模块7 专题04椭圆（讲义）- 四川省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：四川省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年对口高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含9个模块共40个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是四川省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》的模块7解析几何的第4个专题：椭圆。本专题涵盖椭圆的定义、椭圆的标准方程和几何性质等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 四川省2026年对口招生 一轮复习 《数学知识点清单》 专题04 椭圆（讲义） 1．椭圆的定义 在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 2．椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1 (a>b>0) 图　形 性质 范　围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0) 轴 长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝∈(0,1) a，b，c 的关系 c2＝a2－b2 一、单选题 1．（23-24高三下·四川·职教高考）已知椭圆方程为，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三下·四川·对口/高职单招）已知椭圆的左焦点为，则的值为（    ） A． B． C．3 D．4 3．（24-25高三下·四川·模拟预测）阿基米德在其著作《关于圆锥体和球体》中给出了一个计算椭圆面积的方法：椭圆长半轴的长度、短半轴的长度和圆周率三者的乘积为该椭圆的面积.已知椭圆的面积为，，为椭圆C的两个焦点，P为椭圆C上任意一点.若，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三下·四川·三模）椭圆的标准方程为，其焦点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三下·四川·模拟预测）已知椭圆，若椭圆上的点到左焦点的距离是5，则点到右焦点的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（21-22高三·四川·二模）已知，是椭圆的左、右焦点，椭圆上一动点Q到，的距离之和为6，离心率为方程的一个根，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25高三下·四川自贡·三模）若椭圆的焦距为，则 ． 8．（22-23高三·四川·模拟预测）设，分别为椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，若线段的中点在y轴上，则 . 9．（21-22高三·四川·一模）已知椭圆的离心率为，则椭圆C的长轴长为 . 10．（16-17高三·四川·模拟预测）如图所示，、分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴上的，则椭圆的离心率 . 一、单选题 1．已知椭圆的离心率为，则实数的值为（    ） A．或 B． C． D．或 2．已知点M为椭圆上的一点，为椭圆的左，右焦点，若的周长为14，则该椭圆的短轴长为（    ） A． B．4 C． D．8 3．已知焦点在y轴上的椭圆C的长轴长为6，焦距为，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 4．如图所示，已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆上一点，且垂直于x轴，延长交椭圆于点．若，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 5．“”是“椭圆的焦距为2”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知椭圆的右顶点为，过焦点且垂直于长轴的弦长为1，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 7．魏晋时期数学家刘微创造了一个独特的立体图形“牟合方盖”，它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，将两个底面半径为2的圆柱分别从纵横两个方向嵌入棱长为4的正方体时（如图（1）），两圆柱公共部分形成的几何体即得一个“牟合方盖”，图中点B，D分别为正方体两条棱的中点，P，Q为正方体的两个相对表面上的中心点．图（2）中的曲线为一个椭圆，则此椭圆的离心率为（   ） A． B．1 C． D． 8．若椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，且长轴长为4，离心率为，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 . 10．已知点为椭圆上一点，焦点为，，则的周长为 . 11．若一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则椭圆的离心率为 ． 12．中国是陶瓷的故乡，陶瓷文化是中华文明的重要象征．如图所示，是一个明代的椭圆形瓷盘，呈现了数学中几何之美，该椭圆形瓷盘口的长为30cm，宽为18cm，则椭圆的离心率为 ． 13．已知椭圆的焦距为2，则 . 三、解答题 14．已知椭圆C的中心在坐标原点，两个焦点的坐标分别是和，且椭圆C上任意一点到两焦点的距离和等于． (1)求椭圆的标准方程； (2)设椭圆C上一点M使得直线与直线垂直，求点M的坐标． 15．已知中心在原点的椭圆C的左焦点为，右顶点为． (1)求椭圆C的方程； (2)若P是椭圆C上一点，且，求以线段为直径的圆的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：四川省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年对口高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含9个模块共40个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是四川省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》的模块7解析几何的第4个专题：椭圆。