专题05 函数和导数-【好题汇编】2025年高考数学二模试题分类汇编（湖北专用）

专题05 函数和导数 题型概览 题型01 函数性质 题型02 函数模型及其应用 题型03 函数和导数综合 函数性质题型01 1．（2025·湖北宜昌·二模）已知，函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·湖北黄冈·二模）已知函数的定义域，值域，则满足条件的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2025·湖北·二模）已知且，若函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·湖北武汉·二模）函数满足：，若，，则（    ） A．1 B． C．5 D． 5．（2025·湖北·二模）已知是定义域为的单调递减函数，且存在函数使得.若分别是方程和的根，则（    ） A．3 B． C．6 D． 6．（2025·湖北黄冈·二模）下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·湖北武汉·二模）已知且，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·湖北·二模）已知函数及其导函数的定义域均为，若，的图象关于直线对称，在上单调递减，且，则（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C． D．的极小值为 9．（2025·湖北宜昌·二模）设是函数的一个零点.记，其中表示不超过的最大整数，设数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 函数模型及其应用题型02 10．（2025·湖北武汉·二模）为了响应节能减排号召，某地政府决定大规模铺设光伏太阳能板，该地区未来第x年底光伏太阳能板的保有量y（单位：万块）满足模型，其中N为饱和度，为初始值，p为年增长率．若该地区2024年底的光伏太阳能板保有量约为20万块，以此为初始值，以后每年的增长率均为，饱和度为1020万块，那么2030年底该地区光伏太阳能板的保有量约 万块． （结果四舍五入保留到整数，参考数据：，，） 11．（2025·湖北黄冈·二模）如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为，关于下列说法，其中正确的说法是（    ） ①浮萍每月的增长率相同； ②若函数与的图像关于直线对称，则函数的值域为的充要条件是； ③若，则当时，恒成立； ④若浮萍蔓延到所经过的时间分别是，则. A．①③④ B．③④ C．②③④ D．①②④ 椭圆的性质和计算题型03 12．（2025·湖北武汉·二模）已知函数，曲线在点处的切线与平行． (1)求的值； (2)求的极值． 13．（2025·湖北·二模）已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)若，讨论方程的根的个数. 14．（2025·湖北黄冈·二模）已知函数. (1)若函数在点处的切线与轴平行，求的值； (2)当时，设的极大值为，求证：. 15．（2025·湖北黄冈·二模）已知函数满足对且，则的值为（    ） A．1012 B．1012.5 C．1013 D．1013.5 16．（2025·湖北宜昌·二模）已知函数，，在公共定义域内，下列结论正确的是（    ） A．恒成立 B．恒成立 C．恒成立 D．恒成立 17．（2025·湖北黄冈·二模）已知实数，且，则下列四个结论中，正确的有（    ） A． B． C． D．的最小值是 18．（2025·湖北·二模）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有两个不同的零点，. （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）证明：. 19．（2025·湖北宜昌·二模）已知是定义在上的单调递减函数，且对，均有，若不等式在恒成立，则实数的最大值是 . 20．（2025·湖北·二模）已知，函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 21．（2025·湖北·二模）已知函数的图象与椭圆交于两个不同的点.是上的点，在处的切线交轴于点，过作轴的垂线交于在处的切线交轴于点，过作轴的垂线交于，重复上述操作，依次得到. (1)求； (2)记直线的斜率为. （i）设的面积分别为，证明：； （ii）若，求证：. 22．（2025·湖北宜昌·二模）定义：若函数图象上恰好存在相异的两点，满足曲线在和处的切线重合，则称为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”.已知函数. (1)当时 （i）判断的奇偶性，并求在的极值； （ii）设在内的全部极值点按从小到大的顺序排列，求证：； (2)当时，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，若，证明：. 