模块7 专题07直线与圆锥曲线（讲义）- 四川省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：四川省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年对口高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含9个模块共40个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是四川省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》的模块7解析几何的第7个专题：直线与圆锥曲线。本专题涵盖直线与圆、直线与椭圆、直线与双曲线、直线与抛物线的综合应用等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 四川省2026年对口招生 一轮复习 《数学知识点清单》 专题07 直线与圆锥曲线（讲义） 1．直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线与圆锥曲线的位置关系时，通常将直线的方程(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程，消去y(也可以消去)得到一个关于变量(或变量)的一元方程． 即消去后得. (1)当时，设一元二次方程的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线与圆锥曲线相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切； Δ＜0⇔直线与圆锥曲线C无公共点． (2)当时，即得到一个一次方程，则直线与圆锥曲线相交，且只有一个交点，此时，若为双曲线，则直线与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若为抛物线，则直线与抛物线的对称轴的位置关系是平行． (3)对于直线与圆的位置关系，除了上面的代数法还可以用几何法去判断.若圆的半径为，圆心到直线的距离为.若则直线与圆相切；若则直线与圆相离；若则直线与圆相交. 2．圆锥曲线的弦长 (1)圆锥曲线的弦长 直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长． (2)圆锥曲线的弦长的计算 设斜率为的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，， 则 (抛物线的焦点弦长θ为弦AB所在直线的倾斜角)． 3．圆锥曲线的中点弦问题 遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在椭圆中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率；在双曲线中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率；在抛物线中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率. 一、单选题 1．（23-24高三下·四川·对口/高职单招）直线与圆心为的圆交于两点，则的面积为（    ） A． B． C．1 D．2 2．（24-25高三上·浙江·模拟预测）若与轴平行的直线经过椭圆的焦点，则直线与椭圆的相交弦长为（    ） A． B．2 C． D．4 3．（21-22高三·江苏常州·一模）与直线平行，且与抛物线相切的直线方程为（      ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·浙江·模拟预测）直线与双曲线的位置关系是（    ） A．相离 B．相交且只有一个交点 C．相交且有两个交点 D．相切 二、填空题 5．（16-17高三·浙江·二模）椭圆上的点到直线的最短距离为 . 6．（2024高三·全国·专题练习）已知O为坐标原点，双曲线的右支与焦点为F的抛物线交于两点，若，则该双曲线的渐近线方程是 . 7．（24-25高三下·山东枣庄·二模）过抛物线的焦点且斜率为k的直线与抛物线交于两点，则 ． 三、解答题 8．（24-25高三上·四川·二模）已知点，圆，过点的动直线与圆交于，两点，线段的中点为，为坐标原点. (1)求的轨迹方程； (2)当时，求直线的方程及的面积. 9．（24-25高三下·四川眉山·一模）已知椭圆的焦距为4，且经过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆相切，且直线与直线平行，求直线的方程. 10．（23-24高三上·四川·三模）已知直线与抛物线相切于点A． (1)求直线l的方程； (2)若圆C的圆心在抛物线的准线上，直线l被圆截得的弦长，点A恰好是弦的中点，求圆C的方程． 一、单选题 1．若直线是圆的一条对称轴，则圆心到直线的距离为（   ） A． B． C．3 D．4 2．若直线与圆没有公共点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．