第12讲 重难点专题拓展：二次函数综合之三种线段问题（2知识点+3大核心考点+过关测）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（沪教版）

第12讲 重难点专题拓展：二次函数综合之三种线段问题 （2知识点+3大核心考点+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：3大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：二次函数中线段相等与和差倍关系 1.线段相等问题解题思路 借助几何性质： 利用等腰三角形性质：若能证明两条线段是等腰三角形的两腰，则两线段相等。可通过求出线段端点坐标，计算直线斜率，得出线段夹角，结合角度关系证明等腰三角形。 利用全等三角形性质：通过证明包含两条线段的两个三角形全等，根据全等三角形对应边相等来证明线段相等。需根据已知条件找出对应角相等和对应边相等的关系。 利用对称性质：若两点关于某条直线对称，则这两点到对称轴上任意一点的距离相等，且这两点连线被对称轴垂直平分。可先求出对称轴方程，再根据对称点的坐标关系，证明线段相等。 2.线段和差倍问题解题思路 截长补短法：证明一条线段等于另外两条线段的和或差，可采用截长或补短的方法。 3.线段倍数问题解题思路 加倍法或减半法：要证一条线段是另一条线段的2倍，可延长较短线段使其长度加倍，再证明与较长线段相等（加倍法）；或取较长线段的中点，证明中点分割后的线段与较短线段相等（减半法）。 利用相似三角形性质：若两个三角形相似，则对应边成比例。通过找出与两条线段相关的相似三角形，根据相似比来证明线段的倍数关系。如△ABC∽△DEF，相似比为k，若AB与DE是对应边，则AB=kDE。 知识点02：抛物线中的线段最值问题 1．平行于坐标轴的线段的最值问题：常通过线段两端点的坐标差表示线段长的函数关系式，运用二次函数性质求解．求最值时应注意： ①当线段平行于y轴时，用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标； ②当线段平行于x轴时，用右端点的横坐标减去左端点的横坐标．在确定最值时，函数自变量的取值范围应确定正确． 2. 两条线段和的最值问题：解决这类问题最基本的定理就是“两点之间线段最短”， 解决这类问题的方法是：作其中一个定点关于已知直线的对称点，连接对称点与另一个定点，它们与已知直线的交点即为所求的点. 其变形问题有三角形周长最小或四边形周长最小等. 【常见模型一】（两点在河的异侧）：在直线L上找一点M，使PA+PB的值最小. 方法：如右图，连接AB，与直线L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长。 【常见模型二】（两点在河的同侧）：在直线L上找一点M，使PA+PB的值最小. 方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’，连接AB’,与直线L的交点即为所求的渡河点，最短距离为线段AB’的长。 3. 两条线段差的最值问题：解决这类问题最基本的定理就是“三角形任何两边之差小于第三边”， 解决这类问题的方法是：求解时,先根据原理确定线段差取最值时的图形,再根据已知条件求解。 【常见模型一】（两点在同侧）：在直线L上求一点P,求|PA-PB|的最大值 方法：如右图，延长射线AB，与直线L交于点P，|PA-PB|最大值为AB 【常见模型二】（两点在异侧）：在直线L上求一点P,求|PA-PB|的最大值。 方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’， 延长射线AB’，与直线L交于点P，|PA-PB|最大值为AB’ 【题型1 线段的数量关系】 【例1-1】（线段相等）（2025·上海黄浦·二模）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线与轴交于、两点（点在点右侧），与轴正半轴交于点，顶点为． (1)如果，求抛物线的表达式； (2)用含的代数式表示点的坐标； (3)联结、，直线交轴于点，如果，求抛物线的表达式． 【答案】(1)； (2)顶点的坐标为； (3)． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（1）先求得点坐标为，再利用待定系数法求解即可； （2）将代入求得，得到，配方得到顶点的坐标为； （3）先求得点的坐标为，根据题意求得，根据对称轴为直线，求得点坐标为，点坐标为，再利用待定系数法求得直线的解析式，根据点在直线上，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：已知抛物线与轴交于，，且点在点右侧， ∴点坐标为， 把，代入抛物线得 ， 即． ∴抛物线表达式为； （2）解：将代入得， ， 解得， ∴ ， ∴顶点的坐标为； （3）解：由（2）， 令，则， ∴点的坐标为， ∵，， ∴， 由（2）得顶点的坐标为，对称轴为直线， ∴， ∴， ∴点坐标为， ∴点坐标为， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点在直线上， ∴， 整理得， 解得（舍去）或， ∴抛物线的表达式为，即． 【点睛】本题考查了根据已知条件确定二次函数的解析式，二次函数的图象性质以及等腰三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 【例1-2】（线段间的比例关系）如图，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴相交于点C，点A的坐标为，是抛物线上一点（点与点、、都不重合）． (1)求抛物线解析式； (2)求点B的坐标； (3)设直线PB与直线AC相交于点M，且存在这样的点P，使得，试确定点的横坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、求一次函数解析式、相似三角形的判定与性质综合、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法求解即可得； （2）求出时，的值即可得； （3）过点作轴，交直线于点，先利用待定系数法求出直线的解析式，设，则，从而可得，再根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：将点代入得：， 解得， 则抛物线的解析式为． （2）解：当时，， 解得或， 则点的坐标为． （3）解：如图，过点作轴，交直线于点， 对于二次函数， 当时，，即， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则直线的解析式为， ， ， 设点的坐标为， 将代入得：， 即， ， ， ， ，即， 即或， 解得或， 故点的横坐标为或． 