专题20 正弦定理和余弦定理（讲义） - 河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块共40个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》的第20个专题正弦定理和余弦定理。本专题涵盖正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等知识点，知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 河北省2026年对口升学考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题20 正弦定理和余弦定理（讲义） 1.正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝　＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径) a2＝ b2＋c2－2bccos A b2＝ a2＋c2－2accos B c2＝ a2＋b2－2abcos C 常见 变形 ①a＝ 2Rsin A ， b＝ 2Rsin B ，c＝ 2Rsin C ②sin A＝ 　，sin B＝ 　，sin C＝ 　 ③a：b：c＝ sin A：sin B：sin C ④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A＝ 　 cos B＝ 　 cos C＝ 　 解决解 斜三角 形的问 题 (1)已知两角和任一边，求另一角和其他两条边 (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 (1)已知三边，求各角 (2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角 2.在△ABC中，常有以下结论 1．∠A＋∠B＋∠C＝π. 2．在三角形中，大边对大角，大角对大边． 3．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 4．sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C 5．∠A>∠B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B． 3.三角形常用面积公式 (1)S＝a·ha(ha表示a边上的高)． (2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A. 【考点1】判断三角形形状 1．(2024年河北) 在中，若则的形状为（ ） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 2．(2021年河北) 在中，若，则为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等腰直角三角形 2．(2023年河北对口高考)在中，分别为的对边，，，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 【考点2】求边或角 3．(2023年河北)在中，a、b、c分别为的对边，且满足则_______. 4．(2022年河北) 已知三角形的三个内角为A，B，C，若，则_______________. 6．(2020年河北) 已知，，和a，b，c分别为的3个内角及其对边，若，则______． 知识点1 正弦定理 1．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C．2 D．3 2．在中，已知，，，则A等于（    ） A． B． C． D． 3．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则（   ）． A． B． C．2 D． 4．在中，已知，则形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 5．在中，分别为的对边，，，则（    ） A． B．或 C． D．或 6. 在中，，，，则的解的个数是（ ） A．0个 B．2个 C．1个 D．无法确定 7．在中，，则（    ） A． B． C． D． 8．在中，，，，则（    ） A． B．或 C． D．或 9．在中，，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰或直角三角形 10．在中，，，，则的面积等于（   ） A． B． C． D． 知识点2 余弦定理 1．在中，，则（     ） A． B． C． D． 2．已知满足，则角C的度数为（    ） A． B． C． D． 3．在中，，那么（   ） A． B． C． D． 4．在中，已知 ， ， ，则最大角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．在中，满足，则（    ） A．60° B．60°或120° C．30°或150° D．120° 6．在中，若，则（    ） A． B． C． D． 7．在中，已知，且，则等于（    ） A． B． C． D． 8．在中，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 9．已知分别是内角的三条对边，且它的面积为，则（    ） A． B．6 C． D． 10．已知三角形的面积，则（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块共40个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》的第20个专题正弦定理和余弦定理。本专题涵盖正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等知识点，知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 河北省2026年对口升学考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题20 正弦定理和余弦定理（讲义） 1.正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝　＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径) a2＝ b2＋c2－2bccos A b2＝ a2＋c2－2accos B c2＝ a2＋b2－2abcos C 常见 变形 ①a＝ 2Rsin A ， b＝ 2Rsin B ，c＝ 2Rsin C ②sin A＝ 　，sin B＝ 　，sin C＝ 　 ③a：b：c＝ sin A：sin B：sin C ④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A＝ 　 cos B＝ 　 cos C＝ 　 解决解 斜三角 形的问 题 (1)已知两角和任一边，求另一角和其他两条边 (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 (1)已知三边，求各角 (2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角 2.在△ABC中，常有以下结论 1．∠A＋∠B＋∠C＝π. 2．在三角形中，大边对大角，大角对大边． 3．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 4．sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C 5．∠A>∠B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B． 3.三角形常用面积公式 (1)S＝a·ha(ha表示a边上的高)． (2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A. 【考点1】判断三角形形状 1．