专题5 复数的概念及运算（讲义） - 广东省2026年“3+证书”考试一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：广东省2026年“3+证书”考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含42个专题，每个专题均配备配套讲义、课件和练习题。 本专题是广东省2026年“3+证书”考试一轮复习《数学知识点清单》的第五个专题，内容为复数的概念及运算。本专题涵盖复数的概念和意义、复数的运算等2个知识点，每个知识点后均配有真题或模拟题，供学生进行知识检测。复数作为2025新增到“3+证书”高考的知识点，复习中可以将复数运算作为重点复习内容。 广东省2026年“3+证书”考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题05 复数的概念及运算（讲义） 知识点1 复数的概念和意义 1.复数的有关概念 (1)形如的数称为复数,其中称为虚数单位,满足. (2)复数通常表示为，其中，称为复数z的实部，称为复数z的虚部.所有复数组成的集合称为复数集，通常用大写字母C 表示. (3) 复数 (4)复数相等的充要条件 设都是实数,则且； 且b=0. (5)共轭复数 一般地，如果两个复数的实部相等，虚部互为相反数，那么这两个复数互为共轭复数.复数z的共轭复数用表示，即如果，则 2.复数的几何意义 (1)建立平面直角坐标系来表示复数的平面称为复平面，x轴称为实轴，y轴(除去原点)称为虚轴.从而每个复数都可以表示为复平面上的点.实轴上的点都表示实数；虚轴上的点都表示纯虚数. (2)复数对应的向量为 则向量OZ的长度称为复数z的模，记作或,且| 1.复数的实部是（ ） A.−2  B.3  C.2  D.−3 【答案】A 【分析】本题考查了复数的概念. 【详解】复数的实部是-2。 故选：A 2.若复数为纯虚数，则实数的值为（ ） A.1  B.−2  C.−1  D.2 【答案】A 【分析】本题考查了复数的概念. 【详解】复数为纯虚数，则解得。 故选：A 3.复数的共轭复数是（ ） A.  B.  C.  D. 【答案】A 【分析】本题考查了共轭复数的概念. 【详解】复数为纯虚数，则解得。 故选：A 4.在复平面内，复数对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】C 【分析】本题考查了复数的几何意义. 【详解】在复平面内，复数对应的点为（-3，-1）故此点在第三象限。 故选：C 5.当时，复数是实数。 A.1  B.−1  C.1或−1  D.0 【答案】B 【分析】本题考查了复数的概念. 【详解】复数是实数，则解得。 故选：B 6.复数的模为（ ） A.0  B.1  C.3  D.9 【答案】C 【分析】本题考查了复数模的概念. 【详解】复数的模。 故选：C 7.已知复数满足，且z的实部为1，则z为（ ） A.  B.  C.  D. 【答案】A 【分析】本题考查了共轭复数的概念及复数的运算. 【详解】复数，共轭复数 ，因为，所以,复数。 故选：A 8.复数在复平面内对应的点的坐标是（ ） A.(−1,0)  B.(0,−1)  C.(1,0)  D.(0,1) 【答案】A 【分析】本题考查了复数的几何意义. 【详解】在复平面内，复数对应的点为（-1，0） 故选：A 9.复数的共轭复数的模为（ ） A.​  B.1  C.​​  D.2​ 【答案】B 【分析】本题考查了共轭复数和模的概念. 【详解】复数的共轭复数，所以。 故选：B 10.若复数在复平面内对应的点位于第四象限，则的取值范围是（ ） A.​  B.  C.​ D.​ 【答案】A 【分析】本题考查了复数的几何意义. 【详解】复数在复平面内对应的点位于第四象限,所以 故选：A 11.复数在复平面内对应的向量与轴正方向夹角为（ ） A.  B.  C.  D. 【答案】A 【分析】本题考查了复数的几何意义. 【详解】复数在复平面内对应的点位于第四象限,与轴正方向夹角为 故选：A 12.若复数，相等，则的值为（ ） A.1  B.5  C.−1  D.−5 【答案】B 【分析】本题考查了复数的概念. 【详解】复数，相等，则，，所以 故选：B 13.复数与其共轭复数在复平面内对应的点的距离为（ ） A.0  B.1​  C.2  D. 【答案】C 【分析】本题考查了复数的几何意义. 【详解】由共轭复数的概念可知复数与其共轭复数在复平面内对应的点的距离为2 故选：C 14.已知复数，若，则的值为（ ） A.0  B.1  C.−1  D.0或1 【答案】A 【分析】本题考查了复数的概念. 【详解】复数，，所以，解得 故选：A 15.复数为零，则实数的值为（ ） A.1  B.2  C.−2  D.1或2 【答案】B 【分析】本题考查了复数的概念. 【详解】复数为零，则，解得 故选：B 二、填空题 16.复数的实部是 ，虚部是 。 【答案】5，-7 【分析】本题考查了复数的概念. 