专题01 集合相关计算、常用逻辑用语、复数和平面向量-【好题汇编】2025年高考数学二模试题分类汇编（湖北专用）

专题01 集合相关计算、常用逻辑用语、复数和平面向量 题型概览 题型01 集合相关计算 题型02 常用逻辑用语 题型03 复数 题型04 平面向量 集合相关计算题型01 1．（2025·湖北黄冈·二模）若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的表示法可发现集合是点集，集合是数集，所以交集为空集. 【详解】因为集合表示直线上所有点的集合，其元素是点， 集合表示直线上所有点的横坐标的集合，其元素是数， 所以. 故选：D. 2．（2025·湖北·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解一元二次不等式求出集合，再利用交集的定义求解即可. 【详解】由得或， 所以或， 因为，所以. 故选：C. 3．（2025·湖北武汉·二模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，再求出交集即可. 【详解】由，可得，解得， 所以，所以或， 所以 或. 故选：C. 4．（2025·湖北·二模）已知全集，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据交集、补集的定义计算可得. 【详解】由，即，解得， 所以， 又，， 所以，则. 故选：C 5．（2025·湖北武汉·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求解确定，再由交集运算即可求解； 【详解】， 所以 ， 故选：C 6．（2025·湖北武汉·二模）已知，记为集合中元素的个数，为集合中的最小元素．若非空数集，且满足，则称集合为“阶完美集”．记为全部阶完美集的个数，下列说法中正确的是（    ） A． B．将阶完美集的元素全部加1，得到的新集合，是阶完美集 C．若为阶完美集，且，满足条件的集合的个数为 D．若为阶完美集，且，满足条件的集合的个数为 【答案】ABD 【分析】通过对不同阶数完美集的子集情况进行分析来确定集合个数，同时依据完美集的性质判断相关结论的正确性. 【详解】当非空数集是子集中含个元素的子集时，.根据“n阶完美集”的定义，中大于等于的数有、、、共个，所以此时可以是、、、. 当非空数集是子集中含个元素的子集时，.中大于等于的数有、、共个，所以此时可以是、、. 当非空数集是子集中含个元素的子集时，.中大于等于的数有、共个，不满足“n阶完美集”的定义，所以中个元素的子集不满足. 同理，中含个元素的子集也不满足. 综上，4阶完美集有、、、、、、，所以，故A正确. 若将“n阶完美集”中元素全部加，中元素个数不变，但加变大，均不违背“阶完美集”的定义，所以得到的新集合是一个“阶完美集”，故B正确. 若，满足条件的集合的个数为7，而,C错误； 对于满足“阶完美集”的所有，不属于所有，可视为退化为“阶完美集”的情况，总个数为. 又因为，所以满足条件的集合要排除掉“阶完美集”中只含有个元素的情形（排除个单元素集合），因此满足条件的集合的个数均为，D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：新定义题型，关键就是读懂题意，将陌生的概念转化为熟悉的知识，再借助旧知解题即可. 7．（2025·湖北武汉·二模）已知集合，集合B满足． (1)判断，，，中的哪些元素属于B； (2)证明：若，，则； (3)证明：若，则． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据所给定义判断元素的倒数是否属于即可； （2）先证明若，，则，即可得到，从而得证； （3）依题意可得，从而求出，再说明即可. 【详解】（1）因为，所以； 因为，所以； 因为没有倒数，所以； 因为，所以； 综上可得，. （2）先证明：若，，则； 设，，为整数， 所以， 由于，都是整数，所以， 当，时，，，所以，所以； （3）因为， 所以， 所以，都是整数， 所以为整数， 所以， 假如，则，则应为的倍数， 设为整数，若，则不是的倍数； 若，则不是的倍数； 若，则不是的倍数； 所以，即. 题型02 常用逻辑用语 8．（2025·湖北黄冈·二模）设，“曲线为椭圆”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据椭圆的标准方程判断充分性是否成立，再根据判断必要性是否成立，进而确定“曲线为椭圆”与“”之间的条件关系. 【详解】若曲线为椭圆，则椭圆的标准方程为（）. 因为椭圆中分母须大于，所以且，又因为，那么且，所以由“曲线为椭圆”可以推出“”，充分性成立. 