期末核心考点复习讲义 分配与分组问题-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

专题6  分配与分组问题【讲*人教A版】 知识点1 不同元素的分组问题 把 n 个不同元素按照确定的条件分成 m 组（或m堆），称为分组问题，包括整体均分、部分均分和不等分三种. 其关键词：不同元素、条件、分组. 知识点2 不同元素的分配问题 把 n 个不同元素依据确定的条件分配给m个不同对象，称为分配问题，包括定向分配和不定向分配两类. 其关键词：不同元素、不同对象、条件、分配. 知识点3 解决分组与分配问题的步骤 第一，要弄清分配问题与分组问题的不同.把n个不同元素按照某些条件分配给k个不同的对象，称为分配问题，分成k组，称为分组问题； 第二，解决分配问题，应先分组再分配； 第三，弄清分组问题的几种情况及其解决方案 注：分组分配问题的三种类型及求解策略 类型 求解策略 整体均分 解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以 (n为均分的组数)，避免重复计数 部分均分 解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数 不等分组 只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数 知识点4 相同元素的分配问题 相同元素的分配问题，常用“隔板法”，即将个相同的元素分成份为正整数)，每份至少一个元素，可以用块隔板，插入个元素排成一排形成的个空隙中，共有种方法. 考向一 均匀分组分配问题 【典例解读】 例1：每年的5月25日是全国大中学生心理健康日．某高校计划在这一天开展有关心理健康的宣传活动，现计划将6位老师平均分成三组分别到三个不同的班级进行宣讲，则不同的排法总数为（ ） A．540    B．120    C．90    D．60 【答案】C 【分析】先将6位老师平均分成三组，再将三组分配即可. 【详解】将6位老师平均分成三组，共有种可能， 三组老师分别到三个不同的班级进行宣讲，每个班级都有老师宣讲， 则有种排法． 故选：C. 【题后反思】 解此类人员安排组合题，先明确任务分步，按任务需求分步骤选人，涉及平均分组时，用组合数选完要除以重复的排列数（避免重复计数），最后依据分步乘法计数原理，将各步方案数相乘得总方案数. 【再练一个】 1．为了支援新冠疫情发生的地区，某医院安排6名医生和5名护士前往疫区．其中2名医生和1名护士负责疫情监控，另外4名医生和4名护士分两组（每组医生和护士各2人），分别负责内科和外科，则所有不同的安排方案有（    ） A．10800种 B．1350种 C．5400种 D．2700种 【答案】D 【分析】根据分步乘法计数原理以及平均分组分配即可求解. 【详解】负责疫情监控需要2名医生和1名护士，其安排方案为； 负责内科和外科各需要2名医生，2名护士，其安排方案为， 所以总的安排方案为， 故选：D 考向二 部分均匀分组分配问题 【典例解读】 例2：（24-25高二下·江苏盐城·期中）现将7个不同的小球全部放入3个不同的盒子里，每个盒子至少放2个小球，则不同的放法共有（ ） A．210种    B．630种    C．1260种    D．1890种 【答案】B 【分析】将7个小球按分成3组，再放到3个不同盒子里即可. 【详解】将7个小球按分成3组，有种分法， 再将每种分法的3组小球放到3个不同盒子里有种方法， 所以不同的放法种数是. 故选：B 【题后反思】 本题是分组分配的排列组合问题，需先分组再分配.遇到 “不同元素分组放入不同容器”，要注意平均分组需除重复排列数，再用排列公式分配.解题的关键是正确分组（区分平均与不平均），避免重复计数，提升分组分配问题的解题准确性. 【再练一个】 2．将5名医生分配到三个社区协助开展社区老年人体检活动，每个社区至少1人，则不同的分配方法有（    ） A．50 B．150 C．240 D．300 【答案】B 【分析】考虑分组为1、1、3和1、2、2两种情况，分别讨论即可得到答案. 