第9章 统计复习课-2024-2025学年高一数学人教A版2019必修第二册

人教A版高一数学必修二第二学期第9章 统计复习课 第9章 统计复习课 核心素养目标 1.数学抽象：从实际数据中抽象出统计概念（如平均数、方差），建立数据特征的数学表达。 2.直观想象：通过统计图表（直方图、箱线图等）直观理解数据分布规律，将抽象数据转化为图形表征。 3.逻辑推理：能整理、分析数据并提取有效信息。 4.数学运算：用统计方法解决实际问题。 教学目标 教学重点： 1. 统计图表（频率分布直方图、茎叶图等）的绘制与解读。 2. 样本数字特征（均值、方差、中位数等）的计算与应用。 教学难点：1. 频率分布直方图中组距对数据的影响及面积含义。 2. 统计方法的实际应用（如抽样方法选择、误差分析）。 抽签法 随机数法 知识讲解 知识讲解 抽样方法的选取及应用 1.三种抽样方法的适用范围： 当总体容量较小，样本容量也较小时，可采用抽签法； 当总体容量较大，样本容量较小时，可采用随机数法； 当总体中个体差异较显著时，可采用分层随机抽样，但是要明确是否按比例分配. 2.掌握不同抽样方法，提升数据分析素养. 6 知识讲解 知识讲解 ①某小区有800户家庭，其中高收入家庭200户，中等收入家庭480户，低收入家庭120户，为了了解有关家用轿车购买力的某个指标,要从中抽取一个容量为100的样本;②从10名学生中抽取3人参加座谈会.方法：(1)简单随机抽样；(2)分层随机抽样. 则问题与方法配对正确的是(　　). （A）①(1)，②(2) （B）①(2)，②(1) （C）① (1)，②(1) （D）①(2)，②(2) 解析：问题①中的总体是由差异明显的几部分组成的，故可采用分层随机抽样方法；问题②中总体的个数较少，故可采用简单随机抽样. 知识讲解 　以下抽样方法是简单随机抽样的是： A.在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2 709的是三等奖 B.某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上,每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格 C.某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的意见 D.用抽签法从10件产品中选取3件进行质量检验 选项A，B不是简单随机抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的； 选项C不是简单随机抽样，因为总体的个体有明显的层次； 选项D是简单随机抽样. √ 9 知识讲解 　一个单位有职工800人，其中具有高级职称的有160人，具有中级职称的有320人，具有初级职称的有200人，其他人员有120人.为了解职工收入情况，决定采用按比例分配分层随机抽样的方法，从中抽取容量为40的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是 A.12,24,15,9 B.9,12,12,7 C.8,15,12,5 D.8,16,10,6 √ 分层随机抽样，按比例分配. 由题意知，各种职称的人数比为160∶320∶200∶120＝4∶8∶5∶3， 10 知识讲解 利用简单随机抽样，从n个个体中抽取一个容量为10的样本．若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为 ，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为(　　) A. B. C. D. 分层随机抽样，按比例分配. √ 知识讲解 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层随机抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件． 18 知识讲解 某单位有职工960人，其中青年职工420人，中年职工300人，老年职工240人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层随机抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为14人，则样本量为________． 32 知识讲解 以下抽样方法是简单随机抽样的是 A.在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽 取的方式确定号码的后四位为2 709的是三等奖 B.某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格 C.某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的意见 D.