第06讲 相似三角形-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版）

第06讲 相似三角形思维导图 知识点1 相似三角形 相似三角形的定义：对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形。 知识点2 相似三角形的判定 1.平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 2.如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。 3.如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 4.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 知识点3 相似三角形的性质 1.相似三角形的对应角相等，对应边成比例。 2.相似三角形的周长比等于相似比。 3.相似三角形的面积比等于相似比的平方。 4.相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比。 知识点4 相似三角形的应用 一、测量问题 通过相似三角形的性质，解决不能直接测量的长度或高度问题。例如，利用标杆、镜子等工具，通过构造相似三角形来求解目标的高度。 二、证明题 给定一些线段或角的比例关系，要求证明两个三角形相似，或者利用相似三角形的性质来证明其他几何关系。这类题目需要熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理。 三、计算题 根据题目给出的相似三角形的边长或面积的比例关系，求解未知量。这类题目需要灵活运用相似三角形的性质，建立方程进行求解。 四、实际问题应用 将相似三角形的知识应用于实际问题中，如根据地图上的比例尺计算实际距离，根据影子的长度和角度计算物体的高度等。这类题目需要理解问题的实际意义，将实际问题抽象为数学问题，然后利用相似三角形的性质进行求解。 教材习题01 如图，，且，则与的相似比为(       ) A．B． C．D． 教材习题02 如图，在中和中，，，，和相似吗？为什么？ 教材习题03 如图，，，，求证：． 教材习题04 如图，线段与相交于点，，，，．求证：． 教材习题05 如图是由边长为1的小正方形组成的网格，A，B，C三点均在格点上． (1)分别求与的值． (2)在网格中画，使A，B，E三点组成的三角形与相似．（只需画出一个） 教材习题06 樱花红陌上，杨柳绿池边．每年初春时节，郑州大学校区的樱花竞相开放，为美丽的郑大校园增添了别样的景致，钟灵毓秀的郑大人把樱花赋予美丽、热情、纯洁、高尚的精神品质．高新区某中学的数学兴趣小组利用周末时间对大路旁的一棵樱花树进行测量，他们采用以下方法：如图，把支架（）放在离树（）适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架（）上的点E处，然后沿着直线后退至点D 处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量，观测者目高（）的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知于点D，于点F，于点B，米，米，米，米，那么这棵樱花树的高度（的长）是多少米？ 教材习题07 如图，小河两岸各有一栋大楼与，由于小河阻碍，无法直接测得大楼的高度．小明同学经过思考，设计了如下的测量方案：将仪器分别置于地面的点E与点F处，仪器发射的两束光线都经过大楼的顶端点A，并分别投射到大楼最高一层的顶端点C和其底部点G处，已知，，，，求大楼的高度．（，点D，B，E，F在同一水平线上） 教材习题08 如图1，点为矩形边上一点，连接，作于点． 求证：； 考点一、相似三角形的性质 1．若两个相似三角形周长的比为，则这两个相似三角形的面积比是（    ） A． B． C． D． 2．如果两个相似三角形的面积之比为，较小的三角形的周长是，那么另一个的三角形的周长为 ． 3．在中，，，点，分别在边，上，若与相似，且，求的长． 考点二、添加条件证相似 1．如图，点P在的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，是的边上一点，添加一个条件，使．你添加的条件是 ． 3．如图在四边形中，，点，分别在线段上，上，且． (1)求证： (2)请增加一个条件，使．则此条件可以是___________． 考点三、网格中的相似三角形 1．下列四个1×5的正方形网格中，均有两个涂色的三角形，其中在同一网格中的两个三角形相似的是（    ） A． B． C． D． 2．如图所示的网格中每个小正方形的边长都是，，，，的顶点都在小正方形的顶点，其中与相似的三角形是 ． 3．如图，在每个边长为1个单位长度的小正方形网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)将先向左平移6个单位长度，再向下平移3个单位得到，请画出． (2)请在给定网格中画一个格点，使，且相似比不为1（画出一个即可）． (3)的度数是_________． 考点四、相似三角形的判定(一) 1．如图,在锐角三角形中，点，分别在边，上，于点，于点，求证：． 2．如图，是上的一个动点．当时，求证：． 3．如图，在中，平分交于点D． 求证：． 考点五、相似三角形的判定(二) 1．如图，在中，在边上，连接，，，，求证：． 2．如图，在和中，已知，．求证：． 3．如图，在中，点D在上，连接，．求证：． 考点六、相似三角形的判定(三) 1．在边长为1的小正方形网格中，的顶点、、均落在格点（小正方形的顶点）上，请只用无刻度的直尺按要求完成作图． (1)将绕点按逆时针方向旋转，得到，请在图1中作出．（点与点是对应点） (2)请在图2中画一个三角形，使得该三角形与相似（不全等）． 2．根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由： (1)，，，，，； (2)，，，． 