(2024年河北) 在中，若则的形状为（ ） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理边角互化得，再结合两角差的正弦公式即可求解. 【详解】因为， 利用正弦定理得， 所以，即， 所以，， 因为是三角形内角， 故， 所以是等腰三角形. 故选：B 2．(2021年河北) 在中，若，则为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理及倍角公式得到，结合，解得或，得到答案. 【详解】由正弦定理得， 即，故， 因为，且属于三角形内角，所以，所以或， 解得或， 所以为等腰或直角三角形. 故选：C 2．(2023年河北对口高考)在中，分别为的对边，，，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理求得的值，进而求得A，再由三角形内角和为，即可求得B. 【详解】由正弦定理可得，所以，解得， 因为，所以或， 当时，， 当时，. 故选：B. 【考点2】求边或角 3．(2023年河北)在中，a、b、c分别为的对边，且满足则_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理表示出，将已知等式代入计算求出的值，由∠A是的内角，利用特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】因为即 所以 因为∠A是的内角， 所以. 故答案为：. 4．(2022年河北) 已知三角形的三个内角为A，B，C，若，则_______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知可以得到三条边的比例关系，再利用余弦定理即可求解. 【详解】因为， 所以，可设 利用余弦定理： . 故答案： 6．(2020年河北) 已知，，和a，b，c分别为的3个内角及其对边，若，则______． 【答案】 【分析】根据正弦定理边化角和同角三角函数的商数关系进行求解即可. 【详解】由题可知， 所以由正弦定理得， 所以， 即， 又因为为的三个内角， 即，故是等边三角形， 所以. 故答案为：. 知识点1 正弦定理 1．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】利用正弦定理可求. 【详解】，，则， 由正弦定理得，解得； 故选：D. 2．在中，已知，，，则A等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦定理列方程求解即可. 【详解】已知，，， 由得，， 解得，因为在中，， 所以， 故选：D. 3．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则（   ）． A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】由角度的比值，分别求出角的大小，再利用正弦定理求出边c的值. 【详解】在中，， 所以, ， ， 又， 因为，由正弦定理可得， . 故选：D. 4．在中，已知，则形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】由正弦定理的边化角，再结合两角差的正弦公式化简，进而求解即可. 【详解】由正弦定理可知. 因为 所以 因为和是三角形的内角. 所以即. 则为等腰三角形. 故选：A. 5．在中，分别为的对边，，，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】根据正弦定理求得的值，进而求得A，再由三角形内角和为，即可求得B. 【详解】由正弦定理可得，所以，解得， 因为，所以或， 当时，， 当时，. 故选：B. 6. 在中，，，，则的解的个数是（ ） A．0个 B．2个 C．1个 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据和数形结合易得答案. 【详解】过点作⊥于点， 因为，，，所以， 所以，这样的可能为锐角，也可能为钝角，如图所示，解的个数为2个. 故选：B. 7．在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理化角为边，然后利用余弦定理求解． 【详解】依题意，， 由正弦定理得，即， 所以． 故选：B． 8．在中，，，，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据正弦定理求出值即可得解. 【详解】在中，，，， 由正弦函数可知，解得， 因为，所以或， 故选：. 9．在中，，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】由正弦定理边化角，再由二倍角公式化简，结合正弦函数的性质讨论的关系即可. 【详解】因为， 根据正弦定理，得，即 ． 因为  ， 所以或  ，得 或 ， 则的形状是等腰三角形或直角三角形. 故选：D ． 10．在中，，，，则的面积等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用正弦定理、余弦定理求出边，再利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】在中，，，， 由正弦定理，得， 由余弦定理，得 ，解得，故， 所以的面积为. 故选：B. 知识点2 余弦定理 1．在中，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦定理求值即可. 【详解】在中，， 即， 所以， 故选：A. 2．已知满足，则角C的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】逆用余弦定理，即可求解. 【详解】由题意知，在中， 所以，又， 所以角C的度数为. 故选：C. 3．在中，，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由正弦定理边角互化求解边的关系，再由余弦定理求解的值即可. 【详解】因为在中，若， 所以由正弦定理可得， 令，则， 由余弦定理可得. 故选：D 4．在中，已知 ， ， ，则最大角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合三角形中边角之间的关系，及余弦定理，即可求解. 【详解】因为中，， ， ， 所以角A是最大的内角， 所以. 故选：B. 5．在中，满足，则（    ） A．60° B．60°或120° C．30°或150° D．120° 【答案】D 【分析】由余弦定理即可得解. 【详解】因为中， ， 则， 由余弦定理得， 所以，即， 因为，所以. 故选：D. 6．在中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由余弦定理即可求解. 【详解】在中，若， 所以 因为，所以， 故选：C. 7．在中，已知，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件利用余弦定理即可求得. 【详解】在中，，且， 由余弦定理得. 故选：C. 8．在中，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦定理和已知条件得到，再根据的范围求得，即可求解. 【详解】在中，满足余弦定理， 因为，所以， 得到， 又，所以， 因为，故， 故选：A. 9．已知分别是内角的三条对边，且它的面积为，则（    ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【分析】由三角形面积公式求出，再由余弦定理求出的值即可. 【详解】因为三角形面积为，， 则有，解得， 由余弦定理得： ， 所以， 故选：A. 10．已知三角形的面积，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三角形面积公式及余弦定理化简得出，根据特殊的三角形函数值即可得解. 【详解】因为，所以， 由余弦定理得知， 则，则， 因为，所以，即. 故选：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$