【详解】可以分组为1、1、3，或1、2、2两种情况， 若分组为1、1、3，则有； 若分组为1、2、2，则有； 则不同分法为种. 故选：B 考向三 有限制条件的分组分配问题 【典例解读】 例3：（2025·江西·二模）某校组织校运会活动，由甲､乙､丙三名志愿者负责四个任务，每人至少负责一个任务，每个任务都有且仅有一人负责，且甲不负责任务，则不同的任务分配方法种数为（ ） A．12    B．18    C．24    D．30 【答案】C 【分析】对甲负责的任务数量进行分类讨论，结合分类加法计数原理可求得结果. 【详解】若甲负责两个任务，剩余两个任务排给乙､丙两人，此时有种分配方法； 若甲只负责一个任务，则先在中选取一个任务分给甲， 然后再将剩下3个任务分为两组，分配给乙､丙两人， 有种不同的分配方法. 由分类加法计数原理可知，不同的分配方法种数为种. 故选：C. 【题后反思】 本题是分配任务的排列组合问题，关键在对甲负责任务数分类.反思：遇到多人多任务分配，要先找限制条件（如甲不负责 A），合理分类（分甲做 1 个或 2 个任务），再用组合、排列公式计算，分类讨论是解这类题的重要思路 . 【再练一个】 （2025·福建三明·三模） 3．县委组织部拟派六位大学生村官对五个贫困村进行驻村帮扶，每位大学生村官只去一个贫困村，每个贫困村至少派一位大学生村官，其中甲、乙两位大学生村官派遣至不同的贫困村，则不同的派遣方案共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】先考虑将六位大学生村官分派到五个贫困村的分法种数，然后考虑虑甲、乙两位大学生村官分派在同一个贫困村的派遣方案种数，结合间接法可求得结果. 【详解】先考虑将六位大学生村官分派到五个贫困村的分法种数， 则五个贫困村分派的村官人数分别为、、、、， 不同的派遣方案种数为； 接下来考虑甲、乙两位大学生村官分派在同一个贫困村，则不同的派遣方案种数为种， 由间接法可知，甲、乙两位大学生村官派遣至不同的贫困村，则不同的派遣方案共有种. 故选：B. 考向四 相同元素分组分配问题 【典例解读】 例4：【多选】现有6个小球和4个盒子，则下列结论正确的有（ ） A．若6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，每个盒子都不空，则共有24种放法 B．若6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有1个空盒的放法共有40种 C．若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有1个空盒的放法共有2160种 D．若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有2个空盒的放法共有384种 【答案】BC 【分析】利用隔板法可判断AB选项；利用分组分配计数原理可判断CD选项. 【详解】对于A选项，若6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，每个盒子都不空， 只需在6个相同的小球中间形成的5个空位中插入3块板即可， 所以不同的放法种数为，A错误； 对于B选项，若6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒， 先要指定空盒的编号，有4种情况， 然后在6个相同的小球中间形成的5个空位中插入2块板即可， 所以不同的放法种数为，B正确； 对于C选项，若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒， 先要指定空盒的编号，有4种情况， 然后将这6个不同的小球分为三组，每组小球的个数分别为1，2，3或4，1，1或2，2，2， 然后再将这三组小球放入剩余的三个盒子中， 所以不同的放法种数为，C正确； 对于D选项，若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒， 先要指定空盒的编号，有（种）情况， 然后将这6个不同的小球分为两组，每组小球的个数分别为1，5或2，4或3，3， 然后再将这两组小球放入剩余的两个盒子中， 所以不同的放法种数为，D错误． 