【点睛】本题考查了求二次函数和一次函数的解析式、相似三角形的判定与性质、二次函数的几何应用，熟练掌握待定系数法和相似三角形的性质是解题关键． 【例1-3】（线段间的倍数关系）（22-23九年级上·上海青浦·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为E．点D在二次函数的图象上，轴，． (1)求这条抛物线的函数解析式及顶点E的坐标； (2)在x轴上有一点F，若以点F、B、C为顶点的三角形与相似，求点F坐标； (3)点Q是二次函数图象上一点，过点Q向抛物线的对称轴作垂线，垂足为H，若，求点Q的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的图象与性质、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）先求出点的坐标，根据轴，求出点坐标，代入函数解析式求出值即可； （2）先求出点、的坐标，再分别求出的三边长，设点，再分别讨论当、、分别为的最长边时，利用相似三角形的性质，分别列出关于的方程，解方程即可； （3）设点，求出函数对称轴，结合已知以及顶点的坐标得，，根据列方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可知：， 当时，，即点的坐标为， 轴，， 点的坐标为，代入抛物线得：， ， 抛物线的解析式为， 顶点的坐标为； （2）解：由（1）得，令，即， 解得：，， ，， ，，， 设点， ①当为的最长边时，得， ， 解得：， 点； ②当为的最长边时，得， ， ， 点； ③当为的最长边时，得， 解得：无解，所以这个点不存在， 综上所述，点的坐标为或； （3）解：点在函数图象上，则设点， 二次函数对称轴为， ，， ， ， 或， 解得：，或，， 当时不符合题意， 故或， 故点的坐标为或． 【点睛】本题时二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的线段问题，解题关键是灵活运用相关知识及分类讨论和方程思想解决问题． 【变式1-1】（2025·上海奉贤·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，抛物线顶点在第一象限且在直线上． (1)求抛物线的表达式； (2)向上平移直线，交抛物线于两点(在左侧），当时，求点坐标； (3)将抛物线向右平移个单位，平移后的抛物线与原抛物线交于点，顶点为，如果，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、二次函数图象的平移、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（）把代入函数解析式得，即得，得到，再把点坐标代入一次函数解析式求出的值即可求解； （）延长交轴于点，过点作轴于，过点作轴平行线， 过点作于，可证，可得，，设，得，再把点坐标代入二次函数解析式求出的值即可求解； （）求出平移前抛物线顶点坐标为，可得平移后的抛物线顶点，由对称性可知，即得，再证明，得，即得，得到，再把点坐标代入二次函数解析式即可求出的值． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， ∴ ∴， ∵顶点在直线上 ， ∴ ， 解得， ∴抛物线表达式 ； （2）解：如图，延长交轴于点，过点作轴于，过点作轴平行线， 过点作于， ∵由平移可知， ∴， 同理， ∴， ∵，， ∴， ∴，，     ∴设， ∴， 把代入得， ， 解得 ， ∴； （3）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵将抛物线向右平移个单位， ∴平移后的抛物线顶点， 设于，作于，交于点， 由对称性可知， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 把代入得， ， 整理得，， 解得，（不合，舍去） ∴的值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，二次函数的平移，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【变式1-2】（24-25九年级上·上海·期中）已知抛物线与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点． (1)求抛物线表达式和点A、B的坐标； (2)点P是第四象限抛物线上一点，线段与线段相交于点M，若，求点P的坐标： (3)将抛物线向上平移，平移后新的抛物线顶点为点D，点C的对应点为点E．设直线与x轴正半轴交于点F，与线段交于点G，当时，求平移后抛物线的表达式． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、二次函数图象的平移、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了二次函数综合题，此题涉及到待定系数法求函数解析式，二次函数的性质、三角形面积的计算、三角形相似等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）将点代入，求出的值，从而确定函数的解析式，再求、点坐标即可； （2）求出，由题意得出直线的解析式，则可得出答案； （3）证明，可以得到， 即，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，，解得， ∴抛物线解析式为 ， 令则 ， 解得：或 ， ∵点在点的左边， ； （2）解：∵点为线段的三等分点， ， ∴直线的解析式为， 令， ， ， ， ； （3）解：作点轴于点， 设直线BC的解析式为，把点、的坐标代入得， ，解得， ∴直线的表达式为：， 设平移后的抛物线表达式为：， 则点， 点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 设直线交轴于点， 则点，联立和的表达式得：， 解得：， 即点的横坐标为， ∵， 则， ∴即 解得： 则平移后抛物线的表达式为：． 【题型2 线段最值问题】 【例2】（2025·上海徐汇·模拟预测）如图：抛物线与直线交于点A，B．其中点B的横坐标为2．点是线段上的动点． (1)求抛物线的表达式； (2)过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求：线段长的最大值 (3)在平角直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的四边形为整点四边形，在（2）的情况下，在平面内找出所有符合要求的整点R，使P、Q、B、R为整点平行四边形，请直接写出整点R的坐标 【答案】(1) (2) (3)或或或 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了二次函数的综合问题，涉及了待定系数法求解析式、二次函数与线段问题、二次函数与特殊四边形问题，掌握二次函数的性质是解题关键． （1）由得，推出；根据点B的横坐标为2．求得；将、代入即可求解； （2）根据点是线段上的动点，可得，；由题意得：，推出；即可求解； （3）由（2）可知：；根据轴，且两点均为整点，推出或；求得故或；分类讨论当为边时，当为对角线时，两种情况即可求解； 【详解】（1）解：由得， ∴； ∵点B的横坐标为2． ∴； ∴； 将、代入得：， 解得：， ∴抛物线的表达式： （2）解：∵点是线段上的动点． ∴，； 由题意得： ∴； ∵， ∴当时，线段有最大值，且最大值为； （3）解：由（2）可知：； ∵ 轴，且两点均为整点， ∴线段的长为整数； ∴或； 若，则，解得（不符合题意）； 若，则，解得； 故或 当为边时，有且； 则， ∵， ∴点的横坐标为， ∵， ∴点的纵坐标为或； 即：整点R的坐标为或； 当为对角线时，设， 则，解得：； 或，解得：； 即：整点R的坐标为或； 综上所述：整点R的坐标或或或； 【变式2-1】（23-24九年级下·上海黄浦·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P为线段下方抛物线上的一动点，过点P作轴交直线于点E，F为上一点，且，当最大时，求：点P的坐标； (3)在（2）的条件下，将抛物线沿射线方向平移，得到新抛物线，新抛物线和原抛物线交于点，与y轴交于点Q，点M是新抛物线对称轴上的一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或或． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、线段周长问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法把，代入即可求出、的值，即可求得抛物线的函数表达式； （2）求出，可得，，，求出直线函数表达式为，设，，证明，根据相似三角形对应变成比例列出比例式可求得，最后由二次函数的性质即可得到答案； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位，相当于向右平移个单位，再向上平移个单位，设新抛物线函数表达式为，可得，求出的值得新抛物线函数表达式为中，设，可得 ，故，，，分两种情况， ①若为腰， ②若为腰， 解方程求出的值，可得答案． 【详解】（1）解：把，代入得： 解得： 抛物线的函数表达式为； （2）如图：    在中，令，得， ， ，， ，，， 设直线函数表达式为， 将，代入得： ， 解得：， 直线函数表达式为， 设， 点在直线上，令，则， 得， 则， ， 轴， ， ， ， ，即， ， ， 当时，取最大值， 当时，， ； （3）直线函数表达式为， 将抛物线沿射线方向平移个单位，相当于向右平移个单位，再向上平移个单位， 新抛物线函数表达式为 新抛物线和原抛物线交于点 解得（舍去）或， 新抛物线解析式为 新抛物线对称轴是直线 点M是新抛物线对称轴上的一点， 设 在中，令，得 ， ，， ①若为腰，则 解得 ②若为腰，则 解得或 或 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，利用待定系数法求解析式，三角形相似的判定与性质，等腰三角形的性质及应用等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 【变式2-2】（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，已知抛物线与x轴交于，的两点，与y轴交于点，D为顶点，点P是x轴上方的抛物线上的一个动点，轴于点M，与交于点E． (1)求该抛物线所对应的函数关系式及顶点D的坐标； (2)设点P的横坐标为， ①当t为何值时，线段的长最大； ②连接，求的正弦值； (3)是否存在点P，使得以点P，M、B为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线所对应的函数关系式，顶点为 (2)①；② (3)存在，或 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、相似三角形问题(二次函数综合)、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）设抛物线解析式为，将点代入求得函数解析式，再化为顶点式即可； （2）① 利用待定系数法求得直线的函数关系式为．