专题06 数列-【好题汇编】2025年高考数学三模试题分类汇编（新高考通用）

专题06 数列 题型概览 题型01 数列的递推公式 题型02 等差数列及其性质 题型03 等比数列及其性质 题型04 数列的前n项和 题型05 数列与概率等知识的交汇问题 题型06 数列中的新定义问题 ( 题型0 1 )数列的递推公式 1．（2025·四川省自贡市·三模）命题：数列为等比数列，命题：数列满足，，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由等比数列的性质及充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】充分性：由，且，设，，，，后续项由依次计算得到：，，，，此时数列为1，2，3，4，8，12，16，32，…，显然不是等比数列，所以充分性不成立；必要性：由为等比数列，显然可得，且，故必要性成立.所以是的必要不充分条件.故选：B. 2．（多选）（2025·陕西省安康市·三模）在数列中，，对任意，则（    ） A． B．为递增数列 C．为等差数列 D． 【答案】ABD 【分析】令，可得，可判断BC；利用累加法求出可判断A；进而利用裂项相消法求和可判断D. 【详解】令，则，所以，所以为递增数列，不是等差数列，故B正确，C错误；由，，，， 累加得：，所以，故， 而也符合该式，故，所以，故A正确；又， 所以，故D正确.故选：ABD. 3．设数列满足.若存在常数，使得成立，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】由题意，对的大小分三种情况讨论即可. 【详解】由题意：即可，；若，则且，故，则必有；若，则，该数列为常数列，即，此时；若，则显然有；综上所述：的最小值为. 4．（2025·四川省攀枝花·三模）已知数列的首项，． (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前项和； (3)令，求数列的最大项． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3) 【分析】（1）依题意可得，结合等比数列的定义即可证明； （2）由（1）可得，利用分组求和法计算可得； （3）由（2）可得，利用作差法判断数列的单调性，即可求出最大项. 【详解】（1）因为，所以，又，所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列； （2）由（1）可得，所以， 所以 . （3）由（2）可得， 则，所以当时，当时，即，所以数列的最大项为； ( 题型0 2 )等差数列及其性质 1．（2025·河南省焦作市·三模）已知等差数列的公差为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等差数列的定义求解即可. 【详解】因为等差数列的公差为，所以.故选：C. 2．（2025·湖南省永州市·三模）已知为等差数列的前n项和，且，，则（   ） A．40 B．45 C．50 D．55 【答案】B 【分析】已知，，可利用求和公式求出数列的公差d，再将所得结果代回求和公式中计算即可. 【详解】因为，所以，则.故选：B. 3．若数列是等差数列，其前项和为，若，且，则等于（    ） A．31 B．32 C．33 D．34 【答案】B 【分析】由等差数列的通项公式和前项和公式求出的首项和公差，再由前项和求即可. 【详解】设等差数列的公差为，则解得： ， 所以，故选：B. 4．（2025·四川省凉山州·三模）设等差数列的公差为d，若，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据题意结合等差中项可得，，进而可得公差. 【详解】因为数列为等差数列，则，即，又因为，即，所以公差.故选：A. 5．（2025年江西省萍乡市三模）记为等差数列的前项和，若的公差为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等差数列的求和公式可得出、的等量关系，结合等差数列的通项公式可得结果. 【详解】由，所以，故.故选：C. 6．（2025年江西九江市三模）九江银行·2025“庐山杯”九江马拉松于3月23日上午鸣枪开跑．此前，为备战此次马拉松，小宝同学制定了一个为期20周的跑步训练计划．计划第1周跑步2公里，之后一段时间每周的跑步量是前一周的2倍；当周跑步量首次超过30公里后，每周比前一周多跑2公里；当周跑步量首次超过全马里程（公里）后，保持这个周训练量直至训练结束．请问：训练计划结束时，小宝同学跑步的总量是（   ） A．736公里 B．724公里 C．692公里 D．660公里 【答案】C 【分析】根据题意，前4周的跑步量为等比数列，第5周到第10周的跑步量为等差数列，第11周到第20周的跑步量为常数列，分别求和即可. 