故选：BC. 【题后反思】 解决相同元素分配问题，当要求每个对象至少有一个元素时，可用 “隔板法”.将元素看作小球，对象数量减 1 为隔板数，元素间空隙数比元素数少 1 ，从空隙中选位置放隔板，用组合数计算方案数，就能快速得出分配方案种数. 【再练一个】 （24-25高二下·宁夏·期中） 4．不等式，其中是正整数，则使不等式成立的四元数组的组数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】问题转化成不等式的正整数解的组数，即求方程的正整数解，应用隔板法和组合数的性质求结论. 【详解】由，且是正整数， 将问题转化成不等式的正整数解的组数. 求方程的正整数解， 可先将看作个“”，将这个“”排成一排，在其中间形成的个空位中选择个空位放入隔板，则隔板隔开形成组“”，每组“”的和分别对应的值， 因此，方程的正整数解的组数为， 方程的正整数解的组数为， 方程的正整数解的组数为， ， 方程的正整数解的组数为， 所以原不等式的非负整数解的组数为 . 故选：B. （24-25高二下·重庆·阶段练习） 5．要安排6名学生到5个乡村做志愿者，每名学生只能选择去1个村，每个村里至少有1名志愿者，则不同的安排方法共有（    ） A．720种 B．1800种 C．3600种 D．1200种 【答案】B 【分析】将6名学生分成5组，再安排到5个乡村，利用分步乘法原理列式求解. 【详解】依题意，将6名学生分成5组有种方法，再把分成的5组安排到5个乡村有种方法， 所以不同的安排方法共有种. 故选：B （24-25高二下·浙江丽水·期中） 6．唐老师有语文，数学等6本不同学科的练习册，平均分给3个同学，若甲同学不拿语文，则不同的分配方法数为（   ） A．360 B．180 C．90 D．60 【答案】D 【分析】分三步，首先甲从除语文练习册外的本书中任意拿两本，再乙从剩下的四本书中拿两本，最后丙拿，按照分步乘法计数原理计算可得. 【详解】不妨记三位同学分别为甲、乙、丙， 首先甲从除语文练习册外的本书中任意拿两本，则有种； 再乙从剩下的四本书中拿两本，则有种； 最后将剩下的两本给丙即可， 按照分步乘法计数原理可知一共有种不同的分配方法. 故选：D （2025·安徽合肥·三模） 7．某面包店一天下班后要将所剩6个不同款式的面包分给小明、小红、小强三个员工，要求每个员工都有拿到面包，则小明最终拿到偶数个面包的情况有（   ） A．180种 B．210种 C．240种 D．360种 【答案】C 【分析】要算小明拿偶数个面包的情况，分两种情况讨论，小明拿 2 个面包和拿 4 个面包，运用排列组合算出两者的总数量，最后把两种情况的数量相加，就是小明拿偶数个面包的总情况数. 【详解】若小明拿到2个面包，则有； 若小明拿到4个面包，则有种； 故小明最终拿到偶数个面包的情况有种， 故选：C 8．将10个诗歌朗诵比赛名额全部分给6个不同的班，每个班至少有1个名额，则不同的分配方案种数为（    ） A．56 B．126 C．210 D．462 【答案】B 【分析】根据题意，结合“隔板法”，即可求解. 【详解】将10个诗歌朗诵比赛名额全部分给6个不同的班， 每个班至少有1个名额的分法， 类比于用5个隔板插入10个小球中间的空隙中，将球分成6堆， 由于 10 个小球中间共有9个空隙， 因此共有 种不同的分法. 故选：B （2025·安徽六安·模拟预测） 9．六安市旅游资源非常丰富，夏季到景点漂流是很多家庭的最佳避暑选择.某家庭共6个人，包括4个大人，2个小孩，计划去霍山漂流.景点现有3只不同的船只可供他们选择使用，每船最多可乘3人，为了安全起见，小孩必须要大人陪同，则不同的乘船方式共有（    ）种. A．348 B．288 C．360 D．60 【答案】A 【分析】讨论6人乘坐3只船或乘坐2只船，根据这两种情况，结合分组分配模型，即可列式求解. 【详解】①若6人乘坐3只船：先将4个大人分成三组有种方法，然后将三组排到3只船有种方法， 再将两个小孩排到3只船有种方法，所以共有种方法. ②若6人乘坐2只船：共有种方法，综上共有：种方法. 