3．如图是由边长为1的小正方形组成的的矩形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点A，B，C均在格点上． (1)猜想：的度数为______； (2)请在网格中只用无刻度直尺作一个格点（各顶点均在格点上），使，且相似比不为1．（按要求作图，不要求写画法） 考点七、相似三角形的实际应用 1．如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．激光笔的光从点G出发经平面镜上点B反射后，恰好经过木板的上边缘点F，落在墙上的点E处．已知点G到地面的高度，木板的高度，点G到木板的水平距离，木板到墙的水平距离，求点E到地面的高度（图中点A，B，C，D在同一水平线上）． 2．【问题背景】安澜楼，古建风格采用明清大式做法，屋面采用青灰色琉璃瓦，该楼回廊抱厦，重檐叠屋，结构严谨，姿态优美，其外观雄伟壮观，古朴典雅，是汉水人文的结晶．小华所在的数学小组想利用学过的数学知识测量安澜楼的高度． 【实践主题】测量安澜楼的高度． 【素材】皮尺、平面镜、标杆等工具． 【实践操作】如图，在阳光下，小华在安澜楼影子的末端C点处竖立一根2米长的标杆，同一时刻，小组成员测得标杆在阳光下的影长米．然后，小华在点F处放置一平面镜（大小忽略不计），小华来回走动，走到点G处时，恰好看到安澜楼顶端点A在平面镜中的像，已知小华眼睛与地面的高度米，米，米，，点B、C、E、F、G在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内． 【问题解决】根据上述信息，计算安澜楼的高度． 3．渭华起义纪念馆位于陕西省渭南市华州区高塘镇，是集红色旅游、红色教育、红色文化于一体的红色基地，被命名为全国重点文物保护单位、全国爱国主义教育示范基地、全国中小学生研学实践教育基地．某次研学旅行中，玥玥和妍妍两人准备用所学知识测量该纪念馆中渭华起义纪念塔的高度，如图，玥玥在点处放置一面平面镜（平面镜的大小忽略不计），后退到点处时，眼睛位于点处，此时恰好在平面镜中看到了塔顶的像，妍妍拿来一根标杆立于点处，玥玥发现地面上的点、标杆顶端和塔的顶端恰好在一条直线上，已知点、、、在一条水平直线上，点、、在一条竖直线上，，，经测量，米，米，玥玥的眼睛到地面的距离米，标杆米，请你根据上述测量结果，帮助玥玥和妍妍计算渭华起义纪念塔的高度． 考点八、相似三角形中的动点问题 1．如图，在平面直角坐标系内，已知点、点，动点从点开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点移动，同时动点从点开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点移动，设点、移动的时间为秒． (1)当为何值时，以，，为顶点的三角形与相似？ (2)用含的代数式表示点的坐标； (3)的面积能否为6个平方单位？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 2．已知：如图，在矩形中，，，点E为边的中点，连接，交于点F．点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点A出发，沿方向匀速运动，速度为．当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．设运动时间为． 解答下列问题： (1)当t为何值时，点P在线段的垂直平分线上？ (2)连接，设的面积为，求S与t的函数关系式； (3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使与相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (4)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使线段被平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 3．如图，在中，，，，为边的中点．点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动到点停止；同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动到点停止，当点停止运动时，点也停止运动．设点的运动时间为（秒）． (1)当点与点重合时，的值为________； (2)用含的代数式表示长； (3)将的分成的两部分，其中的三角形与相似时，求的值； (4)当点不与的顶点重合时，过点作交的边于点，以和为边作．连结，直接写出将分成面积相等的两部分时的值． 知识导图记忆 1．圆圆同学把一个三角形的三条边长都扩大为原来的5倍，得到的新三角形的面积（    ） A．扩大为原来的5倍 B．扩大为原来的15倍 C．扩大为原来的20倍 D．扩大为原来的25倍 2．如图，，若，，则与的相似比是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在矩形中，E为的中点，则（   ） A． B． C． D． 4．如图，将沿边上的中线平移到的位置．已知的面积为18．阴影部分三角形的面积为8．若，则等于（   ） A．3 B．2 C．4 D．23 5．如图，用4个全等的，，，和2个全等的，拼成如图所示的矩形，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．已知与的相似比为，则这两个三角形的面积比为 ． 7．如图，小孔成像实验如图，抽象为数学问题如图，与交于点，，若点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是 ．    8．立一杆高八尺，影长六尺；今有一楼，影长九丈．问楼高几何？（选自《海岛算经》）题目大意：直立一根8尺高的标杆，其影子长度为6尺；此时有一栋楼，影长9丈，这栋楼有多高？根据题意，可求得这栋楼高 丈． 9．