【详解】记第一周跑步量为，则，所以前4周的跑步量为等比数列，所以则，故第5周到第10周的跑步量为等差数列，则，第11周到第20周每周44公里，总和为440公里，所以小宝同学跑步的总量是公里.故选：C. 7．（2025年广东省广州市天河区三模）某校新建一个报告厅，要求容纳840个座位，报告厅共有21排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位，则第1排应安排的座位数为（    ） A．18 B．19 C．20 D．21 【答案】C 【分析】根据题意，结合等差数列的求和公式代入计算，即可得到结果. 【详解】设第一排安排的座位数，因为从第2排起后一排都比前一排多2个座位，所以每排座位数构成一个公差的等差数列，且该数列的前项和，即，解得.故选：C 8．（2025·浙江省金华市义乌市·三模）已知等差数列的前n项和为，，则公差 . 【答案】2 【分析】根据等差数列的通项公式以及求和公式，建立方程组，可得答案. 【详解】由题意可得，解得. ( 题型0 3 )等比数列及其性质 1．（2025年江苏如皋市三模）在等比数列中，，，则（   ） A．36 B． C． D．6 【答案】D 【分析】根据等比数列的性质即可求解. 【详解】等比数列中，，，，由于故，所以，故选：D． 2．（2025年湖北武汉市武昌区三模）已知等比数列为递增数列，若，，则（   ） A． B． C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据等比数列的性质求解的值，从而可得公比的值，再根据等比数列的通项求解即可. 【详解】已知等比数列，则，因为，所以，则， 又，所以或，因为等比数列为递增数列，则，且公比，所以，则，故.故选：A. 3．（2025年山西省吕梁市三模）已知等差数列的公差，则（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据等差数列的通项公式，将、用和表示出来，再代入已知等式求解. 【详解】由等差数列通项公式可得：，已知，所以；. 将，代入可得：，则，化简可得：，解得或.因为已知公差，所以舍去，得到.故选：B. 4．（2025·陕西省安康市·三模）已知正项等比数列的前项和为，若，则（    ） A．16 B．32 C．27 D．81 【答案】C 【分析】应用，再结合等比数列基本量运算计算求解. 【详解】等比数列的前项和为，因为，则，所以，因为，所以，所以或舍，所以.故选：C. 5．（2025·河北省张家口·三模）已知等比数列的前项和为，若，，则 . 【答案】 【分析】由等比数列的性质结合题意可得，再由等比数列的性质化简计算式可得答案. 【详解】由可得，若，则与矛盾，所以，则. 6．（2025年江西九江市三模）如图，有一款合成2048游戏．游戏规则如下：在一个的方格中，游戏开始时，方格中会随机出现两个数字小方块，只能是2或4．手指向一个方向（上、下、左、右）滑动，所有含有数字的小方块都会向这个方向移动到不能移动为止，滑动过程中相同数字的两个小方块相撞时数字会相加，称为一次合并运算．每次滑动时，空白处会随机刷新出一个含有数字（只能是2或4）的小方块．当界面中最大数字是2048时，最少合并运算的次数为 ． 2 4 16 8 16 32 64 1024 512 256 128 【答案】511 【分析】要合并运算次数最少，则每次均出现数字4时，合并次数最小，据此主算即可. 【详解】由题意可知算式只需出现1次，而算式中有2个1024，故算式需出现次，算式需出现次，以此类推，算式需出现次，故每次出现的都是数字，最少合并运算的次数是. 7．（2025·四川省宜宾市·三模）设为等差数列的前项和.若，且成等比数列，则 . 【答案】3或 【分析】由等比中项及等差数列前项和性质，列出等式求解即可. 【详解】由，可得，即，即，又成等比数列， 可得：，联立，消去， 可得：，可得：或， 当时，，易得，当时，，可得，所以3或， ( 题型0 4 )数列的前n项和问题 1．（2025年山东威海市三模）已知等差数列的前项和为，则（    ） A．40 B．45 C．50 D．55 【答案】D 【分析】由等差数列下标和的性质可得，再由等差数列的求和公式代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得，即，则.故选：D 2．（多选）（2025年山东省泰安市三模）已知公比为的等比数列的前n项和为，已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由等比数列通项公式求得首项及公比，进而逐项判断即可. 【详解】联立方程，解得，，故A错误；，解得（负值已舍），故B正确；，故C正确；，故D正确.故选：BCD. 3．（多选）（2025年河北石家庄三模）已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（    ） A．