故选：A （2025·河南郑州·三模） 10．河南具有悠久的历史和丰富的文化底蕴，其美食也独具特色．现有一名游客计划在三天内品尝完以下六种河南特色美食：烩面、胡辣汤、灌汤包、道口烧鸡、焖饼、黄河鲤鱼．该游客每天从这六种美食中选择1到3种进行品尝（每天必须选择且不能重复选择已品尝过的美食）．若三天后恰好品尝完所有美食，则不同的选法种数为（   ） A．450 B．360 C．180 D．90 【答案】A 【分析】根据题意可知分配方式有和两种情况，然后分别计算这两种情况的选法种数，最后相加就是所求答案. 【详解】①计算按照分配的选法种数. 根据分步乘法计数原理，按分配的选法种数为： 种. ②按照分配的选法种数为： 种. 最后将两种选法种数相加得到总的选法种数为种. 故选：A. （24-25高二下·吉林松原·阶段练习） 11．某文化传播公司拟派包含A，B在内的5名员工同一时间去往甲、乙、丙等3个不同的地方参观学习，每个地方至少要派遣1名员工，则下列说法正确的是（   ） A．若甲地只安排1名员工参观学习，则不同的派遣方案有70种 B．若A不去乙地，则不同的派遣方案有100种 C．若A，B去往不同的地方，则不同的派遣方案有72种 D．若去往甲地的人数不得少于丙地，则不同的派遣方案有110种 【答案】AB 【分析】利用分步乘法计数原理求得把5人分到3地的方法数判断A；利用先分为3个组，再安排3个组到3个地区求得方法数判断B；A，B同组的有种，结合B可求得方法数可判断C；利用分类计数原理可求得总的方法数可判断D. 【详解】对于A，从5人中先选1人去往甲地，有种不同的方法， 再将剩下的4人分成两组去往乙、丙两地有种， 所以不同的派遣方案有种，故A正确； 对于B，先将5人分为3组，有种， 再安排3组去往3个不同的地方有，所以不同的派遣方案有种，故B正确； 对于C，由B选项知，全部分组有25种，其中A，B同组的有种， 则A，B去往不同的地方，不同的派遣方案有种，故C错误； 对于D，若丙地派遣1人，则甲地可以派遣1或2或3人，派遣方案有种， 若丙地派遣2人，则甲地必须派遣2人，派遣方案有种， 所以满足条件的不同的派遣方案有种，故D错误． 故选：AB． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6  分配与分组问题【讲*人教A版】 知识点1 不同元素的分组问题 把 n 个不同元素按照确定的条件分成 m 组（或m堆），称为分组问题，包括整体均分、部分均分和不等分三种. 其关键词：不同元素、条件、分组. 知识点2 不同元素的分配问题 把 n 个不同元素依据确定的条件分配给m个不同对象，称为分配问题，包括定向分配和不定向分配两类. 其关键词：不同元素、不同对象、条件、分配. 知识点3 解决分组与分配问题的步骤 第一，要弄清分配问题与分组问题的不同.把n个不同元素按照某些条件分配给k个不同的对象，称为分配问题，分成k组，称为分组问题； 第二，解决分配问题，应先分组再分配； 第三，弄清分组问题的几种情况及其解决方案 注：分组分配问题的三种类型及求解策略 类型 求解策略 整体均分 解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以 (n为均分的组数)，避免重复计数 部分均分 解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数 不等分组 只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数 知识点4 相同元素的分配问题 相同元素的分配问题，常用“隔板法”，即将个相同的元素分成份为正整数)，每份至少一个元素，可以用块隔板，插入个元素排成一排形成的个空隙中，共有种方法. 考向一 均匀分组分配问题 【典例解读】 例1：每年的5月25日是全国大中学生心理健康日．某高校计划在这一天开展有关心理健康的宣传活动，现计划将6位老师平均分成三组分别到三个不同的班级进行宣讲，则不同的排法总数为（ ） A．540    B．120    C．