23．（2025·湖北黄冈·二模）已知函数． (1)若，求在的值域； (2)证明：存在唯一的极值点，且； (3)若恒成立，证明：． 24．（2025·湖北武汉·二模）已知曲线，为曲线C上任一点，则下列说法中正确的有（   ） A．曲线C与直线恰有四个公共点 B．曲线C与直线相切 C．是关于的函数 D．是关于的函数 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 函数和导数 题型概览 题型01 函数性质 题型02 函数模型及其应用 题型03 函数和导数综合 函数性质题型01 1．（2025·湖北宜昌·二模）已知，函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数与对数函数性质结合题意列式计算即可. 【详解】当时，函数单调递增，所以， 要使得函数的值域为， 则当时，，解得，所以实数的取值范围是 故选：D. 2．（2025·湖北黄冈·二模）已知函数的定义域，值域，则满足条件的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先计算，得出，再根据函数的定义即可写出所有符合条件的函数. 【详解】令，则， 则满足条件的有： ；；， 故满足条件的有个. 故选：C 3．（2025·湖北·二模）已知且，若函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次函数的值域，指对数函数的单调性，结合分界点的函数值大小，即可求出的范围. 【详解】当时，的取值范围为， 要使的值域为，必有在上单调递增，且， 所以解得. 故选:D. 4．（2025·湖北武汉·二模）函数满足：，若，，则（    ） A．1 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】分析函数的周期性，利用函数的周期性求的值. 【详解】由题意可得：， 用代替可得：， 两式相加得：. 所以，所以函数是以6为周期的周期函数. 所以. 又，所以. 所以. 所以. 故选：D 5．（2025·湖北·二模）已知是定义域为的单调递减函数，且存在函数使得.若分别是方程和的根，则（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】将化为便可利用的单调性解决. 【详解】因为，且， 所以， 即. 因为是定义域为的单调递减函数， 所以函数单调递减， 又因， 故，即. 故选：A. 6．（2025·湖北黄冈·二模）下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由奇函数的性质和导数逐一判断即可. 【详解】对于A，由题意可得，解得，所以定义域为， 又，所以为减函数，故A错误； 对于B，，， 二者不相等，所以不是奇函数，故B错误； 对于C，定义域需满足，即，定义域不关于原点对称，所以不是奇函数，故C错误； 对于D，定义域为， ，为奇函数； ，为增函数，故D正确. 故选：D 7．（2025·湖北武汉·二模）已知且，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由函数求导，明确导函数的单调性，并构造函数，求导研究其单调性，可得原函数的最值，根据最值的取值范围，可得答案. 【详解】由，求导可得，易知函数在单调递增， 令，求导可得在上恒成立， 则在上单调递增，所以， 易知，使得，则，即， 当时，，则函数在上单调递减； 当时，，则函数在上单调递增， 所以，由，则， 当，即时，，故A错误，B可能正确； 当，即时，令，求导可得， 则函数在上单调递减. 由，,则存在，使得， 所以当时，此时符号不定，故CD可能正确. 故选：BCD. 8．（2025·湖北·二模）已知函数及其导函数的定义域均为，若，的图象关于直线对称，在上单调递减，且，则（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C． D．的极小值为 【答案】ABD 【分析】由对称性及的对称性、周期性、单调性结合条件逐一判断即可. 【详解】的图象关于直线对称， ， 即， 的图象关于直线对称， 则是偶函数，故A正确； ， ， ， 的图象关于点对称， 的图象关于点对称， 即是奇函数，故B正确； ， 又的图象关于直线对称， ， ，则， ， 8为的一个周期． ，故C错误； 在上单调递减， 且的图象关于点对称， 在上单调递减， 在上单调递减， 的图象关于直线对称， 在上单调递增， 是的周期函数， 在上单调递增， 时，取得极小值， ，故D正确. 故选：ABD. 9．（2025·湖北宜昌·二模）设是函数的一个零点.记，其中表示不超过的最大整数，设数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断的正负，再根据单调性和零点存在性定理可判断的范围，再分n为奇数和偶数讨论的取值即可. 【详解】，则函数在上为增函数， 因为， ， 由零点存在定理可得，则， 当为正奇数时，设，则，则， 当为正偶数时，设，则，则， 所以， . 故选：D. 