设，则．那么，，结合二次函数得性质即可求得答案； ② 根据点的坐标利用两点之间的公式和勾股定理逆定理即可判定为直角三角形，进而利用解答即可； （3）由（2）知是直角三角形，且，，．分两种情况(Ⅰ) ，则；(Ⅱ) ，则，分别求解即可． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， ∵抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点， ∴，解得， ∴抛物线所对应的函数关系式， 经配方，得，则抛物线的顶点为． （2）解：① 抛物线与x轴交点坐标为． 设直线的函数关系式为， 则，解得， 直线的函数关系式为． 设，则． ∴， ∵，且， ∴ 当时，线段的长最大值为． ② 证明：∵，， 则，，， ∵， ∴为直角三角形， 如图1， ∴； （3）解：存在． 由（2）知是直角三角形，且，，． (Ⅰ) 如图2，若，则， 即， 整理，得，解得，（舍去）． ∴． (Ⅱ) 如图3，若， 则， 即， 整理，得，解得，（舍去）． ∴ ． 故符合条件的点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质、勾股定理的逆定理、待定系数法求一次函数、两点之间距离公式和相似三角形的判定和性质，正弦等知识，解题的关键是熟悉二次函数的性质和相似三角形的性质． 【题型3 周长最值问题】 【例3】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过x轴上的点和点B（点A在点B左侧）及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为，顶点为D，对称轴与x轴交于点Q． （1）求抛物线的表达式； （2）连接．若点P为直线上方抛物线上一动点，过点P作 轴交于点E，作于点F，过点B作交y轴于点G．点H，K分别在对称轴和y轴上运动，连接． ①求的周长为最大值时点P的坐标； ②在①的条件下，求的最小值及点H的坐标． 【答案】（1） ；（2）①；②的最小值为10，此时点H的坐标为 【知识点】解直角三角形的相关计算、线段周长问题(二次函数综合)、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）先求出点C的坐标，可得到n，进而求出点B的坐标，再将点A、C的坐标代入，即可求解； （2）①设点P的坐标，并表示出点E的坐标，从而得到PE，再根据△PFE∽△BOC，根据相似三角形的性质，即可求解； ②如图，将直线OG绕点G逆时针旋转60°，得到直线l，作 ，垂直分别为 ，则∠MGO=60°， 从而得到 ， ，从而得到当点H位于抛物线对称轴与OP的交点时，最小，最小值为PM，然后证得点P、O、M三点共线，即可求解． 【详解】解：（1）∵抛物线经过y轴上的点C， ∴当 时， ， ∴点 ， 将点 ，代入，得： ， ∴直线BC的解析式为 ， 当 时， ， ∴点B（4,0）， 将点，B（4,0），代入，得： ，解得： ， ∴抛物线解析式为 ； （2）①设 ，则 ， ∴ ， 设△PEF的周长为m， ∵， ∴∠PEF=∠BCO， ∵∠PFO=∠BCO=90°， ∴△PFE∽△BOC， ∴ ， ∵点B（4,0）， ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴， ∴当 时，m最大，此时 ， 即的周长为最大值时点P的坐标为； ②抛物线的对称轴为 ， 如图，将直线OG绕点G逆时针旋转60°，得到直线l，作 ，垂直分别为 ，则∠MGO=60°， ∴ ， ， ∴， ∴当点H位于抛物线对称轴与OP的交点时，最小，最小值为PM， ∵∠MGO=60°， ∴∠MOG=30°， ∵， ∴ ， ， ∴∠POB=60°， ∴∠MOG+∠BOG+∠POB=180°， ∴点P、O、M三点共线， 设直线AC的解析式为 ， ∵ ， ∴ ，解得： ， ∴直线AC的解析式为 ， ∵， ∴可设直线BG的解析式为 ， 把点B（4,0），代入得： ， ∴直线BG的解析式为 ， ∴点 ， ∴ ， ∴， ∴PM=10， ∴的最小值为10， ∵∠POB=60°，抛物线对称轴为 ， ∴此时点H的纵坐标为 ， ∴的最小值为10，此时点H的坐标为 ． 【点睛】本题主要考查了二次函数和一次函数的综合题，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【变式3-1】（24-25九年级上·上海宝山·期中）已知，如图，抛物线与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线经过A、C两点． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)P为抛物线上异于A、C的一点，若点P关于直线的对称点Q落在y轴上，求P点坐标； (3)现将抛物线平移，保持顶点在直线上，若平移后的抛物线与直线交于M、N两点． ①求：的长度； ②结合（2）的条件，直接写出的周长的最小值 ． 【答案】(1)； (2)P点坐标为； (3)①，②． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、已知二次函数的函数值求自变量的值 【分析】（1）求出A、C点的坐标，再将点代入，即可得解； （2）先求，再由对称性可知轴，即可求出点P的纵坐标，最后利用二次函数的解析式求出结果； （3）①先求出平移后的抛物线，再利用，得出，最后利用两点之间的距离公式求解； ②作，连接，，先得出即求的最小值，即的长，最后根据的周长的最小值即，得解． 【详解】（1）解：在中，令，； 令，； ，， 代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：如图， ， ， ∵点P关于直线的对称点Q在y轴上， ， 轴， ∴P的纵坐标为， 由； 解得，(舍去)， ∴P点坐标为； （3）解：①设顶点为，平移后抛物线解析式为， 则， ， 设， 则， ∴， ∴的长度为定值； ②如图，作，并令，连接，， 由题知，，， 则只需求的最小值即可， ∵ 即求的最小值，即的长， ， ， 作于K， 则， ，， ∴， ， ， ， 的周长的最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，算了掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质，正确作出图形是解题的关键． 