第11讲 重难点专题拓展：实际问题与二次函数（2知识点+7大核心考点+过关测）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（沪教版）

第11讲 重难点专题拓展：实际问题与二次函数 （2知识点+7大核心考点+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：列二次函数解应用题 　 列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤： (1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)． (2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确． (3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数． (4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题. (5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案． (6)写出答案． 要点归纳： 常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等. 解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式. 知识点02：建立二次函数模型求解实际问题 一般步骤： (1)恰当地建立直角坐标系； (2)将已知条件转化为点的坐标； (3)合理地设出所求函数关系式； (4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式； (5)利用关系式求解问题． 要点归纳： 利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. 【题型1 增长率问题】 【例1】某商店一月份销售额为万元，月平均增长率，一季度的销售额为万元，那么关于月平均增长率的函数解析式是 ． 【变式1-1】（23-24九年级上·上海青浦·期中）某商店一月份销售额为万元，月平均增长率（），一季度的销售额为万元，那么关于月平均增长率的函数解析式是 ． 【变式1-2】（23-24九年级上·上海奉贤·期中）印刷厂10月份印刷一畅销小说书5万册，因购买此书人数激增，印刷厂需加印，若设印书量每月的增长率为x，12月印书量y万册，写出y关于x的函数解析式 ． 【题型2 销售问题】 【例2】（2024·上海·模拟预测）某商场以每件50元的价格购进一种商品，销售中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数，其图象如图所示 (1)求每天的销售数量m（件）与每件的销售价格x（元）的函数表达式 (2)每件商品的销售价格在什么范围内，每天的销售利润随着销售价格的提高而增加？ 【变式2-1】（24-25九年级上·上海·阶段练习）暑假期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为3000元，该影院每天售出的电影票数量（单位：张）与售价（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且是整数），部分数据如下表所示： 电影票售价（元/张） 60 70 售出电影票数量（张） 154 134 (1)请求出与之间的函数关系式； (2)设该影院每天的利润（利润票房收入运营成本）为（单位：元），求与之间的函数关系式． (3)该影院计划十一期间每天的利润达到5700元，那么电影票价要定在每张多少元？ 【变式2-2】（22-23九年级上·上海·单元测试）某商场购进一批单价为 元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多利润，商店决定提高销售价格．经试验发现，若按每件 元的价格销售时，每月能卖 件，若按每件 元的价格销售时，每月能卖 件，假定每月销售件数 （件）是单价 （元）的一次函数． (1)试求 与 之间的函数关系式； (2)在商品不积压，且不考虑其他因素的前提下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利润是多少？（总利润总收入总成本） 【题型3 投球问题】 【例3】（24-25九年级上·上海浦东新·期末）如图，一位运动员推铅球，铅球运行时离地面高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为，点A是铅球的出手位置，那么铅球运行水平距离 米时落到地面． 【变式3-1】（2025·上海黄浦·一模）体育课上投掷实心球活动，如图，小明某次投掷实心球，实心球出手后的运动过程中距离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，当实心球运动到点时达到最高点，那么实心球的落地点与出手点的水平距离为 米． 【变式3-2】（2024·上海嘉定·三模）篮球是学生非常喜爱的运动项目之一．篮圈中心距离地面的竖直高度是，小丁站在距篮圈中心水平距离处的点跳起练习定点投篮，篮球从小丁正上方出手到接触篮球架的过程中，其运行路线可以看作是抛物线的一部分．当篮球运行的水平距离是 （单位：m） 时，球心距离地面的竖直高度是 （单位：m）．在小丁多次的定点投篮练习中，记录了如下两次训练： (1)第一次训练时，篮球的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离/m 0 1 2 3 4 5 6 竖直高度/m 2.0 2.7 3.2 3.5 3.6 3.5 3.2 ①在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接； ②结合表中数据或所画图象，直接写出篮球运行的最高点距离地面的竖直高度，并求与满足的函数解析式； ③已知篮网长，则小丁第一次投篮练习结果为__________（“打板”“空心刷网”“擦网而过”“三不沾”） (2)第二次训练时，小丁通过调整出手高度的方式将球投进．篮球出手后运行路线的形状与第一次相同，达到最高点时，篮球的位置恰好在第一次的正上方，则小丁的出手高度是 m 【题型4 喷水问题】 【例4】（2023·上海松江·一模）公园草坪上，自动浇水喷头喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的离地高度（米）关于水珠与喷头的水平距离（米）的函数解析式是．那么水珠的最大离地高度是 米． 【变式4-1】（23-24九年级上·上海金山·期末）某学校有一喷水池，如果以喷水口（点）所在的铅垂线为轴，相应的地面水平线为轴，1米为单位长度建立直角坐标系，喷出的抛物线形水柱在最高处（点）距离轴1米，水柱落地处（点）距离y轴4米，喷水口距离地面为2米，求抛物线形水柱的最高处距离地面的高度． 【变式4-2】某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，水柱从喷水头喷出到落于湖面的路径形状可以看作是抛物线的一部分． 若记水柱上某一位置与水管的水平距离为d米，与湖面的垂直高度为h米． 下表中记录了d与h的五组数据： d（米） 0 1 2 3 4 h（米） 0.5 1.25 1.5 1.25 0.5    根据上述信息，解决以下问题： (1)若水柱最高点距离湖面的高度为m米，则________； (2)现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从水柱下方通过． 