在中，在边上取一点D，如图，根据下列作图过程：①以B点为圆心，以合适的长为半径作弧，分别与边交于点M，N；②以D点为圆心、长为半径向内作弧，交于P点；③以P点为圆心、为半径作弧，与前弧在内交于一点Q；④过Q点作射线交于E点．若，则 ． 10．如图，在等腰中，，边上有一点，将沿线段折叠得，线段与边交于点，若，则 ． 11．如图，已知，，分别是它们对应的高线，已知，若，求的长． 12．如图，为的对角线，若点E、F分别是边上的点，连接，若，．求证：． 13．图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的阿格中，分别按下列要求画图，保留适当的画图痕迹． (1)在图中画出边上的中线； (2)在图中画出边上的高线； (3)在图中的边上找到一点，使． 14．如图，已知在中． (1)实践与操作：用尺规作图法在边上找一点，连接，使得；（保留作图痕迹，不写作法，不用证明） (2)应用与求解：若为边上的中线，且，，的周长为，求的周长． 15．【问题重现】如图（1），为等边三角形，点在上，连接，将绕点逆时针旋转，得到线段，连接，．求证：． 【问题迁移】如图（2），在和中，，，． ①求证：； ②求的度数． 【问题延伸】如图（3），在和中，点在延长线上，，，，和交于点，若，直接写出的值． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 相似三角形思维导图 知识点1 相似三角形 相似三角形的定义：对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形。 知识点2 相似三角形的判定 1.平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 2.如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。 3.如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 4.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 知识点3 相似三角形的性质 1.相似三角形的对应角相等，对应边成比例。 2.相似三角形的周长比等于相似比。 3.相似三角形的面积比等于相似比的平方。 4.相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比。 知识点4 相似三角形的应用 一、测量问题 通过相似三角形的性质，解决不能直接测量的长度或高度问题。例如，利用标杆、镜子等工具，通过构造相似三角形来求解目标的高度。 二、证明题 给定一些线段或角的比例关系，要求证明两个三角形相似，或者利用相似三角形的性质来证明其他几何关系。这类题目需要熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理。 三、计算题 根据题目给出的相似三角形的边长或面积的比例关系，求解未知量。这类题目需要灵活运用相似三角形的性质，建立方程进行求解。 四、实际问题应用 将相似三角形的知识应用于实际问题中，如根据地图上的比例尺计算实际距离，根据影子的长度和角度计算物体的高度等。这类题目需要理解问题的实际意义，将实际问题抽象为数学问题，然后利用相似三角形的性质进行求解。 教材习题01 如图，，且，则与的相似比为(       ) A．B． C．D． ∵，∴， ∴与的相似比为.故选项B正确. 教材习题02 如图，在中和中，，，，和相似吗？为什么？ 解：和相似，理由如下： 在中，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 教材习题03 如图，，，，求证：． 证明：，， ，， ． ，， ． ． 教材习题04 如图，线段与相交于点，，，，．求证：． 证明：，，，， ，， ， 又， ． 教材习题05 如图是由边长为1的小正方形组成的网格，A，B，C三点均在格点上． (1)分别求与的值． (2)在网格中画，使A，B，E三点组成的三角形与相似．（只需画出一个） （1）解：∵ ∴， （2）解：如图 ∵，， ∴， ∴． 当点E在点处时，同理可证． 教材习题06 樱花红陌上，杨柳绿池边．每年初春时节，郑州大学校区的樱花竞相开放，为美丽的郑大校园增添了别样的景致，钟灵毓秀的郑大人把樱花赋予美丽、热情、纯洁、高尚的精神品质．高新区某中学的数学兴趣小组利用周末时间对大路旁的一棵樱花树进行测量，他们采用以下方法：如图，把支架（）放在离树（）适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架（）上的点E处，然后沿着直线后退至点D 处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量，观测者目高（）的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知于点D，于点F，于点B，米，米，米，米，那么这棵樱花树的高度（的长）是多少米？ 解：过点E作水平线交于点G，交于点H，如图， ∵是水平线，， ∴米，米， 米， ∴（米）， 根据题意，得，， ∴， ∴，即，解得米， ∴（米）． 所以这棵樱花树的高度为米． 教材习题07 如图，小河两岸各有一栋大楼与，由于小河阻碍，无法直接测得大楼的高度．小明同学经过思考，设计了如下的测量方案：将仪器分别置于地面的点E与点F处，仪器发射的两束光线都经过大楼的顶端点A，并分别投射到大楼最高一层的顶端点C和其底部点G处，已知，，，，求大楼的高度．（，点D，B，E，F在同一水平线上） 解：设为，为，则． ∵， ∴，， ∴，， 即，， 联立方程组，解得， ∴． 答：大楼的高度为． 教材习题08 如图1，点为矩形边上一点，连接，作于点． 求证：； （1）证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又， ∴∽， ， ； 考点一、相似三角形的性质 1．