【点睛】关键点点睛，本题的关键是求出零点的范围，将奇数设为，偶数设为求解. 函数模型及其应用题型02 10．（2025·湖北武汉·二模）为了响应节能减排号召，某地政府决定大规模铺设光伏太阳能板，该地区未来第x年底光伏太阳能板的保有量y（单位：万块）满足模型，其中N为饱和度，为初始值，p为年增长率．若该地区2024年底的光伏太阳能板保有量约为20万块，以此为初始值，以后每年的增长率均为，饱和度为1020万块，那么2030年底该地区光伏太阳能板的保有量约 万块． （结果四舍五入保留到整数，参考数据：，，） 【答案】 【分析】把已知数据代入模型，求出对应的值即可． 【详解】根据题意，所给模型中， 则2030年底该地区光伏太阳能板的保有量为， 因为，所以， 所以2030年底该地区光伏太阳能板的保有量约36万块. 故答案为：36. 11．（2025·湖北黄冈·二模）如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为，关于下列说法，其中正确的说法是（    ） ①浮萍每月的增长率相同； ②若函数与的图像关于直线对称，则函数的值域为的充要条件是； ③若，则当时，恒成立； ④若浮萍蔓延到所经过的时间分别是，则. A．①③④ B．③④ C．②③④ D．①②④ 【答案】A 【分析】将点的坐标代入可求出，通过增长率计算可判断①；根据反函数的定义可知，利用对数函数的性质结合二次函数的图象和性质可判断②；利用基本不等式计算判断③；利用指数幂的运算判断④. 【详解】由图象可知，函数过点，则，即. 对于①，浮萍每月的增长率为，故①正确； 对于②，若函数与的图像关于直线对称，则， 则，要使其值域为，则函数的值域要包含， 因为二次函数开口向上，所以即可，解得或，故②错误； 对于③，，设，则， 所以， 当且仅当即时等号成立，所以，故③正确； 对于④，由题意知，，，，所以，， 则，故，故④正确. 故选：A. 椭圆的性质和计算题型03 12．（2025·湖北武汉·二模）已知函数，曲线在点处的切线与平行． (1)求的值； (2)求的极值． 【答案】(1)2 (2)极小值为，无极大值. 【分析】（1）根据导数的几何意义，可得，可求的值. （2）求导，分析函数的单调性，可得函数的极值. 【详解】（1）因为，. 所以，. 由题意 . （2）因为，. 所以，. 由 ；由 . 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以当时，函数取得极小值，且. 13．（2025·湖北·二模）已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)若，讨论方程的根的个数. 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析. 【分析】（1）应用分类讨论及导数研究函数的单调区间即可； （2）根据已知有，构造并应用导数研究函数的单调性，得到，利用导数研究右侧的单调性和最值，即可得参数范围. 【详解】（1）的定义域为，则， 因，由，解得， ①当时，恒成立， 所以的无递增区间，递减区间为； ②当时，， 令，得；令，得， 所以的递增区间为，递减区间为； ③当时，， 令，得；令，得， 所以的递增区间为，递减区间为； 综上所述， 当时，无递增区间，递减区间为； 当时，的递增区间为，递减区间为； 当时，的递增区间为，递减区间为； （2）由题设， 令，则，即在上单调递增， 故上式中满足，则有，可得， 令，则，由解得. 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 当时，且，当时，， 故. 结合图象，可知， 当时，方程有0个实根； 当或时，方程有1个实根； 当时，方程有2个实根. 14．（2025·湖北黄冈·二模）已知函数. (1)若函数在点处的切线与轴平行，求的值； (2)当时，设的极大值为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义得出，即可得出实数值； （2）对实数的取值进行分类讨论，分析函数的单调性，求出的表达式，再利用导数证明出即可. 【详解】（1）因为 则. 由导数的几何意义可得，得. （2）当时，由可得或， 当时，即当时，由可得或，由可得， 此时函数的增区间为、，减区间为， 则的极大值等于； 当时，，在上单调递增，无极大值； 当时，即当时，由可得或，由可得， 此时函数的增区间为、，减区间为， 所以的极大值等于， 令，所以， 当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以故，                         综上所述，. 15．（2025·湖北黄冈·二模）已知函数满足对且，则的值为（    ） A．1012 B．1012.5 C．1013 D．1013.5 【答案】B 【分析】令，得，令，得，令，得，从而得到等差数列，然后可解. 【详解】令，得. 令，得. 令，得. 故是首项为，公差为的等差数列. 于是，. 故选：B. 16．（2025·湖北宜昌·二模）已知函数，，在公共定义域内，下列结论正确的是（    ） A．恒成立 B．