90    D．60 【答案】C 【分析】先将6位老师平均分成三组，再将三组分配即可. 【详解】将6位老师平均分成三组，共有种可能， 三组老师分别到三个不同的班级进行宣讲，每个班级都有老师宣讲， 则有种排法． 故选：C. 【题后反思】 解此类人员安排组合题，先明确任务分步，按任务需求分步骤选人，涉及平均分组时，用组合数选完要除以重复的排列数（避免重复计数），最后依据分步乘法计数原理，将各步方案数相乘得总方案数. 【再练一个】 1．为了支援新冠疫情发生的地区，某医院安排6名医生和5名护士前往疫区．其中2名医生和1名护士负责疫情监控，另外4名医生和4名护士分两组（每组医生和护士各2人），分别负责内科和外科，则所有不同的安排方案有（    ） A．10800种 B．1350种 C．5400种 D．2700种 考向二 部分均匀分组分配问题 【典例解读】 例2：（24-25高二下·江苏盐城·期中）现将7个不同的小球全部放入3个不同的盒子里，每个盒子至少放2个小球，则不同的放法共有（ ） A．210种    B．630种    C．1260种    D．1890种 【答案】B 【分析】将7个小球按分成3组，再放到3个不同盒子里即可. 【详解】将7个小球按分成3组，有种分法， 再将每种分法的3组小球放到3个不同盒子里有种方法， 所以不同的放法种数是. 故选：B 【题后反思】 本题是分组分配的排列组合问题，需先分组再分配.遇到 “不同元素分组放入不同容器”，要注意平均分组需除重复排列数，再用排列公式分配.解题的关键是正确分组（区分平均与不平均），避免重复计数，提升分组分配问题的解题准确性. 【再练一个】 2．将5名医生分配到三个社区协助开展社区老年人体检活动，每个社区至少1人，则不同的分配方法有（    ） A．50 B．150 C．240 D．300 考向三 有限制条件的分组分配问题 【典例解读】 例3：（2025·江西·二模）某校组织校运会活动，由甲､乙､丙三名志愿者负责四个任务，每人至少负责一个任务，每个任务都有且仅有一人负责，且甲不负责任务，则不同的任务分配方法种数为（ ） A．12    B．18    C．24    D．30 【答案】C 【分析】对甲负责的任务数量进行分类讨论，结合分类加法计数原理可求得结果. 【详解】若甲负责两个任务，剩余两个任务排给乙､丙两人，此时有种分配方法； 若甲只负责一个任务，则先在中选取一个任务分给甲， 然后再将剩下3个任务分为两组，分配给乙､丙两人， 有种不同的分配方法. 由分类加法计数原理可知，不同的分配方法种数为种. 故选：C. 【题后反思】 本题是分配任务的排列组合问题，关键在对甲负责任务数分类.反思：遇到多人多任务分配，要先找限制条件（如甲不负责 A），合理分类（分甲做 1 个或 2 个任务），再用组合、排列公式计算，分类讨论是解这类题的重要思路 . 【再练一个】 （2025·福建三明·三模） 3．县委组织部拟派六位大学生村官对五个贫困村进行驻村帮扶，每位大学生村官只去一个贫困村，每个贫困村至少派一位大学生村官，其中甲、乙两位大学生村官派遣至不同的贫困村，则不同的派遣方案共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 考向四 相同元素分组分配问题 【典例解读】 例4：【多选】现有6个小球和4个盒子，则下列结论正确的有（ ） A．若6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，每个盒子都不空，则共有24种放法 B．若6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有1个空盒的放法共有40种 C．若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有1个空盒的放法共有2160种 D．若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有2个空盒的放法共有384种 【答案】BC 【分析】利用隔板法可判断AB选项；利用分组分配计数原理可判断CD选项. 