如图所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米． 已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为2米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（保留一位小数）． 【题型5 拱桥问题】 【例5】（2023·上海静安·一模）有一座拱桥的截面图是抛物线形状，在正常水位时，桥下水面宽20米，拱桥的最高点O距离水面为3米，如图建立直角坐标平面，那么此抛物线的表达式为 ． 【变式5-1】（2024·上海杨浦·一模）有一座抛物线型拱桥，在正常水位时，水面宽米，拱桥的最高点到水面的距离是米，如图建立直角坐标平面，如果水面上升了米，那么此时水面的宽度是 米．（结果保留根号） 【变式5-2】（22-23九年级上·上海静安·期中）有一座抛物线形状的拱桥，已知正常水位时，水面的宽度为20米，拱顶距水面5米，如图是拱桥的截面图，其中桥拱截线是一段抛物线，平面直角坐标系的原点是桥拱截线与水位正常的水面截线相交处的一点，轴在水面截线上；是警戒线，拱顶到的距离为1.8米． (1)求桥拱截线所在抛物线的表达式； (2)求达到警戒线位置时水面的宽度． 【题型6 图形问题】 【例6】（2023·上海宝山·一模）如图，用长为12米的篱笆围成一个矩形花圃，花圃一面靠墙（墙的长度超过12米），设花圃垂直于墙的一边长为x米，花圃面积为y平方米，那么y关于x的函数解析式为 ．（不要求写出定义域） 【变式6-1】如图，在一块等腰直角三角形ABC的铁皮上截取一块矩形铁皮，要求截得的矩形的边EF在的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上．已知厘米，设DG的长为x厘米，矩形DEFG的面积为y平方厘米，那么y关于x的函数解析式为 ．（不要求写出定义域） 【变式6-2】（24-25九年级上·上海静安·期中）已知：如图是400米跑道示意图，中间的足球场是矩形，两边是全等的半圆，设直道的长为x米，足球场的面积为S平方米． (1)求出S关于x的函数关系式（结果保留），并写出定义域； (2)当直道的长为多少米时，足球场的面积最大？ 【题型7 图形运动问题】 【例7】（22-23九年级上·上海静安·期中）如图，直角梯形中，，，，．动点以每秒1个单位长的速度，从点沿线段向点运动；同时点以相同的速度，从点沿折线向点运动．当点到达点时，两点同时停止运动．过点作直线．与折线的交点为．点运动的时间为（秒）． (1)当时，求线段的长； (2)点在线段上运动时，是否可以使得以、、为顶点的三角形为直角三角形，若可以，请求出的值：若不可以，请说明理由； (3)若的面积为，请求出关于的函数关系式及自变量的取值范围． 【变式7-1】（2023·上海·一模）如图，在中，，是边上的中线，，，点Q是延长线上的一动点，过点Q作，交的延长线于点P．    (1)当点B为的中点时，求的长； (2)设，，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； (3)过点B作交于F，当和相似时，求的长． 【变式7-2】（22-23九年级上·上海·阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BD⊥AC于点D，且BD＝8cm．点M从点A出发，沿AC的方向匀速运动，速度为2cm/s；同时直线PQ由点B出发，沿BA的方向匀速运动，速度为1cm/s，运动过程中始终保持PQAC，直线PQ交AB于点P、交BC于点Q、交BD于点F，连接PM，设运动时间为t秒（0＜t＜5）． (1)当t为何值时，△APM与△ACB相似？ (2)设四边形PQCM的面积为y，求y与t之间的函数关系式； (3)连接PC，是否存在某一时刻t，使点M在线段PC的垂直平分线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由． 一、单选题 1．如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面AB宽为20米，拱桥的最高点O到水面AB的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD，那么CD宽为（　　） A．4米 B．10米 C．4米 D．12米 二、填空题 2．某厂七月份的产值是10万元，设第三季度每个月产值的增长率相同，都为x（x＞0），九月份的产值为y万元，那么y关于x的函数解析式为 ．（不要求写定义域） 3．（23-24九年级上·上海杨浦·期末）小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．点A距离地面，当球到OA的水平距离为时，达到最大高度为．那么投掷距离为 ． 4．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知菱形的周长为，其一个内角（锐角）的正切值为2，设其面积为，那么关于的函数关系式是 ．（不必写出定义域） 三、解答题 5．某工厂设计了一款产品，成本为每件20元．投放市场进行试销，经调查发现，该种产品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数的关系，其中20≤≤40． (1)根据表格求y关于x的函数解析式； 销售量y（件） …… 30 20 10 …… 销售单价（元） …… 25 30 35 …… (2)设销售这种产品每天的利润为W（元），求W关于销售单价之间的函数解析式并求当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？ 6．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知：如图，是400米跑道示意图，中间的足球场是矩形，两边是全等的半圆，如果问直道的长是多少？那你大概率是知道的．可你也许不知道，这不仅是为了田径比赛的需要，还有另一个原因，等你做完本题就明白了．设直道的长为米，足球场的面积为S平方米． (1)求出S关于的函数关系式（结果保留），并写出定义域： (2)当直道为________米时，足球场的面积最大． 7．（21-22九年级下·上海·期中）某超市从厂家购进A、B两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如表： 进货批次 A型水杯（个） B型水杯（个） 总费用（元） 一 100 200 8000 二 200 300 13000 (1)求A、B两种型号的水杯进价各是多少元？ (2)在销售过程中，A型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大B型水杯的销售量，超市决定对B型水杯进行降价销售，当销售价为44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将B型水杯降价多少元时，每天售出B型水杯的利润达到最大？最大利润是多少？ 8．（2023·上海杨浦·三模）某商店购进了一种生活用品，进价为每件8元，销售过程中发现，该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中，且x为整数），部分对应值如下表： 每件售价x（元） 9 11 13 每天的销售量y（件） 105 95 85 (1)求y与x的函数解析式； (2)如果该商店打算销售这种生活用品每天获得425元的利润，那么每件生活用品的售价应定为多少元？ 9．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，小亮父亲想用长的栅栏．