期末核心考点讲义 离散型随机变量与分布列-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

专题5 离散型随机变量与分布列【讲*人教A版】 【必备知识】 1.随机变量与离散型随机变量：一般地，对于随机试验样本空间中的每个样本点，都有唯一的实数与之对应，我们称为随机变量.可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量. 2.概率分布列：一般地，设离散型随机变量的可能取值为，， ，，我们称取每一个值的概率，，2，3， ，，为的概率分布列，简称分布列. 其性质有： （1），，2， ，. （2） . 3.两点分布：对于只有两个可能结果的随机试验，用表示“成功”，表示“失败”， 定义，如果，则 ，那么的分布列如表所示. 0 1 我们称服从两点分布或分布. 【考向归类】 考向一：离散型随机变量的识别 【典例1】（24-25高二下·河南驻马店·阶段练习）某人进行投篮训练，最多投篮4次，命中一次就停止投篮，记投篮次数为，则表示的试验结果是（ ） A．第4次投篮命中    B．第4次投篮未命中 C．前3次投篮均未命中    D．投篮命中4次 【答案】C 【详解】根据变量的意义可知：表示前3次投篮均未命中，可以进行第四次投篮，则投篮次数为4次. 故选：C 【备考提醒】 随机变量有离散型随机变量与连续型随机变量之分. 【举一反三】 （24-25高二下·全国·课后作业） 1．袋中有大小相同的5个钢球，分别标有1，2，3，4，5五个号码.在有放回地抽取条件下依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量，则的所有可能取值是（    ） A．1，2，…，5 B．1，2，…，10 C．2，3，…，10 D．1，2，…，6 【答案】C 【分析】先得第一次和第二次取出的球可能的号码，相加即可得的所有可能取值. 【详解】第一次可取1，2，3，4，5中的任意一个，由于是有放回抽取， 第二次也可取1，2，3，4，5中的任何一个， 两次的号码和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10. 故选：C （24-25高二下·山西临汾·阶段练习） 2．下列变量是离散型随机变量的是（    ） A．某水位监测站所测水位在这一范围内变化，该水位监测站所测水位H B．抛掷一枚硬币直到出现正面为止，需要的抛掷次数 C．在某次数学期中考试中，一个考场30名考生中做对选择题第11题的人数 D．方程的实根个数 【答案】BC 【分析】根据离散型随机变量的定义判断. 【详解】对于A，因为水位在内变化，不能一一举出，故不是离散型随机变量，故A错误； 对于B，需要抛掷次数可以一一举出，所以是离散型随机变量，故B正确； 对于C，做对选择题第11题的人数可以一一举出，所以是离散型随机变量，故C正确； 对于D，方程的实根有2个，是确定的值，不是随机变量，故D错误. 故选：BC. 考向二：利用离散型随机变量分布列的性质解题 【典例2】（24-25高二下·广东深圳·期中）已知离散型随机变量X的分布列为，则（ ） A．    B．    C．    D． 【答案】C 【详解】由离散型随机变量X的分布列为， 可得，解得. 故选：C. 【备考提醒】 1.利用“总概率之和为1”、“每个概率非负”可以求相关参数的取值范围或值. 2.利用“离散型随机变量在某范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率. 3.可以根据性质判断所得分布列结果是否正确. 【举一反三】 （24-25高二下·福建福州·期中） 3．离散型随机变量的概率分布规律为，其中是常数，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用分布列的性质得到，即可求解. 【详解】由题知，解得，所以， 又， 故选：B. （24-25高二下·浙江·期中） 4．已知随机变量，满足，且，则（   ） A．0.3 B．0.5 C．0.1 D．0.2 【答案】C 【分析】根据，之间的关系计算即可求得结果. 【详解】由可得， 所以. 故选：C. 考向三：两点分布 【典例2】（24-25高二下·山东聊城·期中）已知随机变量X服从两点分布，且，，则实数a的值为（ ） A．    B．    C．    D．或 【答案】A 【详解】因为随机变量服从两点分布，所以. . 整理得，解得，. 当时，，； 当时，，故不合题意. 综上，可得. 故选：A. 【备考提醒】 牢记和为1的结论，并灵活运用. 【举一反三】 （24-25高二下·福建三明·期中） 5．已知随机变量服从两点分布，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由分布列的性质可求. 【详解】因为服从两点分布，故， 故选：A. （24-25高二下·河南·期中） 6．