专题02 三角函数、解三角形和数列-【好题汇编】2025年高考数学二模试题分类汇编（湖北专用）

专题02 三角函数、解三角形和数列 题型概览 题型01 三角函数的额性质和计算 题型02 解三角形 题型03 数列 三角函数的性质和计算题型01 1．（2025·湖北黄冈·二模）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·湖北武汉·二模）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·湖北·二模）函数的图象向右平移个单位长度后，其图象关于轴对称，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·湖北黄冈·二模）已知，函数，则下列结论一定正确的是（    ） A．的图象关于轴对称 B．的最小正周期为 C．的最大值为 D．在上的最小值为 5．（2025·湖北宜昌·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 6．（2025·湖北·二模）对于函数，，则（    ） A．与有相同的奇偶性 B．与有相同的最小正周期 C．与有相同的最大值 D．与的图象有相同的对称轴 7．（2025·湖北武汉·二模）函数，则下列关于的说法中正确的是（    ） A．最小正周期是 B．最大值是2 C．是区间上的减函数 D．图象关于点中心对称 8．（2025·湖北·二模）已知，均为锐角，，，则 . 9．（2025·湖北·二模）已知，则 . 10．（2025·湖北武汉·二模）已知，，则 ． 11．（2025·湖北襄阳·二模）已知函数. (1)求的单调递减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，当函数在上有一个零点时，求k的取值范围. 解三角形题型02 12．（2025·湖北武汉·二模）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，面积为，D为边AB上一点，CD是的角平分线，则（   ） A． B．1 C． D． 13．（2025·湖北黄冈·二模）如图，锐角的内角A ,B , C的对边分别为，直线与的边AB，AC分别相交于点D，E，设，满足. (1)求角的大小； (2)若且，求的取值范围. 14．（2025·湖北宜昌·二模）如图所示，在中，，AD平分，且.    (1)若，求的长度； (2)求的取值范围； (3)若，求为何值时，最短. 15．（2025·湖北黄冈·二模）如图，在三棱锥的平面展开图中，，． (1)求的余弦值； (2)在三棱锥的棱上是否存在点，使得平面和平面所成角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 16．（2025·湖北·二模）记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)若，的面积为，求边上的高. 17．（2025·湖北·二模）在中，内角的对边分别为，且满足. (1)求； (2)若为边上一点（异于端点），，求的取值范围. 18．（2025·湖北武汉·二模）如图，与存在对顶角，，，且． (1)证明：为中点； (2)若，求的长． 数列题型03 19．（2025·湖北宜昌·二模）设是函数的一个零点.记，其中表示不超过的最大整数，设数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 20．（2025·湖北武汉·二模）数列的通项公式为，为其前n项和，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 21．（2025·湖北·二模）若数列满足，，则该数列的前2 025项的乘积是（   ） A． B． C．2 D．1 22．（2025·湖北黄冈·二模）已知函数满足对且，则的值为（    ） A．1012 B．1012.5 C．1013 D．1013.5 23．（2025·湖北·二模）记为等差数列的前项和，若，，则该数列的公差（    ） A．6 B．4 C． D． 24．（2025·湖北·二模）在正项等比数列中，是方程的两个根，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 25．（2025·湖北武汉·二模）记等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 26．（2025·湖北襄阳·二模）对于数列，若存在常数，对任意的，恒有，则称数列为数列.设是数列的前n项和，则下列结论正确的是（   ） A．首项为1，公比为的等比数列是数列 B．若数列是数列，则数列是数列 C．若数列是数列，则数列是数列 D．若数列是数列，数列是数列 27．（2025·湖北武汉·二模）已知数列满足，的前n项和为，则（   ） A． B．数列是等比数列 C．，，构成等差数列 D．数列前100项和为 28．（2025·湖北宜昌·二模）记为等差数列的前项和，若，，则 . 29．（2025·湖北·二模）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知数列满足，，当时，令，若函数的图象关于点成中心对称图形，则 . 30．（2025·湖北·二模）已知数列是等差数列，，且成等比数列.给定，记集合的元素个数为bk. (1)求的值; (2)求满足的最小自然数的值. 31．（2025·湖北黄冈·二模）记为数列的前项和，已知，当时，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 三角函数、解三角形和数列 题型概览 题型01 三角函数的额性质和计算 题型02 解三角形 题型03 数列 三角函数的性质和计算题型01 1．