主题4 第9章 第1节 随机抽样(教用Word)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

第九章　统计与成对数据的统计分析 第1节　随机抽样 1．知道获取数据的基本途径，包括：统计报表和年鉴、社会调查、试验设计、普查和抽样、互联网等． 2．了解总体、样本、样本量概念，了解数据的随机性． 3．理解随机抽样的必要性和重要性，会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本． 4．了解分层抽样的意义，能利用分层抽样解决实际问题． 一、普查与抽样调查 1．直接获取与间接获取数据 (1)直接获取：指通过社会调查或观察、试验等途径收集获取数据. 直接获取的数据称为直接数据或一手数据． (2)间接获取：指借助各种媒介，包括报纸杂志、统计报表和年鉴、广播、电视或网络等获取数据. 间接获取的数据称为间接数据或二手数据． 2．普查与抽查 (1)普查：是为了掌握调查对象的整体情况，对全体调查对象进行研究的一种调查方式． (2)抽查：从全体调查对象中，按照一定的方法抽取一部分对象作为代表进行调查分析，并以此推断全体调查对象的状况. 这种抽取一部分对象的调查方式叫作抽样调查，简称抽查． 3．总体和样本 (1)总体：调查对象的全体称为总体．通常总体中的每个个体可以对应成数值，当知道了这些数值在总体中所占的比例(百分比)，就知道了总体的分布． (2)样本：在进行抽样调查时，从总体中抽取的部分称为样本，其过程称为抽样，样本中个体的数目称为样本容量，简称样本量． 二、简单随机抽样 1．定义：一般地，从N(N为正整数)个不同个体构成的总体中，逐个不放回地抽取n(1≤n＜N)个个体组成样本，并且每次抽取时总体内的每个个体被抽到的可能性相等，这样的抽样方法叫作简单随机抽样． 2．使用范围：简单随机抽样是一种最基本的抽样方法，对于不知道某些特别信息的总体，往往采用简单随机抽样． 3．简单随机抽样的方法 (1)抽签法：先把总体中的N(N为正整数)个个体编号，并把编号依次分别写在形状、大小相同的签上(签可以是纸条、卡片或小球等)，再将这些号签放在同一个不透明的箱子里搅拌均匀，每次随机地从中抽取一个，然后将箱中余下的号签搅拌均匀，再进行下一次抽取. 如此下去，直到抽到预先设定的样本容量． 抽签法的具体步骤：①给总体中的每个个体编号；②抽签． (2)随机数法：先把总体中的N个个体依次编码为0，1，2，…，N－1，然后利用工具(转盘或摸球、随机数表、科学计算器或计算机)产生0，1，2，…，N－1中的随机数，产生的随机数是几，就选第几号个体，直至选到预先设定的样本容量． 三、分层随机抽样 1．定义：将总体按其属性特征分成互不交叉的若干类型(有时称作层)，然后在每个类型中按照所占比例随机抽取一定的个体，这种抽样的方法通常叫作分层随机抽样． 2．准确理解抽样比 (1)分层随机抽样也称“按比例抽样”，这里的“按比例”是指： ①＝； ② ＝. (2)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性是相等的，与层数、分层情况无关． 3．分层随机抽样的平均数 (1)一般地，将样本a1，a2，…，am和样本b1，b2，…，bn合并成一个新样本，则这个新样本的平均数为＝·＋·. (2)一般地，设样本中不同层的平均数和相应权重分别为1，2，…，n和w1，w2，…，wn，则这个样本的平均数为w11＋w22＋…＋wnn. 为了简化表示，引进求和符号，记作w11＋w22＋…＋wn n＝wii. 4．分层随机抽样的方差 设样本中不同层的平均数分别为1，2，…，n，方差分别为s，s，…，s，相应的权重分别为w1，w2，…，wn，则这个样本的方差为s2＝wi[s＋(i－)2]，其中为这个样本的平均数． 　　 1．不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率是相同的． 2．分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘以抽样比． 3．两种抽样方法的特点、联系及适用范围 类别 简单随机抽样 分层随机抽样 共同点 抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等 各自特点 从总体中逐个抽取 将总体分成几层，分层进行抽取 联系 各层抽样时，采用简单随机抽样 适用范围 总体个数较少 总体由差异明显的几部分组成 ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)任何事件都可作抽样调查．(　　) (2)抽样调查即通过样本来估计总体．(　　) (3)在分层随机抽样中，每层抽取的样本量都一样.(　　) (4)在分层随机抽样中，每层样本量都与层的大小成比例．(　　) (5)在样本量比例分配的分层随机抽样中，分配比例等于.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√ ◆[小题查验] 1．为了了解某路口每天在学校放学时段的车流量，有下面几个样本，统计该路口在学校放学时段的车流量，你认为合适的是(　　) A．抽取两天作为一个样本 B．春、夏、秋、冬每个季节各选两周作为样本 C．选取每周星期日作为样本 D．