2025年中考数学真题完全解读（重庆卷）（新中考）

2025年中考数学真题完全解读（重庆卷） 本套“重庆市2025年初中学业水平暨高中招生考试”数学试卷（满分分，时长分钟）共设四个大题。整体来看，试卷结构与以往重庆地区中考形式保持一致：包括道选择题、道填空题、若干道解答题，涵盖代数、几何、统计与概率以及综合应用等基础板块。就题量而言，题目数量适中，能够在规定时间内较好地完成，有助于考生平衡计算与思考的时间安排。这些安排与《中考评价体系》的要求基本吻合，同时兼顾了新课程标准对于考查学生数学素养的综合要求。 相较于往年考试，本套试卷在题型多样化和难度梯度上依旧延续了分层设计的思路。第一大题（选择题）与第二大题（填空题）以考核基本运算、概念理解和简单的推理能力为主，部分填空题会涉及一次函数、反比例函数以及简单几何性质的应用，如对中边角关系的直接判定，或对这类代数表达式的简化与求值，难度相对中等偏低；而后续解答题则逐步递进，强调对几何综合、函数综合以及统计推断等能力的考查。例如，几何折叠问题结合圆与正方形的性质，要求学生能灵活运用类似“垂径定理”或“圆周角定理”进行解题；函数应用题既涉及一次函数、二次函数的图象和性质，也结合了生活情境，如对年平均增长率的计算或对数据分组与估计的分析，体现了对逻辑思维与实际应用能力的高要求。 试卷对代数、几何、函数与方程、统计与概率等模块都有所涉及。无论是对基本运算能力的检测，还是对二次函数图象性质的把握，都紧扣新课标对于学生核心素养的要求。统计与概率类题目强调样本、普查、抽样调查等概念的理解和运用，能够使学生体会数据分析在现实生活中的重要价值。 全卷题目由易到难层层递进：前半部分偏基础的计算和概念题，目的在于保障大多数考生能够在短时间内完成基本分数的获取；中段题目，加大了对推理和模型建构的要求，一些几何或函数综合题往往涉及多步推导，需要合理运用的相互关系或利用几何中补角等知识；最后的压轴题倾向于数形结合，既考查几何作图，也融合了函数平移与最值问题等内容，对学生的观察力、抽象思维能力及熟练度都有一定考验。 试卷中的统计调查、年平均增长率及无人机巡视等题目均与现实生活密切相关，结合了区域经济或社会发展背景，符合重庆当地“教情、生情、区情”相结合的命题理念: 一方面能激发学生解决实际问题的兴趣，另一方面也体现了中考命题对学生实践素养和应用能力的关注。 从圆与正方形折叠，到分段函数的性质分析，再到抛物线与射线的结合，都需要学生具备良好的合情推理与演绎推理能力。尤其是后段的大题，往往跨越多个知识点，如同时用到了矩形、菱形或函数零点等概念，要求学生灵活运用几何定理（如时的判定）、函数图象或坐标变换来解决问题。这样的综合度试题，充分呼应了课程标准中强调的跨学科思维与高阶思维培养的需求。 该卷强调整数运算、分式求值、几何定理、一次与二次函数等主干内容，教师需在日常教学中确保学生对基础概念和通用解题策略的熟练掌握，尤其要让学生理解的估值方法、类似式子的化简技巧，以及几何图形的对称性、轴对称变换等。 试卷多处将不同章节的知识进行假设、转化与综合，如把构造相似三角形或旋转折叠引入到函数或概率题中。这要求学生在平时能进行专题训练，使其更好地掌握知识间的联系，提高多角度思考和跨知识点迁移的能力。 本试卷展现了对生活类情境、社会热点以及生产实践的考量。教师在教学中应注重问题情境的创设，结合城市经济发展、科技热点等素材组织教学，让学生真正理解数学在真实社会中的运用价值，并养成独立思考和解决实际问题的习惯。 综上所述，本份“重庆市2025年初中学业水平暨高中招生考试”数学试卷命题合理、知识覆盖广、难度梯度清晰，契合中考评价体系与新课程标准对思维深度、创新能力、实际应用等多维度素养的考查导向，对于指导未来教学过程、引导学生数学综合素质的提升均具有积极意义。 1.题型整体稳定，考查深度有所提升 本卷与往年同样分为四大题，分别是：选择题（10题）、填空题（6题）、中等解答题（2题）和综合解答题（7题），题量未变，整体结构延续此前模式。但在考查深度与综合性方面有一定提升，部分大题对函数、几何、统计等知识进行了融合，更侧重学生对数学思维与应用能力的考查。 2.情境设计更贴近实际，突出数学应用 如概率统计类与函数类题目结合真实背景材料（如调查统计、旅游开发增长率等），要求学生能够理解并运用所学知识解决实际问题，从而进一步考验学生对数学信息的处理与判断能力。 3.几何融合度提高，注重多定理综合运用 在几何题目中常出现同时考查圆周角定理、相似三角形、菱形性质、勾股定理等多个知识点的问题，且伴随“折叠”或“旋转”等操作，考查学生对几何问题的深度理解和综合分析能力。 4.函数题型拓展模型探究，强调数形结合 涉及、二次函数等函数时，多在坐标系中探讨线段最值与图象变化过程，或在几何情境下引入平移、旋转等操作，鼓励学生用数形结合的方法分析并解决最值问题。 5.统计与概率持续稳定，定量分析要求上升 试题在样本估计总体、众数与中位数、有理数与无理数估算等方面强调定量分析，要求学生熟练应用统计知识与估算方法，进一步凸显数学在解释客观事实和进行预测时的工具价值。 综上，本套试卷维持了四大题的传统结构，但在命题细节与情境设置上更强调综合性和探究性，对学生的数学素养提出了更高要求。 