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知条件求出与的和、差、积，再利用立方差公式来计算的值． 【详解】已知，将等式两边同时平方可得． 根据完全平方公式展开得． 因为，所以，移项可得，则． 因为，且，所以与异号，又因为在上，所以． ，由于，，则． 因为，，所以，那么． 根据立方差公式． 因为，，，所以． 的值为． 故选：C． 2．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两角和的正切公式求得，再根据二倍角的余弦公式和同角公式将化为正切的形式，代入正切值即可求解. 【详解】由，可得，即，解得， 所以. 故选：A. 3．函数的图象向右平移个单位长度后，其图象关于轴对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】写出平移后函数解析式，利用它关于轴对称（函数为偶函数）求得值． 【详解】把函数（）的图象向右平移个单位长度， 所得图象对应的函数是（），且它是偶函数， 所以（），，（）， 又因为，所以. 故选：B． 4．已知，函数，则下列结论一定正确的是（    ） A．的图象关于轴对称 B．的最小正周期为 C．的最大值为 D．在上的最小值为 【答案】AC 【分析】由可得A正确；根据函数的周期举反例可判断B的正误，举反例可得D错误；由辅助角公式可得C正确. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，当时，, 此时,函数的最小正周期是，故B错误； 对于C，，由正弦函数的值域可得最大值为，故C正确； 对于D，当时，， 所以， 当时，，当时，，由于不确定的大小，所以最小值为不正确，故D错误； 故选：AC 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由余弦的和差角公式可判断AB，由正切与正余弦关系可判断C，由和化积公式可判断D. 【详解】由，且， 则，故A正确； 由，故B错误； 由，故C正确； 由，故D正确. 故选：ACD. 6．对于函数，，则（    ） A．与有相同的奇偶性 B．与有相同的最小正周期 C．与有相同的最大值 D．与的图象有相同的对称轴 【答案】BC 【分析】利用奇偶性的定义得到两个函数的奇偶性，即可判断A；在同一直角坐标系中，作出两个函数的图象，由图可得两个函数的最小正周期，即可判断B；可得两个函数的最大值均为1，即可判断C；由图可得两个函数的对称轴，即可判断D； 【详解】因为，， 则为偶函数，为奇函数， 所以与不具有相同的奇偶性，故A错误； 在同一直角坐标系中，作出，的图象， 由图可知，的最小正周期为，的最小正周期， 所以与有相同的最小正周期，故B正确； 的最大值为1，的最大值为1，所以与有相同的最大值，故C正确； 由图可知，图象的对称轴为，，图象的对称轴为，， 所以与的图象没有相同的对称轴，故D错误. 故选：BC.    7．函数，则下列关于的说法中正确的是（    ） A．最小正周期是 B．最大值是2 C．是区间上的减函数 D．图象关于点中心对称 【答案】AC 【分析】根据二倍角余弦公式和辅助角公式化简函数，利用正弦函数的周期求解判断A；根据正弦函数的性质判断B；利用正弦函数的单调性判断C；由正弦函数的对称中心判断D. 【详解】 ， 则的最小正周期是，故选项A正确； 由三角函数的性质可知，即的最大值是，故选项B错误； 时，，因为在上单调递减， 故是区间上的减函数，故选项C正确； 令，解得， 故的图象的对称中心为，，令得， 所以的图象不关于点中心对称，故选项D错误. 故选：AC 8．已知，均为锐角，，，则 . 【答案】 【分析】利用同角三角函数关系和两角和差的余弦公式求解即可. 【详解】因为，均为锐角，所以， 由，得，所以， 由，得，所以， 所以，解得， 所以，故， 故答案为： 9．已知，则 . 【答案】/0.5 【分析】利用同角三角函数的基本关系求解即可. 【详解】因为，所以， 则，故. 故答案为： 10．已知，，则 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，切化弦，再利用和差角的余弦公式求解. 【详解】依题意，，则， 由，得，解得， 所以. 故答案为： 11．已知函数. (1)求的单调递减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，当函数在上有一个零点时，求k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角函数的关系式的恒等变换，把函数关系变形成正弦型函数，结合正弦函数的单调性即可求解； （2）利用正弦函数的性质求出结果. 【详解】（1）, 令 ， 解得： ， 所以的单调递减区间为 （2）将函数的图象向右平移个单位后得到， 则， 因为，所以， 所以要使函数在上有一个零点，则与只有一个交点， 结合正弦函数的图象： 可得当或，即或， 即或，或时，与只有一个交点， 所以实数的取值范围为 解三角形题型02 12．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，面积为，D为边AB上一点，CD是的角平分线，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理，结合面积可求和，利用，可得，进而可求得. 【详解】在中，，由余弦定理可得， 所以，所以， 又面积为，所以，所以， 所以，所以， 因为CD是的角平分线，，所以， 因为，所以， 所以， 所以，所以，所以. 