若两个相似三角形周长的比为，则这两个相似三角形的面积比是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了相似三角形的性质，根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”解答即可． 【详解】解：两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是， 故选：B． 2．如果两个相似三角形的面积之比为，较小的三角形的周长是，那么另一个的三角形的周长为 ． 【答案】150 【分析】本题主要考查了相似图形的性质， 根据这两个三角形的面积比求出相似比，再根据相似比等于周长比可得答案． 【详解】解：因为两个相似三角形的面积比为， 所以两个相似三角形的相似比为， 所以两个三角形的周长比等于． 因为较小的三角形的周长是， 所以另一个三角形的周长为． 故答案为：150． 3．在中，，，点，分别在边，上，若与相似，且，求的长． 【答案】或2 【分析】本题主要相似三角形的性质，先根据题意得到，再分当时，当时，两种情况根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方进行讨论求解即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， 当时，则， ∴， ∵， ∴， 解得； 当时，则， ∴， ∵， ∴， 解得； 综上所述，的值为或2， 考点二、添加条件证相似 1．如图，点P在的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可． 【详解】解：A、当时， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； B、当时， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； C、当时， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； D、当时，无法得到，故此选项符合题意． 故选：D． 2．如图，是的边上一点，添加一个条件，使．你添加的条件是 ． 【答案】或或（任选一个） 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似的判定定理即可求解，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：在和中，∵， ∴当或或时，， 故答案为：或或． 3．如图在四边形中，，点，分别在线段上，上，且． (1)求证： (2)请增加一个条件，使．则此条件可以是___________． 【答案】(1)见解析 (2)或或 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）先根据平行线的性质可得，再根据三角形的全等的判定可得，然后根据全等三角形的性质即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定添加条件证明即可． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：， ， ，即， 当时， ； 或当时， ； 或当时， ∴， 故答案为：或或 考点三、网格中的相似三角形 1．下列四个1×5的正方形网格中，均有两个涂色的三角形，其中在同一网格中的两个三角形相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，理解并掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正方形网格的特点和勾股定理，计算出对应的角度或者边长即可判定相似三角形． 【详解】解：．由图可知，两个三角形中都有一个的夹角，且该角的两边比例为，那么，两个涂色的三角形相似，该选项正确，符合题意； ．第一个三角形为等腰三角形，且边长为，第二个三角形边长分别为和3，那么，两个涂色的三角形不相似，该选项错误，不符合题意； ．第一个三角形三边长为1，和，第二个三角形边长分别为和3，那么，两个涂色的三角形不相似，该选项错误，不符合题意； ．第一个三角形三边长为1，2和，第二个三角形边长分别为和3，那么，两个涂色的三角形不相似，该选项错误，不符合题意； 故选：A． 2．如图所示的网格中每个小正方形的边长都是，，，，的顶点都在小正方形的顶点，其中与相似的三角形是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．先分别求出各个三角形的三边长，再求出每个三角形的三边之比，若其它三个三角形中某个三角形的三边之比与的三边之比相等，则该三角形与相似． 【详解】解：在中，，，， 的三边之比为：； 在中，，，， 的三边之比为：， 与相似； 在中，，，， 的三边之比为：， 与不相似； 在中，，，， 的三边之比为：， 与不相似； 故答案为：． 3．如图，在每个边长为1个单位长度的小正方形网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)将先向左平移6个单位长度，再向下平移3个单位得到，请画出． (2)请在给定网格中画一个格点，使，且相似比不为1（画出一个即可）． (3)的度数是_________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了画平移图形，画相似图形，熟知上述图形的性质是解题的关键． （1）根据平移的概念，画出图形即可； （2）根据相似三角形的性质，画图即可； （3）利用等腰直角三角形的性质，即可解答． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求；（答案不唯一） （3）解：如图，， ， ，由平移得到， ， 故答案为：． 考点四、相似三角形的判定(一) 1．如图,在锐角三角形中，点，分别在边，上，于点，于点，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，垂直的定义，等角的余角相等，掌握知识点的应用是解题的关键． 