【变式3-2】（2024九年级上·上海·专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，且与轴交于点，与轴交于点，点是第一象限抛物线上一动点，过作轴，交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，过点作于点，当△的周长最大时，动点在直线上运动，动点在轴上运动，且轴，连接、，求的最小值； (3)如图3，点在第一象限内，连接，，且，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，交于点，点在第二象限内直线上，连接，，若，，，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合)、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据待定系数法求解即可． （2）先证明是等腰直角三角形，从而得出是等腰直角三角形，得出，即可得的周长为，当的周长最大时，最大，求出直线的解析式为，设，则，得出，得出当时，最大，此时，的周长最大，求出，，如图，作点，，连接，，，证明四边形是平行四边形，从而得出，即可求出的最小值； （3）如图，过点作轴的垂线分别交轴和直线于点，，证明，得出，，设，，则，，根据是等腰直角三角形，得出，从而得出，证出，即可证明，根据相似三角形的性质即可求出，求出，，，，证明，得出，，由（2）可知，求出，分为当时和当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：抛物线经过点和点， ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：抛物线与轴交于点， ， ， 是等腰直角三角形， ， 轴， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 的周长为， 当的周长最大时，最大， 设直线的解析式为， 将、代入得， 解得， 直线的解析式为， 设，则， ， 当时，最大，此时，的周长最大， ，， 如图，作点，，连接，，， 则，， 四边形是平行四边形， ， 又轴垂直平分， ， ， 的最小值为； （3）解：如图，过点作轴的垂线分别交轴和直线于点，， 则， ， 由旋转得：，， ， ， ， ，， 设，， 则，， 是等腰直角三角形， ， ， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ，即， 解得：， ，， ，， ，， ，， ， ， ， 又，， ， ， ， 由（2）可知， 解得：， 当时，， 此时，； 当时，， 此时，； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，求二次函数、一次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 1.（2023·上海杨浦·一模）已知在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，抛物线的对称轴与x轴交于点D． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线上方抛物线上一点，过点P作轴，垂足为点G，与直线交于点H．如果，求点P的坐标； (3)在第（2）小题的条件下，连接，试问点B关于直线对称的点E是否恰好落在直线上？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点B关于直线对称的点E恰好落在直线上，理由见解析 【知识点】一次函数与几何综合、已知两点坐标求两点距离、坐标与图形变化——轴对称、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（1）直接利用待定系数法即可求解； （2）根据题意可求出直线的解析式为．设点P的坐标为，则，进而可求出，．最后由，可列出关于t的等式，解出t的值，再舍去不合题意的值，即可求出P点坐标； （3）连接，与直线交于点F．根据题意可得出D点和B点坐标，进而可求出直线直线的解析式为，直线的解析式为．设点E的坐标为，由轴对称的性质可得出．再根据点F在直线上，即可求出，即得出，最后即可确定点E是否恰好落在直线上． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，与y轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）如图， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为． ∵点P是直线上方抛物线上一点， ∴设点P的坐标为，则， ∴， ． ∵， ∴， 解得： ． ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：点E恰好落在直线上，理由如下： 如图，连接，与直线交于点F． 根据抛物线解析式可知其对称轴为直线， ∴，． 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为． 设点E的坐标为， ∵点B关于直线对称的点为点E， ∴． ∵点F在直线上， ∴， ∴， ∴． 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为． ∵对于，当时，， ∴点B关于直线对称的点E恰好落在直线上． 【点睛】本题为二次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，两点的距离公式等知识，为中考压轴题．