已知服从两点分布，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两点分布的性质及已知条件即可求解. 【详解】由两点分布的性质可知，， 又，所以. 故选：C. 考向四：求离散型随机变量的分布列 【典例1】（2025·重庆九龙坡·一模）由于人们健康意识的提升，运动爱好者人群不断扩大，运动相关行业得到快速发展.某运动品牌专卖店从2020年至2024年的年销售额如下表： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份编号 1 2 3 4 5 年销售额万元 30 35 45 60 80 (1)请根据表中的数据用最小二乘法求与的经验回归方程，并预测2025年该店的年销售额. (2)该专卖店为了回馈广大消费者，推出了消费抽奖返现活动，规则如下：凡一次性消费满500元可抽奖1次，满1000元可抽奖2次.其中一次抽奖返现金额及概率如下表： 返现金额 50 100 概率 已知一位消费者一次性消费满500元的概率为，满1000元的概率为，求这位消费者抽奖返现金额的分布列与期望. 附：经验回归方程中，，. 【思路引导】（1）计算，，代入公式即可得，从而可得，于是求解线性回归直线方程，当时求解即可得2025年该店的年销售额预测值； （2）由题可得可以取，根据独立事件概率乘法公式分别求解概率值，列分布列再求解期望即可. 【详解】（1）因为， ， 所以， ， 所以与的经验回归方程为. 当时，，所以预测2025年该店的年销售额为87.5万元. （2）可以取. 所以的分布列为 50 100 150 200 所以. 【备考提醒】 离散型随机变量分布列的求解步骤. 明取值 明确随机变量的可能取值有哪些，及每一个取值所表示的意义 求概率 要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率 画表格 按规范要求形式写出分布列 做检验 利用分布列的性质检验分布列是否正确 【举一反三】 （2025·广西河池·二模） 7．2025年春节期间，电影《哪吒之魔童闹海》掀起全民观影热潮，连续7天票房逆势攀升，单日最高突破8.6亿元，吸引部分家庭携老扶幼共赴影院，缔造中国影史春节档票房与观影人次双冠王的奇迹.某电影院为了解民众观影的喜欢程度，随机采访了180名观影人员，得到下表： 是否成年人 是否喜欢 合计 不喜欢 喜欢 未成年人 80 100 成年人 20 80 合计 180 (1)求的值； (2)依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢电影《哪吒之魔童闹海》与是否成年有关？ (3)用频率估计概率，现随机采访一名成年人和一名未成年人，设表示这两人中非常喜欢电影《哪吒之魔童闹海》的人数，求的分布列和数学期望. 参考公式： 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】(1) (2)没有充分证据证明喜欢电影《哪吒之魔童闹海》与是否成年有关 (3)分布列见解析， 【分析】（1）根据列联表计算即可； （2）由（1）根据卡方的计算公式结合临界值表计算即可求解； （3）列出随机变量的可能取值，利用独立事件乘法公式计算对应概率可得分布列，进而可求得数学期望. 【详解】（1）由列联表可知 所以； （2）零假设：喜欢电影《哪吒之魔童闹海》与是否成年无关 根据表中数据得： . 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据证明喜欢电影《哪吒之魔童闹海》与是否成年有关； （3）由题可知，随机采访一位未成年人，则该未成年人喜欢电影《哪吒之魔童闹海》的概率为， 随机采访一位成年人，则该成年人喜欢电影《哪吒之魔童闹海》的概率为 的可能取值为， ， ， ， 所以X的分布列为 0 1 2 . 【必备知识】 1.离散型随机变量的数字特征 定义：一般地，若离散型随机变量的分布列为 … … … … （1）称为随机变量的均值或数学期望，数学期望简称期望； 意义：均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平. （2）称 为随机变量的方差，有时也记为，并称为随机变量的标准差，记为. ②意义：随机变量的方差，即是用偏差的平方关于取值概率的加权平均.方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. 2.常用结论： （1），，其中为常数； （2）； （3），； （4）. 【考向归类】 考向一：离散型随机变量的均值 【典例1】（2025·山东·二模）近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力.