再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈，已知房屋外墙长，设矩形的边，面积为． (1)写出与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围； (2)为多少米时，羊圈的面积最大？最大值是多少？ 10．（22-23九年级上·上海·期中）在中，，，是边的中点，交于点．动点从出发沿射线以每秒厘米的速度运动．同时动点从点出发沿射线运动，且始终保持．设运动时间为秒（） (1)与相似吗？以图1为例说明理由； (2)若，厘米． ①当点在边上运动时，求动点的运动速度； ②设的面积为S（平方厘米），求关于的函数解析式 11．（22-23九年级上·上海浦东新·期中）如图，在中，，，点、、分别在、、边上，沿直线翻折后与重合． (1)求的面积； (2)试问是否有可能与相似，如有可能，请求出的长；如不可能，请说明理由； (3)设，，求与的函数解析式，并写出函数的定义域． 12．（22-23九年级上·上海静安·期中）已知：如图，在中，，，，是斜边上的一个动点，，交边于点（点与点都不重合），是射线上一点，且，设两点的距离为，的面积为． (1)求证：； (2)求关于的函数解析式，并写出它的定义域； (3)当与相似时，求的面积． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 重难点专题拓展：实际问题与二次函数 （2知识点+7大核心考点+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：列二次函数解应用题 　 列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤： (1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)． (2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确． (3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数． (4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题. (5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案． (6)写出答案． 要点归纳： 常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等. 解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式. 知识点02：建立二次函数模型求解实际问题 一般步骤： (1)恰当地建立直角坐标系； (2)将已知条件转化为点的坐标； (3)合理地设出所求函数关系式； (4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式； (5)利用关系式求解问题． 要点归纳： 利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. 【题型1 增长率问题】 【例1】某商店一月份销售额为万元，月平均增长率，一季度的销售额为万元，那么关于月平均增长率的函数解析式是 ． 【答案】 【知识点】增长率问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了求函数解析式，理解题意，找到变量之间的关系是解题的关键． 根据题意分别把二月份、三月份的销售额表示出来，由一季度的销售额为万元即可求出函数解析式． 【详解】一月份销售额为万元， 二月份销售额为万元， 三月份的销售额为万元， 根据题意可得，， 故答案为：． 【变式1-1】（23-24九年级上·上海青浦·期中）某商店一月份销售额为万元，月平均增长率（），一季度的销售额为万元，那么关于月平均增长率的函数解析式是 ． 【答案】 【知识点】列二次函数关系式、增长率问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了求函数解析式，根据题意分别把二月份、三月份的销售额表示出来，由一季度的销售额为万元即可求出函数解析式，理解题意，找到变量之间的关系是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得，， 故答案为：． 【变式1-2】（23-24九年级上·上海奉贤·期中）印刷厂10月份印刷一畅销小说书5万册，因购买此书人数激增，印刷厂需加印，若设印书量每月的增长率为x，12月印书量y万册，写出y关于x的函数解析式 ． 【答案】 【知识点】增长率问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数是应用，理解题意，根据10月份印刷小说书5万册，每月的增长率为x，则11月份印刷小说书万册，12月份印刷小说书万册，即可求解． 【详解】根据题意，得y关于x的函数解析式为：． 故答案为： 【题型2 销售问题】 【例2】（2024·上海·模拟预测）某商场以每件50元的价格购进一种商品，销售中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数，其图象如图所示 (1)求每天的销售数量m（件）与每件的销售价格x（元）的函数表达式 (2)每件商品的销售价格在什么范围内，每天的销售利润随着销售价格的提高而增加？ 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数解析式、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】此题为函数图象和实际结合的题型，考查由图象写出函数的能力． （1）设出一次函数的一般表达式，将，代代入即可求出； （2）由销售的利润和销售价格得出函数关系式，由函数性质判断出随销售价格增大利润增大的范围． 【详解】（1）解：设一次函数的一般表达式，将，代入得： ， 解得：，， 故每天的销售数量m（件）与每件的销售价格x（元）的函数表达式为：． （2）解：每件商品的利润为：， 所以每天的利润为：， ∵， ∴在元时，每天的销售利润随着销售价格的提高而增加． 【变式2-1】（24-25九年级上·上海·阶段练习）暑假期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为3000元，该影院每天售出的电影票数量（单位：张）与售价（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且是整数），部分数据如下表所示： 电影票售价（元/张） 60 70 售出电影票数量（张） 154 134 (1)请求出与之间的函数关系式； (2)设该影院每天的利润（利润票房收入运营成本）为（单位：元），求与之间的函数关系式． (3)该影院计划十一期间每天的利润达到5700元，那么电影票价要定在每张多少元？ 【答案】(1)（，且是整数） (2) (3)电影票价要定在每张87元 【知识点】求一次函数解析式、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式， （1）根据题意和表格中的数据，可以计算出与之间的函数关系式； （2）根据利润票房收入运营成本和（1）中的结果，可以写出与之间的函数关系式； （3）当时，则，然后解一元二次方程即可求得出答案． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式是， 由表格可得，， 解得， 即与之间的函数关系式是（，且是整数） （2）解：由题意可得，， 即与之间的函数关系式是； （3）解：由（2）知：， 当时，则， 整理得：， 解得：或（舍去）， 故电影票价要定在每张87元． 【变式2-2】（22-23九年级上·上海·单元测试）某商场购进一批单价为 元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多利润，商店决定提高销售价格．经试验发现，若按每件 元的价格销售时，每月能卖 件，若按每件 元的价格销售时，每月能卖 件，假定每月销售件数 （件）是单价 （元）的一次函数． (1)试求 与 之间的函数关系式； (2)在商品不积压，且不考虑其他因素的前提下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利润是多少？（总利润总收入总成本） 【答案】(1) (2)当定价为 元时，取最大值（元） 【知识点】求一次函数解析式、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）设，根据题意即可求解； （2）由：总利润总收入总成本，设获得利润为元，可得，进行配方即可求解． 【详解】（1）解：设，由题意得 ， 解得：， ． （2）解：设获得利润为元，由题意得 ， 当 时， 取最大值，（元）． 【点睛】本题考查了二次函数应用中的利润问题，理解利润中的等量关系式是解题的关键． 【题型3 投球问题】 【例3】（24-25九年级上·上海浦东新·期末）如图，一位运动员推铅球，铅球运行时离地面高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为，点A是铅球的出手位置，那么铅球运行水平距离 米时落到地面． 【答案】10 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，铅球落地时，，故由题意可得关于x的方程，解得x的值并根据问题的实际意义作出取舍即可． 【详解】解：令，则， 解得：，（舍去）， ∴铅球运行水平距离为10米时落到地面． 故答案为：10． 【变式3-1】（2025·上海黄浦·一模）体育课上投掷实心球活动，如图，小明某次投掷实心球，实心球出手后的运动过程中距离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，当实心球运动到点时达到最高点，那么实心球的落地点与出手点的水平距离为 米． 【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、求抛物线与x轴的交点坐标、投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数，二次函数与轴交点问题，熟练掌握二次函数的顶点式和二次函数与轴交点求法是解题的关键．先利用顶点结合顶点式得出，再令，即可求解． 【详解】解：∵当实心球运动到点时达到最高点，且抛物线函数解析式为， ∴抛物线函数解析式为， 令，得， 解得：，， ∴， ∴实心球的落地点与出手点的水平距离为米， 故答案为：． 【变式3-2】（2024·上海嘉定·三模）篮球是学生非常喜爱的运动项目之一．篮圈中心距离地面的竖直高度是，小丁站在距篮圈中心水平距离处的点跳起练习定点投篮，篮球从小丁正上方出手到接触篮球架的过程中，其运行路线可以看作是抛物线的一部分．当篮球运行的水平距离是 （单位：m） 时，球心距离地面的竖直高度是 （单位：m）．在小丁多次的定点投篮练习中，记录了如下两次训练： (1)第一次训练时，篮球的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离/m 0 1 2 3 4 5 6 竖直高度/m 2.0 2.7 3.2 3.5 3.6 3.5 3.2 ①在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接； ②结合表中数据或所画图象，直接写出篮球运行的最高点距离地面的竖直高度，并求与满足的函数解析式； ③已知篮网长，则小丁第一次投篮练习结果为__________（“打板”“空心刷网”“擦网而过”“三不沾”） (2)第二次训练时，小丁通过调整出手高度的方式将球投进．篮球出手后运行路线的形状与第一次相同，达到最高点时，篮球的位置恰好在第一次的正上方，则小丁的出手高度是 m 【答案】(1)①见解析②3.6米；③擦网而过 (2)2.075 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的应用；关键是根据图象求出抛物线解析式． （1）①根据表中数据，描点，连线，作出函数图象； ②根据表格数据和函数图象设抛物线解析式为，然后由待定系数法求出函数解析式； ③当时求出y的值与3.05比较即可； （2）根据题意第二次篮球运行的抛物线相当于第一次篮球运行的抛物线向上平移m个单位，然后把代入解析式求出m即可． 【详解】（1）解：①描点，连线，作出函数图象， ②结合表中数据或所画图象可知，篮球运行的最高点距离地面的竖直高度为3.6米， 由表格数据和函数图象可知，抛物线的顶点为， ∴设抛物线解析式为， 把代入解析式得：， 解得， ∴y与x满足的函数解析式为； ③当时，， 又 而， ∴小石第一次投篮练习擦网而过； 故答案为：擦网而过； （2）解：根据题意可知，第二次篮球运行的抛物线相当于第一次篮球运行的抛物线向上平移m个单位， 则第二次篮球运行的抛物线解析式为， ∵第二次篮球运行的抛物线经过， ∴， 解得， ∴米， 答：小石第二次篮球刚出手比第一次篮球刚出手时的高度高2.075米． 故答案为：2.075． 【题型4 喷水问题】 【例4】（2023·上海松江·一模）公园草坪上，自动浇水喷头喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的离地高度（米）关于水珠与喷头的水平距离（米）的函数解析式是．那么水珠的最大离地高度是 米． 【答案】 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】根据二次函数的顶点式即可求解． 【详解】∵， ∴时，y取最大值， 即水珠的高度达到最大米时，水珠与喷头的水平距离是2米， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握把二次函数的解析式化为顶点式． 【变式4-1】（23-24九年级上·上海金山·期末）某学校有一喷水池，如果以喷水口（点）所在的铅垂线为轴，相应的地面水平线为轴，1米为单位长度建立直角坐标系，喷出的抛物线形水柱在最高处（点）距离轴1米，水柱落地处（点）距离y轴4米，喷水口距离地面为2米，求抛物线形水柱的最高处距离地面的高度． 【答案】米 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，利用待定系数法解得抛物线解析式是解题关键．设该抛物线的解析式为，结合题意，将点，代入并求解，即可确定该抛物线解析式，即可获得答案． 【详解】解：设该抛物线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴该抛物线的解析式为，其顶点坐标为， ∴抛物线形水柱的最高处距离地面的高度为米． 【变式4-2】某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，水柱从喷水头喷出到落于湖面的路径形状可以看作是抛物线的一部分． 若记水柱上某一位置与水管的水平距离为d米，与湖面的垂直高度为h米． 