主题4 第10章 第7节 二项分布、超几何分布与正态分布(教用Word)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

第7节　二项分布、超几何分布与正态分布 1．理解n次独立重复试验的模型及二项分布．能解决一些简单的实际问题． 2．理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用． 3．理解正常分布的特点，并能解决一些简单的实际问题． 一、n重伯努利试验 1．伯努利试验：把只包含两个可能结果的试验叫作伯努利试验．我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次，且每次实验的结果都不受其他试验结果的影响，称这样的n次独立重复试验为n重伯努利试验． 2．n重伯努利试验的特征 (1)同一个伯努利试验重复做n次； (2)各次试验的结果相互独立． 二、二项分布 1．定义：一般地，在n重伯努利试验中，设每次成功的概率为p(0<p<1)，用X表示这n次试验中成功的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p)． 2．二项分布的均值与方差：如果X～B(n, p)，那么EX＝np，DX＝np(1－p)． 三、超几何分布 1．定义：一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(X＝k)＝，max{0，n－(N－M)}≤k≤min{n，M}．其中n≤N，M≤N，n，M，N∈N＋. 公式中的k可以取的最小值为max{0，n－(N－M)}，而不一定是0． 若一个随机变量X的分布列由上式确定，则称随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布． 2．服从超几何分布的均值 一般地，当随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布时，其均值为EX＝． 四、正态分布 1．定义：由误差引起的连续型随机变量其分布密度函数图象如图，对应的分布密度函数解析式为φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ，σ(σ＞0)为参数，这一类随机变量X的分布密度(函数)称为正态分布密度(函数)，简称正态分布，对应的图象为正态分布密度曲线，简称为正态曲线． 2．正态分布的特点 如果一个随机变量X服从正态分布，那么对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X在区间(a，b]的概率可以用P(a＜X≤b)来表示．它的几何意义就是随机变量X的分布密度曲线在区间(a，b]对应的曲边梯形面积的值(如图所示). 如果随机变量X服从正态分布，那么这个正态分布完全由参数μ，σ(σ＞0)确定，记为X～N(μ，σ2)，其中EX＝μ，DX＝σ2． 3．正态曲线的性质 (1)曲线在x轴的上方，与x轴不相交． (2)曲线是单峰的，关于直线x＝μ对称． (3)曲线的最高点位于x＝μ处． (4)当x＜μ时，曲线上升；当x＞μ时，曲线下降；并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线(如图所示). 因为正态分布完全由μ和σ确定，所以正态曲线还具有下列特点： ①当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移． ②当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中． 4．3σ原则 如图，正态分布随机变量X在区间(μ－σ，μ＋σ](σ＞0)上取值的概率为阴影部分的面积． 特别地，P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 6， P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 4， P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997 4. 因此，随机变量X在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]上取值的概率分别约为68.3%，95.4%，99.7%.而随机变量X在区间(μ－3σ，μ＋3σ]外取值的概率只有0.3%，通常认为这种情况在一次试验中几乎是不可能发生的，认为是小概率事件．因此，在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取区间(μ－3σ，μ＋3σ]之间的值，并称之为3σ原则． ◆[思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X是一个随机变量，且X～B(10，0.6).(　　) (2) 正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的．