用抽签法从10件产品中选取3件进行质量检验 选项A，B不是简单随机抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的； 选项C不是简单随机抽样，因为总体的个体有明显的层次； 选项D是简单随机抽样. √ PPT模板：www.1ppt.com/moban/ PPT素材：www.1ppt.com/sucai/ PPT背景：www.1ppt.com/beijing/ PPT图表：www.1ppt.com/tubiao/ PPT下载：www.1ppt.com/xiazai/ PPT教程： www.1ppt.com/powerpoint/ 资料下载：www.1ppt.com/ziliao/ 个人简历：www.1ppt.com/jianli/ 试卷下载：www.1ppt.com/shiti/ 教案下载：www.1ppt.com/jiaoan/ 手抄报：www.1ppt.com/shouchaobao/ PPT课件：www.1ppt.com/kejian/ 语文课件：www.1ppt.com/kejian/yuwen/ 数学课件：www.1ppt.com/kejian/shuxue/ 英语课件：www.1ppt.com/kejian/yingyu/ 美术课件：www.1ppt.com/kejian/meishu/ 科学课件：www.1ppt.com/kejian/kexue/ 物理课件：www.1ppt.com/kejian/wuli/ 化学课件：www.1ppt.com/kejian/huaxue/ 生物课件：www.1ppt.com/kejian/shengwu/ 地理课件：www.1ppt.com/kejian/dili/ 历史课件：www.1ppt.com/kejian/lishi/ 一、抽样方法的选取及应用 将一个总体分为A, B, C 3层，其个体数之比为5:3:2. 若3层的样本平均数分别为15，30，20，则样本平均数为________． 20.5 3 2 ----分层抽样的样本均值 权重，比例 层(组)内平均值 加权平均数 知识讲解 知识讲解 某校有男教师160人，女教师140人，为了调查教师的运动量的平均值(通过微信步数)，按性别比例分配进行分层随机抽样，通过对样本的计算，得出男教师平均微信步数为12500步，女教师平均微信步数为8600步，则该校教师平均微信步数为（ ） A．12500 B．10680 C．8600 D．10550 √ 16 知识讲解 用样本的取值规律估计总体的取值规律 1.根据样本容量的大小，我们可以选择利用样本的频率分布表、频率分布直方图对总体情况作出估计. 2.掌握频率分布直方图的绘制及应用，提升数据分析和数学运算素养. 二、用样本的取值规律估计总体的取值规律 求极差 决定组距和组数 将数据分组 列频率分布表 画频率分布直方图 画频率分布直方图的步骤 3.各小长方形的面积的总和等于1. 1.纵轴表示： 知识讲解 知识讲解 为了解高一年级学生的智力水平，某校按1∶10的比例对700名高一学生按性别分别进行“智力评分”抽样检查，测得“智力评分”的频数分布表如表1、表2. 表1：男生“智力评分”频数分布表 智力评分(分) [160,165) [165,170) [170,175) 频数 2 5 14 智力评分(分) [175,180) [180,185) [185,190] 频数 13 4 2 表2：女生“智力评分”频数分布表 智力评分(分) [150,155) [155,160) [160,165) 频数 1 7 12 智力评分(分) [165,170) [170,175) [175,180] 频数 6 3 1 (1)求高一年级的男生人数，并完成右面男生“智力评分”的频率分布直方图； 样本中男生人数是40，由抽样比例是1∶10可得高一年级男生人数是400， (2)估计该校高一年级学生“智力评分”在[165,175)内的人数. 样本中“智力评分”在[165,175)内的频数为28，所以估计该校高一年级学生“智力评分”在[165,175)内的学生人数为28×10＝280. 19 知识讲解 某电子商务公司对10 000名网络购物者2022年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示. (1)直方图中的a＝______； (2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为________. 1)由0.1×1.5＋0.1×2.5＋0.1a＋0.1×2.0＋0.1×0.8＋0.1×0.2＝1,解得a＝3. 2)由频率分布直方图得消费金额在 区间[0.3,0.5)内的频率为0.1×1.5＋0.1×2.5＝0.4， 故消费金额在[0.5,0.9]内的频率为1－0.4＝0.6. 因此，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的 人数为0.6×10 000＝6 000. 3 6 000 知识讲解 从一批零件中抽取80个，测量其直径(单位：mm)，将所得数据分为9组：[5.31，5.33)，[5.33，5.35)，…，[5.45，5.47)，[5.47，5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43，5.47)内的个数为(　) A．10 B．18 C．20 D．