由，，则，再通过等角的余角相等得出，最后利用相似三角形的判定方法即可求证． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 2．如图，是上的一个动点．当时，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，掌握其判定方法是关键． 根据题意可得，，根据两个角分别对应相等的两个三角形相似即可求证． 【详解】证明：， ， ， 又， ， ， ． 3．如图，在中，平分交于点D． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和，相似三角形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先算出，结合平分，得，最后运用两组角分别相等的两个三角形是相似三角形，即可作答． 【详解】证明：∵在中，， ． 平分， ． ， ． 考点五、相似三角形的判定(二) 1．如图，在中，在边上，连接，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．由已知求得，根据相似三角形的判定即得答案． 【详解】证明：，， ， ， ， ． 2．如图，在和中，已知，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． 由得，由得即可得结论． 【详解】证明：， ， 即， ， ， ． 3．如图，在中，点D在上，连接，．求证：． 【答案】见详解 【分析】该题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的判定定理． 根据题意得出，根据两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴． 考点六、相似三角形的判定(三) 1．在边长为1的小正方形网格中，的顶点、、均落在格点（小正方形的顶点）上，请只用无刻度的直尺按要求完成作图． (1)将绕点按逆时针方向旋转，得到，请在图1中作出．（点与点是对应点） (2)请在图2中画一个三角形，使得该三角形与相似（不全等）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了旋转作图，相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握旋转的性质和相似三角形的判定定理． （1）根据旋转的性质，先作出点B、C的对应点、，然后再顺次连接即可； （2）根据相似三角形的判定求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，为所求作的三角形； （2）解：如图所示， 2．根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由： (1)，，，，，； (2)，，，． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定、三角形内角和定理；熟练掌握相似三角形的判定方法，通过计算得出三边成比例或两角对应相等是解决问题的关键． （1）通过计算得出两个三角形三边成比例，即可得出结论； （2）由三角形内角和定理求出，得出，，即可得出结论． 【详解】（1）解： ，理由如下： ，，， ， ； （2）解：，理由如下： ，， ， ，， ，， ． 3．如图是由边长为1的小正方形组成的的矩形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点A，B，C均在格点上． (1)猜想：的度数为______； (2)请在网格中只用无刻度直尺作一个格点（各顶点均在格点上），使，且相似比不为1．（按要求作图，不要求写画法） 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查作图-相似变换、勾股定理、勾股定理的逆定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理是解答本题的关键． （1）根据勾股定理以及勾股定理的逆定理可得． （2）结合相似三角形的判定与性质，画即可． 【详解】（1）解：由勾股定理得，， ， ， 故答案为：． （2）解：如图，画，即为所求． ， 则． 考点七、相似三角形的实际应用 1．如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．激光笔的光从点G出发经平面镜上点B反射后，恰好经过木板的上边缘点F，落在墙上的点E处．已知点G到地面的高度，木板的高度，点G到木板的水平距离，木板到墙的水平距离，求点E到地面的高度（图中点A，B，C，D在同一水平线上）． 【答案】点E到地面的高度为 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．根据题意证明和，得到，即，即可得到答案． 【详解】解：反射角等于入射角， ． ． 又， ∴， ， ． ． ． ，解得． 由题意，可得， ． ，即， 解得． 点E到地面的高度为． 2．【问题背景】安澜楼，古建风格采用明清大式做法，屋面采用青灰色琉璃瓦，该楼回廊抱厦，重檐叠屋，结构严谨，姿态优美，其外观雄伟壮观，古朴典雅，是汉水人文的结晶．小华所在的数学小组想利用学过的数学知识测量安澜楼的高度． 【实践主题】测量安澜楼的高度． 【素材】皮尺、平面镜、标杆等工具． 【实践操作】如图，在阳光下，小华在安澜楼影子的末端C点处竖立一根2米长的标杆，同一时刻，小组成员测得标杆在阳光下的影长米．然后，小华在点F处放置一平面镜（大小忽略不计），小华来回走动，走到点G处时，恰好看到安澜楼顶端点A在平面镜中的像，已知小华眼睛与地面的高度米，米，米，，点B、C、E、F、G在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内． 【问题解决】根据上述信息，计算安澜楼的高度． 