数列为递减数列 B．当且仅当时，取得最大值 C． D．是等比数列 【答案】ACD 【分析】求出数列的通项公式，再作差可判断A选项；结合二次函数可判断B选项；利用降标作差可判断C选项；利用等比数列的定义可判断D选项. 【详解】由题意可知，，则，故数列为递减数列，故A正确；因二次函数的对称轴为，且开口朝下，则当或时，取得最大值，故B错误；当时，， 则，又，符合上式，故，故C正确；令，则，则是等比数列，故D正确.故选：ACD 4．（2025·四川省绵阳市·三模）已知等差数列的前项和为，若，则 . 【答案】 【分析】根据等差数列的性质及前项和公式计算即可. 【详解】在等差数列中，，则. 5．（2025·云南省玉溪市、保山市·三模）已知等差数列的前n项和为，，，则数列的前9项和 ． 【答案】36 【分析】设等差数列的公差为，根据题意，求得，得到，得出数列为等差数列，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为，因为，，可得，解得，所以，，所以， 所以，所以数列为等差数列， 所以，可得， 6．（2025·四川省绵阳市·三模）已知等比数列满足，且成等差数列. (1)求数列的通项公式： (2)求. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）依题意列方程即可求出公比，进而得到数列的通项； （2）利用等比数列的前n项和求解即可. 【详解】（1）设等比数列的公比为，成等差数列，，即，即，解得或（舍）， （2） . 7．（2025·辽宁沈阳·三模）已知数列中，，，且数列为等差数列． (1)求的通项公式； (2)记为数列的前n项和，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出数列的公差，可求出数列的通项公式，进而可求得数列的通项公式； （2）利用裂项求和法求出，即可证得结论成立. 【详解】（1）因为数列中，，，且数列为等差数列，设数列的公差为，则，故，所以，故. （2）因为，所以 ，故原不等式成立. 8．（2025年天津市滨海新区三模）已知等差数列与正项等比数列满足：，． (1)求、通项公式； (2)若对数列、，在与之间插入个，组成一个新数列，求数列前100项和； (3)若（其中），证明：． 【答案】(1)； (2)209 (3)证明见解析 【分析】（1）根据，，由数列是等差数列，数列是等比数列求解； （2）设，从而在数列中，从项开始到项（不含）之前，共有项数为，再验证得到k求解； （3）当时，由，利用错位相减法求解；当时，由，利用裂项相消法求解. 【详解】（1）因为，，所以，解得，所以； 因为，，所以，又因为，所以，； （2）设，在数列中，从项开始到项（不含）之前， 共有项数为， 所以， ，当时，；当时，，所以数列前100项是项之后还有32项为2， 所以； （3）当时，，， ，， ，，，当时，， ， ，因为，， 所以，即. 9．（2025·安徽省安庆市·三模）已知数列中，，设为前n项和，． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先用与的关系以及递推公式求出，再利用累乘法即可求得通项公式； （2）由（1）结论代入可得，利用三角函数两角差公式化简可得，再利用累加法即可求得数列的前n项和. 【详解】（1）数列中，，为前n项和，当时，，， 当时，①，②，由②-①得：，，即，当时，，递推可得：，，，，由累乘法可得：，，又因为，所以，即，经检验，当时符合上式，所以； （2） 由（1）可知，，所以： ，所以 ； 所以数列的前n项和. 10．（2025·四川省成都市·三模）已知正项数列的前项的和为，且. (1)求，； (2)证明：是等差数列； (3)求数列的前项的和. 【答案】(1)，. (2)证明见解析. (3). 【分析】（1）利用已知条件，通过代入和，结合正项数列的性质，逐步求解和. （2）通过递推关系，将用和表示，代入原方程化简，证明的相邻项差为常数. （3）利用第（2）题的结论，将通项转化为等差数列求和，通过分母有理化简化求和过程. 【详解】（1）由，令，有，因为，所以. 令，有，即，由，解得.所以，. （2）当时，由，代入，化简得，即，所以是首项为1，公差为1的等差数列. （3）由（2）可知.因为是正项数列，所以，从而. 由，所以. 所以数列的前项的和. ( 题型0 5 )数列与概率等知识的交汇问题 1．（2025·山东省枣庄市·三模）已知为等比数列，且，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由等比中项的性质及充分条件和必要条件的定义可得结果. 【详解】由题意知，为等比数列，当时，得，所以，故充分性成立； 当时，，解得，又同号，所以，故必要性成立.所以“”是“”的充要条件.故选：C. 2．