有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，用比例分配的分层随机抽样方法在全体学生中抽取100人，设事件“学生报名参加答题活动”，“学生为男生”，据统计，，. (1)根据已知条件，完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关联? 性别 男生 女生 合计 未报名参加答题活动 报名参加答题活动 合计 100 (2)网络答题规则：答题活动不限时间，不限轮次，答多少轮由选手自行确定；每轮均设置道题，选手参与该轮答题，则至少答一道题，一旦答对一题，则其本轮答题结束，答错则继续答题，直到第道题答完，本轮答题结束.已知甲同学报名参加答题活动，假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为. ①求甲在一轮答题过程中答题数量的数学期望； ②假设甲同学每轮答题答对前两题中的一道，本轮答题得2分，否则得1分.记甲答题累计得分为的概率为，求的最大值. 参考公式与数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【思路引导】（1）根据题设，结合条件概率的定义求出数据，进而完成列联表，再计算出的值判断即可； （2）①首先列出的概率表达式，然后用数学期望公式将它的数学期望表达式列出来，进行化简和错位相减从而得到数学期望； ②根据题意可得，，时，，进而可得数列是首项为，公比为的等比数列，求出，进而可求出的最大值. 【详解】（1）因为，所以报名参加答题活动人数为， 又因为，所以报名参加答题活动的男生人数为， 报名参加答题活动的女生人数为， 又，所以样本中男生人数为，女生人数为50， 得到列联表为： 性别 男生 女生 合计 未报名参加答题活动 20 35 55 报名参加答题活动 30 15 45 合计 50 50 100 零假设为：学生报名参加答题活动与性别无关， 则， 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为学生报名参加答题活动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005； （2）①设甲完成一轮答题，答题数量为随机变量，则的所有可能取值为， 其中，， 所以. ， 以上两式错位相减得 ， 所以 . ②每轮比赛甲得1分的概率为，得2分的概率为， 依题意可得，， 当时，则， 因为，且， 所以，数列是首项为，公比为的等比数列， 故， 又且， 所以数列是各项均为1的常数列，则， 所以，解得. 当为奇数时，，， 当n为偶数时，，， 所以的最大值在为偶数时产生， 又当为偶数时，随着的增大而减小， 所以当时，的最大值为. 【备考提醒】 求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤 1.理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值； 2.求ξ取每个值的概率； 3.写出ξ的分布列； 4.由均值的定义求E（ξ）； 5.由方差的定义求D（ξ）. 【举一反三】 （24-25高二下·河北·期中） 8．设随机变量的分布列为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由分布列的性质及期望计算公式，结合错位相减法即可判断. 【详解】因为随机变量的分布列为，由分布列的性质可知， ，解得， ①， ②， ①-②得， . 故选：BD. 考向二：离散型随机变量的方差 【典例2】（24-25高二下·广东深圳·期中）甲、乙两种品牌的手表，它们的日走时误差为和（单位：s），其分布列为 甲品牌的走时误差分布列 X 0 1 P 0.1 0.8 0.1 乙品牌的走时误差分布列 Y 0 1 2 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 则下列结论中正确的是（ ） A．甲品牌手表的走时更稳定    B．乙品牌手表的走时更稳定 C．    D． 【答案】AC 【详解】， ； ， ， 因为，， 则甲品牌手表的走时更稳定，故AC正确；BD错误. 故选：AC 【备考提醒】 利用均值、方差进行决策的主要策略： 1.当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分歧，可对问题作出判断； 2.若两随机变量均值相同，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策. 【举一反三】 （24-25高二下·福建福州·期中） 9．随机变量分布列如下表，下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据分布列的性质可得，，，，判断B，证明，再结合期望定义求期望的范围判断A，根据方差的定义求，结合和二次函数性质可证明，判断C，结合，证明 由此判断D. 