过点引圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 4．直线与椭圆总有公共点，则的取值范围是（   ） A． B．或 C．且 D．且 5．已知焦点在轴上的椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的短轴长为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 6．若直线与双曲线相交，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知过抛物线焦点的直线与抛物线相交于两点，则．设过抛物线焦点的直线与抛物线相交于两点，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．如图所示，过抛物线（）的焦点的直线交抛物线于点、，交其准线于点，若点是的中点，且，则线段的长为（    ）    A．5 B．6 C． D． 9．已知椭圆：，过点的直线与椭圆交于两点，若线段的中点是，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 10．抛物线上的点到直线距离的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美、和谐美，例如图所示的太极图.定义“完美曲线”的图像是一条连续不断的曲线，且该曲线同时平分圆的周长和面积，写出圆心在坐标原点的圆的一条“完美曲线”的方程 .（写出符合条件的一个答案即可） 12．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且倾斜角为的直线交椭圆于两点，则的内切圆半径为 ． 13．已知双曲线的右焦点为，左顶点为，以为圆心，为半径的圆交的右支于两点，若的一个内角为，则双曲线的离心率等于 . 三、解答题 14．已知圆O：x2+y2=2，直线l：y=kx-2. （1）若直线l与圆O相切，求k的值； （2）若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当∠AOB为锐角时，求k的取值范围； 15．已知抛物线和直线. (1)若抛物线和直线有两个交点，求的取值范围； (2)若，且直线与抛物线有两个交点，线段的垂直平分线交轴于点，求的面积的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：四川省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年对口高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含9个模块共40个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是四川省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》的模块7解析几何的第7个专题：直线与圆锥曲线。本专题涵盖直线与圆、直线与椭圆、直线与双曲线、直线与抛物线的综合应用等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 四川省2026年对口招生 一轮复习 《数学知识点清单》 专题07 直线与圆锥曲线（讲义） 1．直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线与圆锥曲线的位置关系时，通常将直线的方程(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程，消去y(也可以消去)得到一个关于变量(或变量)的一元方程． 即消去后得. (1)当时，设一元二次方程的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线与圆锥曲线相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切； Δ＜0⇔直线与圆锥曲线C无公共点． (2)当时，即得到一个一次方程，则直线与圆锥曲线相交，且只有一个交点，此时，若为双曲线，则直线与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若为抛物线，则直线与抛物线的对称轴的位置关系是平行． (3)对于直线与圆的位置关系，除了上面的代数法还可以用几何法去判断.若圆的半径为，圆心到直线的距离为.若则直线与圆相切；若则直线与圆相离；若则直线与圆相交. 2．圆锥曲线的弦长 (1)圆锥曲线的弦长 直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长． (2)圆锥曲线的弦长的计算 设斜率为的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，， 则 (抛物线的焦点弦长θ为弦AB所在直线的倾斜角)． 3．