（2025年江西省萍乡市三模）已知，且，则n的最小值为 . 【答案】9 【分析】令，得到，由通项公式得到，再由求解即可. 【详解】由题意可得，而由存在知，设，则.由知通项，故，故由知，即，即，解得，所以n的最小值是9. 3．（2025·四川省自贡市·三模）在中，角所对的边长组成公差为1的等差数列. (1)若，求的周长和面积； (2)为锐角三角形，求整数的最小值. 【答案】(1)周长为15， (2) 【分析】（1）利用正弦定理角化边结合题意求出，即可得到周长，再利用余弦定理边化角求出，根据三角形面积公式得到面积即可； （2）根据余弦定理边化角结合三角形三边的关系求解即可. 【详解】（1）根据题不妨设，，因为，所以由正弦定理可得，解得，，，所以的周长为， 又由余弦定理可得，则， 所以. （2）根据题意可知，若为锐角三角形，则为锐角， 由余弦定理得，解得或者，又由三角形三边关系可得，解得，因为，故. 4．（2025年山西省吕梁市三模）已知A，B分别为椭圆的左、右顶点，分别为其左、右焦点，P是椭圆E上与A，B不重合的任意一点，点P到原点O的距离的最小值为1，直线与直线的斜率之积为．已知，以为直径的圆与以为直径的圆在x轴上方的交点为． (1)求椭圆E的方程； (2)（i）证明：直线为椭圆E的切线； （ii）设切线与椭圆E的切点的横坐标为，证明：． 【答案】(1) (2)（i）证明过程见解析（ii）证明过程见解析 【分析】（1）由题意列出关于的方程求解即可； （2）（i）首先求出的坐标，证明过点的椭圆的切线方程是，然后假设直线的方程是，求出，再检验点在椭圆上即可；（ii）只需证明和时，即可，其中时，可通过保留一项并且放缩裂项的方式得证. 【详解】（1）由题意，不妨设，从而，解得， 故所求为； （2）    （i）由题意，所以以为直径的圆的方程为，以为直径的圆的方程为，两式相减得，，解得，注意到点的纵坐标大于0， 从而，，即点的坐标为，设是椭圆上一点，当与左右顶点重合时，过点的椭圆的切线方程是，当与左右顶点不重合时，设在轴上方，此时，即，求导得， 此时过点的椭圆的切线方程是，即， 同理可证当在轴下方时，过点的椭圆的切线方程是， 综上所述，过点的椭圆的切线方程是，设直线过点，则，解得， 点的坐标满足，所以直线为椭圆E的切线； （ii）由（2）（i）可知，当时，， 当时， . 5．（2025年江西省萍乡市三模）记抛物线的焦点为F，过原点O作斜率为1的直线l，l与E交于另一点，取的中点，直线与E交于另一点，取的中点，以此类推，记直线的斜率为． (1)求点的坐标； (2)证明：是递减数列； (3)记的面积为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）联立，可解得，的坐标，进一步可求直线的方程，联立直线与抛物线方程即可求解； （2）联立，可解得，的坐标，根据斜率公式可得.又因为，故，，即是递增的正数数列，是递减数列，即可证明； （3）由（2）得，当时，，，利用割补法及（2）中化简可得，又，故.根据可知；由可知，进而可得，故，即可证明. 【详解】（1） 如图所示，联立，解得或，故.又，所以，，故直线，联立，解得或，故. （2）联立，解得点，所以，，所以.又因为，故，于是，即，故是递增数列. 又由，可知是递减数列，于是是递减数列. （3）由（2）得，当时，，，利用割补法，知 . 而，故. 而，故；又，故， 由累乘法可知，而，故. 故.综上，. 6．（2025年山东威海市三模）设集合且中所有的数从小到大排列构成数列，并将数列的各项依次按照上小下大，左小右大，第行共有项的原则，写成如下的数表． (1)写出该数表第4行各项的数； (2)求； (3)设位于数表的第行，若，且该数列前项的和能被整除，求的最小值． 【答案】(1)17，18，20，24 (2) (3) 【分析】（1）由图中规律，直接得到结果； （2）由等差数列的求和公式代入计算，即可得到结果； （3）由等比数列的求和公式可得数表第行所有项的和，再由错位相减法可得数表前行所有项的和，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由题意知，第4行各项为， 所以第4行各项的数为17，18，20，24. （2）由题意知，第行各项为中对应的值， 设在第行，则前行总项数，解得，数表前9行共有项， 所以在第10行从左往右的第5项，所以. （3）数表第行所有项的和为 ， 设数表前行所有项的和为，则 ，令， 则，两式相减得，可得，所以，设为数表的第行的第项，所以数列前项的和为 , 由题意知，前行总项数，解得，因为，所以，所以， 因为，所以，所以，即， 因为该数列前项的和能被整除，所以，即，所以，可得， 所以，可得的最小值为32，所以的最小值为. 7．