【详解】由已知结合分布列的性质可得，，，，B正确， 当，，，时，， 所以 所以， 即，A错误； ， 所以， 所以，当，时等号成立， 所以，当或时等号成立，C正确； ，又， 所以，故，D正确； 故选：BCD. 考向三：均值与方差的性质 【典例3】（24-25高二下·浙江温州·期中）设离散型随机变量的分布列如下所示，若离散型随机变量满足，则下列说法正确的是（ ） 0 1 2 3 4 0.4 0.1 0.2 A．    B． C．    D． 【答案】ABC 【详解】对于A，由分布列的性质有，可得，故A对； 对于B，由，故B对； 对于C，， ，故C对； 对于D，所以，故D错. 故选：ABC 【备考提醒】 1.概率与统计中均值与方差的基本性质是一致的. 2.涉及单调性、最值等性质时，一般构造函数进行研究. 【举一反三】 （24-25高二下·重庆·期中） 10．已知随机变量的分布列为 1 2 3 4 0.2 0.3 0.4 0.1 则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】结合数学期望和方差的公式及其性质计算判断各选项即可. 【详解】由题意，，故A正确； 则，故C错误； 而， 故B错误； 则，故D正确. 故选：AD. （2025·贵州黔南·三模） 11．已知随机变量和满足：，且，若的分布列如下表，则下列说法正确的是（   ） 1 2 3 A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据分布列的性质及得到方程组，求出、，即可判断A、B，再由期望与方差的性质判断C、D. 【详解】依题意，解得，故A错误，B正确； 又，所以，故C正确； 因为， 所以，故D正确. 故选：BCD 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5 离散型随机变量与分布列【讲*人教A版】 【必备知识】 1.随机变量与离散型随机变量：一般地，对于随机试验样本空间中的每个样本点，都有唯一的实数与之对应，我们称为随机变量.可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量. 2.概率分布列：一般地，设离散型随机变量的可能取值为，， ，，我们称取每一个值的概率，，2，3， ，，为的概率分布列，简称分布列. 其性质有： （1），，2， ，. （2） . 3.两点分布：对于只有两个可能结果的随机试验，用表示“成功”，表示“失败”， 定义，如果，则 ，那么的分布列如表所示. 0 1 我们称服从两点分布或分布. 【考向归类】 考向一：离散型随机变量的识别 【典例1】（24-25高二下·河南驻马店·阶段练习）某人进行投篮训练，最多投篮4次，命中一次就停止投篮，记投篮次数为，则表示的试验结果是（ ） A．第4次投篮命中    B．第4次投篮未命中 C．前3次投篮均未命中    D．投篮命中4次 【答案】C 【详解】根据变量的意义可知：表示前3次投篮均未命中，可以进行第四次投篮，则投篮次数为4次. 故选：C 【备考提醒】 随机变量有离散型随机变量与连续型随机变量之分. 【举一反三】 （24-25高二下·全国·课后作业） 1．袋中有大小相同的5个钢球，分别标有1，2，3，4，5五个号码.在有放回地抽取条件下依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量，则的所有可能取值是（    ） A．1，2，…，5 B．1，2，…，10 C．2，3，…，10 D．1，2，…，6 （24-25高二下·山西临汾·阶段练习） 2．下列变量是离散型随机变量的是（    ） A．某水位监测站所测水位在这一范围内变化，该水位监测站所测水位H B．抛掷一枚硬币直到出现正面为止，需要的抛掷次数 C．在某次数学期中考试中，一个考场30名考生中做对选择题第11题的人数 D．方程的实根个数 考向二：利用离散型随机变量分布列的性质解题 【典例2】（24-25高二下·广东深圳·期中）已知离散型随机变量X的分布列为，则（ ） A．    B．    C．    D． 【答案】C 【详解】由离散型随机变量X的分布列为， 可得，解得. 故选：C. 【备考提醒】 1.利用“总概率之和为1”、“每个概率非负”可以求相关参数的取值范围或值. 2.利用“离散型随机变量在某范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率. 3.可以根据性质判断所得分布列结果是否正确. 【举一反三】 （24-25高二下·福建福州·期中） 3．离散型随机变量的概率分布规律为，其中是常数，则等于（   ） A． B． C． D． （24-25高二下·浙江·期中） 4．已知随机变量，满足，且，则（   ） A．0.3 B．0.5 C．0.1 D．0.2 考向三：两点分布 【典例2】（24-25高二下·山东聊城·期中）已知随机变量X服从两点分布，且，，则实数a的值为（ ） A．    