以全年每一天作为样本 解析：B　[依题意春、夏、秋、冬每个季节某路口在学校放学时段的车流量可能会有差异，为了统计该路口在学校放学时段的车流量，春、夏、秋、冬每个季节各选两周作为样本更具有代表性，故B正确；对于A，随机抽取两天作为一个样本，不具有代表性，故A错误；对于C，显然星期一到星期五学校放学时段的车流量与周末时学校放学时段的车流量会有差异，故选取每周星期日作为样本也不具有代表性，故C错误；对于D，全年每天的数据，属于全面调查，不属于抽样调查，故D错误．] 2．总体编号为01，02，…，29，30的30个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为(　　) 7816 1572 0802 6315 0216 4319 9714 0198 3204 9234 4936 8200 3623 4869 6938 7181 A．02　　　B．15　　　C．16　　　D．19 解析：D　[由题意，依次取到的编号为16、15、08、02、19，所以第5个个体的编号为19.] 3．(BSD必修第一册P157习题6－2A组T1改编)某学校有高中学生1 000人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为320，300，380，为了调查学生参加“社区志愿服务”的意向，现采用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个样本量为200的样本，那么应抽取高二年级学生的人数为(　　) A．50 B．60 C．70 D．80 解析：B　[因为学校有高中学生1 000人，抽取一个样本量为200的样本，故应抽取高二年级学生的人数为×300＝60.] 4．(忽视抽样的等可能性致误)利用简单随机抽样的方法，从n个个体(n＞13)中抽取13个个体，若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的可能性为________． 解析：第二次抽取时，余下的每个个体被抽取到的概率为，则＝， 即n－1＝36，则n＝37， ∴在整个抽样过程中， 每个个体被抽取到的概率为. 答案： 5．在某校高一年级的800名学生中，男生有360名，女生有440名．现采用样本量比例分配的分层随机抽样方法，从中抽取样本量为60的样本，计算出男生样本的平均数为171 cm，女生样本的平均数为160 cm，则总样本的平均数为________． 解析：因为分配比例为＝， 所以男生应抽360×＝27(名)， 女生应抽440×＝33(名). 则总样本平均数为＝×171＋×160＝164.95(cm). 答案：164.95 cm 1．(2025·天津模拟)利用简单随机抽样的方法，从n个个体(n≥13)中抽取13个个体，若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的可能性为(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． 解析：B　[第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为，则＝，解得n＝37， 故在整个抽样过程中，每个个体被抽到的可能性为.故选B.] 2．(2025·全国模拟)某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，…，50，从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行： 66 67 40 37 14 64 05 71 11 05 65 09 95 86 68 76 83 20 37 90 57 16 03 11 63 14 90 84 45 21 75 73 88 05 90 52 23 59 43 10 若从表中第1行第9列开始向右依次读取数据，则得到的第4个样本编号是(　　) A．10　　　B．09　　　C．71　　　D．20 解析：B　[从随机数表第1行的第9列数字开始由左向右每次连续读取2个数字，删除超出范围及重复的编号，符合条件的编号有14，05，11，09，所以选出来的第4个个体的编号为09.] 抽签法与随机数表法的适用情况 (1)抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数表法适用于总体中个体数较多的情况． (2)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点： 一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法． ►[命题点1]　分层随机抽样的有关计算 1．(2025·陕西汉中模拟)中国古代科举制度始于隋而成于唐，兴盛于明、清两朝．明代会试分南卷、北卷、中卷，按11∶7∶2的比例录取，若某年会试录取人数为200，则中卷录取人数为(　　) A．150 B．110 C．70 D．20 解析：D　[由于分层抽样比为11∶7∶2，则200个人中，中卷录取人数为200×＝20.故选D.] 2．某市的3个区共有高中学生20 000人，且3个区的高中学生人数之比为2∶3∶5.现要从所有学生中抽取一个容量为200的样本，调查该市高中学生的视力情况． (1) 用分层随机抽样法抽取样本，则在3个区分别抽取的学生人数分别为多少？ (2)若样本中3个区的高中学生的平均视力分别为4.8，4.8, 4.6，试估计该市高中学生的平均视力． 解：(1)在3个区分别抽取的学生人数之比也是2∶3∶5，所以抽取的学生人数分别是200×＝40，200×＝60，200×＝100. (2)样本中高中学生的平均视力为×4.8＋×4.8＋×4.6＝4.7. 