（2025·山东省枣庄市·三模）将所有正整数按照如下规律形成数阵： 第1行  1  2  3  ……  7  8  9 第2行  10  11  12  ……  97  98  99 第3行  100  101  102  ……  997  998  999 第4行  1000  1001  1002  ……  9997  9998  9999 ………… (1)将数列与数列的公共项按照从小到大的顺序排列得到数列，试确定在该数阵中的位置； (2)将数阵中所有相邻两位数字（从左到右）出现12的所有正整数去掉并保持顺序不变，得到一个新数阵，记新数阵第行中正整数的个数为. （i）求，，；（ii）求. 【答案】(1)是数阵第4行，第3097个数． (2)（i），，；（ii）. 【分析】（1）设，利用二项展开式得当且仅当为偶数时，可以取得正整数，则，即可确定位置； （2）（i）当时，直接得到，代入并去掉12即可得到的值，代入，去掉19个数即可得到； （ii）分析得，利用特征根法得，，再消去即可得到其通项. 【详解】（1）设，因为， ， 所以， 所以，当且仅当为偶数时，可以取得正整数，所以，当且仅当为偶数时，数列有公共项， 所以，，故，所以，是数阵第4行，第3097个数． （2）（i）当时，显然．当时，第2行2位数有90个，其中只有12去掉． 故．当时，第3行3位数有900个，其中有两种情况去掉： 百位和十位分别为12，此时有10个；十位和个位分别为12，此时有9个．故． （ii）当时，将第行个符合条件的位正整数分为两类： ①个位数字不等于2时，个位数字有9种取法，前面位数有种取法，这时位正整数中有个； ②个位数字等于2时，前面位数有种取法，但这个位正整数中十位数字等于1的个正整数要去掉． 故个位数字等于2且十位数字不等于1的位正整数有－个． 综上，由加法原理知．设，所以，，即，解得，所以，是首项为，公比为的等比数列；是首项为，公比为的等比数列；所以，，， 所以，当时，，经检验，当时，也成立当时，也成立．综上，． 8．（2025·四川省凉山州·三模）在国务院新闻办公室举行的“推动高质量发展”系列主题新闻发布会上，教育部相关负责人表示，要在关键环节方面，让“健康第一”落细落地．实施学生体质强健计划、心理健康促进行动等，保障中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时，全面培育学生积极心理品质．要让孩子们动起来、互动起来，多见阳光，多呼吸新鲜空气． (1)为了解喜爱排球运动是否与性别有关，某统计部门在某地随机抽取了男性和女性各100名进行调查，得到列联表如下： 喜爱排球运动 不喜爱排球运动 合计 男性 60 40 100 女性 45 55 100 合计 105 95 200 依据小概率值的独立性检验，能否认为喜爱排球运动与性别有关？ (2)某校排球队的甲、乙、丙、丁四名球员进行传球训练，甲等可能地随机传向另外3人中的1人，乙也等可能地随机传向另外3人中的1人，丙、丁均等可能地随机传向甲、乙中的1人，第1次由甲将球传出，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记第n次传球之后球在丙或丁手上的概率为． （ⅰ）计算，，并求的通项公式； （ⅱ）记第n次传球之后球在乙手上的概率为，求的通项公式． 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)喜爱排球运动与性别无关 (2)（ⅰ），，；（ⅱ） 【分析】（1）用独立性检验的方法求解即可.（2）（ⅰ）构造是以为首项，为公比的等比数列进行求解即可（ⅱ）构造是以为首项，为公比的等比数列进行求解即可. 【详解】（1）假设：喜爱篮球运动与性别独立，即喜爱篮球运动与性别无关．根据列联表数据，经计算得，依据小概率值的独立性检验，我们没有充分证据推断不成立，可以认为喜爱篮球运动与性别独立，即喜爱排球运动与性别无关. （2）（ⅰ）由题意，， 且时，所以又，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，即 （ⅱ）由题意，，且时， 所以又， 所以是以为首项，为公比的等比数列．则，即 ( 题型0 6 )有关数列的新定义问题 1．（2025·湖南省郴州市·三模）给定一个数列，记，则把数列称为的一阶差数列.若数列的一阶差数列的通项公式为，则（    ） A．556 B．557 C．292 D．291 【答案】C 【分析】根据题意得到数列的递推关系式，利用累加法结合分组求和可求出. 【详解】根据题意，，则，即，又因为，故.故选：C. 2．（2025·湖南省永州市·三模）如果数列对任意的，都有成立，则称为“速增数列”.若数列为“速增数列”，且任意项，，，，则正整数k的最大值为（   ） A．62 B．63 C．64 D．65 【答案】B 【分析】由题意可知数列的相邻两项之差严格递增，要使得正整数最大，则需要让相邻两项差值尽可能小，即相邻两项差值构成公差为1的等差数列，由此得到构造的增长最缓慢的“速增数列”的递推关系，利用累加法可求得其通项公式，令，解出代入验证即可得出答案. 