圆锥曲线的中点弦问题 遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在椭圆中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率；在双曲线中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率；在抛物线中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率. 一、单选题 1．（23-24高三下·四川·对口/高职单招）直线与圆心为的圆交于两点，则的面积为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】由题可得两点坐标和圆的圆心坐标，首先计算线段的长度，利用点到直线的距离公式得到的底边上的高，再利用三角形面积公式即可求解. 【详解】由题，直线与圆心为的圆交于两点， 故联立方程：， 解得：或，令， 由圆：，可得圆：， 则圆心到线段的距离为：， 线段， 故的面积：， 故选：B. 2．（24-25高三上·浙江·模拟预测）若与轴平行的直线经过椭圆的焦点，则直线与椭圆的相交弦长为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】先求出椭圆焦点坐标，写出直线的方程，联立椭圆方程求得交点坐标即可求解. 【详解】椭圆的焦点坐标为或，因为直线与轴平行且 经过椭圆焦点，由对称性，不妨设直线经过上焦点， 此时直线的方程为，联立，解得或， 不妨设，，所以， 所以直线与椭圆的相交弦长为. 故选：C. 3．（21-22高三·江苏常州·一模）与直线平行，且与抛物线相切的直线方程为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行设切线方程，联立切线与抛物线方程即可求解. 【详解】解：由题意得，设切线方程为 ． 联立消去可得， ． 因为直线与抛物线相切， 所以， 解得. 所以切线方程为. 故选 ：C 4．（24-25高三上·浙江·模拟预测）直线与双曲线的位置关系是（    ） A．相离 B．相交且只有一个交点 C．相交且有两个交点 D．相切 【答案】B 【分析】联立直线与双曲线方程，根据整理得到的方程及其根的个数即可判断. 【详解】联立直线与双曲线的方程，消除得到， 整理得一元一次方程，解得， 代入解得，这表明直线与双曲线有一个公共交点， 双曲线中，双曲线渐近线与直线平行并且不重合， 所以直线与双曲线相交且只有一个交点. 故选：B. 二、填空题 5．（16-17高三·浙江·二模）椭圆上的点到直线的最短距离为 . 【答案】 【分析】设椭圆上的点为，再表示出点到直线的距离公式，根据正弦函数的值域即可求得最短距离. 【详解】设为椭圆上的任意一点， 则到直线的距离为 ， ， 其中， 则有， 因为 ， ， 所以当时，为最小值. 所以最短距离为. 故答案为：. 6．（2024高三·全国·专题练习）已知O为坐标原点，双曲线的右支与焦点为F的抛物线交于两点，若，则该双曲线的渐近线方程是 . 【答案】. 【分析】先将双曲线方程和抛物线方程联立，根据韦达定理整理出的值，再由抛物线的焦半径公式结合题意列方程整理得出，从而利用双曲线的渐近线方程公式即可得解. 【详解】已知双曲线与抛物线交于两点， 设， 联立方程组，整理得， 则有，又， 由抛物线的定义知，， ，即， 整理得，即， 所以双曲线的渐近线方程为. 故答案为：. 7．（24-25高三下·山东枣庄·二模）过抛物线的焦点且斜率为k的直线与抛物线交于两点，则 ． 【答案】 【分析】根据抛物线的方程求出焦点坐标，联立方程组利用韦达定理及平面向量的坐标运算即可得解. 【详解】抛物线，焦点在正半轴，且，所以焦点坐标为， 斜率为过抛物线焦点的直线方程为，与抛物线交于两点， 则， 所以，且， 设，， 则，， 所以， 因为，， 则， 故答案为：. 三、解答题 8．（24-25高三上·四川·二模）已知点，圆，过点的动直线与圆交于，两点，线段的中点为，为坐标原点. (1)求的轨迹方程； (2)当时，求直线的方程及的面积. 【答案】(1) (2)直线:. 【分析】(1)利用向量法，将题中的几何条件向量化即可求解. (2)利用求出直线的斜率，再用三角形的面积公式即可求解 【详解】（1）由圆，得，因此圆的圆心为，半径为4 设点的坐标为：，则，. 又因为线段的中点为，则有，即:， 整理得：.因此的轨迹方程：. （2）由（1）知，点的轨迹是以点为圆心， 为半径的圆，记圆心为. 由于，因此在线段的垂直平分线上，又在圆上，从而，又因为，所以直线的斜率为. 直线的方程为，整理得到：. 所以点到直线的距离为：，又点到直线距离为，所以， 那么. 9．（24-25高三下·四川眉山·一模）已知椭圆的焦距为4，且经过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆相切，且直线与直线平行，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意，结合焦距，先求得c的值，可得，将已知点代入椭圆方程可得，联立方程组，即可求得的值，继而求解； （2）根据题意，结合两直线平行可设出直线的方程，与椭圆联立方程组，结合直线与椭圆相切，判别式，即可求解. 