【答案】42米 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，先证明，可得，，再进一步求解即可． 【详解】解：由题意可得， ， ，， 即，， 解得． 答：安澜楼的高度为42米． 3．渭华起义纪念馆位于陕西省渭南市华州区高塘镇，是集红色旅游、红色教育、红色文化于一体的红色基地，被命名为全国重点文物保护单位、全国爱国主义教育示范基地、全国中小学生研学实践教育基地．某次研学旅行中，玥玥和妍妍两人准备用所学知识测量该纪念馆中渭华起义纪念塔的高度，如图，玥玥在点处放置一面平面镜（平面镜的大小忽略不计），后退到点处时，眼睛位于点处，此时恰好在平面镜中看到了塔顶的像，妍妍拿来一根标杆立于点处，玥玥发现地面上的点、标杆顶端和塔的顶端恰好在一条直线上，已知点、、、在一条水平直线上，点、、在一条竖直线上，，，经测量，米，米，玥玥的眼睛到地面的距离米，标杆米，请你根据上述测量结果，帮助玥玥和妍妍计算渭华起义纪念塔的高度． 【答案】渭华起义纪念塔的高度为32米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握是解答本题的关键．由题意可得，，据此判断，可得，再证，即可求出． 【详解】解：根据题意，可得，， ， ， 即， ， ，， ， ， 即， ， ， ， 渭华起义纪念塔的高度为32米． 考点八、相似三角形中的动点问题 1．如图，在平面直角坐标系内，已知点、点，动点从点开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点移动，同时动点从点开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点移动，设点、移动的时间为秒． (1)当为何值时，以，，为顶点的三角形与相似？ (2)用含的代数式表示点的坐标； (3)的面积能否为6个平方单位？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)或 (2) (3)不能，见解析 【分析】此题主要考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，一元二次方程等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据勾股定理结合和求出，分为①当时，②当时，分别列方程求解即可． （2）作轴于，轴于，得出，，根据相似三角形的性质求出，，即可求出点的坐标； （3）当的面积为6个平方单位时，即．整理得：，根据根判别式即可求解． 【详解】（1）解：、， ，， ， ①当时， ， ， ； ②当时， ， ， ， 当或时，以，，为顶点的三角形与相似； （2）解：作轴于，轴于， ，， ，， ，， ，， 的坐标为； （3）解：不能； 理由：当的面积为6个平方单位时，即． 整理得：， ， 此方程无实数根， 的面积不能为6个平方单位． 2．已知：如图，在矩形中，，，点E为边的中点，连接，交于点F．点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点A出发，沿方向匀速运动，速度为．当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．设运动时间为． 解答下列问题： (1)当t为何值时，点P在线段的垂直平分线上？ (2)连接，设的面积为，求S与t的函数关系式； (3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使与相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (4)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使线段被平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当时，点P在线段BQ的垂直平分线上 (2)S与t的函数关系式为 (3)当时，与相等，理由见详解 (4)不存在某一时刻t，使线段被平分．理由见详解 【分析】当点P在线段的垂直平分线上，，过点P作于点G，用含t的式子表示，的长，再利用等于和等于减列方程求t的值． 过点P作于点H，证明，得到，进而得到，含的代数式，最后求的面积为即可． 证明，得到，求出的长，再求出，利用与相等，列方程求 当线段被平分时，且先利用求出t的值，再分别求出与的长，若它们相等，即存在；不相等，则不存在． 【详解】（1）解：如图1，当点P在线段BQ的垂直平分线上，，过点P作于点 在矩形中，，，点E为边的中点， ， 由勾股定理得， ， ， ， ， ， ， ， 解得． （2）解：如图2，过点P作于点 由可知，，，， 又， ， 已知，，， 则有， 解得：，， ， 的面积为， 与t的函数关系式为． （3）解：存在． ，，， ， ， ， 点E为边的中点， ， ，解得：， 则， 当时，， 解得舍去或， 当时，与相等． （4）解：不存在． 理由：当线段PQ被BF平分时，且 当时，，解得 当时，， 当时，． ， ， ， 不存在某一时刻t，使线段被平分． 【点睛】本题是矩形的综合题，根据动点的位置，涉及到垂直平分线的性质，三角形面积计算，相似三角形的判定与性质等知识点．将线段用含t的式子准确表示出来，熟练运用解直角三角形的知识求线段的长是解题的关键．题目思维含量高，难度大，是中考模拟卷压轴题． 3．如图，在中，，，，为边的中点．点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动到点停止；同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动到点停止，当点停止运动时，点也停止运动．设点的运动时间为（秒）． (1)当点与点重合时，的值为________； (2)用含的代数式表示长； (3)将的分成的两部分，其中的三角形与相似时，求的值； (4)当点不与的顶点重合时，过点作交的边于点，以和为边作．