当时，比如，，此时曲线方程为，它表示的是圆，而不是椭圆，所以由“”不能推出“曲线为椭圆”，必要性不成立. 所以“曲线为椭圆”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 9．（2025·湖北宜昌·二模）已知命题，，命题，，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【分析】利用特值法即可判断两个命题的真假，从而得到答案. 【详解】对于命题，不妨取，则，则命题为假命题， 对于命题，不妨取，由，则命题为真命题，因此，和都是真命题. 故选：B. 10．（2025·湖北·二模）复数是成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先判断当时，是否等于，以确定充分性是否成立；再判断当时，是否一定等于，以确定必要性是否成立，进而确定条件类型. 【详解】当时， 再计算： ， 所以当时，成立，充分性成立. 由，则：， 即或，所以当时，不一定等于，必要性不成立. 因为充分性成立，必要性不成立，所以复数是成立的充分不必要条件， 故选：A. 复数题型03 11．（2025·湖北宜昌·二模）设复数满足，则（    ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】由复数模的概念即可求解. 【详解】由题设，则. 故选：C. 12．（2025·湖北黄冈·二模）复数的共轭复数在复平面内对应的点位（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】先化简，再得到共轭复数，最后得到点对应象限. 【详解】，则共轭复数为，对应的点，在第二象限. 故选：B. 13．（2025·湖北·二模）已知复数，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据乘方运算得到，然后根据共轭复数的定义和模的公式计算. 【详解】，所以，所以. 故选：A. 14．（2025·湖北武汉·二模）若复数 ，则（    ） A． B．在复平面内对应的点位于第四象限 C． D．复数满足，则的最大值为 【答案】BCD 【分析】利用复数除法求出，再结合共轭复数、复数的模及几何意义逐项判断. 【详解】复数， 对于A，，A错误； 对于B，在复平面内对应的点位于第四象限，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，由，得在复平面内复数对应点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆， 表示该圆上的点与点的距离，所以的最大值为，D正确. 故选：BCD 平面向量题型04 15．（2025·湖北宜昌·二模）已知均为单位向量.若，则与夹角的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可知用有向线段表示则可以构成封闭的三角形，再根据三个向量均为单位向量可知该三角形为等边三角形，由此即可求出与夹角的大小. 【详解】如图所示，    △为边长为1的正三角形，则与夹角即为. 故选：A. 16．（2025·湖北·二模）已知向量，向量满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】设，即可得到，从而得到，结合求出的取值范围，再计算即可. 【详解】设，则， 又，即，所以， 所以，解得 所以， 所以当时取得最小值，且最小值为. 故选：C 17．（2025·湖北黄冈·二模）设平面向量的夹角为，若，且，则（    ） A．当时，三点共线 B．当时，平分 C．当时，的最大值为2 D．当时，的取值范围为 【答案】ABD 【分析】对于A，利用平面向量基本定理即得；对于B，先证，得三点共线，过点作，利用中位线定理和三角形相似推得，即可证得；对于C，D，通过建系，设，将分别用的三角函数表示，利用三角恒等变换将目标函数化成正弦型函数，结合正弦函数的单调性即可求得其范围或最值. 【详解】对于A，当时，， 由平面向量基本定理，可得三点共线，故A正确； 对于B，如图，当时，由，可得 ， 即，故三点共线，且，过点作，交于点， 因，，则，而，故， 则，由可得，则，故平分，即B正确； 对于C，如图，以为坐标原点，所在直线为轴,建立平面直角坐标系， 则，即，因，不妨设， 由可得，故得， 解得，故， 其中，故的最大值为，故C错误； 对于D，根据C项建系，已得， 则 ， 因，故得，即的取值范围为，故D正确. 故选：ABD. 18．（2025·湖北襄阳·二模）已知平面向量，满足，，则的最大值为 . 【答案】 【分析】把向量，放在单位圆内，确定定点，，用，在单位圆上选择动点，用，结合向量加法法则及向量夹角的概念确定的最大值. 