【详解】复数的实部是5，虚部是-7. 17.若复数为纯虚数，则实数 。 【答案】3 【分析】本题考查了复数的概念. 【详解】复数为纯虚数，则实数解得. 18.复数的共轭复数 。 【答案】 【分析】本题考查了共轭复数的概念. 【详解】复数的共轭复数 . 19.在复平面内，复数对应的点的坐标是 。 【答案】（0，4） 【分析】本题考查了复数的几何意义. 【详解】在复平面内，复数对应的点的坐标是（0，4） 20.当 时，复数是实数。 【答案】2 【分析】本题考查了复数的概念. 【详解】复数是实数，则解得 知识点2 复数的运算 1.复数的加法与减法 复数的加减法可以按照多项式加法和减法的法则来进行，也就是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减.即 若 则 很明显，两个复数的和或差仍是一个复数. 2.复数的加法满足下列运算法则 (1)交换律: (2)结合律: 3.复数的乘法 复数的乘法按照多项式相乘的法则来进行，设 与 则它们的乘积是： 也就是说，复数的乘法与多项式的乘法是类似的，但所得结果中必须把实部和虚部分别合并. 4.复数的乘法满足下列运算法则：对任意复数：有 (1) 交换律: (2)结合律: (3); (4)分配律: 一、选择题 1.计算的结果为（ ） A.  B.  C.  D. 【答案】A 【分析】本题考查了复数的加法运算. 【详解】。 故选：A 2.计算的结果为（ ） A.  B.  C.  D. 【答案】B 【分析】本题考查了复数的乘法运算. 【详解】。 故选：B 3.复数化简后的结果为（ ） A.  B.  C.  D. 【答案】B 【分析】本题考查了复数的运算及复数的概念. 【详解】。 故选：B 4.计算的值为（ ） A.1  B.−1  C.i  D.−i 【答案】A 【分析】本题考查了复数的运算. 【详解】因为 ，，，，2024÷4 = 506，所以 。 故选：A 5. 若，则等于（ ） A.1 B.2​  C.2  D.4 【答案】B 【分析】本题考查了复数的运算和模的概念. 【详解】因为，所以。 故选：B 6. 已知，，且是实数，则实数等于（ ） A.​ B.​  C.​  D.​ 【答案】C 【分析】本题考查了复数的运算和复数的概念. 【详解】因为，是实数,所以解得。 故选：C 7.计算的结果为（ ） A.  B.  C.  D. 【答案】A 【分析】本题考查了复数的运算. 【详解】。 故选：A 8.复数的共轭复数是（ ） A.1  B.−1  C.  D. 【答案】C 【分析】本题考查了复数的运算和复数的概念. 【详解】因为，所以共轭复数是。 故选：C 9.若，则的虚部为（ ） A.​  B.​  C.i  D. 【答案】A 【分析】本题考查了复数的运算和复数的概念. 【详解】因为，所以虚部是。 故选：A 10.计算的结果为（ ） A.i  B.−i  C.1  D.−1 【答案】A 【分析】本题考查了复数的运算和复数的概念. 【详解】因为。 故选：A 11.已知复数z满足，则z的实部为（ ） A.1  B.−1  C.2  D.−2 【答案】A 【分析】本题考查了复数的运算和复数的概念. 【详解】因为，故实部为1。 故选：A 12.若，则的值为（ ） A.4  B.−4  C.4i  D.−4i 【答案】B 【分析】本题考查了复数的运算. 【详解】因为，。 故选：B 13.已知复数满足，则的最大值为（ ） A.1  B.2  C.3  D.4 【答案】D 【分析】本题考查了复数的几何意义. 【详解】因为，由复平机几何意义可知看作单位圆，则。 故选：D 14.复数为纯虚数，则的值为（ ） A.1  B.−1  C.0  D.2 【答案】A 【分析】本题考查了复数的运算. 【详解】因为，又因为复数为纯虚数，所以解得。 故选：A 15.(2025年广东真题)设i是虚数单位，求=( ) A. B C. D. 【答案】D 【分析】本题考查了复数的运算. 【详解】。 故选：D 二、填空题 16.计算 。 【答案】 【分析】本题考查了复数的运算. 【详解】。 17.若，则 （结果写成的形式）。 【答案】 【分析】本题考查了复数的运算. 【详解】。 18.已知复数z满足，则 。 【答案】 【分析】本题考查了复数的运算. 【详解】。 19.计算 。 【答案】 【分析】本题考查了等比数列和复数的运算. 【详解】 因为 ，，，，，，为整数，所以。 20.若复数z满足，则z在复平面内对应的点的轨迹方程为 。 【答案】 【分析】本题考查了等比数列和复数的运算. 【详解】 设，，则化简得。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：广东省2026年“3+证书”考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含42个专题，每个专题均配备配套讲义、课件和练习题。 本专题是广东省2026年“3+证书”考试一轮复习《数学知识点清单》的第五个专题，内容为复数的概念及运算。