(　　) (3)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复试验中事件A发生次数的概率分布．(　　) (4)小王通过英语听力测试的概率是，他连续测试3次，那么其中恰好第3次测试获得通过的概率是P＝C··＝.(　　) (5)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，σ越大，曲线越“矮胖”．(　　) (6)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)×　 (5) √　(6)√ ◆[小题查验] 1．(BSD选择性必修第一册P207例1改编)鸡接种一种疫苗后，有90%不会感染某种病毒，如果有5只鸡接种了疫苗，则恰好有4只鸡没有感染病毒的概率约为(　　) A．0.33　　B．0.66　　C．0.5　　D．0.45 解析：A　[设5只接种疫苗的鸡中没有感染病毒的只数为X，则X～B(5，0，9)，所以P(X＝4)＝C×0.94×0.1≈0.33.] 2．随机变量X的概率分布密度函数f(x)＝e(x∈R)，其图象如图所示，设P(X≥2)＝p，则图中阴影部分的面积为(　　) A．p B．2p C．－p D．1－2p 解析：C　[由题意可知X～N(1，σ2)，则P(X≤0)＝P(X≥2)＝p，故图中阴影部分的面积为－p.] 3．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，用X表示取到次品的个数，则EX等于(　　) A． B． C． D．1 解析：A　[法一：X的可能取值为0，1，2，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.所以EX＝1×＋2×＝； 法二：从10产品中任取一件为次品的概率是p＝，由于X服从超几何分布，故EX＝np＝2×＝.] 4．(混淆二项分布与超几何分布致误)箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为(　　) A． B．× C．× D．C×× 解析：B　[由题意知，第四次取球后停止是当且仅当前三次取的球是黑球，第四次取的球是白球的情况，此事件发生的概率为×.] 5．(对正态分布的性质及意义不熟悉致错)随机变量ξ服从正态分布ξ～N(μ，σ2)，若P(μ－2≤ξ≤μ)＝0.241，则P(ξ>μ＋2)＝________． 解析：∵随机变量ξ服从正态分布ξ～N(μ，σ2)， ∴P(μ－2≤ξ≤μ＋2)＝2P(μ－2≤ξ≤μ)＝0.482， ∴P(ξ>μ＋2)＝[1－P(μ－2≤ξ≤μ＋2)]＝×(1－0.482)＝0.259. 答案：0.259 　　　二项分布及其应用 ►[命题点1]　独立重复试验与二项分布 [典例1]　(2025·河南模拟)中国教育国际交流协会主办的联合国国际教育日—中国活动在京举办，活动主题为“她改变：女童和妇女教育与可持续发展”，教育部副部长、中国联合国教科文组织全国委员会主任田学军以视频方式出席活动，来自20多个国家的驻华使节、国际组织代表和专家学者在线参加活动．会前有两种会议模式可供选择，为此，组委会对两种方案进行选拔：组委会对两种方案的5项功能进行打分，每项打分获胜的一方得1分，失败的一方不得分．已知每项功能评比中，方案一获胜的概率为(每项得分不考虑平局的情况). (1)求打分结束后，方案一恰好领先方案二1分的概率； (2)设打分结束后方案一的得分为随机变量X，求X的分布列． [解]　(1)设打分结束后，方案一恰好领先方案二1分为事件A，由题可得方案一5项功能获胜3项，所以P(A)＝C＝. 即所求的概率为. (2)由题意可知X～B，P(X＝0)＝＝；P(X＝1)＝C××＝；P(X＝2)＝C××＝；P(X＝3)＝C××＝；P(X＝4)＝C××＝；P(X＝5)＝＝.则随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 4 5 P 　　 判断某随机变量是否服从二项分布的关键点： (1)在每一次试验中，事件发生的概率相同． (2)各次试验中的事件是相互独立的． (3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生． 1．(2025·福州模拟)福州纸伞是历史悠久的中国传统手工艺品，属于福州三宝之一．纸伞的制作工序大致分为三步：第一步削伞架，第二步裱伞面，第三步绘花刷油．已知某工艺师在每个步骤制作合格的概率分别为，，，只有当每个步骤制作都合格才认为制作成功1次． (1)求该工艺师进行3次制作，恰有1次制作成功的概率； (2)若该工艺师制作4次，其中制作成功的次数为X，求X的分布列． 解：(1)由题意可知，1次制作成功的概率为××＝， 所以该工艺师进行3次制作，恰有1次制作成功的概率P＝C××＝. (2)由题意知X的可能取值为0，1，2，3，4，X～B， 它的分布列为P(x＝k)＝C(k＝0，1，2，3，4)，即 X 0 1 2 3 4 P ►[命题点2]　二项分布的期望与方差 [典例2]　为了响应全民健身和运动的号召，某单位举行了羽毛球趣味发球比赛，规则如下：每位选手可以选择在A区发球2次或者B区发球3次，球落到指定区域内才能得分．