本试卷共分四个大题，分别为： ❆选择题（共 10 小题，每小题 4 分，合计 40 分） ❆填空题（共 6 小题，每小题 4 分，合计 24 分） ❆解答题（Ⅰ）（共 2 小题，每小题 8 分，合计 16 分） ❆解答题（Ⅱ）（共 7 小题，每小题 10 分，合计 70 分） 全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。试卷整体题型多样，涵盖基础知识、综合应用与探究创新等不同层次的考查，能够全面检验学生初中阶段的数学学习成果。 下面以表格形式呈现本套试卷各题的分值、题型、考查内容和难易度分析（难度等级分为“易”“中”“难”三档）： 题号 分值 题型 考查内容 难易分析 1 选择题 相反数的概念 易 2 选择题 轴对称图形的判定 易 3 选择题 抽样与普查的应用 易 4 选择题 圆周角定理（圆心角、圆周角的关系） 易 5 选择题 规律与猜想（图形中的等差数列特征） 中 6 选择题 反比例函数的定义及图象特征 中 7 选择题 科学记数法与数的比较 中 8 选择题 增长率与一元二次方程的应用 中 9 选择题 折叠与几何性质（正方形、勾股定理、三角形全等、角平分线） 较难 10 选择题 整式与配方法（多项式中系数取值的讨论），二次三项式恒非负的条件 较难 11 填空题 概率的计算（摸球问题） 易 12 填空题 平行线的性质，同位角 易 13 填空题 无理数的估算 中 14 填空题 绝对值与一次方程、负整数指数幂 中 15 填空题 圆的有关性质（垂径定理、圆周角定理）、菱形性质、解直角三角形 较难 16 填空题 整式加减、高位数（“十全数”定义和构造）、整式整除 较难 17 解答题(Ⅰ) 不等式组求解及整数解 易 18 解答题(Ⅰ) 角平分线的几何作图和全等三角形证明（基础作图与几何推理） 中 19 解答题(Ⅱ) 数据统计与分析：扇形图、众数、中位数、平均数、样本估计总体 易～中 20 解答题(Ⅱ) 分式的化简求值，零指数幂的应用 中 21 解答题(Ⅱ) 一元一次方程、分式方程在生产问题中的应用（生产数量、生产效率） 中 22 解答题(Ⅱ) 矩形几何性质、勾股定理、函数图象与一次函数、反比例函数 较难 23 解答题(Ⅱ) 解直角三角形在实际应用中的综合（坐标、方位、相遇问题） 较难 24 解答题(Ⅱ) 二次函数的综合应用（待定系数法、几何最值、平移变换） 难 25 解答题(Ⅱ) 旋转、全等与相似综合、等边三角形、翻折与最值问题 难 全卷试题覆盖面广，既包含基础题，又有较高思维要求的综合题。难度比例（约数）大致为： ❆易：约占 40% ❆中：约占 35% ❆难：约占 25% ❆易：考察基础概念或直接应用，解题步骤少。例：第 题（相反数概念）、第 题（简单概率），几乎只需直接列出公式或根据定义即可求解。 ❆中：需要一定的计算或推理过程，往往结合多种基础知识进行综合。例：第 题（图形规律中的数列特征），第 题（生产数量及效率问题），先列出基本等量关系，再进行方程求解。 ❆难：要求学生有较强的综合分析能力，需要多步推理或构造辅助线，包含一定的创新思维。例：第 题（抛物线最值结合几何最短路问题），第 题（旋转、翻折、相似几何综合），往往需要数形结合，多次运用几何定理，推理较为复杂。 本试卷结构合理，知识点覆盖全面，区分度较好，对于不同层次的学生都有相应的考查与挑战。通过本套试题，能够较为准确地评估学生在基础知识掌握、运算能力、数学思维与应用创新等方面的综合水平。 在最后的复习冲刺阶段，同学们需要结合本套试卷的特点与命题重点，有针对性地进行查漏补缺与综合训练。下面从知识要点、易错易混点、复习规划、答题技巧、心理调适和命题趋势六个方面，为大家提供一些具体指导。 1.函数与图象 本套试卷中涉及一次函数、二次函数以及反比例函数的应用，尤其强调图象的几何意义，如抛物线的对称轴、反比例函数的整点坐标等。建议同学们继续强化函数图象与性质的联系，掌握利用图象求解几何量或方程的方法。 2.几何综合 多道题目考查了圆、正方形、矩形、菱形等平面图形之间的关系，且融合了勾股定理、四边形性质、相似和全等的判定与性质、角平分线、垂径定理等多处知识。重点关注以下内容： ❆旋转、平移、翻折等几何变换； ❆轴对称图形与圆周角定理、垂径定理； ❆复合几何图形的面积、边长及角度分析。 3.代数运算与方程应用 试卷中出现了一元一次方程、不等式组和分式方程，以及一元二次方程应用。要着重掌握： ❆不等式解法及整数解的判断； ❆分式化简及求值（特别是零指数幂与负指数幂的混合运算）； ❆整式的分组、配方法等技巧。 4.统计与概率 试题中考查了扇形统计图、抽样与普查、平均数、中位数和众数的应用，也涉及利用样本估计总体的思想。要熟悉几类统计图表的应用场景及计算方法，并灵活运用相关概念进行判断和分析。 1.函数图象与坐标计算 在判断反比例函数经过哪一点或二次函数与坐标轴交点时，部分同学常在带入检验时出错；或者在多次平移、旋转后，忽视了顶点坐标变化的规律，造成失误。 2.圆周角与圆心角 许多同学对“同弧所对的圆周角是圆心角的一半”记忆不牢，或者在区分弧长和对应角度时混淆，导致度数计算出现偏差。 3.