恒成立 C．恒成立 D．恒成立 【答案】C 【分析】构造函数，，根据其导数判断单调性，再根据即可判断AB；根据与在的单调性和公共零点即可判断CD. 【详解】令，， 则恒成立， 故在上单调递增，而，故当时，； 当时，，故A、B均错误； 由于与在均为单调递增函数，且有公共的零点， 故恒成立. 故选：C. 17．（2025·湖北黄冈·二模）已知实数，且，则下列四个结论中，正确的有（    ） A． B． C． D．的最小值是 【答案】D 【分析】由题意构造函数构造函数，求导得函数单调性、极值情况，即可判断A，B，C，将目标式子转换为关于的函数即可求解. 【详解】构造函数， 则，由可得或，由可得， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 因为a，b，c为函数的三个零点， 所以，， 因为， 所以由零点存在定理可得，，， 而与矛盾，由不能得到，由不能得到或；故A、B、C 错误； 由条件可得，， 所以， 所以当时取得最小值，故D正确. 故选：D. 18．（2025·湖北·二模）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有两个不同的零点，. （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）证明：. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率，根据点斜式得解； （2）（ⅰ）转化为有两个相异正根，，利用导数研究的大致情况得解； （ⅱ）设，利用导数判断函数单调性，据此可得当时，，再由及函数单调性得出得证. 【详解】（1）当时，，所以， 所以，又， 所以曲线在处的切线方程为，即 （2）（ⅰ） 易知的定义域为， 由题意得，方程有两个相异正根，， 即方程有两个相异正根，， 设，则， 因为，所以， 令，得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 由，及的性质知， 当且时，，， 所以当时，，又，， 所以要使有两个相异正根，，必有， 故实数的取值范围为. （ⅱ）证明：由题意可知，，不妨设，则， 设，则 ， 令， 则当时，， 所以在上单调递减，则当时，， 所以当时，， 所以在上单调递减，故当时，， 所以当时，， 所以，即， 又，， 由（ⅰ）可知，在上单调递减，所以，故. 19．（2025·湖北宜昌·二模）已知是定义在上的单调递减函数，且对，均有，若不等式在恒成立，则实数的最大值是 . 【答案】 【分析】记 ，由 和得 ，再由单调性可得，从而可求的表达式，参变分离即可求得答案. 【详解】记 ， 用y替换中的x得 ，且， ，由函数单调性知， 则， 又由得， 所以 或 ， 又函数在定义域上单调递减，所以 满足题设条件， 所以，即，， 令，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故，故. 故实数的最大值是 故答案为：2e. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是令 ，得到 ，进而求出函数解析式. 20．（2025·湖北·二模）已知，函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数和，求导，结合零点存在性定理可得为方程的两个实数根，所以，，．进而建立间的等量关系，化简，构造函数，求导即可求解.或者将不等式变形为，作出函数，，的大致图象，根据图象可得为方程的两个根，即可根据解法一求解. 【详解】由题意得的定义域为．设， 则，令，得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 又当时，，当时，， 所以在内有两个零点，设为， 则当时，，当时，． 设， 由，得当时，， 当时，，则为方程的两个实数根， 所以，，． 又，，所以，， 所以， 即，则，所以． 易知，，故， 设，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，故的最小值为． 解法二 由，，， 得． 在同一平面直角坐标系中作出函数，，的大致图象， 数形结合可知，若， 则与，的图象的两个交点重合， 如图，设这两个交点分别为，则为方程的两个实数根， 所以，，． 易知为方程的两个实数根，所以，， 以下同解法一． 故选：C. 21．（2025·湖北·二模）已知函数的图象与椭圆交于两个不同的点.是上的点，在处的切线交轴于点，过作轴的垂线交于在处的切线交轴于点，过作轴的垂线交于，重复上述操作，依次得到. (1)求； (2)记直线的斜率为. （i）设的面积分别为，证明：； （ii）若，求证：. 【答案】(1)，. (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【分析】（1）根据函数在点处得切线方程即可求出，再根据规律求出. （2）（i）先求出和的关系式，再结合斜率性质，构造函数进行证明. （ii）根据点代入作差作和，利用，通过变形推理进行证明. 【详解】（1）解：由题意在处的切线方程为； 令，可得，即. 