正确求出二次函数解析式是解题关键． 2.（22-23九年级上·上海浦东新·期中）已知抛物线与x轴交于两点，且与y轴的公共点为点C，设该抛物线的顶点为D． (1)求抛物线的表达式，并求出顶点D的坐标； (2)若点P为抛物线上一点，且满足，求点P的横坐标； (3)连接，点E为线段BC上一点，过点E作交于点F，若，求点E的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、相似三角形问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式即可得到顶点D的坐标； （2）先求出点C的坐标进而得到，如图所示，取中点E，作直线OE，则是线段的垂直平分线，，即可推出点P即为直线与抛物线的交点，据此求解即可； （3）如图所示，连接，先利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即，证明，求出，则， 同理可求出直线的解析式为，设点E的坐标为，则，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴顶点D的坐标为 （2）解：令，则， ∴， ∴， 如图所示，取中点E，作直线OE， ∴是线段的垂直平分线，， ∵， ∴点P即为直线与抛物线的交点， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得， ∴点P的坐标为或 （3）解：如图所示，连接， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 同理可求出直线的解析式为， 设点E的坐标为， ∴， 解得（负值舍去）， ∴点E的坐标为 ． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数综合，相似三角形的性质与判定，勾股定理和勾股定理的逆定理，线段垂直平分线的性质等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 3.（2023·上海崇明·二模）如图，在直角坐标平面中，直线分别与x轴、y轴交于A、B两点，抛物线经过A、B两点，点D是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)抛物线与x轴的另一个交点为C，点在抛物线对称轴左侧的图象上，将抛物线向上平移m个单位（），使点M落在内，求m的取值范围； (3)对称轴与直线交于点E，P是线段AB上的一个动点（P不与E重合），过P作y轴的平行线交原抛物线于点Q，当时，求点Q的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【知识点】二次函数图象的平移、线段周长问题(二次函数综合)、一次函数与几何综合、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）先求出A、B的坐标，再把A、B坐标代入抛物线解析式中求出抛物线解析式，再把抛物线解析式化为顶点式求出点D的坐标即可； （2）先求出点M的坐标，进而求出在中，当时，y的值即可得到答案； （3）如图1所示，当点P在点E左侧时，设原抛物线对称轴与x轴交于点H，过点Q作交于T，证明四边形是平行四边形，推出；再证明，推出此时不可能存在（当点T在点D下方时，同样可证明不存在），则此时只有点T与点D重合，设，则，求出，由平行四边形对角线中点坐标相同可知，解方程即可；如图2所示，当点P在点E右侧时，由对称性可知当时符合题意． 【详解】（1）解：在中，令，则，令，则， ∴， 把代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴顶点D的坐标为； （2）解：抛物线的顶点的坐标是， 抛物线的对称轴为直线， 在抛物线对称轴左侧的图象上， ， 将代入，得， 解得，（不符合题意，舍去）， ， 如图，过点作轴于点，交于点，则， 直线，当时，， ， 点与点关于直线对称， ， 抛物线向上平移个单位，点落在内， ，解得， 的取值范围是得； （3）解：如图1所示，当点P在点E左侧时，设原抛物线对称轴与x轴交于点H，过点Q作交于T， ∵轴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴此时不可能存在（当点T在点D下方时，同样可证明不存在），则此时只有点T与点D重合， 设，则， 在中，当时，， ∴， 由平行四边形对角线中点坐标相同可知， 解得或（舍去）， ∴； 如图2所示，当点P在点E右侧时，由对称性可知当时符合题意， ∴； 综上所述，点Q的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，平行四边形的性质，二次函数图象的平移等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 4.（2023·上海杨浦·三模）已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，顶点为点D．    (1)求抛物线的表达式和顶点D的坐标； (2)点P是线段上的一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，如果，求点P的坐标； (3)在第（2）小题的条件下，点F在y轴上，且点F到直线的距离相等，求线段的长． 【答案】(1)； (2) (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、求一次函数解析式、角平分线的性质定理 【分析】（1）将点A和点B的坐标代入抛物线，即可得出其表达式； （2）令，确定，设点，，则)，根据题意得出一元二次方程求解即可； （3）由（2）得：，确定，利用待定系数法确定直线的解析式分别为：，，再由等腰三角形的判定和性质及一次函数的性质确定点F的坐标，即可求解． 