【详解】由题干条件，即，也即数列的相邻两项之差严格递增，要使得正整数最大，则数列增长尽可能缓慢，需要让相邻两项差值尽可能小，即相邻两项差值构成公差为1的等差数列，因为，则，，，所以，采用累加法，令，即，解得，当时，，符合题意；当时，，无法构造“速增数列”满足题意，故选：B. 3．（多选）（2025年江苏如皋市三模）已知数列，设，若满足性质：存在常数c，使得对于任意两两不等的正整数i、j、k，都有，则称数列为“梦想数列”，下列结论正确的是（   ） A．若，则数列为“梦想数列” B．若数列是“梦想数列”，则常数 C．若数列的前n项和，则数列为“梦想数列” D．若数列是“梦想数列”，则为等差数列 【答案】ABD 【分析】“梦想数列”的线性特征求得判断B；对于A，根据等差数列求和得，然后根据“梦想数列”的概念判断；对于C，，然后根据“梦想数列”的概念判断；根据“梦想数列”的概念得，通过构造递推式证明等差数列即可判断D. 【详解】若是“梦想数列”，则①， 交换i，j的位置②，，，B正确． 对于A，若，对两两不等的正整数i，j，k 符合条件，为“梦想数列”，A正确．对于C，，取，，，，不为“梦想数列”，C错． 对于D，令，，记为数列的前n项和，是“梦想数列”， ①，时，②， ，（且），而时，上式也成立，对恒成立，为等差数列，D正确.故选：ABD． 4．（2025·河南省安阳市·三模）若正项数列满足对任意，都有成立，则称数列为“倍增数列”. (1)试判断数列1，2，5，13和数列1，3，8，21是否为“倍增数列”； (2)设数列为“倍增数列”，若为整数，，，，求正整数k的最大值； (3)设数列满足，，试判断数列是否是“倍增数列”，并说明理由. 【答案】(1)数列1，2，5，13是，数列1，3，8，21不是 (2)6 (3)是，理由见解析 【分析】（1）依据倍增数列的定义对两个数列直接判断即可； （2）根据题意判断出，从而，由及为整数即可求得； （3）由将依次递推下去判断其大于0即可. 【详解】（1）①因为，所以，所以数列1，2，5，13是“倍增数列”.②因为，所以，所以数列1，3，8，21不是“倍增数列”. （2）因为数列是“倍增数列”，为整数，且，所以，且为正整数， 所以，即.又因为，所以.因为能整除，结合（*），可得，所以，所以正整数的最大值为6. （3）是“倍增数列”.理由如下：因为，所以 .所以，即，所以是“倍增数列”. 5．（2025·重庆市·三模）现定义：对于实数，若，则称是和的加比中项；若、则称是和的减比中项．已知数列满足，，且存在正数，使是和的加比中项与减比中项． (1)若是与的等比中项，求； (2)数列满足，，且满足是和的减比中项．记数列的前项和为． （i）求证：是和的减比中项；（ii）当时，求证：． 【答案】(1)1 (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，利用给定的定义可得，求出，再列式求解. （2）（i）利用给定定义，借助累乘法得，由（1）得，再利用不等式性质推理得证；（ii）由（i）借助累乘法证得及，再利用不等式性质，结合等比数列前项和推理得证. 【详解】（1）由是和的加比中项，得；由是和的减比中项，得，则，即有，，，而， 因此，由是与的等比中项，得，即，而，所以. （2）（i）由是和的减比中项，得，而，则，于是，令，则，因此，即，由（1）知，，，数列是首项为，公比为的等比数列，则，于是得，所以是和的减比中项. （ii）由（i）知，，，，由，得，，而，当时，，，因此，由，得，即，变形得，因此， ，所以. 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 数列 题型概览 题型01 数列的递推公式 题型02 等差数列及其性质 题型03 等比数列及其性质 题型04 数列的前n项和 题型05 数列与概率等知识的交汇问题 题型06 数列中的新定义问题 ( 题型0 1 )数列的递推公式 1．（2025·四川省自贡市·三模）命题：数列为等比数列，命题：数列满足，，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（多选）（2025·陕西省安康市·三模）在数列中，，对任意，则（    ） A． B．为递增数列 C．为等差数列 D． 3．设数列满足.若存在常数，使得成立，则的最小值是 . 4．（2025·四川省攀枝花·三模）已知数列的首项，． (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前项和； (3)令，求数列的最大项． ( 题型0 2 )等差数列及其性质 1．（2025·河南省焦作市·三模）已知等差数列的公差为，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南省永州市·三模）已知为等差数列的前n项和，且，，则（   ） A．