连结，直接写出将分成面积相等的两部分时的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】（1）由勾股定理求得，从而有，点与点重合，则，求解即可； （2）分两种情况：当时，则点Q在上 ，当时，则点Q在上，分别求解即可； （3）分两种情况：当，则点Q在上时，当，则点Q在上时，根据相似三角形性质求解即可； （4）分两种情形：如图1中，连接，交于点．当时，，根据经过平行四边形对角线交点的直线平分平行四边形的面积，知此时平分平行四边形的面积．如图2中，连接，交于点，当时，，此时平分平行四边形的面积．分别求解即可． 【详解】（1）解：，，， ， ∵为边的中点， ， ∵点与点重合， ∴， ． 故答案为：． （2）解：当时，则点Q在上 ， ∴； 当时，则点Q在上 ， ∴； 综上，． （3）解：当，则点Q在上时， 则，， ∵将的分成的两部分，其中的三角形与相似时， ∴当时， 则，即， 解得：； 当时， 则，即， 解得：（舍去）； 当，则点Q在上时， 当时， 则，即， 解得：； 当时， 则，即 解得：（舍去）． 综上，将的分成的两部分，其中的三角形与相似时，t值为或． （4）解：如图1中，连接、相交于点．当，且时，此时平分平行四边形的面积． ∵， ∴， ， ， 解得． 如图2中，连接、相交于点O，当，且时，此时平分平行四边形的面积． ∵ ∴，， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，满足条件的t的值为或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，列代数式，相似三角形的判定与性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 知识导图记忆 1．圆圆同学把一个三角形的三条边长都扩大为原来的5倍，得到的新三角形的面积（    ） A．扩大为原来的5倍 B．扩大为原来的15倍 C．扩大为原来的20倍 D．扩大为原来的25倍 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．将一个三角形的三边扩大为原来的5倍，新的三角形与原三角形相似，相似比为：，利用面积比是相似比的平方，即可得解． 【详解】解：由题意，知，新的三角形与原三角形相似，相似比为：， ∴两个三角形的面积比为：， 即：这个三角形的面积扩大为原来的25倍； 故选：D． 2．如图，，若，，则与的相似比是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形对应边的比等于相似比求解． 本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形多边形的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段对应中线、对应角平分线、对应边上的高的比也等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 【详解】解：∵， 与的相似比为 故选：B． 3．如图，在矩形中，E为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先得到，，然后证明出，然后结合为的中点求解即可． 此题考查了矩形的性质，相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ，， ， 为的中点， ， ． 故选：B． 4．如图，将沿边上的中线平移到的位置．已知的面积为18．阴影部分三角形的面积为8．若，则等于（   ） A．3 B．2 C．4 D．23 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，相似三角形的判定及性质；由平移的性质得，，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，即可求解；能熟练利用平移的性质，相似三角形的判定及性质进行求解是解题的关键． 【详解】解：如图，交于，交于， 由平移得：，， ， ， ， ， 解得：， 故选：C． 5．如图，用4个全等的，，，和2个全等的，拼成如图所示的矩形，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理， 设，，，，由矩形的性质得到，，，由勾股定理得到，，则，再证明得到，据此可得答案． 【详解】解：用4个全等的，，，和2个全等的，拼成如图所示的矩形， 设，，，， 四边形是矩形， ，，， 由勾股定理可得，，， ， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ 故选：C． 6．已知与的相似比为，则这两个三角形的面积比为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的面积之比等于相似比的平方，据此可得答案． 【详解】解：∵与的相似比为， ∴这两个三角形的面积比为， 故答案为：． 7．如图，小孔成像实验如图，抽象为数学问题如图，与交于点，，若点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是 ．    【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由可得，即得，据此解答即可求解，掌握相似三角形的对应高之比等于相似比是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 8．立一杆高八尺，影长六尺；今有一楼，影长九丈．问楼高几何？（选自《海岛算经》）题目大意：直立一根8尺高的标杆，其影子长度为6尺；此时有一栋楼，影长9丈，这栋楼有多高？根据题意，可求得这栋楼高 丈． 【答案】12 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据同时同地物高与影长的比值相同建立方程求解即可． 【详解】解：设这栋楼高x丈， 由题意得，， 解得， ∴这栋楼高12丈， 故答案为：12． 9．