【详解】（1）将点代入抛物线，得 将点代入抛物线，得 ∴抛物线的解析式为：； ∴， ∴顶点的坐标为； （2）解：令得， ∴或 ∴， 设点，，则)，如图所示：    ∴，， ∵， ∴， 解得：（舍去）或， ∴； （3）由（2）得：， ∴当时，， ∴， 设直线的解析式分别为：，， 将点代入得：，， 解得：，， ∴直线的解析式分别为：，，    ∴直线与y轴的交点分别为， ∴，， ∴， ∴为等腰三角形， ∵点F到直线的距离相等，且点F在y轴上， ∴点F为的角平分线及高线，即直线与y轴的交点， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查二次函数的综合应用，包括待定系数确定函数解析式，线段相等问题及一次函数的性质，理解题意，作出相应图象，综合运用这些知识点是解题关键． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 重难点专题拓展：二次函数综合之三种线段问题 （2知识点+3大核心考点+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：3大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：二次函数中线段相等与和差倍关系 1.线段相等问题解题思路 借助几何性质： 利用等腰三角形性质：若能证明两条线段是等腰三角形的两腰，则两线段相等。可通过求出线段端点坐标，计算直线斜率，得出线段夹角，结合角度关系证明等腰三角形。 利用全等三角形性质：通过证明包含两条线段的两个三角形全等，根据全等三角形对应边相等来证明线段相等。需根据已知条件找出对应角相等和对应边相等的关系。 利用对称性质：若两点关于某条直线对称，则这两点到对称轴上任意一点的距离相等，且这两点连线被对称轴垂直平分。可先求出对称轴方程，再根据对称点的坐标关系，证明线段相等。 2.线段和差倍问题解题思路 截长补短法：证明一条线段等于另外两条线段的和或差，可采用截长或补短的方法。 3.线段倍数问题解题思路 加倍法或减半法：要证一条线段是另一条线段的2倍，可延长较短线段使其长度加倍，再证明与较长线段相等（加倍法）；或取较长线段的中点，证明中点分割后的线段与较短线段相等（减半法）。 利用相似三角形性质：若两个三角形相似，则对应边成比例。通过找出与两条线段相关的相似三角形，根据相似比来证明线段的倍数关系。如△ABC∽△DEF，相似比为k，若AB与DE是对应边，则AB=kDE。 知识点02：抛物线中的线段最值问题 1．平行于坐标轴的线段的最值问题：常通过线段两端点的坐标差表示线段长的函数关系式，运用二次函数性质求解．求最值时应注意： ①当线段平行于y轴时，用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标； ②当线段平行于x轴时，用右端点的横坐标减去左端点的横坐标．在确定最值时，函数自变量的取值范围应确定正确． 2. 两条线段和的最值问题：解决这类问题最基本的定理就是“两点之间线段最短”， 解决这类问题的方法是：作其中一个定点关于已知直线的对称点，连接对称点与另一个定点，它们与已知直线的交点即为所求的点. 其变形问题有三角形周长最小或四边形周长最小等. 【常见模型一】（两点在河的异侧）：在直线L上找一点M，使PA+PB的值最小. 方法：如右图，连接AB，与直线L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长。 【常见模型二】（两点在河的同侧）：在直线L上找一点M，使PA+PB的值最小. 方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’，连接AB’,与直线L的交点即为所求的渡河点，最短距离为线段AB’的长。 3. 两条线段差的最值问题：解决这类问题最基本的定理就是“三角形任何两边之差小于第三边”， 解决这类问题的方法是：求解时,先根据原理确定线段差取最值时的图形,再根据已知条件求解。 【常见模型一】（两点在同侧）：在直线L上求一点P,求|PA-PB|的最大值 方法：如右图，延长射线AB，与直线L交于点P，|PA-PB|最大值为AB 【常见模型二】（两点在异侧）：在直线L上求一点P,求|PA-PB|的最大值。 方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’， 延长射线AB’，与直线L交于点P，|PA-PB|最大值为AB’ 【题型1 线段的数量关系】 【例1-1】（线段相等）（2025·上海黄浦·二模）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线与轴交于、两点（点在点右侧），与轴正半轴交于点，顶点为． (1)如果，求抛物线的表达式； (2)用含的代数式表示点的坐标； (3)联结、，直线交轴于点，如果，求抛物线的表达式． 【例1-2】（线段间的比例关系）如图，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴相交于点C，点A的坐标为，是抛物线上一点（点与点、、都不重合）． (1)求抛物线解析式； (2)求点B的坐标； (3)设直线PB与直线AC相交于点M，且存在这样的点P，使得，试确定点的横坐标． 【例1-3】（线段间的倍数关系）（22-23九年级上·上海青浦·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为E．点D在二次函数的图象上，轴，． (1)求这条抛物线的函数解析式及顶点E的坐标； (2)在x轴上有一点F，若以点F、B、C为顶点的三角形与相似，求点F坐标； (3)点Q是二次函数图象上一点，过点Q向抛物线的对称轴作垂线，垂足为H，若，求点Q的坐标． 【变式1-1】（2025·上海奉贤·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，抛物线顶点在第一象限且在直线上． (1)求抛物线的表达式； (2)向上平移直线，交抛物线于两点(在左侧），当时，求点坐标； (3)将抛物线向右平移个单位，平移后的抛物线与原抛物线交于点，顶点为，如果，求的值． 