本专题涵盖椭圆的定义、椭圆的标准方程和几何性质等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 四川省2026年对口招生 一轮复习 《数学知识点清单》 专题04 椭圆（讲义） 1．椭圆的定义 在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 2．椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1 (a>b>0) 图　形 性质 范　围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0) 轴 长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝∈(0,1) a，b，c 的关系 c2＝a2－b2 一、单选题 1．（23-24高三下·四川·职教高考）已知椭圆方程为，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆方程确定的值，再由求出，再根据离心率求值即可. 【详解】已知椭圆方程为， 则， 所以， 所以该椭圆的离心率为. 故选：C. 2．（23-24高三下·四川·对口/高职单招）已知椭圆的左焦点为，则的值为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】直接利用椭圆的性质，转化求解即可得解. 【详解】因为椭圆的左焦点为， 所以，解得， 故选：. 3．（24-25高三下·四川·模拟预测）阿基米德在其著作《关于圆锥体和球体》中给出了一个计算椭圆面积的方法：椭圆长半轴的长度、短半轴的长度和圆周率三者的乘积为该椭圆的面积.已知椭圆的面积为，，为椭圆C的两个焦点，P为椭圆C上任意一点.若，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合椭圆的面积公式，及椭圆的定义，即可求得a和b的值，继而求解. 【详解】根据题意可得，则， ，则， ∴椭圆C的标准方程为. 故选：A. 4．（24-25高三下·四川·三模）椭圆的标准方程为，其焦点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合椭圆的标准方程，即可得到焦点的位置，继而求出c的值，即可求解. 【详解】因为椭圆标准方程为， 所以椭圆的焦点在轴上，且， 所以， 所以椭圆焦点的坐标为． 故选：D． 5．（23-24高三下·四川·模拟预测）已知椭圆，若椭圆上的点到左焦点的距离是5，则点到右焦点的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据椭圆方程确定的值，再由椭圆的定义即可求值. 【详解】由椭圆，可得， 由椭圆的定义得， 解得． 故选：B. 6．（21-22高三·四川·二模）已知，是椭圆的左、右焦点，椭圆上一动点Q到，的距离之和为6，离心率为方程的一个根，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点Q到，的距离之和为6，求，再根据离心率求，再根据关系求，进而求得标准方程. 【详解】∵点Q到，的距离之和为6，∴，∴， ∵的解为:或， ∵椭圆离心率，故离心率， ∵，∴,∴， ∴， ∴椭圆方程为. 故选:C. 二、填空题 7．（24-25高三下·四川自贡·三模）若椭圆的焦距为，则 ． 【答案】或 【分析】分类讨论焦点在轴上或焦点在轴上两种情况，利用椭圆中的关系即可求解. 【详解】当焦点在轴上时，有， 此时，由 得， 即 ， ∴； 当焦点在轴上时，有， 此时， 由得， 即，∴. 综上可知或. 故答案为：或. 8．（22-23高三·四川·模拟预测）设，分别为椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，若线段的中点在y轴上，则 . 【答案】 【分析】根据题意，结合椭圆的方程，求出的值，根据三角形中位线的性质，可判断轴，可设，结合椭圆的定义，表示出，根据，即可求解. 【详解】 因为椭圆的方程为， 所以，解得， 因为线段的中点M在y轴上，O是的中点， 所以，所以轴， 设，则， 所以，即， 所以，解得， 所以，， 所以. 故答案为：. 9．（21-22高三·四川·一模）已知椭圆的离心率为，则椭圆C的长轴长为 . 【答案】6 【分析】根据离心率公式及椭圆的数量关系求出的值即可得解. 【详解】椭圆，所以椭圆焦点在轴上，， 由题意可知，又因为，解得， 所以，长轴长为， 故答案为：. 10．（16-17高三·四川·模拟预测）如图所示，、分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴上的，则椭圆的离心率 . 【答案】 【分析】根据椭圆的定义以及离心率求解即可. 【详解】因为点M的横坐标等于右焦点的横坐标，即， 所以三角形为直角三角形，又因为点M的纵坐标等于短半轴的， 即，又因为椭圆的定义得， 所以，因为 在直角三角形中，， 即，又因为， 即，所以. 故答案为：. 一、单选题 1．已知椭圆的离心率为，则实数的值为（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据题意，结合椭圆的方程，分焦点在轴上和轴上两种情况进行讨论，分别表示出a和c，继而表示离心率，即可求得m的值. 【详解】因为椭圆， 当焦点在轴上时，， 所以离心率，故，解得； 当焦点在轴上时，， 所以离心率，即，解得． 综上可得，的值为或． 故选：D. 2．已知点M为椭圆上的一点，为椭圆的左，右焦点，若的周长为14，则该椭圆的短轴长为（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义和几何性质即可求解． 【详解】由椭圆，为椭圆的左，右焦点， 可知椭圆的焦点在轴，则，， 又因为的周长为， 所以，则，所以， 解得，则， 所以椭圆的短轴长为． 故选：C. 3．已知焦点在y轴上的椭圆C的长轴长为6，焦距为，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的焦点在轴上，设椭圆方程为，又由已知得，根据的关系可求得椭圆的标准方程. 【详解】由题意，焦点在y轴上的椭圆C的标准方程可设为， 因为，所以， 所以椭圆C的标准方程为． 