36 【解析】　由题知[5.43，5.45)与 [5.45，5.47)所对应的小矩形的高分 别为6.25，5.00，所以[5.43，5.47)的 频率为(6.25＋5.00)×0.02＝0.225， 所以直径落在区间[5.43，5.47)内的个数为80×0.225＝18，故选B. √ 知识讲解 如图为2018—2021年上海市货物进出口总额的条形统计图，则下列对于进出口贸易额描述错误的是 (　 　) A．从2018年开始，2021年的进出口总额增长率最大 B．从2018年开始，进出口总额逐年增大 C．从2018年开始，进口总额逐年增大 D．从2018年开始，2020年的进出口总额增长率最小 【答案】C 知识讲解 （多选题）某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布扇形图、90 后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中一定正确的是（ ) A．互联网行业从业人员中90后占一半以上 B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20% C．互联网行业中从事运营岗位的90后人数比80前多 D．互联网行业中从事运营岗位的90后人数比80后多 90后 【答案】ABC 知识讲解 样本的百分位数 样本的百分位数 计算一组n个数据的第p百分位数的步骤 第一步:按从小到大排列原始数据； 第二步:计算i=n×p%； 第三步:若i不是整数,而大于i的比邻整数为j,则第p百分位数为第j项数据；若i是整数,则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数. 1.用原始数据求百分位数 知识讲解 知识讲解 常用分位数：第25百分位数，第50百分位数（中位数），第75百分位数. 这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份,因此称为四分位数. 第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数.第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数. 像第1百分位数，第5百分位数，第95百分位数，第99百分位数也常用. 样本的百分位数 用频率分布表估算第p百分位数 第一步：算每个小矩形的面积、累加，找到第p百分位数所在区间； 第二步：根据小矩形的面积之和等于p％，列方程求解. 3.频率分布直方图估算第p百分位数 第一步：频率累加，找到第p百分位数所在区间； 第二步：根据比例列方程求解. Lmin Lman Pp n p% f 百分位数计算公式 变形 变形 a b P fa% 百分位数计算公式 知识讲解 知识讲解 某产品售后服务中心随机选取了10个工作日，分别记录了每个工作日接到的客户服务电话的数量(单位：次)： 63　38　25　42　56　48　53　39　28　47 则上述数据的50%分位数为________. 把这组数据从小到大排序为25,28,38,39,42,47,48,53,56,63，因为10×50%＝5. 44.5 知识讲解 欧洲联盟委员会和荷兰环境评估署公布了2021年全球主要20个国家和地区的人均二氧化碳排放量，统计数据如下： 7.4, 16.6, 7.3, 1.7, 12.6, 10.7, 10.2, 12.7，15.7, 2.6，16.6, 2.0, 7.5, 3.9, 5.3, 16.9, 6.4， 5.7, 6.2, 8.5. 估计这些国家和地区人均二氧化碳排放量的四分位数. 把这20个国家和地区的人均二氧化碳排放量按从小到大的顺序排列为 1.7,2.0,2.6,3.9,5.3,5.7,6.2,6.4,7.3,7.4,7.5,8.5,10.2,10.7,12.6,12.7,15.7,16.6,16.6,16.9. 三、样本的百分位数 例2 根据频率分布直方图估计月均用水量的样本数据的80%和95%分位数. 3.用频率分布表、频率分布直方图估算百分位数 0.23 0.32 0.13 0.09 0.09 x-13.2 80％分位数 与百分位对应 在频率分布直方图中，我们无法知道每个组内的数据是如何分布的.此时，通常假设它们在组内均匀分布. 知识讲解 知识讲解 利用频率分布直方图估计第p百分位数的步骤： 第一步：算每个小矩形的面积、累加，找到第p百分位数所在区间； 第二步：根据小矩形的面积之和等于p％，列方程求解. 知识讲解 某地教育部门为了调查考生在数学考试中的有关信息，从上次参加考试的10 000名考生中用按比例分配分层随机抽样的方法抽取了500名，并根据这500名考生的数学成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，估计这10 000名考生中数学成绩的第80百分位数是多少. 