下表中记录了d与h的五组数据： d（米） 0 1 2 3 4 h（米） 0.5 1.25 1.5 1.25 0.5    根据上述信息，解决以下问题： (1)若水柱最高点距离湖面的高度为m米，则________； (2)现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从水柱下方通过． 如图所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米． 已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为2米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（保留一位小数）． 【答案】(1) (2)2.1米，理由见解析 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）根据表格中的数据求出抛物线对称轴即可得到答案； （2）求出抛物线解析式为，设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：，此时对称轴不变，根据由题意可知，当横坐标为时，纵坐标的值大于，则，据此求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，建立坐标系， ∵当时，，时，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵当时，， ∴水柱最高点距离湖面的高度为，即， 故答案为：；    （2）解：设， 将 代入得：， 解得， ∴h与d函数表达式为； 设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：，此时对称轴不变， 由题意可知，当横坐标为时，纵坐标的值大于， ∴， 解得， ∴水管高度至少向上调节米， 由表中数据可知水管高米， ∴（米）， ∴公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到2.1米才能符合要求． 【点睛】本题属于二次函数的应用，主要考查待定函数求函数解析式，二次函数图像的平移，解题的关键在于掌握由二次函数的图像建立二次函数模型． 【题型5 拱桥问题】 【例5】（2023·上海静安·一模）有一座拱桥的截面图是抛物线形状，在正常水位时，桥下水面宽20米，拱桥的最高点O距离水面为3米，如图建立直角坐标平面，那么此抛物线的表达式为 ． 【答案】/ 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】设抛物线解析式为，由图象可知，点的坐标，利用待定系数法求解即可． 【详解】设抛物线解析式为， 由图象可知，点的坐标为， 代入解析式得， 解得， ∴该抛物线的解析式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，准确理解题意，并能够用待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． 【变式5-1】（2024·上海杨浦·一模）有一座抛物线型拱桥，在正常水位时，水面宽米，拱桥的最高点到水面的距离是米，如图建立直角坐标平面，如果水面上升了米，那么此时水面的宽度是 米．（结果保留根号） 【答案】 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，设该抛物线的解析式是，由题意结合图象可知，点在函数图象上，求出解析式，然后把代入即可求解，准确理解题意，并能够用待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． 【详解】设该抛物线的解析式是， 由题意结合图象可知，点在函数图象上， 代入得：，解得：， ∴该抛物线的解析式是， 则水面上升了米，此时， ∴，解得：， 则此时水面的宽度是米， 故答案为：． 【变式5-2】（22-23九年级上·上海静安·期中）有一座抛物线形状的拱桥，已知正常水位时，水面的宽度为20米，拱顶距水面5米，如图是拱桥的截面图，其中桥拱截线是一段抛物线，平面直角坐标系的原点是桥拱截线与水位正常的水面截线相交处的一点，轴在水面截线上；是警戒线，拱顶到的距离为1.8米． (1)求桥拱截线所在抛物线的表达式； (2)求达到警戒线位置时水面的宽度． 【答案】(1)； (2)达到警戒线位置时水面的宽度为12米． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）由题意可得，抛物线与轴的交点为，，顶点坐标为，设抛物线解析式为，再将代入求解即可； （2）将代入抛物线，求解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，抛物线与轴的交点为，，顶点坐标为， 设抛物线解析式为 将代入可得，解得， 即 （2）解：由题意可得，、两点的纵坐标为， 将代入，可得， 化简可得， 解得：， 即， 则米， 答：达到警戒线位置时水面的宽度为12米． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，正确求得二次函数解析式． 【题型6 图形问题】 【例6】（2023·上海宝山·一模）如图，用长为12米的篱笆围成一个矩形花圃，花圃一面靠墙（墙的长度超过12米），设花圃垂直于墙的一边长为x米，花圃面积为y平方米，那么y关于x的函数解析式为 ．（不要求写出定义域） 【答案】 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】由篱笆的总长及花圃垂直于墙的一边长度，可得出花圃平行于墙的一边长为米，再利用矩形的面积公式，即可得出关于的函数解析式． 【详解】解：篱笆的总长为12米，花圃垂直于墙的一边长为米， 花圃平行于墙的一边长为米． 根据题意得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出关于的函数解析式是解题的关键． 【变式6-1】如图，在一块等腰直角三角形ABC的铁皮上截取一块矩形铁皮，要求截得的矩形的边EF在的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上．已知厘米，设DG的长为x厘米，矩形DEFG的面积为y平方厘米，那么y关于x的函数解析式为 ．（不要求写出定义域） 【答案】 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】根据题意，列出y关于x的函数解析式即可； 【详解】解：∵是等腰直角三角形， ∴∠B=45°， ∵四边形DEFG是矩形， ∴BE⊥DE， ∴BE=DE， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，关键在于根据题意列出二次函数关系式． 【变式6-2】（24-25九年级上·上海静安·期中）已知：如图是400米跑道示意图，中间的足球场是矩形，两边是全等的半圆，设直道的长为x米，足球场的面积为S平方米． (1)求出S关于x的函数关系式（结果保留），并写出定义域； (2)当直道的长为多少米时，足球场的面积最大？ 【答案】(1) (2)100米 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据矩形的面积公式求出矩形的宽，即半圆的直径，再根据“跑道的长度直道的长一个圆的周长”列出等式并将S用x表示出来即可； （2）根据二次函数的性质，用配方法求二次函数的最大值即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得， ，即，且， ， S关于x的函数关系式及定义域是； （2）解：， 当时，S的值最大， 当直道的长为100米时，足球场的面积最大． 