【详解】 如图所示：圆为单位圆，点在单位圆上且，， 所以，符合条件， 在单位圆上再取一点，令， 易知弦所对的圆心角，弦所对的圆周角， 因为，符合条件， 所以当线段为圆的直径时最大，最大值为. 故答案为： 19．（2025·湖北·二模）已知向量，满足，，则向量在向量上投影向量的坐标为 . 【答案】 【分析】根据题意，利用向量的数量积的运算和投影向量的计算方法，求解即可. 【详解】因为，所以，又， 所以向量在向量上投影向量为，故所求坐标为. 故答案：. 20．（2025·湖北武汉·二模）四棱锥中，，，，，，内部点满足四棱锥与三棱锥的体积相等，则长的最小值为 ． 【答案】 【分析】延长交于点，令，根据给定条件，利用等体积转化探究可得，再结合直角三角形及向量运算建立为的函数，进而求出最小值. 【详解】在四棱锥中，延长交于点，令， 由，，得，又， 则， 由，得，则， ， ， ，设点到底面距离为， 依题意，， 由， 得，则， 而，则， ，令， 当，即时，，所以长的最小值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：利用等体积转化求出是求解问题的关键. 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 集合相关计算、常用逻辑用语、复数和平面向量 题型概览 题型01 集合相关计算 题型02 常用逻辑用语 题型03 复数 题型04 平面向量 集合相关计算题型01 1．（2025·湖北黄冈·二模）若集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·湖北·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·湖北武汉·二模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·湖北·二模）已知全集，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·湖北武汉·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2025·湖北武汉·二模）已知，记为集合中元素的个数，为集合中的最小元素．若非空数集，且满足，则称集合为“阶完美集”．记为全部阶完美集的个数，下列说法中正确的是（    ） A． B．将阶完美集的元素全部加1，得到的新集合，是阶完美集 C．若为阶完美集，且，满足条件的集合的个数为 D．若为阶完美集，且，满足条件的集合的个数为 7．（2025·湖北武汉·二模）已知集合，集合B满足． (1)判断，，，中的哪些元素属于B； (2)证明：若，，则； (3)证明：若，则． 题型02 常用逻辑用语 8．（2025·湖北黄冈·二模）设，“曲线为椭圆”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（2025·湖北宜昌·二模）已知命题，，命题，，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 10．（2025·湖北·二模）复数是成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 复数题型03 11．（2025·湖北宜昌·二模）设复数满足，则（    ） A． B． C． D．5 12．（2025·湖北黄冈·二模）复数的共轭复数在复平面内对应的点位（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 13．（2025·湖北·二模）已知复数，则（    ） A． B．2 C． D． 14．（2025·湖北武汉·二模）若复数 ，则（    ） A． B．在复平面内对应的点位于第四象限 C． D．复数满足，则的最大值为 平面向量题型04 15．（2025·湖北宜昌·二模）已知均为单位向量.若，则与夹角的大小是（    ） A． B． C． D． 16．（2025·湖北·二模）已知向量，向量满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 17．（2025·湖北黄冈·二模）设平面向量的夹角为，若，且，则（    ） A．当时，三点共线 B．当时，平分 C．当时，的最大值为2 D．当时，的取值范围为 18．（2025·湖北襄阳·二模）已知平面向量，满足，，则的最大值为 . 19．（2025·湖北·二模）已知向量，满足，，则向量在向量上投影向量的坐标为 . 20．（2025·湖北武汉·二模）四棱锥中，，，，，，内部点满足四棱锥与三棱锥的体积相等，则长的最小值为 ． 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$