三角形翻折与拼图 对折叠后新构成图形的顶点位置和对应线段关系处理不当，容易在“共点”“重合”等几何条件中弄错对应点或边的关系。 4.不等式组整数解 解不等式组后忘记再筛选整数解，或没有注意到不等式的两边是否能取等，最终漏解或多解。 5.统计量的判断 对平均数、中位数、众数的计算方法和界定不够准确，尤其在数据量较大的情况下，要求先排序或数频次，却常常操作不规范而出错。 阶段一：系统查漏补缺 ❆结合错题：将前期做过的错题进行分类反思，重点放在几何综合和函数综合试题； ❆梳理概念：利用思维导图或知识结构图，将函数、几何、代数和统计概率等模块交叉点梳理清晰。 阶段二：专题强化训练 ❆函数综合：多练习 、 、 等不同函数在同一坐标系中的图象综合题； ❆几何探究题：做一些涉及平移、旋转、翻折的综合几何题，熟悉在圆、四边形等图形中的应用； 阶段三：模拟实战与限时训练 ❆限时做整套模拟，严格控制 120 分钟并用黑色 2B 铅笔画图； ❆训练审题速度与书写规范，尽量一次成型，以应对考场时间与答题卡要求。 阶段四：过程中及时总结 ❆每做完一份综合卷，最好能进行深度反思，记录新的思路。 ❆多关注在不同题型中出现的相似方法和规律。 1.选择题 ❆利用排除法：如遇到四个选项中明显有 1～2 个不符合题意，可快速剔除； ❆快速检验：遇简单数值代入验证，以求稳妥；若图象或几何关系明确，可先画草图判定。 2.填空题 ❆精确运算：注意分数化简、根式估算避免随意； ❆书写规整：在最终答案处只填写结果，避免把过程写入填空处。 3.解答题 ❆框架意识：先审题、再思路，列出“已知”“求证”“辅助线”这些要点； ❆分段书写：对几何题，先作图，再分条逻辑；对代数题，列方程后再做检验； ❆注意格式：如需作辅助线，请用黑色 2B 铅笔轻线勾勒，保证图面效果清晰。 1.分配时间 在考前自测时建议将时间分配到位：前 40～45 分钟完成选择和填空，中后期 70～75 分钟完成大题，并留 5 分钟左右核查。 2.平稳心态 ❆考前适度放松：保持规律作息，放空大脑； ❆进考场深呼吸：遇到稍难的题目先跳过，不要慌乱，做完简单的再回头处理难题。 1.转化与建模 未来的中考卷中仍会重视将几何问题转化为代数问题、或将实际情境转化为函数建模。建议多做类似的例题来强化“数形结合”。 2.新情境与综合素养 真题进一步关注现实情境，如环保、科技、城市发展等，题目中会出现曲线折射、统计调查等创新情境，要留意能够灵活迁移现有知识，培养建模思维与应用意识。 3.综合探究题型 大题部分往往将抛物线、旋转折叠、相似变换与面积、体积估算结合在一起，今后的复习要加强对这种“多知识点融合”的综合能力训练。 在后续复习过程中，同学们要紧扣基础概念与综合应用兼顾，保持从容、扎实的训练节奏，相信只要循序渐进、坚持总结与反思，就能在考场上发挥出色、取得满意的成绩！祝大家备考顺利，稳步提升！ 重庆市2025年初中学业水平暨高中招生考试 数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成： 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 6的相反数是（ ） A. B. C. D. 6 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的概念，根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案．掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键． 【详解】解：6的相反数是． 故选：A． 2. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，根据轴对称图形的定义解答即可．如果一个图形沿着某一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 【详解】解：在四个选项的图形中，只有选项B的图形能找到一条直线，使图形沿这条直线对折后两边能完全重合，故选项B是轴对称图形，选项A、C、D不是轴对称图形． 故选：B． 3. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查某种柑橘的甜度情况 B. 调查某品牌新能源汽车的抗撞能力 C. 调查某市垃圾分类的情况 D. 调查全班观看电影《哪吒2》的情况 【答案】D 【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可． 【详解】解：A中，调查某种柑橘的甜度情况，全面调查工作量大，且具有破坏性，适合抽样调查，故本选项不合题意； B中，调查某品牌新能源汽车的抗撞能力，具有破坏性，适合抽样调查，故本选项不合题意； C中，了调查某市垃圾分类的情况 ，全面调查工作量大，适合抽样调查，故本选项不合题意； D中，调查全班观看电影《哪吒2》的情况，范围较小，适于全面调查，故本选项符合题意． 故选：D． 4. 