【题型7 图形运动问题】 【例7】（22-23九年级上·上海静安·期中）如图，直角梯形中，，，，．动点以每秒1个单位长的速度，从点沿线段向点运动；同时点以相同的速度，从点沿折线向点运动．当点到达点时，两点同时停止运动．过点作直线．与折线的交点为．点运动的时间为（秒）． (1)当时，求线段的长； (2)点在线段上运动时，是否可以使得以、、为顶点的三角形为直角三角形，若可以，请求出的值：若不可以，请说明理由； (3)若的面积为，请求出关于的函数关系式及自变量的取值范围． 【答案】(1) (2)可以，或或4 (3)或． 【知识点】图形运动问题(实际问题与二次函数)、根据矩形的性质与判定求面积、根据平行线判定与性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）利用直线平行得出，再利用对应边的比值相等求出即可； （2）点在线段上运动时，以、、为顶点的三角形为直角三角形，可利用三边关系得出； （3）分当时与当时，进行讨论得出符合要求的答案． 【详解】（1）解：， ． ． 即， ． （2）解：根据题意可得当时，以、、为顶点可以构成三角形为直角三角形，故有两种情况： ①当时，点与点重合， 此时，即，， ②当时，如备用图1， 此时， ， 由（1）知，， 而， ， ； ③当时， 可得时，， 可以使得以、、为顶点的三角形为直角三角形， 此时， 综上所述，或或4； （3）解：如图1， 当时，点在线段上，设直线交于点 由（1）可得． 即， ． ． ， 即， 当时，如图3，过点作交于点，交于点． ． 由题意得，． ， ， ， ． 四边形为矩形． ．， ， ， 即， 综上所述：或． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质与判定以及直角三角形的判定，题目综合性较强，解题的关键是要用到分类讨论，根据的取值范围进行讨论，做到不重复，不遗漏． 【变式7-1】（2023·上海·一模）如图，在中，，是边上的中线，，，点Q是延长线上的一动点，过点Q作，交的延长线于点P．    (1)当点B为的中点时，求的长； (2)设，，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； (3)过点B作交于F，当和相似时，求的长． 【答案】(1)； (2)y关于x的函数关系式，x的取值范围为； (3)的长为4或． 【知识点】图形运动问题(实际问题与二次函数)、相似三角形的判定与性质综合、因式分解法解一元二次方程、用勾股定理解三角形 【分析】（1）利用勾股定理可求得的长，再根据直角三角形斜边上中线的性质可得，进而得到，证明，然后根据相似三角形的性质，求得的长度，即可求出的长； （2）由，求得的长度，从而由求得y关于x的函数关系式，再写出x的取值范围即可； （3）分两种情况讨论：①，利用相似三角形的性质，求得的长度，再证明，得到，即可求出的长度；②，利用相似三角形的性质，求得的长度，得到，进而证明，得到，设，由（2）可知，，列方程求解即可求出的长． 【详解】（1）解：，，， ， 是边上的中线， ， ， ， ， ， 点B为的中点， ， ， ； （2）解：， ， 设，， ， ， ， y关于x的函数关系式，x的取值范围为； （3）解：①如图，若，则，   ， ， ，，，， ，， ， ， ， ； ②如图，若， 则，，   ，， ， ， ， 设，由（2）可知，， ， 化简得：， 解得：，（舍）， ， 综上可知，的长为4或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质，求二次函数关系式，勾股定理等知识，正确运用相似三角形的判定与性质是解题关键，注意分类讨论． 【变式7-2】（22-23九年级上·上海·阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BD⊥AC于点D，且BD＝8cm．点M从点A出发，沿AC的方向匀速运动，速度为2cm/s；同时直线PQ由点B出发，沿BA的方向匀速运动，速度为1cm/s，运动过程中始终保持PQAC，直线PQ交AB于点P、交BC于点Q、交BD于点F，连接PM，设运动时间为t秒（0＜t＜5）． (1)当t为何值时，△APM与△ACB相似？ (2)设四边形PQCM的面积为y，求y与t之间的函数关系式； (3)连接PC，是否存在某一时刻t，使点M在线段PC的垂直平分线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)y＝t2﹣8t+40 (3)存在，t＝s时点M在线段PC的垂直平分线上 【知识点】相似三角形——动点问题、动态几何问题(一元二次方程的应用)、图形运动问题(实际问题与二次函数)、线段垂直平分线的性质 【分析】（1）假设△APM与△ACB相似，根据相似三角形的性质得到PM∥BC，进而得到AP＝AM，列出关于t的方程，求出方程的解得到满足题意t的值； （2）过点P作PE垂直AC．由PQ运动的速度和时间t可知线段BP＝t，根据PQAC可得△PBQ∽△ABC，根据相似三角形的形状必然相同可知三角形BPQ也为等腰三角形，即BP＝PQ＝t，再由证得的相似三角形得底比底等于高比高，用含t的代数式就可以表示出BF，进而得到梯形的高PE＝DF＝8﹣t，又点M的运动速度和时间可知点M走过的路程AM＝2t，所以梯形的下底CM＝10﹣2t．最后根据梯形的面积公式即可得到y与t的关系式； （3）假设存在，则根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等即可得到MP＝MC，过点M作MH垂直AB，由一对公共角的相等和一对直角的相等即可得到△AHM∽△ADB，由相似得到对应边成比例进而用含t的代数式表示出AH和HM的长，再由AP的长减AH的长表示出PH的长，从而在直角三角形PHM中根据勾股定理表示出MP的平方，再由AC的长减AM的长表示出MC的平方，根据两者的相等列出关于t的方程进而求出t的值． 【详解】（1）∵△APM∽△ABC， ∴PMBC， ∴AP＝AM， ∴10﹣t＝2t， ∴t＝； （2）∵四边形PQCM为梯形，y＝， ∵PQ＝PB＝t，MC＝10﹣2t，BF：BD＝BP：AB ∴BF＝， ∴DF＝8﹣t， ∴y＝（t+10﹣2t）•（8﹣t）＝； （3）假设存在某一时刻t，使得M在线段PC的垂直平分线上，则MP＝MC， 过M作MH⊥AB，交AB于H， ∵∠A＝∠A，∠AHM＝∠ADB＝90°， ∴△AHM∽△ADB， ∴，又AD＝＝6， ∴， ∴HM＝t，AH＝t， 即HP＝10﹣t﹣t＝10﹣t， 在直角三角形HMP中，， 又∵， ∵， 即， 解得：＝，＝0（舍去）， ∴t＝s时点M在线段PC的垂直平分线上． 【点睛】本题综合考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定与性质，垂直平分线的性质以及勾股定理的应用．第二问的解题关键是根据相似三角形的高之比等于对应边之比得出比例，进而求出关系式，第三问属于探究性试题，需要采用“逆向思维”，都应先假设存在这样的情况，从假设出发作为已知条件，寻找必要条件，从而达到解题的目的． 一、单选题 1．如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面AB宽为20米，拱桥的最高点O到水面AB的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD，那么CD宽为（　　） A．4米 B．10米 C．4米 D．12米 【答案】B 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y＝ax²，由此可得A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），即可求函数解析式为y＝﹣ x²，再将y＝﹣1代入解析式，求出C、D点的横坐标即可求CD的长． 