B．    C．    D．或 【答案】A 【详解】因为随机变量服从两点分布，所以. . 整理得，解得，. 当时，，； 当时，，故不合题意. 综上，可得. 故选：A. 【备考提醒】 牢记和为1的结论，并灵活运用. 【举一反三】 （24-25高二下·福建三明·期中） 5．已知随机变量服从两点分布，且，则（   ） A． B． C． D． （24-25高二下·河南·期中） 6．已知服从两点分布，若，则（    ） A． B． C． D． 考向四：求离散型随机变量的分布列 【典例1】（2025·重庆九龙坡·一模）由于人们健康意识的提升，运动爱好者人群不断扩大，运动相关行业得到快速发展.某运动品牌专卖店从2020年至2024年的年销售额如下表： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份编号 1 2 3 4 5 年销售额万元 30 35 45 60 80 (1)请根据表中的数据用最小二乘法求与的经验回归方程，并预测2025年该店的年销售额. (2)该专卖店为了回馈广大消费者，推出了消费抽奖返现活动，规则如下：凡一次性消费满500元可抽奖1次，满1000元可抽奖2次.其中一次抽奖返现金额及概率如下表： 返现金额 50 100 概率 已知一位消费者一次性消费满500元的概率为，满1000元的概率为，求这位消费者抽奖返现金额的分布列与期望. 附：经验回归方程中，，. 【思路引导】（1）计算，，代入公式即可得，从而可得，于是求解线性回归直线方程，当时求解即可得2025年该店的年销售额预测值； （2）由题可得可以取，根据独立事件概率乘法公式分别求解概率值，列分布列再求解期望即可. 【详解】（1）因为， ， 所以， ， 所以与的经验回归方程为. 当时，，所以预测2025年该店的年销售额为87.5万元. （2）可以取. 所以的分布列为 50 100 150 200 所以. 【备考提醒】 离散型随机变量分布列的求解步骤. 明取值 明确随机变量的可能取值有哪些，及每一个取值所表示的意义 求概率 要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率 画表格 按规范要求形式写出分布列 做检验 利用分布列的性质检验分布列是否正确 【举一反三】 （2025·广西河池·二模） 7．2025年春节期间，电影《哪吒之魔童闹海》掀起全民观影热潮，连续7天票房逆势攀升，单日最高突破8.6亿元，吸引部分家庭携老扶幼共赴影院，缔造中国影史春节档票房与观影人次双冠王的奇迹.某电影院为了解民众观影的喜欢程度，随机采访了180名观影人员，得到下表： 是否成年人 是否喜欢 合计 不喜欢 喜欢 未成年人 80 100 成年人 20 80 合计 180 (1)求的值； (2)依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢电影《哪吒之魔童闹海》与是否成年有关？ (3)用频率估计概率，现随机采访一名成年人和一名未成年人，设表示这两人中非常喜欢电影《哪吒之魔童闹海》的人数，求的分布列和数学期望. 参考公式： 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【必备知识】 1.离散型随机变量的数字特征 定义：一般地，若离散型随机变量的分布列为 … … … … （1）称为随机变量的均值或数学期望，数学期望简称期望； 意义：均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平. （2）称 为随机变量的方差，有时也记为，并称为随机变量的标准差，记为. ②意义：随机变量的方差，即是用偏差的平方关于取值概率的加权平均.方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. 2.常用结论： （1），，其中为常数； （2）； （3），； （4）. 【考向归类】 考向一：离散型随机变量的均值 【典例1】（2025·山东·二模）近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力.有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，用比例分配的分层随机抽样方法在全体学生中抽取100人，设事件“学生报名参加答题活动”，“学生为男生”，据统计，，. (1)根据已知条件，完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关联? 性别 男生 女生 合计 未报名参加答题活动 报名参加答题活动 合计 100 (2)网络答题规则：答题活动不限时间，不限轮次，答多少轮由选手自行确定；每轮均设置道题，选手参与该轮答题，则至少答一道题，一旦答对一题，则其本轮答题结束，答错则继续答题，直到第道题答完，本轮答题结束.