如图，点A，B，C在上，，的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查的是圆周角定理，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求解，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半， ． 故选：B． 5. 按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（ ） A. 32 B. 28 C. 24 D. 20 【答案】C 【分析】本题属于规律猜想题型的图形变化类，第①个图案中有4个黑色圆点，第②个图案中有8个黑色圆点，第③个图案中有12个黑色圆点，则可以总结出第n个图形中黑色圆点的个数，代入计算即可．解题的关键是通过图形的变化得出图形中圆点个数的数字变化规律． 【详解】解：第①个图案中有4个黑色圆点， 第②个图案中有8个黑色圆点， 第③个图案中有12个黑色圆点， 第④个图案中有16个黑色圆点， 则第个图案中有个黑色圆点， 所以第⑥个图中圆点的个数是个， 故选：C． 6. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键，根据反比例函数图象上点坐标特点进行判断即可． 【详解】解：反比例函数的， 点所在的反比例函数的， 反比例函数的图象一定经过的点是， 故选：D． 7. 下列四个数中，最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】此题考查了科学记数法的应用能力，运用科学记数法知识将各选项数字还原，再进行比较、求解．关键是能准确理解并运用以上知识． 【详解】解：，，，， ， ， ∴四个数中，最大的是， 故选：D． 8. 某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x,利用该景区2024年接待游客人次数该景区2022年接待游客人次数该景区这两年接待游客的年平均增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设年平均增长率为x， 可得方程， 解得或（舍去负值）， 所以该景区这两年接待游客的年平均增长率为， 故选：B 9. 如图，正方形的边长为2，点E是边的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点G．和的平分线相交于点H，连接，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查了正方形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，连接，证明，可得，设，则，根据勾股定理可得，再利用角平分线的性质得到点到的距离相等，利用面积之比即可解答，正确作出辅助线，利用勾股定理列方程解得是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ， 四边形是正方形， ，， 点E是边的中点， , 将沿直线翻折得， ，, ， ， ， ， 设，则， 根据勾股定理可得, 即， 解得， ， 和的平分线相交于点H， 点到的距离相等， ， 故选：A． 10. 已知整式，其中为自然数， ，，，…，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有3个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【分析】本题综合考查了整式与配方法，根据题意逐项分析，对进行分类讨论，即可求解，理解题意，分类讨论，找出规律是解题的关键． 【详解】解：当时，， 当，时，整式M为， 当时，整式M不可能为单项式， 当时， ，，…，为正整数， 整式M不可能为单项式，故满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式，①正确； 当时，， 当时，， 则中有一个可能为，故会有三种情况，对应的整式M为，，， 当时，， 则故会有一种情况，对应的整式M为， 当时，，与，，…，为正整数矛盾，故不存在， 满足条件的所有整式M的和为，故②错误； 多项式为二次三项式， ， ， 因为多项式为三项式，故， 当时，， 则有两种， ，， 两种都满足条件， 当时，， 则有一种， ， 满足条件， 当时，，与，，…，为正整数矛盾，故不存在， 所以其值一定为非负数的整式M共有3个，故③正确， 其中正确的个数是个， 故选：C． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 不透明袋子中有1个红球、3个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球，则摸出红球的概率是__________． 【答案】 【分析】本题考查求概率，概率的计算公式是，其中表示事件A发生的概率，m表示事件A发生的结果数，n表示所有可能的结果数．