【详解】解：以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系， 设抛物线的解析式为y＝ax2， ∵O点到水面AB的距离为4米， ∴A、B点的纵坐标为﹣4， ∵水面AB宽为20米， ∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4）， 将A代入y＝ax2， ﹣4＝100a， ∴a＝﹣， ∴y＝﹣x2， ∵水位上升3米就达到警戒水位CD， ∴C点的纵坐标为﹣1， ∴﹣1＝﹣x2， ∴x＝±5， ∴CD＝10， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数在实际问题中的应用，找对位置建立坐标系再求解二次函数是关键． 二、填空题 2．某厂七月份的产值是10万元，设第三季度每个月产值的增长率相同，都为x（x＞0），九月份的产值为y万元，那么y关于x的函数解析式为 ．（不要求写定义域） 【答案】y＝10(1+x)2 【知识点】增长率问题(实际问题与二次函数) 【分析】利用该厂九月份的产值=该厂七月份的产值×（1+增长率）2，即可得出结论． 【详解】解：∵该厂七月份的产值是10万元，且第三季度每个月产值的增长率相同，均为x， ∴该厂八月份的产值是10（1+x）万元，九月份的产值是10（1+x）2万元， ∴y＝10（1+x）2． 故答案为：y＝10（1+x）2． 【点睛】本题考查了由根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，正确列出二次函数关系式是解题的关键． 3．（23-24九年级上·上海杨浦·期末）小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．点A距离地面，当球到OA的水平距离为时，达到最大高度为．那么投掷距离为 ． 【答案】4 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】此题考查了二次函数的实际应用，建立直角坐标系，由题意得：抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，过点，利用待定系数法求出解析式，当时求出x的值即可得到． 【详解】解：建立如图所示的直角坐标系，      由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为，过点， ∴， 解得， ∴， 当时，， 得（舍去）， ∴投掷距离为； 故答案为：4． 4．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知菱形的周长为，其一个内角（锐角）的正切值为2，设其面积为，那么关于的函数关系式是 ．（不必写出定义域） 【答案】 【知识点】利用菱形的性质求面积、已知正切值求边长、图形问题(实际问题与二次函数)、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查正切的定义，菱形的性质和面积以及勾股定理．正切等于对边比邻边，菱形的四边长度相等． 根据菱形的性质得出菱形的边长，由正切的定义得出，再由勾股定理得出的长，由菱形的面积等于底乘以高即可求解． 【详解】解：如图，四边形是菱形，是边上的高， ∵菱形的周长为， ∴， ∵的正切值为2， ∴， ∴， 由勾股定理可得， ∴ 解得：， 菱形面积为， 故答案为： 三、解答题 5．某工厂设计了一款产品，成本为每件20元．投放市场进行试销，经调查发现，该种产品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数的关系，其中20≤≤40． (1)根据表格求y关于x的函数解析式； 销售量y（件） …… 30 20 10 …… 销售单价（元） …… 25 30 35 …… (2)设销售这种产品每天的利润为W（元），求W关于销售单价之间的函数解析式并求当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)； (2)当销售单价定为30元时，工厂每天获得的利润最大，最大利润是200元 【知识点】求一次函数解析式、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）根据表格数据待定系数法求一次函数解析式即可； （2）根据题意列出与的函数关系式，进而根据二次函数的性质求得最值 【详解】（1）设一次函数的解析式为（k≠0） 把x=25、y=30，x=30、y=25分别代入 得 解得 ∴一次函数的解析式为 （2） ∴当销售单价定为30元时，工厂每天获得的利润最大，最大利润是200元 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的应用，根据题意求得函数表达式是解题的关键． 6．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知：如图，是400米跑道示意图，中间的足球场是矩形，两边是全等的半圆，如果问直道的长是多少？那你大概率是知道的．可你也许不知道，这不仅是为了田径比赛的需要，还有另一个原因，等你做完本题就明白了．设直道的长为米，足球场的面积为S平方米． (1)求出S关于的函数关系式（结果保留），并写出定义域： (2)当直道为________米时，足球场的面积最大． 【答案】(1)；定义域为 (2)当直道为100米时，足球场的面积最大 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题意可得足球场的宽为，然后根据长方形的面积公式可进行求解； （2）根据（1）中的函数关系式可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得： ； ∵， ∴； ∴S关于的函数关系式为；定义域为； （2）解：由（1）可知： ， ∵， ∴当直道为100米时，足球场的面积最大． 7．（21-22九年级下·上海·期中）某超市从厂家购进A、B两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如表： 进货批次 A型水杯（个） B型水杯（个） 总费用（元） 一 100 200 8000 二 200 300 13000 (1)求A、B两种型号的水杯进价各是多少元？ (2)在销售过程中，A型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大B型水杯的销售量，超市决定对B型水杯进行降价销售，当销售价为44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将B型水杯降价多少元时，每天售出B型水杯的利润达到最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)A型号进价20元，B型号的进价30元 (2)降价5元时，最大利润为405元 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）设A、B两种型号的水杯进价各是x元、y元，根据题意列出方程组即可完成； （2）设B型水杯降价x元，每天销售的B型水杯的利润为w元，则可得w关于x的二次函数，即可求得结果． 