【变式1-2】（24-25九年级上·上海·期中）已知抛物线与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点． (1)求抛物线表达式和点A、B的坐标； (2)点P是第四象限抛物线上一点，线段与线段相交于点M，若，求点P的坐标： (3)将抛物线向上平移，平移后新的抛物线顶点为点D，点C的对应点为点E．设直线与x轴正半轴交于点F，与线段交于点G，当时，求平移后抛物线的表达式． 【题型2 线段最值问题】 【例2】（2025·上海徐汇·模拟预测）如图：抛物线与直线交于点A，B．其中点B的横坐标为2．点是线段上的动点． (1)求抛物线的表达式； (2)过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求：线段长的最大值 (3)在平角直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的四边形为整点四边形，在（2）的情况下，在平面内找出所有符合要求的整点R，使P、Q、B、R为整点平行四边形，请直接写出整点R的坐标 【变式2-1】（23-24九年级下·上海黄浦·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P为线段下方抛物线上的一动点，过点P作轴交直线于点E，F为上一点，且，当最大时，求：点P的坐标； (3)在（2）的条件下，将抛物线沿射线方向平移，得到新抛物线，新抛物线和原抛物线交于点，与y轴交于点Q，点M是新抛物线对称轴上的一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 【变式2-2】（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，已知抛物线与x轴交于，的两点，与y轴交于点，D为顶点，点P是x轴上方的抛物线上的一个动点，轴于点M，与交于点E． (1)求该抛物线所对应的函数关系式及顶点D的坐标； (2)设点P的横坐标为， ①当t为何值时，线段的长最大； ②连接，求的正弦值； (3)是否存在点P，使得以点P，M、B为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型3 周长最值问题】 【例3】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过x轴上的点和点B（点A在点B左侧）及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为，顶点为D，对称轴与x轴交于点Q． （1）求抛物线的表达式； （2）连接．若点P为直线上方抛物线上一动点，过点P作 轴交于点E，作于点F，过点B作交y轴于点G．点H，K分别在对称轴和y轴上运动，连接． ①求的周长为最大值时点P的坐标； ②在①的条件下，求的最小值及点H的坐标． 【变式3-1】（24-25九年级上·上海宝山·期中）已知，如图，抛物线与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线经过A、C两点． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)P为抛物线上异于A、C的一点，若点P关于直线的对称点Q落在y轴上，求P点坐标； (3)现将抛物线平移，保持顶点在直线上，若平移后的抛物线与直线交于M、N两点． ①求：的长度； ②结合（2）的条件，直接写出的周长的最小值 ． 【变式3-2】（2024九年级上·上海·专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，且与轴交于点，与轴交于点，点是第一象限抛物线上一动点，过作轴，交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，过点作于点，当△的周长最大时，动点在直线上运动，动点在轴上运动，且轴，连接、，求的最小值； (3)如图3，点在第一象限内，连接，，且，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，交于点，点在第二象限内直线上，连接，，若，，，请直接写出点的坐标． 1.（2023·上海杨浦·一模）已知在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，抛物线的对称轴与x轴交于点D． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线上方抛物线上一点，过点P作轴，垂足为点G，与直线交于点H．如果，求点P的坐标； (3)在第（2）小题的条件下，连接，试问点B关于直线对称的点E是否恰好落在直线上？请说明理由． 2.（22-23九年级上·上海浦东新·期中）已知抛物线与x轴交于两点，且与y轴的公共点为点C，设该抛物线的顶点为D． (1)求抛物线的表达式，并求出顶点D的坐标； (2)若点P为抛物线上一点，且满足，求点P的横坐标； (3)连接，点E为线段BC上一点，过点E作交于点F，若，求点E的坐标． 3.（2023·上海崇明·二模）如图，在直角坐标平面中，直线分别与x轴、y轴交于A、B两点，抛物线经过A、B两点，点D是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)抛物线与x轴的另一个交点为C，点在抛物线对称轴左侧的图象上，将抛物线向上平移m个单位（），使点M落在内，求m的取值范围； (3)对称轴与直线交于点E，P是线段AB上的一个动点（P不与E重合），过P作y轴的平行线交原抛物线于点Q，当时，求点Q的坐标． 4.（2023·上海杨浦·三模）已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，顶点为点D．    (1)求抛物线的表达式和顶点D的坐标； (2)点P是线段上的一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，如果，求点P的坐标； (3)在第（2）小题的条件下，点F在y轴上，且点F到直线的距离相等，求线段的长． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$