本专题涵盖复数的概念和意义、复数的运算等2个知识点，每个知识点后均配有真题或模拟题，供学生进行知识检测。复数作为2025新增到“3+证书”高考的知识点，复习中可以将复数运算作为重点复习内容。 广东省2026年“3+证书”考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题05 复数的概念及运算（讲义） 知识点1 复数的概念和意义 1.复数的有关概念 (1)形如的数称为复数,其中称为虚数单位,满足. (2)复数通常表示为，其中，称为复数z的实部，称为复数z的虚部.所有复数组成的集合称为复数集，通常用大写字母C 表示. (3) 复数 (4)复数相等的充要条件 设都是实数,则且； 且b=0. (5)共轭复数 一般地，如果两个复数的实部相等，虚部互为相反数，那么这两个复数互为共轭复数.复数z的共轭复数用表示，即如果，则 2.复数的几何意义 (1)建立平面直角坐标系来表示复数的平面称为复平面，x轴称为实轴，y轴(除去原点)称为虚轴.从而每个复数都可以表示为复平面上的点.实轴上的点都表示实数；虚轴上的点都表示纯虚数. (2)复数对应的向量为 则向量OZ的长度称为复数z的模，记作或,且| 1.复数的实部是（ ） A.−2  B.3  C.2  D.−3 2.若复数为纯虚数，则实数的值为（ ） A.1  B.−2  C.−1  D.2 3.复数的共轭复数是（ ） A.  B.  C.  D. 4.在复平面内，复数对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5.当时，复数是实数。 A.1  B.−1  C.1或−1  D.0 6.复数的模为（ ） A.0  B.1  C.3  D.9 7.已知复数满足，且z的实部为1，则z为（ ） A.  B.  C.  D. 8.复数在复平面内对应的点的坐标是（ ） A.(−1,0)  B.(0,−1)  C.(1,0)  D.(0,1) 9.复数的共轭复数的模为（ ） A.​  B.1  C.​​  D.2​ 10.若复数在复平面内对应的点位于第四象限，则的取值范围是（ ） A.​  B.  C.​ D.​ 11.复数在复平面内对应的向量与轴正方向夹角为（ ） A.  B.  C.  D. 12.若复数，相等，则的值为（ ） A.1  B.5  C.−1  D.−5 13.复数与其共轭复数在复平面内对应的点的距离为（ ） A.0  B.2​  C.2  D.22 14.已知复数，若，则的值为（ ） A.0  B.1  C.−1  D.0或1 15.复数为零，则实数的值为（ ） A.1  B.2  C.−2  D.1或2 二、填空题 16.复数的实部是 ，虚部是 。 17.若复数为纯虚数，则实数 。 18.复数的共轭复数 。 19.在复平面内，复数对应的点的坐标是 。 20.当 时，复数是实数。 知识点2 复数的运算 1.复数的加法与减法 复数的加减法可以按照多项式加法和减法的法则来进行，也就是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减.即 若 则 很明显，两个复数的和或差仍是一个复数. 2.复数的加法满足下列运算法则 (1)交换律: (2)结合律: 3.复数的乘法 复数的乘法按照多项式相乘的法则来进行，设 与 则它们的乘积是： 也就是说，复数的乘法与多项式的乘法是类似的，但所得结果中必须把实部和虚部分别合并. 4.复数的乘法满足下列运算法则：对任意复数：有 (1) 交换律: (2)结合律: (3); (4)分配律: 一、选择题 1.计算的结果为（ ） A.  B.  C.  D. 2.计算的结果为（ ） A.  B.  C.  D. 3.复数化简后的结果为（ ） A.  B.  C.  D. 4.计算的值为（ ） A.1  B.−1  C.i  D.−i 5.若，则等于（ ） A.1 B.2​  C.2  D.4 6. 已知，，且是实数，则实数等于（ ） A.​ B.​  C.​  D.​ 7.计算的结果为（ ） A.  B.  C.  D. 8.复数的共轭复数是（ ） A.1  B.−1  C.i  D.−i 9.若，则的虚部为（ ） A.​  B.​  C.i  D. 10.计算的结果为（ ） A.i  B.−i  C.1  D.−1 11.已知复数z满足，则z的实部为（ ） A.1  B.−1  C.2  D.−2 12.若，则的值为（ ） A.4  B.−4  C.4i  D.−4i 13.已知复数满足，则的最大值为（ ） A.1  B.2  C.3  D.4 14.复数为纯虚数，则的值为（ ） A.1  B.−1  C.0  D.2 15.(2025年广东真题)设i是虚数单位，求=( ) A. B C. D 二、填空题 16.计算 。 17.若，则 （结果写成的形式）。 18.已知复数z满足，则 。 19.计算 。 20.若复数z满足，则z在复平面内对应的点的轨迹方程为 。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$