【详解】（1）解：设A、B两种型号的水杯进价各是x元、y元 由题意得方程组： 化简得： 解方程组得： 即A、B两种型号的水杯进价各是20元、30元. （2）解：设B型水杯降价x元，每天销售的B型水杯的利润为w元，则每天多售出5x个，每天的销售量为(20+5x)个，每个水杯的售价为(44-x)元 由题意得： 整理得： 当x=5时，w最大，且最大值为405 即超市将B型水杯降价5元时，每天售出B型水杯的利润达到最大，最大利润是405元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组及二次函数的实际应用，正确理解题意，找到等量关系列出方程及函数关系式是解题的关键． 8．（2023·上海杨浦·三模）某商店购进了一种生活用品，进价为每件8元，销售过程中发现，该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中，且x为整数），部分对应值如下表： 每件售价x（元） 9 11 13 每天的销售量y（件） 105 95 85 (1)求y与x的函数解析式； (2)如果该商店打算销售这种生活用品每天获得425元的利润，那么每件生活用品的售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)13元 【知识点】求一次函数解析式、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）待定系数法求解即可； （2）由题意知，利润，令，则，计算求解满足要求的值即可． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为，， 将，代入得， 解得， ∴， ∴与的函数关系式为； （2）解：由题意知，利润， 令，则， 解得或（不合题意，舍去）， ∴每件消毒用品的售价为13元； 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数图象与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 9．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，小亮父亲想用长的栅栏．再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈，已知房屋外墙长，设矩形的边，面积为． (1)写出与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围； (2)为多少米时，羊圈的面积最大？最大值是多少？ 【答案】(1) (2)当时，面积有最大值为． 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是找到所给面积的等量关系，易错点是根据栅栏长得到矩形长的代数式． （1）利用矩形面积公式列式即可求出； （2）利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：， ； 由矩形面积公式得： ， ， ， ； （2）解：， ， 当时，S随的增大而增大， ， 当时，S有最大值为， 答：当时，面积有最大值为． 10．（22-23九年级上·上海·期中）在中，，，是边的中点，交于点．动点从出发沿射线以每秒厘米的速度运动．同时动点从点出发沿射线运动，且始终保持．设运动时间为秒（） (1)与相似吗？以图1为例说明理由； (2)若，厘米． ①当点在边上运动时，求动点的运动速度； ②设的面积为S（平方厘米），求关于的函数解析式 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【知识点】图形运动问题(实际问题与二次函数)、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）由 得 由相似三角形的判定即可证明； （2）①设点的运动速度为cm/s．分两种情况：当时；②当时；分别利用相似三角形的性质求解即可； ②结合①中分析过程，同样分两种情况分析，计算面积即可得出函数关系式． 【详解】（1）解：，理由如下： ． （2） cm． 又垂直平分， cm． cm． ①设点的运动速度为． 如图1，当时，由（1）知 即 ； 如图2，当时，同理可得． 综上所述，点运动速度为． ② 如图1，当时， ． 如图2，当时，,, ． 综上所述，． 【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，二次函数的应用，理解题意，熟练掌握运用这些知识点是解题关键． 11．（22-23九年级上·上海浦东新·期中）如图，在中，，，点、、分别在、、边上，沿直线翻折后与重合． (1)求的面积； (2)试问是否有可能与相似，如有可能，请求出的长；如不可能，请说明理由； (3)设，，求与的函数解析式，并写出函数的定义域． 【答案】(1) (2)有可能与相似，的长为或 (3) 【知识点】相似三角形——动点问题、图形问题(实际问题与二次函数)、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，分别求出三角形高，底边长即可求解； （2）假设三角形相似，根据相似三角形的性质，分别求出对应的的长； （3）构造直角三角形，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴是等腰三角形，如图所示，过点作于， ∴，在中，， ∴， ∴的面积为． （2）解：如图所示， 过点作于， ∵， ∴，且， 假设与相似，设， ①当时，， ∴，则， ∴，即，解得； ②当时，， ∴， ∴，即，解得． 综上所述，的长为或． （3）解：如图所示，过点作于， 由（2）可知，，，且， ∴， ∴，且， ∴，即， ∴， ∴，即， ∴，则， ∴中，， ∴， ∴， 故与的函数解析式，函数的定义域． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，构造直角三角形，运用勾股定理是解题的关键． 12．（22-23九年级上·上海静安·期中）已知：如图，在中，，，，是斜边上的一个动点，，交边于点（点与点都不重合），是射线上一点，且，设两点的距离为，的面积为． (1)求证：； (2)求关于的函数解析式，并写出它的定义域； (3)当与相似时，求的面积． 【答案】(1)见详解 (2)， (3)或5 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、图形运动问题(实际问题与二次函数)、用勾股定理解三角形 【分析】（1）先由已知条件判断出，由相似三角形的对应边成比例即可得出，再由，可知，再根据其对应边成比例即可求出答案； （2）由，得，进而可得出与的关系，作，垂足为点，由可得出，进而可得出与的关系式； （3）由，得，当与相似时，只有两种情形：或，由相似三角形的对应边成比例即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， 过点作，垂足为点，如下图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴的面积为， 整理，得， ∵点是上一点， ∴，， ∴在中，由勾股定理可得， ∴， ∴， ∴定义域是； （3）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 当与相似时，只有两种情形：或， ①当时，， ∴， ∴， 解得， ∴； ②当时，， ∴， ∴，解得， ． 综上所述，当与相似时，的面积为或5． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、二次函数的应用、勾股定理等知识，找出图形中的相似三角形，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$