解：考生中成绩在130分以下的频率为： (0.016＋0.004＋0.012＋0.016＋0.024) ×10＝0.72＜0.8 考生中成绩在140分以下的频率为 0.72＋0.020×10＝0.92＞0.8 ∴成绩的第80百分位数一定在[130,140)内设80%分位数是x ，则 72％+(x-130)×0.02=80% 知识讲解 某无人机厂家为了解所生产的某类型无人机的飞行时长，随机抽取100架该类型无人机进行测试，统计得到如下频率分布表： 问：估计该类型无人机飞行时长的第60百分位数（最终结果保留整数） 知识讲解 用样本的集中趋势、离散程度估计总体 1.为了从整体上更好地把握总体规律，我们还可以通过样本数据的众数、中位数、平均数估计总体的集中趋势，通过样本数据的方差或标准差估计总体的离散程度. 2.掌握样本数据的众数、中位数、平均数及方差的计算方法，提升数据分析和数学运算素养. 知识讲解 1.用原始数据求众数、中位数、平均数 已知一组数据4,6,5,8,7,6，那么这组数据的平均数为________． 一组样本数为:19,23,12,14,14,17,10,12,18,14,27,则这组数据的众数和中位数分别为(　) A．14,14　　B．12,14 C．14,15.5 D．12,15.5 解：把这组数据按从小到大排列为：10,12,12,14,14,14,17,18,19,23,27， 则可知其众数为14，中位数为14. 知识讲解 2.频率分布直方图估算众数、中位数、平均数 在频率分布直方图中，我们无法知道每个组内的数据是如何分布的.此时，通常假设它们在组内均匀分布. 加权平均数 组内平均值 权重，比例 平均数：每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和 中位数：中位数左边的直方图面积和右边的直方图面积相等 众 数：最高矩形的中点 知识讲解 2.频率分布直方图估算众数、中位数、平均数 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问n名职工，根据这n名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为[40,50)，[50,60)，…，[80,90)[90,100]，其中在[80,90)内抽取人数为44人。 (1)求n的值是多少； (2)求频率分布直方图中a的值； (3)求评分的众数和平均数； (4)求这组数据的中位数； (5)从评分在[40,60)的受访职工中，按分层抽样抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求此2人的评分都在[40,50)内的概率. 知识讲解 2.频率分布直方图估算众数、中位数、平均数 (1)求n的值是多少； 解：[80,90)的频率为0.022×10=0.22 ∴n=44÷0.22=200 知识讲解 2.频率分布直方图估算众数、中位数、平均数 2)求频率分布直方图中a的值； 解： 由(0.004＋a＋0.022＋0.028＋0.022+0.018)×10＝1，解得a＝0.006 知识讲解 2.频率分布直方图估算众数、中位数、平均数 (3)求评分的众数和平均数； 解： 众数为：(70+80)÷2=75 评分的平均数为： 45×0.04+55×0.06+65×0.22+75×0.28 +85×0.22+95×0.18=76.2 知识讲解 2.频率分布直方图估算众数、中位数、平均数 (4)求这组数据的中位数； 解：评分在70分以下的频率为： (0.004＋0.006＋0.022)×10＝0.32＜0.5 评分在80分以下的频率为 0.32＋0.028×10＝0.6＞0.5 ∴成绩的中位数一定在[70,80)内 设中位数是x ，则 0.32+(x-70)×0.028=0.5 ∴ x≈76.43 知识讲解 2.频率分布直方图估算众数、中位数、平均数 (5)从评分在[40,60)的受访职工中，按分层抽样抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求此2人的评分都在[40,50)内的概率. 解： 评分在[40,50)、[50,60)的频率分别为： 0.004×10=0.04、0.006×10=0.06 ∴在[40,50)内抽取的人数为： ∴在[50,60)内抽取的人数为：5-2=3 知识讲解 五、用样本的离散程度估计总体 1.样本方差、样本标准差的定义 如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为 ，则称 s2=_______________为样本方差，s=________为样本标准差 ． 2.样本方差、样本标准差的意义和性质 标准差和方差刻画了数据的______程度或波动幅度． 标准差（或方差）越大，数据的离散程度越____，越不稳定； 标准差（或方差）越小，数据的离散程度越____，越稳定． 在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的.但在解决实际问题中，一般多采用_______. 离散 大 小 标准差 知识讲解 五、用样本的离散程度估计总体 　某工厂36名工人的年龄(单位：岁)数据如下： 40,44,40,41,33,40,45,42,43,36,31,38,39,43,45,39,38,36,27,43,41,37,24,42,37,44,42,34,39,43,38,42,53,37,49,39. 