根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：袋子里一共有个球，红球有1个． ∴摸出红球的概率． 故答案为：． 12. 如图，，直线分别与交于点E，F．若，则的度数是__________． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，同位角相等即可解答，熟知平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：， ， 故答案为：． 13. 若为正整数，且满足，则__________． 【答案】 【分析】本题考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．先估算的取值范围，得出，又因为n为正整数，且满足，即可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵为正整数，且满足， ∴， 故答案为：． 14. 若实数x，y同时满足，，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的非负性，解一元一次方程，负整数指数幂，根据绝对值的非负性，得到，，进而得到，进而得到关于的一元一次方程，求出的值，进而求出的值，再根据负整数指数幂的法则，进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， 当时，方程无解， 当时，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 15. 如图，是的直径，点C在上，连接．以为边作菱形，交于点F，，垂足为G．连接，交于点H，连接．若，，则的长度为__________，的长度为__________． 【答案】 ①. 3 ②. 【分析】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理、菱形的性质、解直角三角形等知识点，正确作出辅助线、运用解直角三角形解决问题成为解题的关键． 由垂径定理以及勾股定理可得，即、，由菱形的性质可得，进而得到、、；如图：连接， 由圆周角定理可得、，再解直角三角形可得、；由菱形的性质以及平行线的性质可得，如图：过H作于F，解直角三角形可得、，易得，最后运用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，即， ∴， ∵菱形， ∴， ∴，； ∴ 如图：连接， ∵是的直径， ∴， ∴，即，解得：； ，即，解得：； ∵菱形， ∴， ∴， 如图：过H作于F， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：3，． 16. 我们规定：一个四位数，若满足，则称这个四位数为“十全数”．例如：四位数1928，因为，所以1928是“十全数”．按照这个规定，最小的“十全数”是__________：一个“十全数”，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新的数，记，．若与均是整数，则满足条件的M的值是__________． 【答案】 ①. ②. 【分析】此题考查了整式的加减的应用，根据要求最小的“十全数”，得到，，然后求出，，即可得到最小的“十全数”是；根据题意表示出，，然后表示出，，然后表示出，，然后根据题意得到与均是整数，得到能被13整除，能被17整除，然后由，求出，进而求解即可． 【详解】解：设四位数 ∵要求最小的“十全数”， ∴， ∴， ∴最小的“十全数”是； ∵一个“十全数”， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵与均是整数 ∴与均是整数 ∴能被13整除，能被17整除 ∵， ∴， ∴ ∴的值可以为13，26，39，52，65 ∴依次代入可得，当，时，，均是整数，符合题意 ∴， ∴满足条件的M的值是． 故答案为：，． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组：的所有整数解． 【答案】，， 【分析】本题考查解不等式组及不等式组的整数解，熟练掌握解不等式组的步骤是解题的关键．利用解不等式组的步骤求解，再得出其整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：； 解不等式②，得：； ∴不等式组的解集为． 所以该不等式组的所有整数解是，，． 18. 学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，她发现了角平分线的另一种作法，并与她的同伴进行交流．现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和填空： 第一步：构造角平分线． 小红在的边上任取一点E，并过点E作了的垂线（如图）．请你利用尺规作图，在边上截取，过点F作的垂线与小红所作的垂线交于点P，作射线即为的平分线（不写作法，保留作图痕迹）． 第二步：利用三角形全等证明她的猜想． 证明：，， ． 