40 B．45 C．50 D．55 3．若数列是等差数列，其前项和为，若，且，则等于（    ） A．31 B．32 C．33 D．34 4．（2025·四川省凉山州·三模）设等差数列的公差为d，若，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2025年江西省萍乡市三模）记为等差数列的前项和，若的公差为，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2025年江西九江市三模）九江银行·2025“庐山杯”九江马拉松于3月23日上午鸣枪开跑．此前，为备战此次马拉松，小宝同学制定了一个为期20周的跑步训练计划．计划第1周跑步2公里，之后一段时间每周的跑步量是前一周的2倍；当周跑步量首次超过30公里后，每周比前一周多跑2公里；当周跑步量首次超过全马里程（公里）后，保持这个周训练量直至训练结束．请问：训练计划结束时，小宝同学跑步的总量是（   ） A．736公里 B．724公里 C．692公里 D．660公里 7．（2025年广东省广州市天河区三模）某校新建一个报告厅，要求容纳840个座位，报告厅共有21排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位，则第1排应安排的座位数为（    ） A．18 B．19 C．20 D．21 8．（2025·浙江省金华市义乌市·三模）已知等差数列的前n项和为，，则公差 . ( 题型0 3 )等比数列及其性质 1．（2025年江苏如皋市三模）在等比数列中，，，则（   ） A．36 B． C． D．6 2．（2025年湖北武汉市武昌区三模）已知等比数列为递增数列，若，，则（   ） A． B． C．4 D．8 3．（2025年山西省吕梁市三模）已知等差数列的公差，则（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．（2025·陕西省安康市·三模）已知正项等比数列的前项和为，若，则（    ） A．16 B．32 C．27 D．81 5．（2025·河北省张家口·三模）已知等比数列的前项和为，若，，则 . 6．（2025年江西九江市三模）如图，有一款合成2048游戏．游戏规则如下：在一个的方格中，游戏开始时，方格中会随机出现两个数字小方块，只能是2或4．手指向一个方向（上、下、左、右）滑动，所有含有数字的小方块都会向这个方向移动到不能移动为止，滑动过程中相同数字的两个小方块相撞时数字会相加，称为一次合并运算．每次滑动时，空白处会随机刷新出一个含有数字（只能是2或4）的小方块．当界面中最大数字是2048时，最少合并运算的次数为 ． 2 4 16 8 16 32 64 1024 512 256 128 7．（2025·四川省宜宾市·三模）设为等差数列的前项和.若，且成等比数列，则 . ( 题型0 4 )数列的前n项和问题 1．（2025年山东威海市三模）已知等差数列的前项和为，则（    ） A．40 B．45 C．50 D．55 2．（多选）（2025年山东省泰安市三模）已知公比为的等比数列的前n项和为，已知，，则（   ） A． B． C． D． 3．（多选）（2025年河北石家庄三模）已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（    ） A．数列为递减数列 B．当且仅当时，取得最大值 C． D．是等比数列 4．（2025·四川省绵阳市·三模）已知等差数列的前项和为，若，则 . 5．（2025·云南省玉溪市、保山市·三模）已知等差数列的前n项和为，，，则数列的前9项和 ． 6．（2025·四川省绵阳市·三模）已知等比数列满足，且成等差数列. (1)求数列的通项公式： (2)求. 7．（2025·辽宁沈阳·三模）已知数列中，，，且数列为等差数列． (1)求的通项公式； (2)记为数列的前n项和，证明：． 8．（2025年天津市滨海新区三模）已知等差数列与正项等比数列满足：，． (1)求、通项公式； (2)若对数列、，在与之间插入个，组成一个新数列，求数列前100项和； (3)若（其中），证明：． 9．（2025·安徽省安庆市·三模）已知数列中，，设为前n项和，． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和 10．（2025·四川省成都市·三模）已知正项数列的前项的和为，且. (1)求，； (2)证明：是等差数列； (3)求数列的前项的和. ( 题型0 5 )数列与概率等知识的交汇问题 1．（2025·山东省枣庄市·三模）已知为等比数列，且，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2025年江西省萍乡市三模）已知，且，则n的最小值为 . 3．