【详解】（1）因为椭圆的焦距为4， 所以，所以， 又椭圆经过点，所以， 所以，即， 化简整理得，即， 解得（舍）或， 所以， 所以椭圆的标准方程为； （2）因为直线，即， 又直线与直线平行，可设直线方程为， 因为直线与椭圆相切， 所以，化简整理得， 所以， 解得， 所以直线方程为，即或. 10．（23-24高三上·四川·三模）已知直线与抛物线相切于点A． (1)求直线l的方程； (2)若圆C的圆心在抛物线的准线上，直线l被圆截得的弦长，点A恰好是弦的中点，求圆C的方程． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）将两方程联立消去y，因为直线与抛物线相切，所以判别式等于0，进而求解； （2）根据题意可求点A坐标，再根据AO垂直于直线l可求出圆心坐标，进而可求AO的长，求出半径，即可求出圆的方程. 【详解】（1）由题意，得消去y，得，                 ∵直线l与抛物线相切于点A， ，解得，                 ∴直线l的方程为． （2）由（1），得，解得，             ∴点A的坐标为，                 ∵圆C的圆心在抛物线的准线上，可设圆心，                 又点A恰好是弦的中点， 垂直于直线l，则AO的斜率，解得，                 ，半径，                 ∴圆C的方程为． 一、单选题 1．若直线是圆的一条对称轴，则圆心到直线的距离为（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】将圆心代入直线求出圆心坐标，再由点到直线距离求解即可. 【详解】直线是圆的一条对称轴， 即圆心在直线上，圆的圆心坐标为， 可得，解得， 所以圆心到直线的距离为. 故选：C. 2．若直线与圆没有公共点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆的方程可得圆心和半径，根据直线与圆的位置关系，列不等式可求解. 【详解】由圆，可得圆心为，半径， 因为直线与圆没有公共点， 则，即， 解得或， 所以实数a的取值范围是. 故选：D 3．过点引圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据圆的方程得到半径和圆心，再根据圆外的点与圆相切于A，B，得到一个切点的坐标，以及，再根据的斜率求得的斜率，即可得到直线方程. 【详解】由圆可得圆心为，半径为2， 过点引圆的两条切线，交点为，所以， 且得到一条切线方程为，故切点坐标为， 根据点得，所以， 则直线的方程为，即． 故选：B. 4．直线与椭圆总有公共点，则的取值范围是（   ） A． B．或 C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据直线过定点，只需要定点在椭圆上或在椭圆内会总有公共点，再根据椭圆的性质易得答案. 【详解】因为， 所以过定点， 因为直线与椭圆总有公共点， 所以， 因为椭圆， 所以且， 所以的取值范围是且. 故选：C. 5．已知焦点在轴上的椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的短轴长为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】根据中点坐标公式，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理即可求解. 【详解】设弦与椭圆的交点分别为， 因为弦的中点坐标为，所以. 联立，化简整理得，. 所以，解得，所以， 经检验，此时，则椭圆的短轴长为. 故选：C. 6．若直线与双曲线相交，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将直线与双曲线方程联立，分情况讨论列出不等式即可解得. 【详解】由题，直线与双曲线相交， 则联立，得到， 即，当，即时，等式不成立， 当，即时，， 解得，即的取值范围为， 故选：B 7．已知过抛物线焦点的直线与抛物线相交于两点，则．设过抛物线焦点的直线与抛物线相交于两点，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】首先联立方程，利用韦达定理求出，再根据题目条件求解即可. 【详解】由题意易得，联立，消去y，得， 设方程的两个根分别为，则， 所以． 故选：C. 8．如图所示，过抛物线（）的焦点的直线交抛物线于点、，交其准线于点，若点是的中点，且，则线段的长为（    ）    A．5 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】先求出抛物线方程和直线方程，再根据焦点弦公式即可求解线段的长. 【详解】如图，设准线l与x轴交于点M，过点作A交l于点D， 由抛物线的定义可知，， 由点是的中点可知，MF为的中位线， 所以，即，即， 所以抛物线方程为， 设， 则，解得，即 所以，又因为焦点， 所以， 所以， 联立直线与抛物线方程有， 解得， 所以. 故选:C.    9．