【详解】对于A选项，若6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，每个盒子都不空， 只需在6个相同的小球中间形成的5个空位中插入3块板即可， 所以不同的放法种数为，A错误； 对于B选项，若6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒， 先要指定空盒的编号，有4种情况， 然后在6个相同的小球中间形成的5个空位中插入2块板即可， 所以不同的放法种数为，B正确； 对于C选项，若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒， 先要指定空盒的编号，有4种情况， 然后将这6个不同的小球分为三组，每组小球的个数分别为1，2，3或4，1，1或2，2，2， 然后再将这三组小球放入剩余的三个盒子中， 所以不同的放法种数为，C正确； 对于D选项，若6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒， 先要指定空盒的编号，有（种）情况， 然后将这6个不同的小球分为两组，每组小球的个数分别为1，5或2，4或3，3， 然后再将这两组小球放入剩余的两个盒子中， 所以不同的放法种数为，D错误． 故选：BC. 【题后反思】 解决相同元素分配问题，当要求每个对象至少有一个元素时，可用 “隔板法”.将元素看作小球，对象数量减 1 为隔板数，元素间空隙数比元素数少 1 ，从空隙中选位置放隔板，用组合数计算方案数，就能快速得出分配方案种数. 【再练一个】 （24-25高二下·宁夏·期中） 4．不等式，其中是正整数，则使不等式成立的四元数组的组数为（    ） A． B． C． D． （24-25高二下·重庆·阶段练习） 5．要安排6名学生到5个乡村做志愿者，每名学生只能选择去1个村，每个村里至少有1名志愿者，则不同的安排方法共有（    ） A．720种 B．1800种 C．3600种 D．1200种 （24-25高二下·浙江丽水·期中） 6．唐老师有语文，数学等6本不同学科的练习册，平均分给3个同学，若甲同学不拿语文，则不同的分配方法数为（   ） A．360 B．180 C．90 D．60 （2025·安徽合肥·三模） 7．某面包店一天下班后要将所剩6个不同款式的面包分给小明、小红、小强三个员工，要求每个员工都有拿到面包，则小明最终拿到偶数个面包的情况有（   ） A．180种 B．210种 C．240种 D．360种 8．将10个诗歌朗诵比赛名额全部分给6个不同的班，每个班至少有1个名额，则不同的分配方案种数为（    ） A．56 B．126 C．210 D．462 （2025·安徽六安·模拟预测） 9．六安市旅游资源非常丰富，夏季到景点漂流是很多家庭的最佳避暑选择.某家庭共6个人，包括4个大人，2个小孩，计划去霍山漂流.景点现有3只不同的船只可供他们选择使用，每船最多可乘3人，为了安全起见，小孩必须要大人陪同，则不同的乘船方式共有（    ）种. A．348 B．288 C．360 D．60 （2025·河南郑州·三模） 10．河南具有悠久的历史和丰富的文化底蕴，其美食也独具特色．现有一名游客计划在三天内品尝完以下六种河南特色美食：烩面、胡辣汤、灌汤包、道口烧鸡、焖饼、黄河鲤鱼．该游客每天从这六种美食中选择1到3种进行品尝（每天必须选择且不能重复选择已品尝过的美食）．若三天后恰好品尝完所有美食，则不同的选法种数为（   ） A．450 B．360 C．180 D．90 （24-25高二下·吉林松原·阶段练习） 11．某文化传播公司拟派包含A，B在内的5名员工同一时间去往甲、乙、丙等3个不同的地方参观学习，每个地方至少要派遣1名员工，则下列说法正确的是（   ） A．若甲地只安排1名员工参观学习，则不同的派遣方案有70种 B．若A不去乙地，则不同的派遣方案有100种 C．若A，B去往不同的地方，则不同的派遣方案有72种 D．若去往甲地的人数不得少于丙地，则不同的派遣方案有110种 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$