在和中， ， ． ③ ． 平分． 【答案】第一步：作图见解析；第二步：①；②；③ 【分析】本题考查了作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 第一步：根据题意作出图形即可； 第二步：利用证明，得出即可解答． 【详解】解：第一步：作图如下： ； 第二步：证明：，， ． 在和中， ， ． , 平分． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 学校开展了航天知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于分，用表示，共分四组：．；．；．；．），下面给出了部分信息： 七年级名学生竞赛成绩在组中的数据是：，，，，，，． 八年级名学生竞赛成绩是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 七年级所抽取学生竞赛成绩扇形统计图 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 众数 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中__________，__________，__________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生航天知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有学生人，八年级有学生人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于分的学生人数共是多少？ 【答案】（1），， （2）七年级成绩较好，理由见解析（答案不唯一） （3）人 【分析】本题主要考查扇形统计图，中位数、众数、平均数，样本估计总体，熟练掌握扇形统计图及中位数、众数、平均数是解题的关键． （1）利用扇形统计图即可求出组和组的人数，再利用中位数定义和组数据即可求出，再利用众数定义即可求出，最后利用扇形和组人数即可求出； （2）根据平均分、中位数及众数分析即可得出结果； （3）利用样本估计总体进行求解即可． 【小问1详解】 解：七年级名学生竞赛成绩在组中的数据有（人），在组中的数据有（人）， ∵七年级竞赛成绩的中位数是数据从小到排列后的第和个数据，且数据从小到排列后的第和个数据是，， ∴， ∵八年级名学生竞赛成绩中出现次数最多的是， ∴， ∵七年级名学生竞赛成绩在组中的数据共个， ∴， ∴， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：该校七年级学生航天知识竞赛的成绩较好，理由：因为该校七、八年级学生航天知识竞赛的成绩的平均数相同都是，但七年级竞赛的成绩的中位数大于八年级竞赛的成绩的中位数，所以该校七年级学生航天知识竞赛的成绩较好； 或该校八年级学生航天知识竞赛的成绩较好，理由：因为该校七、八年级学生航天知识竞赛的成绩的平均数相同都是，但八年级竞赛的成绩的众数大于七年级竞赛的成绩的众数，所以该校八年级学生航天知识竞赛的成绩较好； 【小问3详解】 解：（人）， 即估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于分的学生人数共是人． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，原式= 【分析】本题考查分式的化简求值，零指数幂，根据多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，分式的混合运算法则，进行化简，根据绝对值的意义，零指数幂求出的值，再把的值代入化简后的式子中进行计算即可． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴原式． 21. 列方程解下列问题： 某厂生产甲、乙两种文创产品．每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个，3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个． （1）求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个？ （2）由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍．若生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天，求每天生产的乙种文创产品增加的数量． 【答案】（1）该厂每天生产的甲文创产品数量为个，乙文创产品数量是个 （2）每天乙文创产品增加的数量是个 【分析】本题考查一元一次方程和分式方程的应用，正确理解题意，根据等量关系列方程是解题的关键． （1）设该厂每天生产的乙文创产品数量是x个，根据题意列一元一次方程解答即可； （2）设该厂每天乙文创产品增加数量是个，根据“生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天”列分式方程解答即可． 