故选：A. 4．如图所示，已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆上一点，且垂直于x轴，延长交椭圆于点．若，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由垂直于轴，点的横坐标为，代入椭圆方程可得纵坐标；通过向量比例关系确定点的坐标；将点的坐标代入椭圆方程，结合，建立方程即可求解离心率. 【详解】椭圆， 由题意，垂直于轴，则点的横坐标为， 代入椭圆方程得，如图取， 设点的坐标为，，因为，所以 ， 可得，，所以，将点代入椭圆方程， 结合， 化简得. 故选：D. 5．“”是“椭圆的焦距为2”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件以及椭圆的焦距求解即可. 【详解】椭圆的焦距为或，解得或. “”可以推出“椭圆的焦距为2”. “椭圆的焦距为2”，则或，推不出. 所以“”是“椭圆的焦距为2”的充分不必要条件. 故选：A. 6．已知椭圆的右顶点为，过焦点且垂直于长轴的弦长为1，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断椭圆的焦点位置，再利用右顶点坐标求得，进而根据题意得到椭圆经过点，从而得到关于的方程组，解之即可得解. 【详解】因为椭圆的焦点在轴上， 又因为其右顶点为，所以， 因为过焦点且垂直于长轴的弦长为1， 不妨设所过焦点为上焦点，所以椭圆过点， 则，即，解得， 所以椭圆的标准方程为. 故选：A. 7．魏晋时期数学家刘微创造了一个独特的立体图形“牟合方盖”，它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，将两个底面半径为2的圆柱分别从纵横两个方向嵌入棱长为4的正方体时（如图（1）），两圆柱公共部分形成的几何体即得一个“牟合方盖”，图中点B，D分别为正方体两条棱的中点，P，Q为正方体的两个相对表面上的中心点．图（2）中的曲线为一个椭圆，则此椭圆的离心率为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】先求出与的长度，再根据椭圆的离心率公式求解即可. 【详解】因为正方体的棱长为4， 点B，D分别为正方体两条棱的中点， 所以，即， P，Q为正方体的两个相对表面上的中心点， 所以，即， 则，即， 所以椭圆的离心率为. 故选：A. 8．若椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，且长轴长为4，离心率为，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合长轴长和离心率，即可求得a和c的值，继而求出的值，即可求解. 【详解】由题意得，即， 所以， 又椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上， 所以椭圆的标准方程为． 故选：C． 二、填空题 9．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据椭圆的标准方程中，列不等式求解即可. 【详解】已知方程表示焦点在轴上的椭圆， 则，解得， 所以实数的取值范围是， 故答案为：. 10．已知点为椭圆上一点，焦点为，，则的周长为 . 【答案】22 【分析】根据题意，结合椭圆的方程，可求得的值，根据椭圆的定义，即可求解. 【详解】因为椭圆， 所以， 即， 因为点为椭圆上一点，焦点为，， 所以， 所以的周长是. 故答案为：22. 11．若一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则椭圆的离心率为 ． 【答案】/0.6 【分析】由等差中项以及椭圆的离心率公式计算即可. 【详解】设椭圆的长轴为，短轴为，焦距为， 又椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列， 所以，即，则有， 又因为在椭圆中，， 所以，即， 整理可得， 又，所以， 即，解得或（舍）. 所以椭圆的离心率为. 故答案为：. 12．中国是陶瓷的故乡，陶瓷文化是中华文明的重要象征．如图所示，是一个明代的椭圆形瓷盘，呈现了数学中几何之美，该椭圆形瓷盘口的长为30cm，宽为18cm，则椭圆的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】根据题意，可求得a和b的值，继而求得c的值，即可求得椭圆的离心率. 【详解】 由题意，可知， 所以， 所以， 所以该椭圆的离心率为. 故答案为：. 13．已知椭圆的焦距为2，则 . 【答案】或 【分析】先根据题意得到，再分类讨论椭圆焦点的位置，得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】因为椭圆的焦距为2，则，即， 当椭圆焦点在轴上时，，则，解得； 当椭圆焦点在轴上时，，则，解得； 综上，或. 故答案为：或. 三、解答题 14．已知椭圆C的中心在坐标原点，两个焦点的坐标分别是和，且椭圆C上任意一点到两焦点的距离和等于． (1)求椭圆的标准方程； (2)设椭圆C上一点M使得直线与直线垂直，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)，，， 【分析】（1）根据焦点坐标可知，根据椭圆定义可知，再由可求出，最后写出椭圆的标准方程即可. （2）首先设点，由题意可得，再根据向量垂直的坐标表示得到，将其代入由（1）求得的椭圆方程中即可求出点M的坐标. 【详解】（1）由椭圆的两个焦点的坐标分别是和， 可知椭圆焦点在轴上，且， 又由椭圆C上任意一点到两焦点的距离和等于， 可知，， 所以， 所以椭圆的标准方程为. （2）设点，所以， 又因为直线与直线垂直，所以， 又因为， 所以即， 则有，代入中， 可得，化简得， 即，解得， 所以，解得. 所以点M的坐标为，，，. 15．已知中心在原点的椭圆C的左焦点为，右顶点为． (1)求椭圆C的方程； (2)若P是椭圆C上一点，且，求以线段为直径的圆的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆左焦点和右顶点求得的值，即可解得椭圆方程. （2）根据椭圆上点的性质，利用圆的面积公式即可解得. 【详解】（1）由题可知中心在原点的椭圆C的左焦点为，右顶点为， 则， 又， 则椭圆方程为. （2）由题，， 在椭圆中， 则，即圆的直径为，则半径， 圆的面积为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$