已知椭圆：，过点的直线与椭圆交于两点，若线段的中点是，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点，求出直线的斜率，将点 代入椭圆标准方程，利用点差法，结合中点公式，即可得出答案． 【详解】过点的直线与椭圆交于两点，设点， 则直线的斜率为． 因为点在椭圆上，所以， 两式相减可得， 整理可得， 又线段的中点是，则， 所以，即， 可得． 故选：C. 10．抛物线上的点到直线距离的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将曲线上的点到直线的最短（长）距离转化为与已知直线平行且与曲线相切的直线，求两直线的距离 【详解】设与直线平行且与抛物线相切的直线方程， 联立消y得. 则， 得． 则直线方程为． ∵两平行线间的距离即为抛物线上的点到直线的最小值 ∴距离最小为. 故选:C. 二、填空题 11．中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美、和谐美，例如图所示的太极图.定义“完美曲线”的图像是一条连续不断的曲线，且该曲线同时平分圆的周长和面积，写出圆心在坐标原点的圆的一条“完美曲线”的方程 .（写出符合条件的一个答案即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】由题意，过圆心的直线符合要求，据此可得解. 【详解】由题意“完美曲线”能平分圆的周长和面积，且图像是一条连续不断的曲线， 所以圆心在坐标原点时，“完美曲线”可以是一条过圆心的直线， 则符合题意的一条“完美曲线”的方程为. 故答案为：（答案不唯一） 12．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且倾斜角为的直线交椭圆于两点，则的内切圆半径为 ． 【答案】 【分析】先求出焦点三角形的周长和面积，然后再根据等面积法求出内切圆的半径即可. 【详解】由椭圆可得，， 则，焦点分别为，， 故的周长为； 因为直线的倾斜角为，所以其斜率为， 则直线的方程为； 联立方程组可得，. 设直线与椭圆C相交于两点， 则， 所以， 故的面积为. 设内切圆的半径为r，则由等面积法可得，， 解得，. 故答案为：. 13．已知双曲线的右焦点为，左顶点为，以为圆心，为半径的圆交的右支于两点，若的一个内角为，则双曲线的离心率等于 . 【答案】 【分析】先证为等边三角形，求出，设左焦点为，再由双曲线定义求，在中用余弦定理列出关于的方程，最后求解离心率即可. 【详解】因为双曲线关于轴对称，右焦点为，左顶点为， 以为圆心，为半径的圆交的右支于两点， 所以为以为底边的等腰三角形， 因为的一个内角为，则为等边三角形， 所以，，， 设双曲线的左焦点为，连接， 由双曲线定义可知，，即， 在中，由余弦定理可得， ， 即， 整理得，，两边同除得 ，解得或（舍去）. 故答案为：. 三、解答题 14．已知圆O：x2+y2=2，直线l：y=kx-2. （1）若直线l与圆O相切，求k的值； （2）若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当∠AOB为锐角时，求k的取值范围； 【答案】（1）±1；（2）. 【分析】（1）根据圆心到切线距离等于半径列式，解得k的值； （2）先联立直线方程与圆方程，结合韦达定理，利用向量数量积列不等式，解得k的取值范围. 【详解】解：（1）∵圆O：x2+y2=2，直线l：y=kx-2.直线l与圆O相切， ∴圆心O（0，0）到直线l的距离等于半径r=，即d==，解得k=±1. （2）设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）， 将直线l：y=kx-2代入x2+y2=2，整理，得（1+k2）x2-4kx+2=0， ∴，，△=（-4k）2-8（1+k2）＞0，即k2＞1， 当∠AOB为锐角时， =x1x2+y1y2=x1x2+（kx1-2）（kx2-2）= =＞0，解得k2＜3， 又k2＞1，∴-或1＜k＜. 故k的取值范围为（-）∪（1，）. 15．已知抛物线和直线. (1)若抛物线和直线有两个交点，求的取值范围； (2)若，且直线与抛物线有两个交点，线段的垂直平分线交轴于点，求的面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立直线方程与抛物线方程，根据抛物线和直线有两个交点，得到，即可求解. （2）先求得弦长，再根据中点坐标公式得到线段的中点坐标，即可得到线段的垂直平分线方程，进而得到点坐标，计算点到垂直平分线距离，即可求解. 【详解】（1）由得， 将其代入中得， 所以， 因为抛物线和直线有两个交点，所以，解得. 因此，的取值范围是. （2）    设点，，则由方程， 可得，， ， ， 所以， 因为， 所以线段的中点坐标为，即， 因为直线斜率为 所以线段的垂直平分线直线方程为， 即，当时，，则， 该直线与轴的交点到直线的距离， 所以的面积， 因为，所以，， 因此的面积的取值范围是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$