在中，在边上取一点D，如图，根据下列作图过程：①以B点为圆心，以合适的长为半径作弧，分别与边交于点M，N；②以D点为圆心、长为半径向内作弧，交于P点；③以P点为圆心、为半径作弧，与前弧在内交于一点Q；④过Q点作射线交于E点．若，则 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了作图——作等角，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．由作法可知，，证明出，进而得到，即可求解． 【详解】解：由作法可知，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 10．如图，在等腰中，，边上有一点，将沿线段折叠得，线段与边交于点，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，折叠的性质，等角对等边，过点A作交延长线于F，设，则，由折叠的性质可得，可证明，得到；设，，；设，则，由勾股定理得，，解得，则，证明，得到，则，，即可得答案． 【详解】解：如图所示，过点A作交延长线于F， 设，则， 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴； 设， ∵， ∴，； 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．如图，已知，，分别是它们对应的高线，已知，若，求的长． 【答案】的长为8 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质定理，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 根据相似三角形的性质，即对应线段的比等于相似比，即可求解． 【详解】解：，、分别是它们对应的高线， ， ，， ， ． 即的长为8． 12．如图，为的对角线，若点E、F分别是边上的点，连接，若，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，正确利用平行四边形的性质及题中所给条件，找到证明相似所需要的条件是解题的关键． 由得，得，由得，由得，即可证明结论． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， ， 又，   ，         ， ， ． 13．图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的阿格中，分别按下列要求画图，保留适当的画图痕迹． (1)在图中画出边上的中线； (2)在图中画出边上的高线； (3)在图中的边上找到一点，使． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】本题考查了无刻度的直尺画图，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由矩形性质可得可得，即即为所求； （）根据网格可得， （）证明，，同理，则，从而求解． 【详解】（1）解：如图，根据网格可得，即为所求； ， 理由：∵四边形是矩形， ∴， ∴即为所求； （2）解：如图，根据网格可得， ∴即为所求； （3）解：如图，点即为所求； 理由：∵， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴点即为所求． 14．如图，已知在中． (1)实践与操作：用尺规作图法在边上找一点，连接，使得；（保留作图痕迹，不写作法，不用证明） (2)应用与求解：若为边上的中线，且，，的周长为，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)17 【分析】本题主要考查相似三角形的判定、尺规作角、三角形中线的定义以及三角形周长的计算．解题的关键在于理解相似三角形判定中角的关系用于尺规作图；利用三角形中线定义得到线段相等关系，进而通过已知三角形周长求出相关线段和，从而得出所求三角形的周长． （1）本题要求用尺规作图找出使的点．根据相似三角形的判定定理，两角分别相等的两个三角形相似．在中，已有是和的公共角，所以只需作出 ，就能满足相似条件，点即为所求，且尺规作图方法不唯一． （2）已知是边上的中线，根据三角形中线的定义，可得．已知的周长为，，可先求出的值，再利用，将的值求出，最后加上的长度，就能得出的周长． 【详解】（1）解：如图，作，则点即为所求．（作法不唯一） （2）解：为边上的中线， ． 的周长为16，， ， ∴， ，即的周长为17． 15．【问题重现】如图（1），为等边三角形，点在上，连接，将绕点逆时针旋转，得到线段，连接，．求证：． 【问题迁移】如图（2），在和中，，，． ①求证：； ②求的度数． 【问题延伸】如图（3），在和中，点在延长线上，，，，和交于点，若，直接写出的值． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②150度；（3） 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造相似三角形，是解题的关键： （1）旋转，推出为等边三角形，利用证明即可； （2）①先证明，得到，，进而得到，，即可得证；②相似三角形的性质，等边对等角，结合角的和差关系求出的度数即可； （3）设，勾股定理求出，进而得到，作，证明，得到，再证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：（1）∵旋转， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴； （2）①∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）∵， ∴设，则：，， ∵， ∴， ∴， 作，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 2 / 41 学科网（北京）股份有限公司 $$