故选：B. 13．如图，锐角的内角A ,B , C的对边分别为，直线与的边AB，AC分别相交于点D，E，设，满足. (1)求角的大小； (2)若且，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，进而得到，即可求解； （2）由正弦定理，得到，化简，根据锐角三角形，求得，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：因为， 可得， 可得， 所以，可得， 又因为，可得， 所以，因为，所以. （2）解：因为，可得且， 由正弦定理得，可得， 则， 在锐角三角形中，可得 ，可得，可得， 所以，所以，所以， 所以的取值范围为. 14．如图所示，在中，，AD平分，且.    (1)若，求的长度； (2)求的取值范围； (3)若，求为何值时，最短. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）已知条件结合正弦定理得，在和分别利用正弦定理表示出，再由可得，从而可以求解； （2）设，由即可求解； （3）由余弦定理和三角形面积公式可用∠BAC表示出.方法一：令，则，由辅助角公式即可求解；方法二：利用和三角恒等变换公式，再结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）因为，由正弦定理得：， 在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 因为AD平分，所以， 因为，所以，所以， 因为，，所以，得，所以； （2）因为，设， 所以， 因为，， 所以， 因为，所以，所以， 因为，所以，所以； （3）由余弦定理得， 因为，所以，因为，所以， 所以， 方法一： 令，则， 所以（其中）， 所以当时，取得最小值4， 即当时，取得最小值4，此时， 所以， 因为，所以，所以， 由（2）知，所以，即当时，最短. 方法二： ， 当且仅当，即时，故此时，即. 15．如图，在三棱锥的平面展开图中，，． (1)求的余弦值； (2)在三棱锥的棱上是否存在点，使得平面和平面所成角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，或. 【分析】（1）根据已知求出相关线段的长度，再应用余弦定理求的余弦值； （2）构建合适的空间直角坐标系，根据已知面面角的余弦值及向量法求夹角，列方程求出，即可得结论. 【详解】（1）在中，因为，所以，所以， 在中，因为， 所以，所以． 又因为， 在中，由余弦定理得. （2）因为，即平面， 所以平面，平面内作， 以为原点，、、为、、轴正方向，建立空间直角坐标系， 如图所示，则，， 设，故， 设平面的法向量，则， 取，则，易得平面的法向量 则平面和平面所成角的余弦值，解得或， 当或时，平面和平面所成角的余弦值为. 16．记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)若，的面积为，求边上的高. 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）利用正弦定理，可把转化成，再借助辅助角公式和三角形内角的取值范围，可求角. （2）借助，可得，再利用余弦定理可求边，再利用三角形面积公式可求边上的高. 【详解】（1）由正弦定理，得，又，所以， 所以， 整理，得，即， 又，所以， 所以，故. （2）由的面积为，得，所以. 由余弦定理，得， 所以， 设边上的高， 由，解得. 17．在中，内角的对边分别为，且满足. (1)求； (2)若为边上一点（异于端点），，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理角化边，再结合余弦定理求解角度即可. （2）利用正弦定理结合角平分线定理将目标式利用三角函数表示，结合正切函数的性质求解取值范围即可. 【详解】（1）在中，因为， 所以， 得到， 据正弦定理可得，则， 由余弦定理得， 因为，所以. （2）在中，因为， 所以，则， 由正弦定理得， 则， 又因为，所以，则， 结合函数性质可得，故的取值范围为. 18．如图，与存在对顶角，，，且． (1)证明：为中点； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设，，结合余弦定理，表示出与，根据列式化简可得. （2）先确定角的数量关系，根据求角的三角函数，再在中用正弦定理，可求的长. 【详解】（1）设，，则，. 在中，由余弦定理得： 在中，由余弦定理得：. 由，所以 . 化简得：. 故为中点. （2）如图： 过点做，交与. 则. 由 （）. 所以，又，所以. 所以. 所以，又，. 所以. 由 所以 . 又，所以，所以. 所以 . 即. 在中，根据正弦定理，可得： . 数列题型03 19．设是函数的一个零点.记，其中表示不超过的最大整数，设数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断的正负，再根据单调性和零点存在性定理可判断的范围，再分n为奇数和偶数讨论的取值即可. 【详解】，则函数在上为增函数， 因为， ， 由零点存在定理可得，则， 当为正奇数时，设，则，则， 当为正偶数时，设，则，则， 所以， . 故选：D. 【点睛】关键点点睛，本题的关键是求出零点的范围，将奇数设为，偶数设为求解. 20．数列的通项公式为，为其前n项和，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，可求得，计算可求得的最小值. 【详解】令，因为，所以解得， 所以数列的前3项为负，从第4项起为正， 所以的最小值为. 