由可知在处的切线方程为； 令可得，即； 所以数列是以为首项，公差为的等差数列，所以. （2）（i）设，由题意不同时为0，不妨令且； . 由（1）可知； 则. 要证，即证，即证； 令，即证，再令，即证，即证. 构造函数，则，所以在上单调递增； 即.所以得证.即. （ii）由（i）可知，，所以. 因为，得； 即，即. 得，因为，所以； 所以. 所以 .即. 当时，有，即； 所以，从而. 【点睛】常见的放缩法技巧： 22．（2025·湖北宜昌·二模）定义：若函数图象上恰好存在相异的两点，满足曲线在和处的切线重合，则称为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”.已知函数. (1)当时 （i）判断的奇偶性，并求在的极值； （ii）设在内的全部极值点按从小到大的顺序排列，求证：； (2)当时，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，若，证明：. 【答案】(1)（i）偶函数，极小值为，无极大值；（ii）证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）（i）由奇偶性的定义，结合求导确定函数单调性即可求解；（ii）由题可得极值点为第二或第四象限角，然后结合正切函数的性质讨论两极值点的差的范围即可. （2）利用导数几何意义得，，由余弦函数的性质，只需考虑，情形，在此条件下构造函数利用导数确定单调性，从而得出缩小的范围，再由不等式的性质证明结论即可. 【详解】（1）（i）当时，， 因为，故是偶函数， 由，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故在的极小值为，无极大值.    （ii）由（i）得，令，则， 对满足方程的有，所以， 设是的任意正实根，则， 则存在一个非负整数，使，即为第二或第四象限角， 因为， 所以在第二或第四象限变化时，变化如下， （为奇数） 0 + （为偶数） + 0 所以满足的正根都为函数的极值点， 由题可知为方程的全部正实根， 且满足，， 所以， 因为，，， 则，由，可得， 故得证. （2）由题意得， 当时，， 设对应的切点为，， 对应的切点为，， 由于，所以，， 由余弦函数的周期性，只要考虑的情形， 又结合余弦函数的图象，只需考虑，情形， 则， ， 其中，得到， 又，， 即，， 当时，，， 令（）， 则，， 在上单调递减，又，所以， 所以，此时，则， 故得证. 23．（2025·湖北黄冈·二模）已知函数． (1)若，求在的值域； (2)证明：存在唯一的极值点，且； (3)若恒成立，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求导后分析单调性可得； （2）由（1）可知为函数的唯一极值点且为极小值点，求导后分当时和讨论，当时，分别构造，求导分析单调性和极值，利用零点存在定理分析； （3）由（2）可知的最小值，利用恒成立，得到，采用分析法证明令，构造函数，求导分析单调性和最值可证明. 【详解】（1）当时，， 当时，单调递减；当时，单调递增， 又，所以在的值域为． （2）证明：当时，由（1）可知为函数的唯一极值点且为极小值点，满足 下面讨论的情形：， 当时，，所以，所以在单调递增，无极值点． 当时，，设恒成立，所以在单调递增， 令得即，则有，即． 又设，易知在单调递增，， 令，设，， 当时，单调递减，所以，即， 而，根据函数零点存在定理可知，存在唯一的，使得即， 当时，即，当时，即， 故是函数唯一的极值点且为极小值点． 综上所述，存在唯一的极小值点，且． （3）证明：由（2）可知在单调递减，在单调递增， 所以的最小值为， 又因为即，所以， 从而有， 若恒成立，则， 令，则，要证，即证即． 设在单调递减， 所以，所以在单调递增， 所以，即．所以成立． 24．（2025·湖北武汉·二模）已知曲线，为曲线C上任一点，则下列说法中正确的有（   ） A．曲线C与直线恰有四个公共点 B．曲线C与直线相切 C．是关于的函数 D．是关于的函数 【答案】BD 【分析】对于A，构造，利用导数讨论其在上的零点个数为3后可判断其正误，对于B，利用导数可判断可判断其正误，对于C，结合零点存在定理可判断其正误，对于D，利用导数判断函数的单调性后可得其正误. 【详解】对于A，由消元法可得，所以， 当或时，或，故此时无解， 下面考虑上方程的解的个数， 设，其中， 设且，则的解为，， 而， 故当或时，，当时，， 故在，上为减函数，在 上为增函数， 而，且， ，而，故， 故，， 故在有3个不同的实数根，故A错误； 对于B，由可得，故， 对两边求关于的导数， 则， 故当时，有， 当， ，而直线的斜率为2， 故曲线与直线相切，故B正确. 对于C，取，考虑即方程的解的个数， 设，则， ， ，， 故至少有两个零点，故有两个不同的解， 故不是关于的函数，故C错误； 对于D，，则， 故为的减函数，且当时，，当时，， 故对任意，方程即有唯一解， 故是关于的函数，故D正确； 故选：BD. 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$