应数据的散点图如图所示． (1)依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数，并说明线性相关性的强弱（相关系数精确到小数点后2位，若，则线性相关程度很高）； (2)求关于的线性回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少百千克． 附：数据和公式：；回归方程：，其中．相关系数：． 16．已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)求的极值． 17．一个不透明盒子里装有7个大小相同、质地均匀的小球，其中白色小球3个（分别标有数字1，2，3），黑色小球4个（分别标有数字2，3，4，5）．现从盒子中—次性随机取出3个小球． (1)求取出的3个小球上的数字之和等于10的概率； (2)在取出的3个小球中有黑色小球的情况下，黑色小球上的数字的最大值为X（当只取到1个黑色小球时，该球上的数字即为X），求随机变量X的分布列． 18．ChatGPT，是OpenAI研发的一款聊天机器人程序.某科技公司在使用ChatGPT对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.99；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.19.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，ChatGPT的回答是否正确相互独立.该公司科技人员小张想挑战ChatGPT，小张和ChatGPT各自从给定的9个问题中随机抽取8个作答，已知在这9个问题中，小张能正确作答8个问题，答错1个问题. (1)求小张能全部回答正确的概率； (2)求一个问题能被ChatGPT回答正确的概率； (3)比较小张和ChatGPT答对题数的数学期望. 19．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)已知在上的最小值为2，求的值； (3)若，且，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$