利用简单随机抽样抽取容量为9的样本，其年龄数据为44,40,36,43,36,37,44,43,37. 知识讲解 解： 即40,40,41，…，39，共23人. 五、用样本的离散程度估计总体 知识讲解 某汽车租赁公司为了调查A型汽车与B型汽车的出租情况，现随机抽取这两种车各50辆，分别统计每辆车在某个星期内的出租天数，统计数据如下表： A型汽车 出租天数 3 4 5 6 7 车辆数 3 30 5 7 5 B型汽车 出租天数 3 4 5 6 7 车辆数 10 10 15 10 5 (1)试根据上面的统计数据，判断这两种车在某个星期内的出租天数的方差的大小关系(只需写出结果)； 由数据的离散程度，可以看出B型汽车在某个星期内出租天数的方差较大. 知识讲解 (2)如果A型汽车与B型汽车每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要购买一辆汽车，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车，并说明你的理由. 50辆A型汽车出租天数的平均数为 50辆B型汽车出租天数的平均数为 方案一：A型汽车在某个星期内出租天数的平均数为4.62，B型汽车在某个星期内出租天数的平均数为4.8，选择B型汽车的出租车的利润较大，应该购买B型汽车. 方案二：A型汽车在某个星期内出租天数的平均数为4.62，B型汽车在某个星期内出租天数的平均数为4.8，而B型汽车出租天数的方差较大，所以应该购买A型汽车. 知识讲解 某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩(单位：分)，整理数据并按分数段[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]进行分组．已知测试分数均为整数，现用每组区间的中点值代替该组中的每个数据，得到体育成绩的折线图如图所示． (1)若体育成绩大于或等于70分的 学生为“体育良生”，已知该校 高一年级有1 000名学生，试估计 该校高一年级学生“体育良生”的人数； (2)用样本估计总体的思想，试估计该校高一年级学生达标测试的平均分； 知识讲解 (1)若体育成绩大于或等于70分的 学生为“体育良生”，已知该校 高一年级有1 000名学生，试估计 该校高一年级学生“体育良生”的人数； (2)用样本估计总体的思想，试估计该校高一年级学生达标测试的平均分； 五、用样本的离散程度估计总体 五、用样本的离散程度估计总体 平均数、方差的性质 (2)若x1,x2,…,xn,的平均数为5,方差为2,那么这组数据均乘以4后的平均数为____方差为_____ (1)若x1,x2,…,xn,的平均数为3,方差为4,那么x1+3,x2+3,…,xn+3,的平均数为____方差为_____ (3)若k1,k2,…, k8的平均数为4,方差为3，则2(k1－3),2(k2－3), …, 2(k8－3)的平均数为________,方差为________ 4 32 12 6 20 2 知识讲解 知识讲解 设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为(　　) A．0.01 B．0.1 C．1 D．10 √ 总体集中趋势、离散程度的估计 众 数：最高矩形底边的中点 中位数：中位数左边的直方图面积和右边的直方图面积相等 平均数：每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和 1. 频率分布直方图估算众数、中位数、平均数 2. 极差、方差、标准差 极差：一组数据中最大值与最小值的差. 方差与标准差： 分层抽样中估计总体方差(两层)： 方差越小，数据的离散程度越稳定. 知识讲解 某城市100户居民的月平均用电量(单位:度),以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300)分组的频率分布直方图如图. (1)求直方图中x的值; (2)求月平均用电量的众数和中位数; (3)在月平均用电量为 [220,240),[240,260),[260,280),[280,300) 的四组用户中,用分层抽样的方法抽 取11户居民,则月平均用电量在[220,240) 的用户中应抽取多少户? 解：(1)x=0.0075；(2)众数:230，中位数:224，平均数225.6；(3)5户 0.04 0.19 0.22 0.25 0.15 0.1 0.05 知识讲解 1 已知一组数据：125, 121, 123, 125, 127, 129, 125, 128, 130, 129, 126, 124, 125, 127, 126, 122, 124, 125, 126, 128 (1)填写下面的频率分布表： (2)做出频率分布直方图； (3)求数据的众数、中位数、平均数. 2 3 8 4 3 20 0.1 0.15 0.4 0.2 0.15 1 解：众数：125.5， 中位数:125.75， 平均数：125.8 . 知识讲解 解: 知识讲解 $$