（2025·四川省自贡市·三模）在中，角所对的边长组成公差为1的等差数列. (1)若，求的周长和面积； (2)为锐角三角形，求整数的最小值. 4．（2025年山西省吕梁市三模）已知A，B分别为椭圆的左、右顶点，分别为其左、右焦点，P是椭圆E上与A，B不重合的任意一点，点P到原点O的距离的最小值为1，直线与直线的斜率之积为．已知，以为直径的圆与以为直径的圆在x轴上方的交点为． (1)求椭圆E的方程； (2)（i）证明：直线为椭圆E的切线； （ii）设切线与椭圆E的切点的横坐标为，证明：． 5．（2025年江西省萍乡市三模）记抛物线的焦点为F，过原点O作斜率为1的直线l，l与E交于另一点，取的中点，直线与E交于另一点，取的中点，以此类推，记直线的斜率为． (1)求点的坐标； (2)证明：是递减数列； (3)记的面积为，证明：． 6．（2025年山东威海市三模）设集合且中所有的数从小到大排列构成数列，并将数列的各项依次按照上小下大，左小右大，第行共有项的原则，写成如下的数表． (1)写出该数表第4行各项的数； (2)求； (3)设位于数表的第行，若，且该数列前项的和能被整除，求的最小值． 7．（2025·山东省枣庄市·三模）将所有正整数按照如下规律形成数阵： 第1行  1  2  3  ……  7  8  9 第2行  10  11  12  ……  97  98  99 第3行  100  101  102  ……  997  998  999 第4行  1000  1001  1002  ……  9997  9998  9999 ………… (1)将数列与数列的公共项按照从小到大的顺序排列得到数列，试确定在该数阵中的位置； (2)将数阵中所有相邻两位数字（从左到右）出现12的所有正整数去掉并保持顺序不变，得到一个新数阵，记新数阵第行中正整数的个数为. （i）求，，；（ii）求. 8．（2025·四川省凉山州·三模）在国务院新闻办公室举行的“推动高质量发展”系列主题新闻发布会上，教育部相关负责人表示，要在关键环节方面，让“健康第一”落细落地．实施学生体质强健计划、心理健康促进行动等，保障中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时，全面培育学生积极心理品质．要让孩子们动起来、互动起来，多见阳光，多呼吸新鲜空气． (1)为了解喜爱排球运动是否与性别有关，某统计部门在某地随机抽取了男性和女性各100名进行调查，得到列联表如下： 喜爱排球运动 不喜爱排球运动 合计 男性 60 40 100 女性 45 55 100 合计 105 95 200 依据小概率值的独立性检验，能否认为喜爱排球运动与性别有关？ (2)某校排球队的甲、乙、丙、丁四名球员进行传球训练，甲等可能地随机传向另外3人中的1人，乙也等可能地随机传向另外3人中的1人，丙、丁均等可能地随机传向甲、乙中的1人，第1次由甲将球传出，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记第n次传球之后球在丙或丁手上的概率为． （ⅰ）计算，，并求的通项公式； （ⅱ）记第n次传球之后球在乙手上的概率为，求的通项公式． 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 ( 题型0 6 )有关数列的新定义问题 1．（2025·湖南省郴州市·三模）给定一个数列，记，则把数列称为的一阶差数列.若数列的一阶差数列的通项公式为，则（    ） A．556 B．557 C．292 D．291 2．（2025·湖南省永州市·三模）如果数列对任意的，都有成立，则称为“速增数列”.若数列为“速增数列”，且任意项，，，，则正整数k的最大值为（   ） A．62 B．63 C．64 D．65 3．（多选）（2025年江苏如皋市三模）已知数列，设，若满足性质：存在常数c，使得对于任意两两不等的正整数i、j、k，都有，则称数列为“梦想数列”，下列结论正确的是（   ） A．若，则数列为“梦想数列” B．若数列是“梦想数列”，则常数 C．若数列的前n项和，则数列为“梦想数列” D．若数列是“梦想数列”，则为等差数列 4．（2025·河南省安阳市·三模）若正项数列满足对任意，都有成立，则称数列为“倍增数列”. (1)试判断数列1，2，5，13和数列1，3，8，21是否为“倍增数列”； (2)设数列为“倍增数列”，若为整数，，，，求正整数k的最大值； (3)设数列满足，，试判断数列是否是“倍增数列”，并说明理由. 5．（2025·重庆市·三模）现定义：对于实数，若，则称是和的加比中项；若、则称是和的减比中项．已知数列满足，，且存在正数，使是和的加比中项与减比中项． (1)若是与的等比中项，求； (2)数列满足，，且满足是和的减比中项．记数列的前项和为． （i）求证：是和的减比中项；（ii）当时，求证：． 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$