已知甲同学报名参加答题活动，假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为. ①求甲在一轮答题过程中答题数量的数学期望； ②假设甲同学每轮答题答对前两题中的一道，本轮答题得2分，否则得1分.记甲答题累计得分为的概率为，求的最大值. 参考公式与数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【思路引导】（1）根据题设，结合条件概率的定义求出数据，进而完成列联表，再计算出的值判断即可； （2）①首先列出的概率表达式，然后用数学期望公式将它的数学期望表达式列出来，进行化简和错位相减从而得到数学期望； ②根据题意可得，，时，，进而可得数列是首项为，公比为的等比数列，求出，进而可求出的最大值. 【详解】（1）因为，所以报名参加答题活动人数为， 又因为，所以报名参加答题活动的男生人数为， 报名参加答题活动的女生人数为， 又，所以样本中男生人数为，女生人数为50， 得到列联表为： 性别 男生 女生 合计 未报名参加答题活动 20 35 55 报名参加答题活动 30 15 45 合计 50 50 100 零假设为：学生报名参加答题活动与性别无关， 则， 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为学生报名参加答题活动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005； （2）①设甲完成一轮答题，答题数量为随机变量，则的所有可能取值为， 其中，， 所以. ， 以上两式错位相减得 ， 所以 . ②每轮比赛甲得1分的概率为，得2分的概率为， 依题意可得，， 当时，则， 因为，且， 所以，数列是首项为，公比为的等比数列， 故， 又且， 所以数列是各项均为1的常数列，则， 所以，解得. 当为奇数时，，， 当n为偶数时，，， 所以的最大值在为偶数时产生， 又当为偶数时，随着的增大而减小， 所以当时，的最大值为. 【备考提醒】 求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤 1.理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值； 2.求ξ取每个值的概率； 3.写出ξ的分布列； 4.由均值的定义求E（ξ）； 5.由方差的定义求D（ξ）. 【举一反三】 （24-25高二下·河北·期中） 8．设随机变量的分布列为，则（    ） A． B． C． D． 考向二：离散型随机变量的方差 【典例2】（24-25高二下·广东深圳·期中）甲、乙两种品牌的手表，它们的日走时误差为和（单位：s），其分布列为 甲品牌的走时误差分布列 X 0 1 P 0.1 0.8 0.1 乙品牌的走时误差分布列 Y 0 1 2 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 则下列结论中正确的是（ ） A．甲品牌手表的走时更稳定    B．乙品牌手表的走时更稳定 C．    D． 【答案】AC 【详解】， ； ， ， 因为，， 则甲品牌手表的走时更稳定，故AC正确；BD错误. 故选：AC 【备考提醒】 利用均值、方差进行决策的主要策略： 1.当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分歧，可对问题作出判断； 2.若两随机变量均值相同，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策. 【举一反三】 （24-25高二下·福建福州·期中） 9．随机变量分布列如下表，下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 考向三：均值与方差的性质 【典例3】（24-25高二下·浙江温州·期中）设离散型随机变量的分布列如下所示，若离散型随机变量满足，则下列说法正确的是（ ） 0 1 2 3 4 0.4 0.1 0.2 A．    B． C．    D． 【答案】ABC 【详解】对于A，由分布列的性质有，可得，故A对； 对于B，由，故B对； 对于C，， ，故C对； 对于D，所以，故D错. 故选：ABC 【备考提醒】 1.概率与统计中均值与方差的基本性质是一致的. 2.涉及单调性、最值等性质时，一般构造函数进行研究. 【举一反三】 （24-25高二下·重庆·期中） 10．已知随机变量的分布列为 1 2 3 4 0.2 0.3 0.4 0.1 则下列正确的是（   ） A． B． C． D． （2025·贵州黔南·三模） 11．已知随机变量和满足：，且，若的分布列如下表，则下列说法正确的是（   ） 1 2 3 A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$