【小问1详解】 解：设该厂每天生产的乙文创产品数量是x个，则甲文创产品数量为个． ， 解得：， 则甲文创产品数量为个， 答：该厂每天生产的乙文创产品数量是个，则甲文创产品数量为个． 【小问2详解】 解：设每天乙文创产品增加的数量是个，则甲文创产品增加的数量是个． ， 解得：， 经检验：是原方程的解， 答：每天乙文创产品增加的数量是个． 22. 如图，点为矩形的对角线AC的中点，，，，是上的点（，均不与，重合），且，连接，．用表示线段的长度，点与点的距离为．矩形的面积为，的面积为，△CDF的面积为，． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围： （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】（1）， （2）作图见解析，性质：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大（不唯一）；当时，随的增大而减小 （3）（或或或或） 【分析】本题考查函数解析式，一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，反比例函数与不等式，勾股定理，矩形的性质，熟练掌握相关性质，并能正确分段列出动点问题的相关线段是解题的关键． （1）利用矩形性质和勾股定理得出，，分两部分：①当时；②当时，分别列出；过点作于点，利用等面积法求出，即可表示出的面积为，同理可得的面积为，再结合矩形的面积为与，即可列出； （2）根据函数解析式画图即可，再根据函数图象写出性质； （3）根据图象写出的图象在下方时对应的自变量的取值范围即可 【小问1详解】 解：∵为矩形的对角线AC的中点，，， ∴，， ∴， 当时，，如图， ∴； 当时，，如图， ∴； ∴； 如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴的面积为， 同理可得的面积为， 又∵矩形的面积为， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：作图如下： 性质：当时，随增大而减小；当时，随的增大而增大（不唯一）；当时，随的增大而减小； 【小问3详解】 解：结合函数图象，可得时的取值范围为（或<或或或）． 23. 为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．如图，A，B，C，D在同一平面内．A是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于A的正东方向10千米的B处，乙无人机位于A的南偏西方向20千米的D处．两无人机同时飞往C处巡视，D位于C的正西方向上，B位于C的北偏西方向上．（参考数据：，，，） （1）求的长度（结果保留小数点后一位）； （2）甲、乙两无人机同时分别从B，D出发沿往C处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速度的2倍．当两无人机相距20千米时，它们可以开始相互接收到信号．请问甲无人机飞离B处多少千米时，两无人机可以开始相互接收到信号（结果保留小数点后一位）？ 【答案】（1）千米 （2）千米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定， 正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键。 （1）过点A作于E，过点B作于F，由题意得，，解得到千米，千米，证明四边形是矩形， 得到千米，千米，得到千米，再利用勾股定理即可求出的长； （2）当甲无人机运动到M，乙无人机运动到N时，此时满足千米．过点M作于T，由题意得，，解得到千米，千米，则千米，设千米，则千米，千米，解得到千米，千米，则千米，由勾股定理得，解方程即可得到答案。 【小问1详解】 解：如图所示，过点A作于E，过点B作于F， ∴， 由题意得，， 在中，千米， 千米， ∵无人机位于A的正东方向10千米的B处，D位于C的正西方向上， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴千米，千米， ∴千米， ∴千米， 答：的长度约为千米； 【小问2详解】 解：如图所示，当甲无人机运动到M，乙无人机运动到N时，此时满足千米．过点M作于T， 由题意得，， 在中，千米， 千米， ∴千米， 设千米，则千米，千米， 在中，千米， 千米， ∴千米， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴或（此时大于的长，舍去）， ∴千米， 答：甲无人机飞离B处千米时，两无人机可以开始相互接收到信号． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式： （2）点P是射线下方抛物线上的一动点，连接与射线交于点Q，点D，E为抛物线对称轴上的动点（点E在点D的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点M为点P的对应点，点N为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2）点P坐标为，的最小值为 （3）点N的坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式； （2）先求出直线的解析式，然后设点P的坐标为，过点P作轴交于点F，交x轴于点H，点F的坐标为，求出长，再证明，根据对应边成比例求出的最小值，把点P向上平移个单位长度得到点，点的坐标为，连接，即可得到，连接，则，是最小值，利用勾股定理计算解题； （3）根据平移得到抛物线的解析式，然后过点P作轴于点Q，过点N作轴于点K，连接，即可得到，设点N的坐标为，根据列等式求出a的值即可解题． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：令，则， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为，把和代入得： ，解得， ∴， 设点P的坐标为，过点P作轴交于点F，交x轴于点H， 则点F的坐标为， ∴， ∵轴， ∴，， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值为，这时点P的坐标为， 把点P向上平移个单位长度得到点，点的坐标为，连接， 则四边形是平行四边形， ∴， 即， 由A，B关于对称性可得点A的坐标为， 连接，则的最小值为长， 即， 即的最小值为； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴将抛物线沿射线方向平移个单位长度即为向左平移两个单位长度，向下平移两个单位长度得到抛物线，即， 过点P作轴于点Q，过点N作轴于点K，连接， 设点N的坐标为， 由平移得， ∴， 如图所示，∵， 即，解得（舍去）或， 这时点N的坐标为； 如图所示，则∵， 即，解得或（舍去）， 这时点N的坐标为； 综上所述，点N的坐标为或． 25. 在△ABC中，，点D是边上一点（不与端点重合），连接．将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，，，求的度数； （2）如图2，，，过点作，交的延长线于，连接．点是的中点，点是的中点，连接，．用等式表示线段与的数量关系并证明： （3）如图3，，，，连接，．点从点移动到点过程中，将绕点逆时针旋转得线段，连接，作交的延长线于点．当取最小值时，在直线上取一点，连接，将△APE沿所在直线翻折到△ABC所在的平面内，得，连接，，，当取最大值时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2），理由见解析. （3） 【解析】 【分析】（1）利用，，得出△ABC是等边三角形，得出．由旋转得，则可求出，再利用外角即可求解； （2）连接，，利用，，得，证明，得，，得出，再证明，得出，可得，，再通过点是的中点，和点是的中点，证明，，通过证明是等腰直角三角形，即可得出； （3）取中点，中点，连接，，，通过证明，得出，由点为固定点，，得点在过点且垂直于的直线上运动，由点到直线的最短距离可得，当取最小值时，即垂直于点运动轨迹的直线，即点和点重合时，最小， 此时，由翻折可知，则点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆，由点到圆上一点的最大距离可知当、、依次共线时，取最大值，此时，连接，过点作于点，过点作于点，证明，得出，，通过证明，得出，，再计算出，，即可求出，则，通过，求出， 可求出，则利用即可求出． 【小问1详解】 解：∵，， ∴是等边三角形， ∴． 由旋转得， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图，连接，， ∵，， ∴， 由旋转知，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即； 【小问3详解】 解：取中点，中点，连接，，， ∵，， ∴，，， ∴， ∵是中点， ∴， ∴， 由旋转知，， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， 由点为固定点，，得点在过点且垂直于的直线上运动， 由点到直线的最短距离可得，当取最小值时，即垂直于点运动轨迹的直线， 即点和点重合时，最小， 此时如图， 由翻折可知， ∴点轨迹为以点为圆心，为半径的圆， 由点到圆上一点的最大距离可知当、、依次共线时，取最大值， 此时如图，连接，过点作于点，过点作于点， 由旋转知，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， ∵，， ∴． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$