在A区发球时，每得分一次计2分，不得分记0分，在B区发球时，每得分一次计3分，不得分记0分，得分高者胜出．已知选手甲在A区和B区每次发球得分的概率分别为，. (1)如果选手甲从在A区和B区发球得分的期望值角度考虑，问选手甲应该选择在哪个区发球？ (2)如果选手甲从在A区和B区发球得分的方差角度考虑，问选手甲应该选择在哪个区发球？ 解：(1)设选手甲在A区发2次球得分的次数为X，则X～B， 所以EX＝2×＝， 所以甲在A区发球得分的期望为E(2X)＝2EX＝2×＝. 设选手甲在B区发3次球得分的次数为Y，则Y～B，所以EY＝3×＝1， 所以甲在B区发球得分的期望为E(3Y)＝3EY＝3×1＝3. 由于3＞，所以选手甲应该选择在B区发球． (2)因为DX＝2××＝，DY＝3××＝，所以D(2X)＝4DX＝4×＝，D(3Y)＝9DY＝9×＝6， 由于＜6，所以选手甲应该选择在A区发球． 　　 二项分布的期望与方差 (1)如果ξ～B(n，p)，则用公式Eξ＝np；Dξ＝np(1－p)求解，可大大减少计算量． (2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aξ＋b)＝aEξ＋b以及Eξ＝np求出E(aξ＋b)，同样还可求出D(aξ＋b). 2．(2025·上海复旦附中模拟)已知随机变量X服从二项分布B(12，0.25)，且E(aX－3)＝3(a∈R)，则D(aX－3)＝________． 解析：因为X～B(12, 0.25)，所以EX＝12×0.25＝3，DX＝12×0.25×(1－0.25)＝， 又E(aX－3)＝aEX－3＝3，即3a－3＝3，解得a＝2， 所以D(aX－3)＝D(2X－3)＝22DX＝4×＝9. 答案：9 3．(2025·北京延庆模拟)已知某计算机网络的服务器有三台设备，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉．如果三台设备各自能正常工作的概率都为0.8，它们之间互相不影响．设能正常工作的设备数为X. (1)求X的分布列； (2)求E和D； (3)求计算机网络不会断掉的概率． 解：(1)由题意得X的可能取值为0，1，2，3，且X～B， P＝C×0.80×3＝0.008， P＝C×0.81×2＝0.096， P＝C×0.82×1＝0.384， P＝C×0.83×0＝0.512， 所以X的分布列如下： X 0 1 2 3 P 0.008 0.096 0.384 0.512 (2)因为X～B，所以E＝3×0.8＝2.4，D＝3×0.8×＝0.48. (3)要使得计算机网络不会断掉，也就是要求能正常工作的设备至少有一台，即X≥1， 因此所求概率为P＝1－P＝1－P＝1－0.008＝0.992. 　　　超几何分布 [典例]　(2025·山东枣庄测试)一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台，如果从中随机挑选2台，设挑选的2台电脑中A品牌的台数为X. (1)求X的分布列； (2)求X的均值和方差． [解]　(1)依题意，X的可能值有0，1，2. 则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝. 则X的分布列为： X 0 1 2 P (2)由(1)中的分布列，可得E(X)＝1×＋2×＝， D(X)＝×＋×＋×＝. 　　 1．超几何分布的两个特点 (1)超几何分布是不放回抽样问题． (2)随机变量为抽到的某类个体的个数． 2．超几何分布的特征：(1)考查对象分两类；(2)已知各类对象的个数；(3)从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布． 3．超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型． (2025·济宁月考)某学校对食堂饭菜质量进行满意度调查，随机抽取了200名学生进行调查，获取数据如下： 　 　满意度 性别　　　 满意 不满意 弃权 男生 80 30 10 女生 50 20 10 (1)用频率估计概率，该校学生对食堂饭菜质量满意的概率； (2)用分层抽样的方法从上表中不满意的50人中抽取5人征求整改建议，再从这5个人中随机抽取2人参与食堂的整改监督，则抽取的2人中女生的人数X，求X的分布列和期望． 解：(1)设“对食堂饭菜质量满意”为事件A. 在200人中对饭菜质量满意的有130人， ∴P(A)＝. (2)分层抽取比例λ＝＝， 男生抽取人30×＝3，女生抽取20×＝2人． 抽取的2人中女生人数X的所有可能为0，1，2. P(X＝0)＝＝. P(X＝1)＝＝＝. P(X＝2)＝＝. X 0 1 2 P 随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 正态分布 ►[命题点1]　正态分布的概率计算 1．