所以估计该市高中学生的平均视力约为4.7. 　　 分层随机抽样的步骤 (1)将总体按一定标准分层； (2)计算各层的个体数与总体数的比，按各层个体数占总体数的比确定各层应抽取的样本容量； (3)在每一层进行抽样(可用简单随机抽样). 1．某高中为了促进学生个体的全面发展，针对学生发展要求，开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团．已知报名参加这两个社团的学生共有800人，按照要求每人只能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如下表： 高一年级 高二年级 高三年级 泥塑 a b c 剪纸 x y z 其中x：y：z＝5∶3∶2，且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的.为了了解学生对两个社团活动的满意程度，从中抽取一个容量为50的样本进行调查，则从“剪纸”社团的高二年级学生中应抽取的人数为(　　) A．4 B．6 C．9 D．10 解析：B　[因为“泥塑”社团的人数占总人数的，所以“剪纸”社团的人数占总人数的，人数为800×＝320.因为“剪纸”社团中高二年级人数比例为＝＝，所以“剪纸”社团中高二年级人数为320×＝96.以从“剪纸”社团的高二年级学生中抽取的人数为96×＝96×＝6.] ►[命题点2]　与统计图表相结合问题 3．某个高级中学组织物理、化学学科能力竞赛，全校1 000名学生都参加两科考试，考试后按学科分别评出一、二、三等奖和淘汰的这四个等级，现有某考场的两科考试数据统计如下，其中物理科目成绩为二等奖的考生有12人．如果以这个考场考生的物理和化学成绩去估计全校考生的物理和化学成绩分布，则以下说法正确的是(　　) ①该考场化学考试获得一等奖的有4人； ②全校物理考试获得二等奖的有240人； ③如果采用分层抽样从全校抽取200人，则化学考试被淘汰78人． A．①②③ B．②③ C．①② D．①③ 解析：C　[由于＝50，所以该考场总共有50人，所以化学考试获得一等奖的有50·(1－0.16－0.38－0.38)＝4(人)，所以①正确；全校获得物理考试二等奖的有1 000×0.24＝240(人)，所以②正确；如果采用分层随机抽样从全校抽取200人，则化学考试被淘汰的人数为200×0.38＝76(人)，所以③错误．] 　　 高考中常把分层随机抽样、频率分布、统计图表综合起来进行考查，反映了当前高考的命题方向．这类试题难度不大，但考查的知识面较为宽广，在解题中要注意准确使用所学知识，不然在一个点上的错误就会导致整体失误． 2．某商场开通三种平台销售商品，收集一月内的数据如图1；为了解消费者对各平台销售方式的满意程度，该商场用分层抽样的方法抽取4%的顾客进行满意度调查，得到的数据如图2.下列说法错误的是(　　) A.样本容量为240 B．若样本中对平台三满意的人数为40，则m＝40% C．总体中对平台二满意的消费者人数约为300 D．样本中对平台一满意的人数为24人 解析：B　[选项A，样本容量为6 000×4%＝240，该选项正确；选项B，根据题意得平台三的满意率＝40%，m＝40，不是m＝40%，该选项错误；选项C，样本可以估计总体，但会有一定的误差，总体中对平台二满意人数约为1 500×20%＝300，该选项正确；选项D，样本中对平台一满意人数为2 000×4%×30%＝24，该选项正确．] [典例]　(1)某校规定：学生期末总评成绩由卷面成绩、研究性学习成绩、平日成绩三部分构成，各部分所占比例如图所示，小明本学期数学学科三部分成绩分别是90分、80分、85分，则小明的期末数学总评成绩为________分． [解析]　小明的期末数学总评成绩为：90×60%＋80×20%＋85×20%＝87(分). [答案]　87 (2)若从某市甲、乙两所高中分别抽取样本量为m、n的两个样本，经计算得它们的平均数和方差分别为：、s与、s，记总的样本平均数为，样本方差为s2，证明： ①＝＋；②s2＝{m[s＋(－)2]＋n[s＋(－)2]}． [证明]　①＝＝＋，即得证； ②s2＝[ (xi－)2＋ (yj－)2]＝ [ (xi－＋－)2＋ (yi－＋－)2]， ∵ (xi－)＝xi－m＝0， ∴2(xi－)(－)＝2(－) (xi－)＝0， 同理可得2(yj－)(－)＝0， ∴s2＝[ (xi－)2＋ (－)2＋ (yj－)2＋ (－)2]， ＝[ms＋m(－)2＋ns＋n(－)2]， 所以，s2＝ {m[s＋(－)2]＋n[s＋(－)2]}，即得证． 在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数＝＋和样本的方差s2＝wi[s＋(i－)2]，估计总体平均数和总体方差． 对2022－2024年排名前十的省份的滑雪人次(单位：万人次)数据统计如下：2022－2023年和2023－2024年这10个省份滑雪人次的平均数1＝138.7，2＝80.6; 2022－2023年和2023－2024年这10个省份滑雪人次的方差s＝3 300，s＝1 082.据此计算这两年滑雪人次的平均数和方差s2(结果保留整数). 解：由题意，1＝138.7，2＝80.6， ∴＝＝109.65. 由s＝3 300，s＝1 082，得， s2＝[ (xi－)2＋ (xj－)2] ＝[ (xi－1－29.05)2＋ (xj－2＋29.05)2] ＝[ (xi－1)2＋ (xj－2)2＋29.052×20] ＝(33 000＋10 820)＋29.052≈3 035. 学科网（北京）股份有限公司 $$