故选：D. 21．若数列满足，，则该数列的前2 025项的乘积是（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】求出该数列的周期和一周期内的乘积即可得到答案. 【详解】因为数列满足，，所以， 同理可得，所以数列{an}的周期为4，即， 且，而， 所以该数列的前2 025项的乘积是. 故选：C. 22．已知函数满足对且，则的值为（    ） A．1012 B．1012.5 C．1013 D．1013.5 【答案】B 【分析】令，得，令，得，令，得，从而得到等差数列，然后可解. 【详解】令，得. 令，得. 令，得. 故是首项为，公差为的等差数列. 于是，. 故选：B. 23．记为等差数列的前项和，若，，则该数列的公差（    ） A．6 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】根据，，利用等差数列的通项公式及求和公式将条件转化成基本量首项和公差，即可求解. 【详解】由，得，即. 由，得，所以. 故选：B. 24．在正项等比数列中，是方程的两个根，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】根据等比数列的性质求解. 【详解】因为是方程的两个根， 所以， 又因为在等比数列中，， 又因为是正项等比数列，所以， 所以， 故选:B. 25．记等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】设出公差，利用等差数列前项和公式，结合已知列出方程求解. 【详解】设等差数列的公差为，由，得，解得， 由，得，则，所以. 故选：A 26．对于数列，若存在常数，对任意的，恒有，则称数列为数列.设是数列的前n项和，则下列结论正确的是（   ） A．首项为1，公比为的等比数列是数列 B．若数列是数列，则数列是数列 C．若数列是数列，则数列是数列 D．若数列是数列，数列是数列 【答案】ACD 【分析】对于A由题设，根据数列及等比数列前n项和公式判断数列性质判断即可；对于B，设，由数列性质判断即可；对于C由数列性质判断及和的关系判断即可；对于D，由数列是数列可得存在，对任意的，有，再由 ，记，进而结合数列性质判断即可. 【详解】对于A：由题意，设，则，， 因此 ，故是数列，故A正确； 对于B：设，则，易知数列是数列， 而此时，所以， 由的任意性，知数列不是数列，故B错误； 对于C：若数列是数列，则存在， 对任意的，有， 即， 所以， 所以数列为数列，故C正确； 对于D：若数列是数列，则存在， 对任意的，有， 因为 ， 记， 则有， 因此. 故数列是数列，故D正确. 故选：ACD. 27．已知数列满足，的前n项和为，则（   ） A． B．数列是等比数列 C．，，构成等差数列 D．数列前100项和为 【答案】AD 【分析】令，计算可判断A，当，可得，两式相减可得，进而逐项计算可判断BCD. 【详解】对于A，当时，可得，故A正确； 对于B， 当时，， 两式相减可得，所以， 当，适合上式，所以； 由不是常数，所以数列不是等比数列，故B错误； 对于C，由可知，， 所以是以2为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以，， ， 又，所以， 所以，，不构成等差数列，故C错误； 对于D，， 所以 ，故D正确. 故选：AD. 28．记为等差数列的前项和，若，，则 . 【答案】8 【分析】利用等差数列前项和公式和通项公式根据题意联立可得即可求出. 【详解】因为数列为等差数列，则由题意得，解得， 则. 故答案为：. 29．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知数列满足，，当时，令，若函数的图象关于点成中心对称图形，则 . 【答案】 【分析】根据已知有或，结合确定数列前2026项成等差数列，公差为，进而得，再判断的奇偶性，即可得结果. 【详解】因为或， 又， 设2025个差中有个2和个，故，所以， 即数列前2026项成等差数列，公差为. 令， 即， 则 ， 所以为奇函数，结合题设易知，故. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据已知得数列前2026项成等差数列，公差为2，并确定是奇函数为关键. 30．已知数列是等差数列，，且成等比数列.给定，记集合的元素个数为bk. (1)求的值; (2)求满足的最小自然数的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设数列的公差为，根据题意，列出方程，求得，得到，结合，分别求得的值； （2）由（1）得到，求得，当和时，可得，，进而得到的最小值. 【详解】（1）解：设数列的公差为， 因为成等比数列，且，所以， 即，即，解得，所以， 又因为， 当时，集合，所以集合中元素的个数； 当时，集合，所以集合中元素的个数； （2）解：由集合 的元素个数为， 结合（1）可得， 所以， 当时，可得； 当时，可得， 又由， 所以数列为单调递增数列，所以的最小值是. 31．记为数列的前项和，已知，当时，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用与的关系化简递推式，再根据等差数列的定义即可； （2）利用累加法求出，再由分组求和法求即可. 【详解】（1）由题意得，当时，有，即 因为，所以对任意都成立 故数列是首项为1，公比为2的等比数列，从而． （2）由，可得， 则 当时，符合上式，故． 所以 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$