(多选)(2024·新课标Ⅰ卷)随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口．为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值＝2.1，样本方差s2＝0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N，则(若随机变量Z服从正态分布N，P(Z<μ＋σ)≈0.8413)(　　) A．P(X>2)>0.2 B．P(X>2)<0.5 C．P(Y>2)>0.5 D．P(Y>2)<0.8 解析：BC　[依题可知，＝2.1，s2＝0.01， 所以Y～N， 故P＝P＝P(Y<2.1＋0.1)≈0.8413>0.5，C正确，D错误； 因为X～N，所以P＝P. 因为P≈0.8413，所以P(X>1.8＋0.1)≈1－0.8413＝0.1587<0.2， 而P＝P<P(X>1.8＋0.1)<0.2，B正确，A错误．故选BC.] 2．(多选)(2025·全国模拟)赵先生早上9：00上班，上班通常乘坐公交加步行或乘坐地铁加步行．赵先生从家到公交站或地铁站都要步行5 min.公交车多且路程近一些，但乘坐公交路上经常拥堵，所需时间(单位：min)服从正态分布N(33，42)，下车后从公交站步行到公司要12 min；乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需时间(单位：min)服从正态分布N(44，22)，下地铁后从地铁站步行到公司要5 min.从统计的角度，下列说法中正确的是(　　) 参考数据：若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜Z≤μ＋σ)≈0.682 6，P(μ－2σ＜Z≤μ＋2σ)≈0.954 4，P(μ－3σ＜Z≤μ＋3σ)≈0.997 4. A．若8：00出门，则乘坐公交上班不会迟到 B．若8：02出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大 C．若8：06出门，则乘坐公交上班不迟到的可能性更大 D．若8：12出门，则乘坐地铁上班几乎不可能不迟到 解析：CD　[对于A，若8：00出门，赵先生乘坐公交的时间Z1不大于43 min才不会迟到，因为乘坐公交所需时间(单位：min)服从正态分布N(33，42)，所以P(Z1≤43)＜P(Z1≤45)，且P(33－12＜Z1≤33＋12)≈0.997 4， 所以P(Z1≤43)＜P(Z1≤45)≈0.5＋0.5×0.997 4＝0.998 7， 所以赵先生上班迟到还是有可能发生的，A不正确； 对于B，若8：02出门，若乘坐地铁，则乘坐时间Z2不大于48 min才不会迟到，因为乘坐地铁所需时间(单位：min)服从正态分布N(44，22)， 所以P(44－4＜Z2≤44＋4)≈0.954 4， 所以P(Z2≤48)≈0.5＋0.954 4×0.5＝0.977 2， 所以赵先生乘坐地铁上班不迟到的可能性为0.977 2， 若8：02出门，若乘坐公交，则乘坐时间Z1不大于41 min才不会迟到，因为乘坐公交所需时间(单位：min)服从正态分布N(33，42)， 所以P(33－8＜Z1≤33＋8)≈0.954 4， 所以P(Z1≤41)≈0.5＋0.5×0.954 4＝0.977 2，故二者的可能性一样，B不正确； 对于C，若8：06出门，若乘坐公交，则乘坐时间Z1不大于37 min才不会迟到，因为乘坐公交所需时间(单位：min)服从正态分布N(33，42)， 所以P(33－4＜Z1≤33＋4)≈0.682 6， 所以P(Z1≤37)≈0.5＋0.5×0.682 6＝0.841 3， 若8：06出门，若乘坐地铁，则乘坐时间Z2不大于44 min才不会迟到，因为乘坐地铁所需时间(单位：min)服从正态分布N(44，22)， 所以P(Z2≤44)＝0.5＜0.8413，C正确； 对于D，若8：12出门，赵先生乘坐地铁的时间Z2不大于38 min才不会迟到，因为乘坐地铁所需时间(单位：min)服从正态分布N(44，22)， 所以P(44－6＜Z2≤44＋6)≈0.997 4， 所以P(Z2≤38)≈(1－0.997 4)×0.5＝0.001 3， 所以乘坐地铁上班不迟到的可能性非常小，D正确．] 利用正态分布求概率的两个方法 (1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间上概率相等．如： ①P(X<a)＝1－P(X≥a)； ②P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a). (2)“3σ”法：利用X落在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.682 6, 0.954 4，0.997 4求解． ►[命题点2]　正态分布的实际应用 [典例]　(2025·全国模拟)为了切实维护居民合法权益，提高居民识骗防骗能力，守好居民的“钱袋子”，某社区开展“全民反诈在行动——反诈骗知识竞赛”活动，现从参加该活动的居民中随机抽取了100名，统计出他们竞赛成绩分布如下： 成绩(分) [40，50) [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100] 人数 2 4 22 40 28 4 (1)求抽取的100名居民竞赛成绩的平均分和方差s2(同一组中数据用该组区间的中点值为代表)； (2)以频率估计概率，发现该社区参赛居民竞赛成绩X近似地服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本成绩平均分，σ2近似为样本成绩方差s2，若μ－σ＜X≤μ＋2σ，参赛居民可获得“参赛纪念证书”；若X＞μ＋2σ，参赛居民可获得“反诈先锋证书”. ①若该社区有3 000名居民参加本次竞赛活动，试估计获得“参赛纪念证书”的居民人数(结果保留整数)； ②试判断竞赛成绩为96分的居民能否获得“反诈先锋证书”． 附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 6，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 4，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997 4. [解]　(1)100名居民本次竞赛成绩平均分＝45×＋55×＋65×＋75×＋85×＋95×＝75，100名居民本次竞赛成绩方差s2＝(45－75)2×＋(55－75)2×＋(65－75)2×＋(75－75)2×＋(85－75)2×＋(95－75)2×＝100. (2)①由于μ近似为样本成绩平均分，σ2近似为样本成绩方差s2，所以，μ＝75，σ2＝100，可知，σ＝＝10，由于竞赛成绩X近似地服从正态分布N(μ，σ2)，因此竞赛居民可获得“参赛纪念证书”的概率P(μ－σ＜X≤μ＋2σ)＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＋P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈×0.682 6＋×0.954 4＝0.818 5，3 000×0.818 5＝2 455.5≈2 456，估计获得“参赛纪念证书”的居民人数为2 456；②当X＞μ＋2σ时，即X＞95时，参赛居民可获得“反诈先锋证书”，所以竞赛成绩为96分的居民能获得“反诈先锋证书”． 　　 (1)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个． (2)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，及曲线与x轴之间的面积为1.注意下面两个结论的活用： ①P(X＜a)＝1－P(X≥a)；②P(X＜μ－σ)＝P(X≥μ＋σ). (2025·全国模拟)某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个零件，测量其内径的数据如下(单位：cm)： 87　87　88　92　95　97　98　99　103　104 设这10个数据的平均值为μ，标准差为σ. (1)求μ与σ； (2)假设这批零件的内径Z(单位：cm)服从正态分布N(μ，σ2). ①从这批零件中随机抽取10个，设这10个零件中内径大于107 cm的个数为X，求D(2X＋1)；(结果保留5位有效数字) ②若该车间又新购一台设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径分别为76，85，93，99，108(单位：cm)，以原设备生产性能为标准，试问这台设备是否需要进一步调试，说明你的理由． 参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)≈0.954 4，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997 4，取0.997 44＝0.99. 解：(1)μ＝×(87＋87＋88＋92＋95＋97＋98＋99＋103＋104)＝95， σ2＝×(64＋64＋49＋9＋0＋4＋9＋16＋64＋81)＝36，则σ＝6. (2)①∵Z服从正态分布N(95，36)， ∴P(Z＞107)＝P(Z＞μ＋2σ)≈0.5－＝0.022 8，则X～B(10，0.022 8)， ∴DX＝10×0.022 8×(1－0.022 8) ＝0.222 8016， ∴D(2X＋1)＝4DX≈0.89 121. ②∵Z服从正态分布N(95，36)， ∴P(77＜Z≤113)＝P(μ－3σ＜Z≤μ＋3σ)≈0.997 4， ∴5个零件的内径中恰有一个不在(μ－3σ，μ＋3σ]内的概率为 C×0.997 44×(1－0.997 4)＝0.012 57. ∵76∉(77，113]， ∴试生产的5个零件的内径就出现了1个不在(μ－3σ，μ＋3σ]内，出现的频率是0.012 57的15倍多，∴根据3σ原则，需要进一步调试． 学科网（北京）股份有限公司 $$